例题讲解：米勒问题之教学设计说明

《例题讲解：米勒问题》教学设计数学科学学院 118班蔡洁慧

教师：老师延长线段AB到平面并交于点C，再连接CD，以点C为圆心，CD为半径作圆

（几何画板演示）

∠有没有变化？

大家想象一下，点D在圆上移动的时候，ADB

学生1：老师，是没有变化的。

∠，在圆心不变的情况下，教师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角ADB

∠的大小对不对？

只有半径不同的其他圆才会影响ADB

学生：对。

教师：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。

（几何画板演示）

∠达到最大呢？

那么是不是说，就一定会存在这个点D使得ADB

学生1：应该是存在的

教师：如果存在的话，应该在什么位置呢？

学生1：老师，肯定越近可见角越大

学生2：不，我觉得是越远可见角越大

教师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下

A

B

D

∠是如何变化的？

现在我让点D一直向中间移动，同学们要留意ADB

（几何画板演示）

∠是先变大，后来又慢慢变小

学生：ADB

∠最大，对不对？教师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得ADB

学生：对。

教师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢？

学生：可以转化为求点D到交点C的距离。

教师：对了，要求CD的长度，那么我们设CD的长度为x，问题就转化为

∠最大？

当x为多少时，ADB

为了解决这个问题，我们把AC、BC的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角标一

∠

下，α、β、θ，这里的θ也就是ADB

（打开PPT）

已知AC=m,BC=n,CD=x ，（x>0），求当x 为多少时，θ最大？（黑板板书）

教师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。

大家先看一下ACD ,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的，所以ACD 是一个什么三角形？

学生：直角三角形

教师：那么AC 、CD 与α之间有什么关系？

学生2：tan m x

α=

（教师板书出来） 教师：很好，那么我们再看BCD 呢？ 学生1：同样是一个直角三角形

教师：所以也可以同样得到怎样的关系式？

学生1：tan n x

β=（教师板书出来） 教师：那再看看α、β、θ之间有什么关系？

学生2：αβθ=+

教师：也就是θαβ=-（板书出来）

我们在上面已经求出了α、β的正切值了，那么可以求出θ的正切值吗？要怎样求？

学生1： （教师板书出来） 教师：请继续。

学生1：把刚刚tan m x α=和tan n x

β=代入上式 教师：很好，那么大家动手把数据代入并进行化简。那么有那位同学化简得到最终的结果？ tan tan tan tan()1tan tan αβθαβαβ

-=-=+⋅

学生2：tan m n m n x x

θ-=⋅+（教师板书出来） 教师：好的。那么我们看看，我们要求θ的最大值，是不是就是求tan θ的最大值？ 学生：是的。

教师：看看上面式子，那些是已知的？

学生：m,n

教师：所以说，m-n 就是一个定值，那么要求tan θ的最大值，只需要求式子的分母的最小值，对不对？

学生：对。

教师：那好，我们就把分母分离出来，m n x x

⋅+

（板书出来） 现在要求的是m n x x ⋅+的最小值，也就是应该要m n x x ⋅+≥（板书出来） 同学们看出什么了吗？

学生：基本不等式

教师：那要怎样做下去呢？

学生1：2m n x m n x

⋅+≥⋅（教师板书出来） 教师：什么时候等号成立？ 学生1：当m n x x

⋅=时，算得x mn =（教师板书出来） 教师 ：也就是，2x mn =。好，到这里已经把结果算出来了，同学们回答一下题目提出问

题的答案？

学生：当x mn =时，tan θ取得最大值，也就是θ取得最大值。

教师：同学们看一下，我们解决这个问题的时候，先把几何的问题转化为代数问题，再用代数的方法把问题解决了，但是如果每次都遇到这种问题，都要算这么多是不是很麻烦？我们在上面的计算过程，有没有得到什么启示？

学生1：当x mn =时，θ取得最大值。

教师：很好，这也算是一个结论，有没有一个关于几何方面的结论呢？

学生：（思考）

教师：刚刚所说的，CD x m n AB BC ==⋅=⋅，也就是2CD AC BC =⋅，那么根据这个式子有没有想到关于圆的一些性质？老师在这里提示一下，大家还记得切割线定理吗？（PPT 展示）

这里PA是圆O的切线，BC是圆O的一条割线，那么切割线定理是怎么描述的？

学生：

教师：这个等式跟上面所说的，2

CD AC BC

=⋅在形式上是不是有点相似啊？

学生：PA对应CD，PB、PC分别对应BC、AC，也就是CD、AB分别是某个圆的切线、割线。教师：对了，表示出来就是这样子的图形（PPT展示）

所以我们有下面的结论：结论：当且仅当过ABD三点作外接圆且CD与该圆相切的时候，最大。同学们可能在这个时候就要问，得出这个结论有什么用？老老实实用代数的方法去算不就行了吗？带着这个问题，下面我们再看一道题目

（PPT展示）

在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的角，最大？

教师：那我们来看看这道题跟第一题有什么区别？

（几何画板演示）

我们连接PQ，再延长PQ到直线l交于点O，跟第一题画的图比较一下

（几何画板演示）

m

n

x

l D

C

O

A

B

M

P

Q

同学们看一下，PQ是不是相当于把悬杆AB倒置了一样，还有哪些是相对应的？

学生2：PO对应AC，PMQ

∠对应ABD

∠，

教师：既然有那么多相似的地方，大家尝试着解决。

学生（在草稿本上解决）

PC

PB

PA⨯

=

2

ADB

∠

PMQ

∠