北师大版高考文科数学考点训练-合情推理与演绎推理练习试题及答案解析

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2021高考数学一轮复习统考算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理课时作业(含解析)北师大版

第3讲合情推理与演绎推理课时作业1．(2019·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C.2．(2019·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式结果为( )A．(2n)2B．(2n＋1)2C．(2n－1)2D．(n－1)2答案 C解析由题中的数字规律很容易得出第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．(2019·广东茂名五校联盟第一次联考)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为( )A ．988B ．1032C ．1092D ．1182答案 C解析类比36的所有正约数之和的求法，可知500的所有正约数之和可按如下方法得到：因为500＝22×53，所以500的所有正约数之和为(1＋2＋22)(1＋5＋52＋53)＝1092.5．(2019·湖南省三湘名校第二次联考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想，在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈xln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.43429，计算结果取整数)( )A ．1089B ．1086C ．434D ．145答案 B解析由题意，得π(10000)≈10000ln 10000＝2500ln 10，由对数的性质可得ln 10＝1lg e，即π(10000)≈1085.725≈1086.故选B.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则 3＋23＋2…＝( ) A ．3 B ．13＋12C ．6D ．2 2答案 A解析令 3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.7．(2020·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113A C ．36 D ．35答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.8．(2019·西宁模拟)将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2020到2022的箭头方向是( )答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2020＝4×505，所以2020→2021也是箭头垂直指下，之后2021→2022的箭头是水平向右．故选A.9．(2019·陕西咸阳模拟)如图所示的数阵中，若A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15,2)为( )A ．2942B ．710C ．1724D ．73102答案 C解析由数阵知A (3,2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4,2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5,2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15,2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确．10．老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n ＝( )A ．7B ．8C ．11D ．15答案 C解析由题意，得图中甲柱最上面的两个盘子是一样大小的，所以比操作三个盘子的次数(23－1) 要多，比操作四个盘子的次数(24－1)要少，相当于操作三个盘子的时候，最上面的那个挪动了几次，就会增加几次，故选C.11．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是( )A ．332B ．33C ．13D ．23答案 A解析由题意，知凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .因为y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，所以sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.故选A.12．(2019·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作…，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A ．31次B ．32次C ．33次D ．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，…，由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.故共需要操作33次．13．若△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，类比空间中，若四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为________．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，即V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)．14．(2019·黄冈市一模)自2019年来某市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了该市某高中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为________．答案黄梅戏解析甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳，可知甲参加过黄梅戏或黄梅挑花．由乙说：我没有参加过黄梅挑花，可知乙参加过黄梅戏或岳家拳．由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙参加过黄梅戏特长班．又因为甲参加过的特长班比乙多，所以乙只参加过一个特长班．即乙只参加过黄梅戏特长班．故答案为黄梅戏．15．“解方程⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝1”有如下思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，故原方程有唯一解x ＝2.类比上述思路，不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．答案 {x |x >2或x <－1}解析不等式化为x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，设g (x )＝x 3＋x ，则g (x )在R 上单调递增，所以不等式即g (x 2)>g (x ＋2)，所以x 2>x ＋2，解得x >2或x <－1.16．(2019·甘肃、青海、宁夏联考)数列{a n }为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4，…，首先给出a 1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a 2＝1，a 3＝2，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是a 4＝1，a 5＝1，a 6＝2，a 7＝3，接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，…，如此继续，则a 2019＝________.答案 1解析由数列{a n }的构造方法，得a 1＝1，a 3＝2，a 7＝3，a 15＝4，可得a 2n －1＝n ，即a 2n －1＋k＝a k (1≤k ≤2n－1)，故a 2019＝a 996＝a 485＝a 230＝a 103＝a 40＝a 9＝a 2＝1.17．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图甲、乙、丙、丁是她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，求f (n )的表达式．解根据前面四个发现规律：f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3，…f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，这n －1个式子相加可得： f (n )＝2n 2－2n ＋1.18．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 19．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图，由三角形相似得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝DC ·BC ，故1AB2＋1AC2＝1BD ·BC ＋1DC ·BC ＝DC ＋BD BD ·DC ·BC ＝1BD ·DC ＝1AD2. 在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H . 则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE ，在Rt △ABE 中， 1AH2＝1AB2＋1AE 2，①又易证CD ⊥AE ，故在Rt △ACD 中， 1AE2＝1AC2＋1AD 2，②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.20．(2020·云南曲靖监测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 21°＋cos 229°－sin1°cos29°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 211°＋cos 219°－sin11°cos19°； ④sin 2(－12)°＋cos 242°－sin(－12)°cos42°； ⑤sin 2(－40)°＋cos 270°－sin(－40)°cos70°. (1)从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式； (3)证明这个结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.(3)证法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 证法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos230°－α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－cos2α2＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义第7章第04节合情推理与演绎推理 Word版含答案

第四节合情推理与演绎推理．合情推理()定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．提醒：．辨明两个易误点()演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．()合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．．把握合情推理与演绎推理的三个特点()合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．()在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．()应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )()由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )()在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) ()演绎推理的结论一定是正确的．( )()演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )()在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )答案：()×()√()×()×()×()×．(教材习题改编)已知＋＝＋＋＝＋＋＋＝，……按此规律，则＋＋＋…＋＝( ) ．．(＋)．．解析：选观察已知等式可得＋＋＋…＋＝(＋＋＋…＋)＝＝(＋).．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋等于()．．．．解析：选从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，＋＝.．观察下列不等式：＋<，＋＋<，＋＋＋<，……照此规律，第五个．．．不等式为．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为＋＋＋＋＋<.答案：＋＋＋＋＋<．在平面上，若两个正三角形的边长的比为∶，则它们的面积比为∶.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为∶，则它们的体积比为．解析：由类比可知面积与边长是平方关系，则体积与棱长是立方关系，两个正四面体的棱长的比为∶，则它们的体积比为∶.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是（）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====，故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=，由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+，故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=，则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确；对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时，故A 到F 的最短时间就为9小时，则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时，即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】（1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =，则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+，即当1n k =+时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++，则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=，当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立．【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4讲合情推理与演绎推理知能训练轻松闯关文北师大版

第4讲合情推理与演绎推理1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A.选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n项和等于S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 3．(2016·洛阳模拟)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选C.因为大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误，故选C.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 017(x )＝( )A ．sin x ＋cos xB ．－sin x －cos xC ．sin x －cos xD ．－sin x ＋cos x解析：选A.f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cosx ＋sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f ′5(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，因为2 017＝504×4＋1，所以f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ．故选A.5．(2016·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6解析：观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．(2016·潍坊模拟)对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， …按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[1]＋[2]＋[3]＝1×3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5，[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7，…，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1)，即2n 2＋n . 答案：2n 2＋n8．(2016·贵州省六校联考)在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD . 答案：AE EB ＝S △ACD S △BCD9．(2016·泉州质检)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解式中最小的数是73，则m 的值为________．解析：根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9，11，…，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首数为m 2－m ＋1.因为m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，所以m 2－m ＋1＝73，所以m ＝9.答案：910．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .11．给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 54 4 812…其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．。

高考数学命题热点名师解密：专题(19)演绎推理与合情推理(文)(含答案).doc

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件． P —表示条件，Q —表示要证的结论．练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（） A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520 【答案】A【解析】当7n =时，序列如图：故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．【答案】194【解析】由题意得，前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋1 6＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.【答案】12【解析】1＝12＋(12－13)＋13，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋14，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋15，…，以此类推，故1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋17＝12＋16＋17＋112＋120＋130＋142，故n＝12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）．（2）三角恒等式：．证明如下：左边2.类比法例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（） A. 42r π B. 43r π C. 44r π D. 46r π 【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．练习1. 如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n ∈N *，恒成立，则实数A ＝________.【答案】ln2练习2.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A. S2＝S＋S＋SB.C. S＝S1＋S2＋S3D.【答案】A【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(12BC·AD)2＝14BC2·AD2＝14BC2·(OA2＋OD2)＝14(OB2＋OC2)·OA2＋14BC2·OD2＝(12OB·OA)2＋(12OC·OA)2＋(12BC·OD)2＝.练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)【答案】A【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于( )A. n mC. n m【答案】C【解析】观察{a n}的性质：，则联想nb－ma对应等比数列{b n}中的nmdc，而{a n}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方，故b m＋n＝n练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B 。

2013届数学高考一轮复习同步训练(文科) 第62讲《合情推理与演绎推理》北师大版选修1-2含答案

课时作业（六十二)［第62讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分］错误!1．设f0(x）＝sin x，f1（x）＝f′0(x），f2(x)＝f′1(x），…，f n（x)＝f′n－1（x)，n∈N，则f2009（x)＝( ）A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x2．“回文数"在数学上即对称数，比如10101,是指从中间分两边对称的数．在公历年月日的日期连写中也可构成很多的回文数，如2010年01月02日,其回文数为：20100102，这样的日期常被称为世界完全对称日，又如2011年11月02日，其回文数为:20111102，据此推算下一个世界完全对称日的回文数是________．3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(－3，4），且法向量为n＝（1，－2）的直线(点法式)方程为：1×（x ＋3）＋（－2）×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0。

类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A（1,2，3）且法向量为n＝（－1,－2,1）的平面（点法式)方程为：__________________________________________________________ ______________。

4．［2011·陕西卷］观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．错误!5．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，a>0且为常数，动点P满足|｜PA｜－｜PB｜｜＝2a〈｜AB｜，则P点的轨迹为双曲线B．由a1＝1，a n＝3n＋1，求出S1,S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．三角形ABC一条边的长度为4，该边上的高为1,那么这个三角形的面积为26．表中数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2012共出现( )A.1次B．27．设函数f(x）＝错误!，类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(－4）＋f（－3)＋…＋f（0）＋f（1）＋…＋f(4）＋f(5)的值为（）A。

2021高考数学一轮复习统考算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理学案(含解析)北师大版

第3讲合情推理与演绎推理基础知识整合1．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的01全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出02一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的03某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由04部分到05整体、由06个别到07一般的推理由08特殊到09特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(1)定义：从10一般性的原理出发，推出11某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由12一般到特殊的推理．(3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式．“三段论”的结构①大前提——已知的13一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对14特殊情况做出的判断“三段论”的表示①大前提——15M是P；②小前提——16S是M；③结论——S是P1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．1．“对数函数是非奇非偶函数，f (x )＝log 2|x |是对数函数，因此f (x )＝log 2|x |是非奇非偶函数”，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f (x )＝log 2|x |是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f (x )＝log 2|x |不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y ＝log a x 的函数才是对数函数．故选C.2．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( ) A ．10日和12日 B ．2日和7日 C ．4日和5日 D ．6日和11日答案 D解析这12天的日期之和，S 12＝12×12＋12＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.3．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，不符合题意；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.5．(2019·银川模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n n ＋12解析由图知第1个图形的小正方形的个数为1，第2个图形的小正方形的个数为1＋2，第3个图形的小正方形的个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12. 6．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a t ＝6a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.答案 41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以当n ＝6时，a ＝6，t ＝35，a ＋t ＝41.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一归纳推理角度1 数字的归纳例1 (2019·河南八市联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，将该数列按下列格式(第n 行有2n －1个数)排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右的第8个数为( )A ．142B ．270C ．526D ．1038答案 B解析由题意，得S n ＝n 2＋n ，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，所以a n ＝2n ，又由数阵，知每一行的项数依次构成数列1,2,4,8，…，构成首项为1，公比为2的等比数列，由等比数列的前n 项和公式，得该数阵第8行从左到右的第8个数为数列{a n }的第1－271－2＋8＝135项，所以该数为a 135＝2×135＝270，故选B.角度2 式子的归纳例2 (2019·大连二模)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式为________．答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析观察题中等式，可得规律为等式左边共有2n 项且等式左边的分母分别为1,2，…，2n ，分子均为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 角度3 图形的归纳例 3 (2019·重庆模拟)如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案211解析观察图可知，第一个拐弯处2＝1＋1，第二个拐弯处4＝1＋1＋2，第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号即可．(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后即可．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．[即时训练] 1.(2019·咸阳模拟)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为( )A．528 B．1020C．1038 D．1040答案 D解析第一行数字之和为a 1＝1＝21－1，第二行数字之和为a 2＝2＝22－1，第三行数字之和为a 3＝4＝23－1，第四行数字之和为a 4＝8＝24－1，…第n 行数字之和为a n ＝2n －1，∴a 5＋a 11＝24＋210＝1040.故选D. 2．(2019·日照模拟)有下列各式： 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋…＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为________．答案 1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)解析观察各式，左边为1n的和的形式，项数分别为3,7,15，…，故可猜想第n 个式子左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子右边应为n ＋12，故按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．3．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b 1，点(1，－1)处标b 2，点(0，－1)处标b 3，点(－1，－1)处标b 4，点(－1,0)处标b 5，点(－1，1)处标b 6，点(0,1)处标b 7，…，以此类推，则b 963处的格点的坐标为________．答案 (16,13)解析观察已知点(1,0)处标b 1，即b 1×1，点(2,1)处标b 9，即b 3×3，点(3,2)处标b 25，即b 5×5，…，由此推断点(n ，n －1)处标b (2n －1)×(2n －1)，因为961＝31×31，n ＝16，故b 961处的格点的坐标为(16,15)，从而b 963处的格点的坐标为(16,13)．考向二类比推理例4 (1)(2020·河北正定摸底)已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足a 2＋b 2＝c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，则△ABC 为直角三角形，类比此结论可知，若满足a n＋b n ＝c n (n ∈N ，n ≥3)，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案 A解析由题意，知角C 最大，a n＋b n＝c n(n ∈N ，n ≥3)即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＝1(n ∈N ，n ≥3)，又c >a ，c >b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＝1，即a 2＋b 2>c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C <π2，故△ABC 为锐角三角形．(2)(2019·江西南昌开学摸底)自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61,7×6＝52,7×5＝43，…，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为( )A ．(446)8B ．(1134)8C ．(1234)8D ．(4321)8答案 C解析数(1010011100)2＝1×29＋0×28＋1×27＋0×26＋0×25＋1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋0×20＝668，A 项中，(446)8＝4×82＋4×81＋6×80＝294， B 项中，(1134)8＝1×83＋1×82＋3×81＋4×80＝604， C 项中，(1234)8＝1×83＋2×82＋3×81＋4×80＝668， D 项中，(4321)8＝4×83＋3×82＋2×81＋1×80＝2257，故选C.类比推理的分类类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．[即时训练] 4.若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A ．q2 B ．q 2C ．qD ．nq答案 C解析由题设，有T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1qn －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n 1qn －1n2.∴ n T n ＝b 1qn －12，∴等比数列{nT n }的公比为q .故选C.5．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么类比得到的结论是________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.考向三演绎推理例5 (2019·山东烟台调研)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[即时训练] 6.(2019·保定模拟)有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确答案 A解析对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，大前提错误，故选A.7．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．答案(1)6 (2)12解析(1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.1．将圆周20等分，按照逆时针方向依次编号为1,2，…，20，若从某一点开始，沿圆周逆时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，称这种走法为一次“移位”，如：小明在编号为1的点，他应走1段弧长，即从1→2为第一次“移位”，这时他到达编号为2的点，然后从2→3→4为第二次“移位”，若某人从编号为3的点开始，沿逆时针方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次刚好到达编号为16的点，又满足|a－2020|的值最小，则a的值为( )A．2019 B．2020C．2021 D．2022答案 C解析若某人从编号为3的点开始，第一次“移位”到达6；第二次“移位”到达12；第三次“移位”到达4；第四次“移位”到达8；第五次“移位”到达16；第六次“移位”到达12；第七次“移位”到达4；第八次“移位”到达8；第九次“移位”到达16；第十次“移位”到达12；…从第二次开始，每4次“移位”为一组“移位”循环，“移位”a 次刚好到达编号为16的点，则a －1应该能被4整除，又满足|a －2020|的值最小，则a ＝2021.故选C.2．(2019·漳州模拟)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧ x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k ＝5.答题启示与推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当地转化，注意推理过程的严密性．对点训练1．(2019·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A ．120斤B ．125斤C ．130斤D ．136斤答案 B 解析假设原来持金为x，则第1关收税金12x ；第2关收税金13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B. 2．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如：图中的△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．答案 (1)3,1,6 (2)79解析 (1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，四边形DEFG 的面积为3，所以S ＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，c ＝－1，1 2×18－1＝79.当N＝71，L＝18时，S＝1×71＋。

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件第7章不等式、推理与证明第3节合情推理与演绎推理

甲:f(x)是奇函数;乙:f(x)的图像关于直线x=1对称;丙:f(x)在区间[-1,1]上单调递
减;丁:f(x)的周期为2.
如果其中只有一个假命题,则该命题是(
A.甲
)
B.乙 C.丙 D.丁
(2)(2022北京,15)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足
an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
时,anSn>9,这与已知矛盾,故④正确.
1 3
×( ) ;
3
1 1
1 1 1 4
当 n=4 时,第 4 个图中“雪花曲线”的边长为 × × × =( ) ,共有(3×43)条边,
3 3
3 3 3
其周长为 3×4
1 4 64
×( ) = .
3
27
3
规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符
(2)将△ABC的边长a,b,c类比三棱锥P-ABC的四个面的面积S1,S2,S3,S4,
1
1
将三角形面积公式中的系数 2 类比三棱锥体积公式中的系数 3 ,从而可知C
正确.
实际上,把内切球球心与三棱锥四个顶点连接,三棱锥P-ABC被分成以原三
棱锥的四个面为底面,内切球球心为顶点的四个棱锥,四个棱锥的高均为内
考点一
归纳推理(多考向探究)
考向1与数字或式子有关的归纳推理
例1(1) 找规律填数字是一项很有趣的游戏,特别锻炼观察和思考能力,按照
“1→7”“2→14”“3→42”“4→168”的规律,可知5→(
A.490
B.62
C.720
D.840
)

2019届北师大版(文科数学) 11.3合情推文与演绎推文单元测试

第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( C )(A)结论正确 (B)大前提不正确(C)小前提不正确(D)全不正确解析:因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.选C.2.已知数列{a n}的前n项和为S n,则a1=1,S n=n2a n,试归纳猜想出S n的表达式为( A )(A)S n= (B)S n=(C)S n= (D)S n=解析:S n=n2a n=n2(S n-S n-1),所以S n=S n-1,S1=a1=1,则S2=,S3==,S4=.所以猜想得S n=,故选A.3.(2017·河北衡水中学一调)一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴;…,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( B )(A)只 (B)66只(C)63只 (D)65只解析:根据题意可知,第一天共有蜜蜂1+5=6(只);第二天共有蜜蜂6+ 6×5=62(只);第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只);…,故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.4.下列类比推理中,得到的结论正确的是( D )(A)把log a(x+y)与a(b+c)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a y(B)向量a,b的数量积运算与实数a,b的运算性质|ab|=|a|·|b|类比,则有|a·b|=|a||b|(C)把(a+b)n与(ab)n类比,则有(a+b)n=a n+b n(D)把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和解析:根据对数运算法则,可得A不正确;利用向量的数量积运算,可得B不正确;利用乘方运算,可得C不正确;把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和,可知D正确.故选D.5.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:若四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体SABC的体积为V,则r等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:设四面体的内切球的球心为O,则V=+++,即V=S1r+S2r+S3r+S4r,所以r=.选C.6.(2017·四川四市诊断)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“是C或D作品获得一等奖”;乙说:“B作品获得一等奖”;丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;丁说:“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是.解析:若甲同学说的话是对的,则丙、丁两位说的话也是对的;若丁同学说的话是对的,则甲、丙两位说的话也是对的,所以只有乙、丙两位说的话是对的,所以获得一等奖的作品是B.答案:B7.观察下列不等式:①<1;②+<;③++<;…;则第n 个不等式为.解析:观察题中不等式知,分母中根号下被开方数依次是1×2; 2×3;3×4;…,所以所求的不等式为+++…+<.答案:+++…+<能力提升(时间:15分钟)8.[ ]表示不超过的最大整数.若S1=[ ]+[ ]+[ ]=3,S2=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=10,S3=[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=21,…则S n等于( D )(A)n(n+2) (B)n(n+3)(C)(n+1)2-1 (D)n(2n+1)解析:观察得到:S n是从开始到(不含之前)共2n+1个n的和,所以S n为n(2n+1).即[]+[]+[]+…+[]=n(2n+1).选D.9.(2017·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1), (1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( B )(A)(7,5) (B)(5,7)(C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7),选B.10.(2017·福建漳州5月质检)甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第一名的是.解析:若甲的预测准确,则甲不是第三名;乙不是第三名;丙是第一名.很明显前两个预测说明丙是第三名,后一个预测说明丙是第一名,矛盾,则假设不成立.若乙的预测准确,则甲是第三名;乙是第三名;丙是第一名.很明显前两个预测矛盾,则假设不成立.若丙的预测准确,则甲是第三名;乙不是第三名;丙不是第一名.推理得甲是第三名;乙是第一名;丙是第二名.综上可得,获得第一名的是乙.答案:乙11.(2017·福建厦门模拟)已知等差数列{a n}中,有=,则在等比数列{b n}中,会有类似的结论: .解析:由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=…=b11b20,所以=.答案:=12.观察等式:=,=1,=. 照此规律,对于一般的角α,β,有等式 .解析:根据等式的特点,分别用α,β代替两个角,并且发现tan=,tan =1,tan =,故对于一般的角α,β的等式为=tan .答案:=tan13.(2017·东北三省四市一模)在某次数学考试中,甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁得到了优秀时,丙说:“甲没有得优秀”;乙说:“我得了优秀”;甲说:“丙说的是真话”.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得优秀的同学是 .解析:分析题意只有一人说假话可知,甲与丙必定说的都是真话,故说假话的只有乙,即乙没有得优秀,甲也没有得优秀,得优秀的是丙.答案:丙14.观察下列等式:+=1;+++=12;+++++=39;…则当m<n且m,n∈N时,++++…++= (最后结果用m,n表示).解析:由+=1,知m=0,n=1,1=12-02;由+++=12,知m=2,n=4,12=42-22;由+++++=39,知m=5,n=8,39=82-52;…依此规律可归纳,++++…++=n2-m2.答案:n2-m2。

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破：第十二章第3讲合情推理与演绎推理 Word版解析版

[基础题组练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{ nT n }的公比为( )A.q2 B ．q 2 C.qD ．n q解析：选C.由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n 1q （n －1）n2，所以nT n ＝b 1qn －12，所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.3．(2020·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.4．(2020·宿州质检)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30； …按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为( ) A ．29 B ．30 C ．31D ．32解析：选C.由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3，5，7，…，2n ＋1，其前n 项和S n ＝n [3＋（2n ＋1）]2＝n (n ＋2)，所以S 31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．5．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb2＝16．按照图①～图③的规律，第10个图中圆点有个．解析：因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．答案：407．(2020·河南驻马店模拟)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为．解析：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据上述规律，第n 个不等式的左端是n ＋1项的和1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2，右端分母依次是2，3，4，…，n ＋1，分子依次是3，5，7，…，2n ＋1，故第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋18．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .[综合题组练]1．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i ，j ，比如a 3，2＝9，a 4，2＝15，a 5，4＝23，若a i ，j ＝2 017，则i ＋j ＝( )A ．64B ．65C ．71D ．72解析：选D.奇数数列a n ＝2n －1＝2 017⇒n ＝1 009，按照蛇形数列，第1行到第i 行末共有1＋2＋…＋i ＝i （1＋i ）2个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i ＝45，j ＝27⇒i ＋j ＝72.2．(应用型)(2020·湖北八校联考模拟)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a )＝43π×b 2a .答案：43π×b 2a。

高考数学总复习第十一章11.3 合情推理与演绎推理理

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.3 合情推理与演绎推理练习一、选择题1．下列推理过程是演绎推理的是( )．A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )．A ．27B ．28C ．29D ．303．定义一种运算“*”：对于正整数n 满足以下运算性质：(1)1]( )．A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 24．(2011江西高考，理7)观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1255．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB u u u r ⊥AB u u u r 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝( )．A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1 6．设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 012(x )＝( )． A ．－1x B ．x C ．x －1x ＋1 D ．1＋x 1－x二、填空题7．(2011陕西咸阳高考模拟三)在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：__________.8．(2012山东菏泽高考模拟)在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S －ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S －ABC 的外接球半径R ＝__________.9．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜想第n 个不等式为______．三、解答题10．类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明． 12．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N ＋恒成立，求实数λ的最小值．参考答案一、选择题1．A 解析：C 是类比推理，B 与D 均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B ，C ，D 都不是演绎推理．而A 是由一般到特殊的推理形式，故A 是演绎推理．2．B 解析：观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28. 3．A 解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1).又∵1*1＝1，∴n *1＝n .4．D 解析：由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T ＝4.又由于2 011＝502×4＋3，因此52 011的末四位数字是8125.5．A 解析：在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c ,0)，A (a ,0)． ∵FB u u u r ⊥AB u u u r ，∴FB u u u r ·AB u u u r ＝0.∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e 2－e －1＝0，又e ＞1，∴解得e ＝5＋12. 6．B 解析：计算21111()=1111xx x f x f xx x+++⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭--＝－1x ， 31111()=111x x f x f x x x--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+， 4111()==111x x f x x x x -++--+， 511+()=()=1x f x f x x-，归纳得4+11+()=1k x f x x-. ∴()()()2 01245034f x f x f x x ⨯＝＝＝. 二、填空题7．正四面体内一点到四个面的距离之和是一个定值解析：因为边长为a 的正四面体的体积和各个面的面积是定值，在其内部任取一点，将其分割成四个底面积相等的三棱锥，由体积和是定值，可得该点到四个面的距离之和是一个定值．8．a 2＋b 2＋c 22解析：如图所示，以SA ，SB ，SC 为邻边作一长方体，该长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 22，此即四面体S －ABC 的外接球直径，所以半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 9．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2解析：由1＞12，1＋12＋122－1＞22， 1＋12＋13＋…＋123－1＞32， 1＋12＋13＋…＋124－1＞42， 1＋12＋13＋…＋125－1＞52，可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2. 三、解答题10．解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ； (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解：x ＝－a 与x ＝－a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a ；在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a ＋0＝a . 11．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. 则PM k ·PN k ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)． 12．解：(1)设公差为d . 由已知得121114614,(2)(6),a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)+11n n a a ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2).∵T n ≤1n a ＋，∴n 2(n ＋2)≤λ(n ＋2)． ∴λ≥n 2(n ＋2)2. 又n 2(n ＋2)2＝12(n ＋4n＋4)≤12(4＋4)＝116. ∴λ的最小值为116.。

2021届北师大版(文科数学) 合情推理与演绎推理单元测试

47 合情推理与演绎推理1．下列在向量范围内成立的命题，类比推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是(C) ①|a·b |≤|a|·|b|; ②|a ＋b|≤|a|＋|b|； ③a 2≥0; ④(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4其中①、②、④为真，③为假，故选C.2．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝(12)x 是指数函数(小前提)，所以y＝(12)x是增函数(结论)”，上面推理中错误的是(A) A ．大前提错，导致结论错 B ．小前提错，导致结论错 C ．推理形式错，导致结论错 D ．大前提和小前提都错，导致结论错3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ∈N *)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n为(B)A.2n ＋12B.2n n ＋1C.22n －1D.22n －1因为S 2＝4a 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝13＝26＝22×3，因为S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，所以a 3＝16＝212＝23×4，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋13＋16＋a 4，所以a 4＝110＝220＝24×5，所以猜想a n ＝2nn ＋1(n ∈N *)，选B. 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ．由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝(D)A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )由归纳推理可得，若f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数，即g (x )为奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，选 D.5．(2020·广州模)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“角形数”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45中符合这规律的等式是__①③④__．(填写所有正确结论的编号)观察得：(n ＋1)2＝(1＋2＋…＋n)＋[1＋2＋…＋n ＋(n ＋1)]，符合上述特征的数有①③④.6.在△ABC 中，若AC ⊥BC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在面体S ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则面体S ABC 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.类比△ABC 中，若AC ⊥BC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22的推导方法——构造长方形．由此可将面体S ABC 构造出长方体，由对角截面性质可知，球的直径等于长方体的体对角线长，即2R ＝a 2＋b 2＋c 2，故R ＝a 2＋b 2＋c 22.7．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出个猜想？并证明你的猜想．猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明：左边＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)2＋sin α(32cos α－12sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32cos αsin α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34＝右边，故猜想成立．8．(2020·兰州市高实战考试)设n∈N *，则11 (1)2n 个－22…2,n 个) )＝(A)(方法1)(归纳法)因为1＝19(10－1)，11＝19(102－1)，…，归纳得11…1,\s \do 4(2n 个))＝19(102n－1)，同理22…2,\s \do 4(n 个))＝29(10n－1)，11 (1)2n 个－22…2,n 个) )＝102n －19－2（10n－1）9＝102n－2×10n＋19＝10n－13＝33…3,\s \do 4(n 个))．(方法2)(排除法) 当n ＝111…12n 个－22...2,n 个) )＝11－2＝3，排除选项D. 当n ＝211 (1)2n 个－22…2,n 个) )＝1111－22＝1089＝33，排除B ，C.故选A.9．(2020·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁位同学起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A ．乙可以知道人的成绩B ．丁可以知道人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．10．对于次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何个次函数都有“拐点”；任何个次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512.请根据这发现，(1)求函数f (x )的对称中心； (2)计算f (12019)＋f (22019)＋f (32019)＋f (42019)＋…＋f (20182019)． (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，令f ″(x )＝0，得2x －1＝0，解得x ＝12，f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )的对称中心为(12，1)．(2)由(1)知函数f (x )的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12019)＋f (20182019)＝2，f (22019)＋f (20172019)＝2， f (32019)＋f (20162019)＝2， ……f (20182019)＋f (12019)＝2，所以f (12019)＋f (22019)＋f (32019)＋f (42019)＋…＋f (20182019)＝12×2×2020＝2020.。

2021年高考数学第六章第五节合情推理与演绎推理课时提升作业文北师大版

2021年高考数学第六章第五节合情推理与演绎推理课时提升作业文北师大版一、选择题1.(xx·上饶模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是( )(A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)22.(xx·宝鸡模拟)观察下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是( )(A)13,39,123 (B)42,41,123(C)24,23,123 (D)28,27,1233.(xx·太原模拟)如图是xx年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )4.(xx·海口模拟)记S n是等差数列{a n}前n项的和,T n是等比数列{b n}前n项的积,设等差数列{a n}公差d ≠0,若对小于2011的正整数n,都有S n=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{b n}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有T n=T23-n成立,则( )(A)b11=1 (B)b12=1(C)b13=1 (D)b14=15.三段论:“①所有的中国人都坚强不屈;②玉树人是中国人;③玉树人一定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是( )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②①6.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,f n(x)=f'n-1(x)(n∈N+且n≥2),则f1()+f2()+…+f xx()= ( )(A)503 (B)1006 (C)0 (D)xx7.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界):其中为凸集的是( )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④8.(xx·汉中模拟)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制(11…1)2(共16位)转换成十进制数的形式是( )(A)217-2 (B)217-1 (C)216-1 (D)215-1二、填空题9.(xx·黄山模拟)给出如下定理:“若Rt△ABC的斜边AB上的高为h,则有=+”,在四面体P -ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,类比上述定理,得到的正确结论是.10.(xx·西安模拟)观察下列等式:×=1-，×+×=1-，×+×+×=1-，……由以上各式推测第4个等式为.11.(xx·白鹭州模拟)完成下面三段论:大前提:互为共轭复数的两复数的乘积是实数.小前提:x+yi与x-yi互为共轭复数.结论: .12.(能力挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.三、解答题13.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:DE=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).14.（能力挑战题）某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.答案解析1.【解析】选B.由已知的三个式子归纳:左边每一个式子均有2n-1项,且第一项为n,则最后一项为3n-2,右边均为2n-1的平方,故得出的一般结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.【解析】选B.∵3=1×3,2=3-1,6=2×3,5=6-1,15=5×3,…∴从第一个数开始每两个数为一组,每组的第二个都是第一个的3倍,且下一组的第一个数是上一组的第二个数减1,故x=14×3=42,y=42-1=41,z=41×3=123,∴x,y,z分别为42,41,123.3.【解析】选A.观察可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.4.【解析】选B.由等差数列中S n=S2011-n,可导出中间项a1006=0,类比得等比数列中T n=T23-n,可导出中间项b12=1.5.【思路点拨】根据三段论的结构特征即可解决,务必要分清大前提、小前提及结论.【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈),小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②玉树人是中国人),结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③玉树人一定坚强不屈).6.【思路点拨】先观察,归纳出f n(x)的解析式的周期,再代入求解.【解析】选C.由已知可得f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinx-cosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此f1()+f2()+…+f xx()=503[f1()+f2()+f3()+f4()]=503(1-1-1+1)=0.7.【思路点拨】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定.【解析】选B.根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集.8.【解析】选C.由(1101)2转化为十进制的形式为1×23+1×22+0×21+1×20=13可知，(11…1)2(共16位)可转化为1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20==216-1.9.【解析】由平面类比到空间,在四面体P -ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,则=++.答案：=++10.【解析】×=1-=1-;×+×=1-;×+×+×=1-，……由上可知×+×+×+…+×=1-，∴第4个等式为×+×+×+×=1-.答案:×+×+×+×=1-【变式备选】设函数f(x)=(x>0)，观察:f1(x)=f(x)=，f2(x)=f(f1(x))=，f3(x)=f(f2(x))=，故f n(x)= .【解析】根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n-1，故f n(x)=.答案:11.【解析】由大前提、小前提得出的结论应为(x+yi)(x-yi)是实数.答案：(x+yi)(x-yi)是实数12.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.答案：2x-y-=013.【证明】(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以DE=AF.(结论)上面的证明可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒DE=AF.14.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41.(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.! "23677 5C7D 屽E23315 5B13 嬓35370 8A2A 訪29566 737E 獾S21529 5419 吙40197 9D05 鴅A^40644 9EC4 黄。

2020大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：37 合情推理与演绎推理 Word版含解析.doc

课时作业提升(三十七)合情推理与演绎推理A组夯实基础1．下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．2．(2018·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B(a＋b)n≠a n＋b n(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．4．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9)B．(4,8)C．(3,10)D．(4,9)解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D．5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点 O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.6．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A ．－5－12B ．5－12 C ．1＋52D ．1－52解析：选C 设1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C ．7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合丙的回答可得乙去过A 城市．答案：A8．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋229．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .B 组能力提升1．(2018·银川模拟)将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2 016出现在( ) A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第80列D ．第45行第80列解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，则前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936＜2 016＜2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列，选D ．2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．答案：1和33．(2018·长治模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d n c m .答案：n －md nc m4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 由甲说“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．5．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解：如图，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故1AB2＋1AC2＝1BD·BC＋1DC·BC＝DC＋BDBD·DC·BC＝1BD·DC＝1AD2.在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE. ∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，1 AH2＝1AB2＋1AE2①又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，1AE2＝1AC2＋1 AD2②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.。

高中数学北师大版选修2-2第1章高考中的合情推理

高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。

一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。

解：f （1）＝1，观察图象可知f （2）＝4，f （3）＝10，f （4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(+n n ，所以f （n ）＝f （n －1）＋2)1(+n n ，所以有：f （2）－f （1）＝2)12(2+⨯ f （3）－f （2）＝2)13(3+⨯f （4）－f （3）＝2)14(4+⨯ ……………………………………f （n ）－f （n －1）＝2)1(+n n 以上各式相加得：f （n ）＝f （1）＋24433222222n n ++++++++ ＝2)4321()4321(22222n n +++++++++++＝22)1(6)12)(1(++++n n n n n ＝6)2)(1(++n n n 所以应该填：10；6)2)(1(++n n n 点评：求f （n ）的通项公式时运用累差法思想求解。

可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。

解决问题的关键是找到相邻两项的关系。

二、类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

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