数值天气预报试卷及习题

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（A ）年级― ――― 班级―― ― 任课教师： 姓名―― ――― 学号 成绩1、 请写出σ坐标的定义？并给出水平气压梯度力在σ坐标下的形式？（8分）2、 大气数值模式可以分为哪几类？（8分）3、 已知地图投影直角坐标系中x 和y 方向的地图投影放大系数分别为m 和n ，请写出散度V∙∇、标量平流A V ∇∙ 的表达式。

（8分）4、 请写出A2∇的差分形式。

（8分）5、 对于一维平流方程：0=+x uc t u ∂∂∂∂（其中c 为常数），时间、空间均采用向前差分格式，写出对应的差分方程，并讨论其稳定性。

（15分） 6、 请详细说明用数值方法求解准地转正压模式的具体计算步骤。

（8分）7、 请写出方程()0vF F u F yy xx xt t =++对应的差分格式。

（10分）8、 设一维变量F i 可表示为如下谐波形式：()α++=i i kx cos F ˆC F ，其中C 为一常数，Fˆ、k 和α分别为谐波的振幅、波数和位相，空间三点平滑算子定义为()1i i 1i i x i F F 2F 2SF F ~-++-+=，（1）请导出空间三点平滑响应函数的表达式；（2）试证明：当S=1/2时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L =2∆x 的波动。

（15分） 9、 简述模式初始化的概念模式？简单说明模式初始化有哪些常用的方法？（10分） 10、什么是数值模式物理过程参数化？模式的物理过程参数化包括哪些主要的内容？（10分）南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（A ）标准答案及评分标准1、 请写出σ坐标的定义？并给出水平气压梯度力在σ坐标下的形式？（8分） 答：（1）σ坐标的定义：（4分）（2）根据，气压梯度力在σ坐标下的形式：（2分）进一步利用状态方程有：（2分）2、 大气数值模式可以分为哪几类？（8分）答：大气模式的可以分为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧斜压原始方程模式正压原始方程模式原始方程模式平衡模式线性平衡模式非地转模式准地转斜压模式准地转正压模式准地转模式过滤模式数值天气预报模式 3、 已知地图投影直角坐标系中x 和y 方向的地图投影放大系数分别为m 和n ，请写出散度V∙∇、标量平流A V ∇∙ 的表达式。

（8分）答：V ∙∇＝mn [⎪⎭⎫ ⎝⎛n U X ∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛m V Y ∂∂] （4分）；A V ∇∙ ＝mU X A ∂∂+nV Y A ∂∂ （4分）4、 请写出A2∇的差分形式。

；5、 对于一维平流方程：0=+x u c t u ∂∂∂∂（其中c 为常数），时间、空间均采用向前差分格式，写出对应的差分方程，并讨论其稳定性。

（15分）答：（1）差分方程：t u u n i n i ∆-+1＋c xu u ni n i ∆-+1=0；（5分）（2）稳定性讨论：设i Ikx n n i e A u =，将其代入差分方程，可以求得增幅因子G ：x k sin I x k cos G ∆β∆ββ--+=1()()()01111122≤+⇒≤+-+=ββ∆ββx k cos G当01≤-≤β时，该格式为稳定的。

（10分）6、 请详细说明用数值方法求解准地转正压模式的具体计算步骤。

答：求解准地转正压模式的具体计算步骤如下：（1）输入初始位势高度场z i j ,0；（2）计算放大系数m i j ,和科氏参数f i j ,；（3）计算绝对涡度ηi j ,；（4）计算绝对涡度平流F i j ,；（5）求解预报方程t z j i ∂∂,⇒。

（8分）7、 请写出方程()0vF F u F yy xx x t t =++对应的差分格式。

（10分）定义：()()j i j i x x ji j i j i xx j i j i j i xx j i j i x A A d A A A A d A A A A A A A A ,1,1,1,,12,1,,1,1,121212421-+-+-+-+-=+-=++=⎪⎪⎫ ⎛+=()()()j i j i x x j i j i j i xx j i j i j i xx j i j i x A A d A A A A dA A A A A A A d A ,1,1,1,,12,1,,1,21,2121212411-+-+-+-+-=+-=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)()j i j i j i xx j i j i j i xx j i ji x A A A A A A A A A A d A ,1,,12,1,,1,21,21212411-+-+-++-=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(211,1,-+-=n j i n j i t t F F t F ∆ []))(())((41,1,,1,,,1,,1n j i n j i n j i n j i nj i n j i n j i n j i x x x F F u u F F u u x F u --++-++-+=∆ ()[]n j i n j i y yvF vF yvF 1,1,)()(21-+-=∆ 最终有差分格式： )(211,1,-+-=n j i n j i t t F F tF ∆＋[]))(())((41,1,,1,,,1,,1nj i n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i x x x F F u u F F u u xF u --++-++-+=∆＋)[]n j i n j i yy vF vF yvF 1,1,)()(21-+-=∆＝0 （10分）8、 设一维变量F i 可表示为如下谐波形式：()α++=i i kx cos F ˆC F ，其中C 为一常数，Fˆ、k 和α分别为谐波的振幅、波数和位相，空间三点平滑算子定义为()1i i 1i i x i F F 2F 2SF F ~-++-+=，（1）请导出空间三点平滑响应函数的表达式；（2）试证明：当S=1/2时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L =2∆x 的波动。

（15分） 答：（1）将变量F i 的谐波形式代入空间平滑公式，整理后可得： ()[]()α+∆--+=i x i kx x k S F C F cos cos 11ˆ~R 定义为平滑后的谐波振幅与原来谐波振幅之比，不难得到：()LxS L S R ∆-=π23sin 21, （8分）（2）当S=1/2时，三点平滑的响应函数为：L x cosL ,R ∆π2321=⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3分）对于原谐波中波长为L =2∆x ，02cos 2,2123==⎪⎭⎫⎝⎛x x x R ∆∆π∆，因此，此时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L =2∆x 的波动。

（4分）9、 简述模式初始化的概念模式？简单说明模式初始化有哪些常用的方法？（10分）答：（1）用原始方程模式作预报时，由于观测或分析资料的误差导致风场和气压场的不平衡，初始资料和数值模式之间的不平衡，直接采用未经任何处理的观测值或分析值作为模式的初始场，容易导致高频振荡，产生计算不稳定。

因此，需要对模式的初值进行处理，即称为模式的“初始化” （5分）；（2）模式常用的初始化方法包括：静力初始化、动力初始化和变化初始化三种（5分）。

10、什么是数值模式物理过程参数化？模式的物理过程参数化包括哪些主要的内容？（10分） 答：（1）为了提高预报的确率，往往要在数值天气预报模式中引入一些影响大气运动的重要物理过程，而这些过程基本上属于次网格过程，很难用显式的方法在模式中表示出来。

通常把上述次网格的物理过程，通过大尺度的物理量来描述它们的统计效应，并作为某些物理量的源或汇包含在大尺度运动方程组中，这种方总统称为“参数化”的方法。

（5分）（2）模式的物理过程参数化的主要内容包括：辐射传输、水汽凝结、边界层的处理（湍流对热量、动量和水汽的输送等）、地形作用等等（5分）。

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（B ）年级― ――― 班级―― ― 任课教师： 姓名―― ――― 学号 成绩1、 地图投影放大系数是如何定义的？请列举出并简单说明三种常用的地图投影方式及其基本特点。

（10分） 2、已知地图投影直角坐标系中x 和y 方向的地图投影放大系数分别为m 和n ，请导出P 坐标系下的连续方程0=∂∂+∂∂+∂∂p y v x u ω在地图投影坐标系中的形式。

（10分） 3、 请写出)B ,A (J 的差分形式。

（8分）4、 现有如下形式的方程：0y ub x u a t u =∂∂+∂∂+∂∂，时间微商用向前差分格式、空间微商用中央差格式来构造对应的差分方程。

（10分）5、 根据准地转涡度方程：()0=-+∇∙+p f f V t p ∂∂ωζ∂∂ζψ ，导出准地转正压模式的预报方程。

（12分）6、 五点平滑和九点平滑是如何定义的？并分别写出二者的计算表达式？（15分）7、 正压原始方程模式在地图投影坐标系中的预报方程组形式如下： x zmg v f y u v x u u m t u *∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂ y zmg u f y v v xv u m t v *∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂y v x u m z m z y v m z x u m t z 2请采用二次守恒的平流格式，写出其对应的差分方程组。

（15分）8、 准地转正压模式、正压原始方程模式的时间步长大致是多少，并说明二者存在差别的原因？（10分） 9、 简述模式初始化和物理过程参数化的基本概念。

（10分）南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（B ）标准答案及评分标准1、 答： （1）地图放大系数或地图放大因子，又称为映像比例尺：m =地球表面上相应的距离映像平面上的距离；（4分）（2）三种常用的地图投影方式及其基本特点：（a ）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地天气图和北半球天气底图；（b ）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区的天气图，如亚欧天气底图；（c ）而麦卡托投影，在低纬或热带地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作低纬或热带地区的天气底图。

（6分）2、 答： mn [⎪⎭⎫ ⎝⎛n U X ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛m V Y ∂∂]+p ∂∂ω=0（10分） 3、 答：()()()()()[]j i j i j i j i j i j i j i j i cB B A A B B A A d B A J ,1,11,1,1,1,,1,1241,-+-+-+-+++-----=（8分）4、 答：tu u n ji n j i ∆,1,-+＋xu u an ji n j i ∆2,1,1-+-＋yu u bn j i n j i ∆21,1,-+-＝0（10分）5、 答：（1）将准地转涡度方程：()0=-+∇∙+p f f V t p ∂∂ωζ∂∂ζψ ，应用于无辐散层上：→()∂ζ∂ζψt V f p +∙∇+=（4分）（2）利用准地转近似的散度方程：f ∇=∇22ψΦ→gV k f V≈∇⨯=Φψ1；g f ζΦζ≈∇=21（4分）（3）旋转风 V ψ和相对涡度ζ可以分别由计算的地转风V g 和地转风涡度ζg 来代替→()0=+∇∙+f V t g g ζ∂∂ζψ →()02=⋅+⋅-∇y x z x y z z t ∂∂η∂∂∂∂η∂∂∂∂，即为预报方程 （4分） 6、 答：（1）五点平滑的定义：对变量F i,j 同时沿x 方向和y 方向进行一维三点平滑运算，然后再取其平均值。