北师大版高考文科数学考点训练-合情推理与演绎推理练习试题及答案解析

合情推理与演绎推理

考点一类比推理

1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积

相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )

A.4π

B.8π

C.16π

D.32π

2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为( )

A.3

B.5

C.

D.3

【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,

则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,

把y=h代入椭圆+=1可得x=±,

所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,

由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆

锥)=2=16π.

2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为

d=,则所求距离d==5.

类比推理的分类

考点二演绎推理

【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+).

(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.

(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.

【解题导思】

序号题目拆解

(1) 猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想

(2) 证明数列是等差数列证明-=常数

【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,

a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.

(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提

又因为-=,为常数;…小前提

所以数列是等差数列.…结论

演绎推理的推证规则

(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.

(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.

设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).

(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.

(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.

【解析】(1)由a n=2-S n,

当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,

当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,

当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,

当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,

…由此归纳推理得a n=(n∈N*).

(2)因为通项公式为a n的数列{a n},

若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;

因为通项公式a n=,又=;

所以通项公式a n=的数列{a n}是等比数列.