用函数观点看方程(组)与不等式
一次函数用函数的观点看方程(组)与不等式含答案
教师辅导讲义例3：乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.答案：(1) 根据题意可知：y=4+1.5(x-2) ，∴y=1.5x+1(x≥2)(2)依题意得：7.5≤1.5x+1＜8.5∴≤x＜5例4：如图，点的坐标分别为（0，1），（，0），（1，0），设点与三点构成平行四边形．（1）写出所有符合条件的点的坐标；（2）选择（1）中的一点，求直线的解析式．解：（1）符合条件的点的坐标分别是，，．（2）①选择点时，设直线的解析式为，由题意得解得直线的解析式为．②选择点时，类似①的求法，可得直线的解析式为．③选择点时，类似①的求法，可得直线的解析式为．例5：如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接．．写出点的坐标．解：（1）由，令，得．．．（2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，．直线的解析表达式为．（3）由解得．，．（4）．例6：2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2分）（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．（4分）解：（1）1.9(2) 设直线EF的解析式为乙=kx+b∵点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上∴解得∴直线EF的解析式是y乙=80X-100∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，∴点C的纵坐标为80×6—100=380∴点C的坐标是（6，380）设直线BD的解析式为y甲= mx+n∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上∴解得∴BD的解析式是y甲=100X -220∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270）∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。
第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
第4节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。
用函数观点看方程(组)与不等式知识点讲解
５万 吨 ，乙地 需水 １ Ｉ１ ３万 吨 ， Ｂ 两水库 各可调 出水 １ Ａ， ４万 吨 ．
任何一个一元一次不等式都可 从 Ａ 水 库 到 甲地 ５ ０千 米 ， 乙地 ３ 到 ０千 米 ； Ｂ 水 库 到 甲 地 ６ 从 ０ 化简成 似 ＋ ＞ 或 似 ＋ ＜ ａ≠ ． 千 米 到 乙地 ４ ｂ ０ ｂ ０ Ｉ ５千米 ． 你设 计 一个 调运 方 案使 水 的调 运 量 请
０
每 个 二 元 一 次 方 程 组 都 对 应
两 个函数 ． 是 也 对应 两 条 直线 ． 于 从 “ ” 角 度 看 ． 方 程 组 相 当 于 数 的 解 考虑 自变 最 为 何 值 时 两 个 函 数 值 相 本地 通 话 费 ０４ ． ０元 ／ 分 ０６ ． ０元 ／ 分
００ ． ｘ＋５ ４ ０元 ， 神州 行月 消费 ． Ｙ＝０６ ｘ元． ． ０
在 同一坐标 系 中画 出这两 个一 次 函数 的图像 ．
解 程 【 ・ ＋０ Ｉ ＝５ 方 ｆ ｏ ｘ． ５ ｙ０． ，得ｆ ２， ４ ｌ０ Ｙ＝ ６０ Ｙ＝ ５ Ｏ．
６
Ｔ ｅｂ ｓ ｙｏ ｅ ｐ ｎ ｔ ｓｔ ｅ ｐ ａｈ ａ ｔ ｏ ｎ ． ｈ ｅ ｔ ｗａ ｆ ｅ ｉｇｆ ｋ ｅ ｅ ｒ ｙ ｕ ｇ ｋ ｉ ｉ ｏ
．
０ ， 常 ） 形 其 恰 就ｊ 万 千米、 ｝ ，ｂ 数 的 式， 解 好 吨． 景， ０为 ｒ ＞
常） 值于小 数的 ：霎矗大或于 欠 ７函
，
自 ；
解 设 调 量 万吨・ 米Ａ 库 往 地 Ｙ 万 千米，水库调往甲地水 解 运 为 ． ， 调 甲 水 ７ 设总调 运量为Ｙ 吨千 水
Ｙ＝（ ．０ ０４ ｘ＋５ ）一０６ ｘ ０ ．０ ．
用函数观点看方程(组)与不等式
【本讲主要内容】用函数观点看方程（组）与不等式1. 一次函数与一元一次方程的关系2. 一次函数与一元一次不等式的关系3. 一次函数与二元一次方程（组）的关系【知识掌握】【知识点精析】一. 一次函数与一元一次方程的关系由于任何一元一次方程都可以转化为ax b+=0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线y ax b=+，确定它与x轴交点的横坐标的值．二. 一次函数与一元一次不等式的关系由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b+>0或ax b+<0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解ax b+>0相当于已知直线y ax b=+在x轴上方时，自变量x 相应的取值范围；解ax b+<0相当于已知直线y ax b=+在x轴下方时，自变量x相应的取值范围．三. 一次函数与二元一次方程（组）的关系每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．【解题方法指导】例1. （2006年重庆市中考题）（课改实验区考生做）如图，已知函数y ax b y kx=+=和的图像交于点P，则根据图像可得，关于x y、的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是______．∴l2的函数表达式为y x=-10075（2）乙车先到达B地．3001007515 4=-∴=x x，设l1的函数表达式是y k x=1O图像过点()154300，∴k 1=80．即y x =80当y =400时，400805=∴=x x ， ∴-=519414（小时）键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．【典型例题分析】例1. （2006年云南省课改实验区中考题）如图，直线l l 12与相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．若x y ==23，，则0621342..⨯+⨯=（万元）∴电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大． 点评：本题综合应用了二元一次方程与一次函数的知识解决实际问题．例3. （2006年浙江省中考题）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996~2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）∴-=≈x x21460022.（万亩）即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．例4. （2006年云南省中考题）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．（1）设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式；（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？解：（1）设购买大型客车x辆，则购买中型客车()10-x辆．由题意得：y x x=+-251510()，即y x=+10150（2）1015018010150200xx+≥+≤⎧⎨，解得xx≥≤⎧⎨35，∴≤≤35x（山西省课改实验区）如图，是某函数的图象，则下列结论中正确的是（的取值是-325，B. 当y=-3时，x的近似值是0，2C. 当x=-32时，函数值y最大D. 当x>-3时，y随x的增大而增大2. （太原市）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l l12、如图所示，他解的这个方程组是（）2xy+-=,2（黄冈市课改实验区）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的（秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC正确的是（）A. 乙比甲先到达终点B. 乙测试的速度随时间增加而增大C. 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快二. 填空题：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服用后，（1）服药后________小时，血液中含药量最高，达每毫升______毫克，接着逐步衰减； （2）服药5小时，血液中含药量_______毫克；（3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是___________； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是___________；（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是_________小时．三. （昆明市课改实验区）如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．四. （河北省课改实验区）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了__________h．开挖6h时甲队比乙队多挖了______m；（2）请你求出：①甲队在06x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤②乙队在26x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？五. （2004年黑龙江省中考题）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（l）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．【综合测试答案】一. 选择题：1. B2. D3. C4. C二. 填空题：（1）2，6； （2）3 （3）y x =3（4）y x =-+8 （5）4三. 解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =∴1,点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+，得11=-+-=⎧⎨⎩k b b∴=-=-⎧⎨⎩k b 21，∴直线l 2的函数表达式为y x =--21．四. 解：（1）2，10；（2分）（2）①设甲队在06≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x =1， 由图可知，函数图像过点（6，60）， ∴=6601k ，解得k y x 11010=∴=,（4分）②设乙队在26≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x b =+2， 由图可知，函数图像过点（2，30），（6，50）， ∴+=+=⎧⎨⎩23065022k b k b ,解得k b 2520==⎧⎨⎩,∴=+y x 520 （6分）（3）由题意，得10520x x =+，解得x h =4()． ∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．五. 解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米， ①当040≤≤x 时，y x x x x =+-+-=-+207040601001108800()()∴当x =40时，y 的最小值为4400②当40100<≤x 时，y x x x x =+-+-=+20704060100303200()()，此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处 （2）设取奶站建在距A 楼x 米处，①当040≤≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =-<32030（舍去）②当40100<≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =80 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80米处 （3）设A 楼取奶人数增加a 人，第11页 版权所有 不得复制 11①当040≤≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x ， 解得x a =-+320030（舍去），②当40100<≤x 时， ()()()20601007040++-=-a x x x 解得x a =-∴8800110,当a 增大时，x 增大，∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。
用函数观点看方程(组)与不等式(解答应用)
用函数观点看方程(组)与不等式（解答应用）一、解答题1.作出函数y=-x+5的图象，观察图象回答下列问题：(1)x___________时，-x+5≤0；(2)x___________时，-x+5≥0；(3)x___________时，-x+5<2；(4)x___________时，-x+5>3.2.若正比例函数2m -21)x -(2m y =中，y 随x 的增大而减小，求这个正比例函数.3.已知3x+y=2，当y 取何值时，-1<x ≤2？4.【2008·浙江台州】在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①___________；②___________；③___________；④___________；(2)如果点C 的坐标为(1，3)，那么不等式11b x k b kx +≥+的解集是_________ ．5.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2. (1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当x=-1时的函数值；(3)如果y 的取值范围是0≤y ≤5，求x 的取值范围.6.已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4)求：(1)m 为何值时，y 随x 的增大而减小；(2)m 、n 分别为何值时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方？(3)m 、n 分别为何值时，函数图象经过原点？7.一次函数y=-3x+12与x 轴的交点坐标是多少，当函数值大于0时，x 的取值范围是多少，当函数值小于0时，x 的取值范围是多少？8.【2007·山东日照】某水产品市场管理部门规划建造面积为24002m 的集贸大棚，大棚内设A 种类型和B 种类型的店面共80间，每间A 种类型的店面的平均面积为282m ，月租费为400元；每间B 种类型的店面的平均面积为202m ，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.(1)试确定A 种类型店面的数量；(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A 种类型店面的出租率为75%，B 种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A 种类型的店面多少间？9.用作图象的方法解方程组⎩⎨⎧==-12y -x 1y -x .10.作出函数y=-4x+2的图象，并回答下列问题：(1)x 取什么值时，y 大于-2？(2)x 取什么值时，y 小于-2？(3)x 取什么值时，y 等于0？11.已知2-2x y x 5y 21+=+=，.当x 取何值时，21y y ≥？12.作出函数12x 512-y +=的图象，观察图象并回答下列问题： (1)x 取何值时，y>0？(2)x 取何值时，y=0？(3)x 取何值时，y<0？13.利用图象求出二元一次方程2x-y=2的两个整数解.二、应用题14.【2008·四川广安】“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象.(1)根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式(不写出自变量的取值范围)；(2)写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？(3)试求出出租车出发后多长时间赶上客车？15.某辆汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶50km耗油9L.设汽车行驶路程为xkm时，油箱剩余油量为yL.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)汽车行驶多少千米时，油箱剩余油量不足55L？16.某校计划购买若干台微机，现从两家商场了解到同一型号的微机每台报价均为a元，甲商场经理说：“第一台按原价收费，其余每台优惠25%”，乙商场经理说：“每台优惠20%”.(1)分别写出两家商场收费的函数关系式；(2)试讨论该校到哪家商场买微机较优惠.17.如图，L1表示某机床公司一天的销售收入1y与机床销售量x之间的函数关y与机床销售量x之间的函数关系.系，L2表示该公司一天的销售成本2(1)1y关于x的函数关系式是______________，2y关于x的函数关系式是______________；(2)求出一天的销售利润y关于销售量x之间的函数关系式(销售利润=销售收入-销售成本)；(3)要使一天的销售利润不低于3万元，则一天的销售量应是多少？18.【2008·湖南益阳】乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.19.【2008·浙江衢州】1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/千克.经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克.(1)如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元(总毛利润=销售总收入-库存处理费)？(2)设椪柑销售价格定为x(0<x≤2)元/千克时，平均每天能售出y千克，求y关于x的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑(2月份按28天计算)，那么销售价格最高可定为多少元/千克(精确到0.1元/千克)？20.文具商场画夹每个定价20元，水彩每盒5元. 为了促销，商场制定了两种办法：一种是买一个画夹送一盒水彩；另一种是画夹和水彩一律按九折付款. 小王需购画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)，哪种方法对他来说更优惠？21.【2005·云南(课改实验区)】某单位团支部组织青年团员参加登山比赛.比赛奖次所设等级分为：一等奖1人，二等奖4人，三等奖5人.团支部要求一等奖奖品单价比二等奖奖品单价高15元，二等奖奖品单价比三等奖奖品单价高15元.设一等奖奖品的单价为x(元)，团支部购买奖品总金额为y(元).(1)求y与x的函数关系式(即函数表达式)；(2)因为团支部活动经费有限，购买奖品的总金额应限制在：500≤y≤600.在这种情况下，请根据备选奖品表提出购买一、二、三等奖奖品有哪几种方案？然后本着尽可能节约资金的原则，选出最佳方案，并求出这时全部奖品所需总金额是多少？备选奖品及单价如下表(单价：元)备选奖品足球篮球排球羽毛球拍乒乓球拍旱冰鞋运动衫象棋围棋单价(元) 84 79 74 69 64 59 54 49 4422.某移动通讯公司开设两种通讯业务：“全球通”用户先交25元月租费，5元来电显示费，然后每通话1分钟，再付话费0.20元；“乡情卡”不交月租费，而交5元来电显示费，每通话1分钟，付话费0.3元.若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为1y和2y元.(1)写出1y，2y与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话多少分钟，两种通讯业务的费用相同；(3)某人估计一个月内通话400分钟，应选择哪种通讯业务合算.23.聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸收更多的人来观光旅游，决定对古运河城区实施二期开发工程，现需要A ，B 两种花砖共50万块，全部由砖厂完成此项生产任务，该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A 砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B 砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务，若能，按A ，B 两种花砖的生产块数，有哪几种方案？请你设计出来(以万块为1个单位且取整数).(2)试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？24.【2008·四川南充】某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x ≥3)个乒乓球，已知A ，B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？(2)当x=12时，请设计最省钱的购买方案.25.某单位急需汽车，但无力购买，单位领导想租一辆. 一国营汽车出租公司的出租条件为每百千米租费100元；一个体出租车司机的条件为每月付800元工资，另外每百千米付10元，问该单位租哪家的汽车合算？26.某服装厂现有甲种布料42m 、乙种布料30m ，现计划用这两种布料生产M 、L 两种型号的服装共40件.已知做一件M 型服装用甲种布料0.8m ，乙种布料1.1m ，可获利45元；做一件L 型服装用甲、乙两种布料分别为1.2m 和0.5m ，可获利30元.设生产M 型服装件数为x ，用这批布料生产这两种型号服装所获利润为y(元).(1)写出y(元)与x(件)的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2)该厂在生产这批服装时，当M 型号的服装为多少时，能使该厂所获的利润最大？最大利润为多少？27.王颖和刘丽原有存款分别为80元和180元，从本月开始，王颖每月存款40元，刘丽每月存款20元.如果设两人存款时间为x(月)，王颖的存款额是1y (元)，刘丽的存款额为2y (元).(1)试写出1y 与x 及2y 与x 之间的关系式；(2)到第几个月时，王颖的存款额能超过刘丽的存款额？28.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元.(1)写出m 与x 之间的函数关系式；(2)写出y 与x 的函数关系式(不要求写自变量的范围)；(3)若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？29.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元.其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付0.1万元的处理费.问：(1)设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的函数关系式；(利润=总收入-总支出)(2)若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既达到环保要求又合算？30.一个由父亲、母亲、叔叔和x 个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价43优惠，这两家旅行社的原价均为100元/人. (1)写出两家旅行社的收费总额y(元)与孩子数x(个)的函数关系式；(2)试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？31.某企业想租一辆车，现有甲、乙两家汽车出租公司，甲公司的出租条件是：每千米租车费为1.10元；乙公司的出租条件是：每月付800元的租车费，另外每千米付0.10元油费.该企业租哪家公司的车合算？32.如图表示一骑自行车者和一骑摩托者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km ，请你根据图象解决下列问题：(1)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)请你分别求出下列时间：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.33.某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元，商店实行两种优惠方案：①买1个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款.若该班需购书包8个，设实际购文具盒x 个(x ≥8)，付款共y 元.(1)分别求出这两种优惠方案中，y 与x 之间的函数关系式；(2)若购文具盒30个，应选哪种优惠方案？付多少元；(3)比较购买同样多的文具盒时，按哪种优惠办法付款更省钱.34.(2006·苏州)司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车这段时间之后还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图所示).已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间有如下关系：2kv tv s +=.其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数.某机构与测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m/s ，则该汽车的刹车距离为_______m(精确到0.1m).(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m/s 的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m.假如该志愿者当初是以11m/s 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m/s 至17m/s 的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m 至50m 之间.若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”.则你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01s)35.【2009·山东潍坊】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱，供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y (元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y (元)关于x(个)的函数关系式；(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由.36.【2009·内蒙古赤峰】“教师节”快要到了，张爷爷用120元钱，为“光明”幼儿园购买价格分别为8元、6元和5元的图书20册，(1)若设8元的图书购买x 册，6元的图书购买y 册，求y 与x 之间的函数关系式.(2)若每册图书至少要购买2册，求张爷爷有几种购买方案？并写出y 取最大值和y 取最小值时的购买方案.37.某市自来水公司收费标准如下：每户每月用水不超过53m 收费1.5元/3m ，若超过53m ，超过的部分收费2元/3m .小明家某月水费不超过12元，若设小明家该月的用水量为x 3m .(1)x 应满足什么条件？写出其关系式.(2)x 可能取6，8吗？(3)它最多不超过多少立方米？38.【2009·广西南宁】南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y 乙(元)与铺设面积x(2m )满足函数关系式：y 乙=kx ．(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为16002m ，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？39.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别是40和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.(1)设从乙仓库调往A县的农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？40.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围内时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由.41.通过电话拨号上网的费用由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过拨号上网的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/时，后根据信息产业部调整上网资费的要求，自2001年起上网费用调整为电话费0.22元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/时计算，超过60小时部分，按8元/时计算.试根据以上信息提出你的问题，并做出解答.42.(2003·大连)某水产养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日所捕捞的水产品40kg进行精加工.已知每千克水产品直接出售可获得利润6元，精加工后再出售，可获利润18元.设每天安排x名工人进行水产品精加工.(1)每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式；(2)如果每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天所获利润最大？最大利润是多少？43.A、B两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾，A商场所有商品8折出售，在B商场消费金额超过200元后，可在这家商场7折购物，试问如何选择商场来购物更经济？44.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元；B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元，完成下列各题.(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系式；(2)若每月通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？(3)每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？(4)你选择哪类收费标准？45.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若设一般车停放的辆数为x，总保管费的收入为y元，试写出y与x的关系式；(2)若估计前来停放的3500辆自行车，变速车的辆数不少于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.设定间隔行数：46.(2003·四川)东风商场文具部的某种毛笔每支零售价为25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了两种优惠办法，甲：买一支毛笔就赠一本书法练习本；乙：按购买金额九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x本(x≥10).(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的函数关系式.(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习60本设计一种最省钱的购买方案.47.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？(3)什么情况下到乙商场购买更优惠？(4)什么情况下两家商场的收费相同？48.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由．49.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出每份材料收费30元，不收设计费.(1)什么情况下选择甲公司比较合算？(2)什么情况下选择乙公司比较合算？(3)什么情况下两公司的收费相同？50.一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1.0元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社，在一个月内(以30天计算)，有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x ，每月所得利润为y.从节约资源的角度出发，在保证利润的前提下，问：(1)写出y 与x 之间的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？(3)报亭每天应该从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润不少于560元？51.【2009·山东泰安】某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.(1)求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？(2)若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？52.折线ABC 是某人乘出租汽车所付的费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系的图象，如图.(1)观察图象，乘车3km 和6km 各需付乘车费用多少元？(2)当x ≥3时，求乘车费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系式；(3)某乘客所付车费在14～18元之间，求他乘车路程的范围.53.我市某中学要印刷本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元，按六折优惠.且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少500份.(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印刷2000份录取通知书，那么应选择哪一个厂？需要多少费用？54.某企业为解决部分职工(人数多于100)午餐，联系了两家快餐公司.两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对职工优惠：甲公司表示每份按报价的90%收费，乙公司表示购买100份以上部分按报价的80%收费.问应选择哪家公司较好.55.声音在空气中的传播速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)的关系是：331x 53y +=.求音速超过340m/s 时的气温.56.下图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km.请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数表达式；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式.①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.57.某座水库的最大库容量是26.2万立方米，库区面积为100平方公里，其中林地占60%，经测定，每次降雨，林地有10%的降水流入水库，非林地有85%的降水进入水库.预测今后一段时间内库区连续降雨，且单位面积降水量相同，设降水总量为Q万立方米，进入水库的水量为y万立方米.(1)用含Q的代数式分别表示在降雨期间林地、非林地进入水库的水量.(2)预计今后x天内降水总量Q(万立方米)与天数x的函数关系式为Q=3+2x，写出y关于x的函数关系式.(3)若水库原有水量20万立方米，在降雨的第2天就开闸泄洪，每天泄洪量为0.2万立方米，问连续降雨几天后，该水库会发生险情(水库里水量超过最大库容量就有危险).58.为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过120度时，电价为a元/度；超过120度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度，交电费是69元，六月份用电140度，交电费是94元.(1)求a、b的值；(2)设该用户每月用电量为x(度)，应付电费为y(元).①分别求0≤x≤120和x>120时，y与x之间的函数关系式；②若该用户计划七月份所付电费不超过83元，问该用户七月份最多可用电多少度？59.小刚有60枚1角和5角的硬币. 这些硬币的总值小于20元. 那他最少拥有多少枚1角硬币呢？60.某企业生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：。
怎样教“用函数的观点看方程(组)与不等式”
怎样教“用函数的观点看方程(组)与不等式”?作者：向利平曾辉来源：《湖南教育·下》2012年第01期人教版初中教材用三个课时的篇幅安排了“用函数的观点看方程（组）与不等式”的内容。
该教学内容的安排，有利于学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。
但一些老师由于没能很好地领会教材安排这一教学内容的意图，对本教学内容的教育价值理解不够，在教学该内容时，把目标仅定位在“估计方程、不等式解”的结果上，而对学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”的必要性渗透不够，对估计解的过程及过程中隐含的数学思想和方法挖掘、提炼不够，致使实际操作中往往是蜻蜒点水、草草收场，给习题课让路。
本文试图从“教学内容分析”、“教学难点分析”两个方面阐述该教学内容的地位和作用，通过具体的教学案例说明该教学内容应该教什么和怎么教，以求引发更深层次的思考：在数学教学中，除了知识和技能以外，我们还应该教给学生些什么？一、教学内容分析看似简单的教学内容实际上蕴含丰富的教育价值。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”这一教学内容从函数的角度对学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析。
这种认识不是原来水平上的回顾与复习，而是站在更高的起点上的动态分析，用函数把三个不同的数学模型有机地结合和统一起来。
揭示三个不同数学模型间的内在联系，有利于学生从整体上把握数学知识间的联系，体会数学知识、研究方法的发展过程，进而提高学生的数学素养。
用函数的观点看方程（组）与不等式，实质上就是借助函数的图像（几何图形）研究方程（组）的解和不等式的解集。
这一教学内容是渗透数形结合思想、使学生体会数学的和谐美等方面很好的教学素材。
用函数的观点看方程（组）与不等式是后续学习用二次函数的观点看一元二次方程，高中阶段函数的零点、二分法求方程的近似解、一元二次不等式的解法、线性规划、曲线与方程等内容的基础。
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(解析版)
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥， 令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥ D ．220x x +->【答案】ABC【解析】因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符. 故选：ABC例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<；(2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则方程220ax bx +-=根为2-、1， 则21221ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，解得1,1a b ==，2a b ∴+=，故选：D【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______． 【答案】 3- 3-【解析】由题意知，0a <，且1,x x m ==是关于x 的方程2260ax x a -+=的两个根，∴61m a m a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得33a m =-⎧⎨=-⎩或22a m =⎧⎨=⎩, 又因为0a <，∴33a m =-⎧⎨=-⎩. 故答案为：-3，-3.例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<【答案】A【解析】由()()2112a x b x c ax ++-+>，整理得()()220ax b a x a c b +-++-> ①．又不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<， 所以0a <，且(1)2(1)2b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b ac a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②．将①两边同除以a 得：2210b c b x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③．将②代入③得：230x x -<，解得03x <<． 故选：A例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3， ∴2和3是方程20ax bx c ++=的两个根.∴02323a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩，可得5,6b a c a =-=. 20cx bx a ++>可化为2650ax ax a -+>，即26510x x -+<，即()()31210x x --<,解得1132x <<.故选:A.例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.【答案】4【解析】当0m =时，{}{}2|00B x x =≤=，显然A B =∅，不符合题意；当0m >时，{}2|0[0,]B x x mx m =-≤=，因为{}|14A B x x ⋂=≤≤，所以必有4m =； 当0m <时，{}2|0[,0]B x x mx m =-≤=，显然A B =∅，不符合题意.故答案为：4m =.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <； 由根与系数的关系可得：b a αβ+=-，caαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为 210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<； 化为()()110x x αβ--<； 又,0αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.【答案】{13x x >-或}1x <-【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<， 所以0a >，且方程20ax bx c ++=得解为121,3x x ==， 则4,3b ca a-==， 所以4,3b a c a =-=，则不等式20cx bx a -+>，即为2340ax ax a ++>， 即23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，所以20cx bx a -+>的解集是{13x x >-或}1x <-.故答案为：{13x x >-或}1x <-.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}2a a <【答案】C【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅， 所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．【解析】（1）由题意，121,2x x ==为一元二次方程220ax bx -+=， 由韦达定理，可得12212b aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1），不等式()20x ac b x bx -++>，可得()2330x c x x -++>，整理可得：()0x x c ->，当0c 时，不等式的解集为{}0x x ≠； 当0c >时，不等式的解集为{}0x x x c 或； 当0c <时，不等式的解集为{}0x x c x 或．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅，③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>． 【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-， ①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ， ③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ， 综上，1a >时，不等式的解集是R ， 1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【解析】原不等式可化为：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ ，令1a a = 可得：1a =±∴当1a <-或01a <<时，1a a <， 1aa x ∴<< ； 当1a =或1a =-时，1a a=，不等式无解； 当10a -<<或1a > 时，1a a>，1x a a ∴<<综上所述，当1a =或1a =-时，不等式解集为∅； 当1a <-或01a <<时，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当10a -<<或1a >时，不等式解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【解析】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a -<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围. 【解析】原不等式可化为(2)()0x x m --<,若2m <，则不等式的解是2m x <<；若2m =，则不等式无解； 即不等式的解集中均不可能有4个正整数，所以2m >； 此时不等式的解是2x m <<；所以不等式的解集中4个正整数分别是3456，，，； 则m 的取值范围是{|67}m m <≤．例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【解析】(1)因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =． (2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-． 即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（ ）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-. 故选：D.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集. 【解析】依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根，法1：由韦达定理，11111,2323b a a ∴-+=--⨯=，解得6,1a b =-=-，法2：直接代入方程得，22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得6,1a b =-=-， ∴不等式30ax x b +≤-为6301x x -+≤+，即：()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或12x ≥， ∴不等式30ax x b +≤-的解集为{1xx <-∣或1}2x ≥.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)--+∞【解析】原不等式等价于223010x x x ⎧+-≥⎨+>⎩或223010x x x ⎧+-≤⎨+<⎩，解得1≥x 或31x -≤<- ， 故答案为：[3,1)[1,)--+∞例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________． 【答案】{3x x <-或1}x > 【解析】由301x x +>-，得(1)(3)0x x -+>， 所以3x <-或1x >，故不等式得解集为{3x x <-或1}x >． 故答案为：{3x x <-或1}x >．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 【答案】(1,2)- 【解析】20(2)(1)01xx x x->⇔-+<+，解得12x -<<，故解集为(1,2)-， 故答案为(1,2)-.例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 【答案】1{2}3xx -<<-∣ 【解析】21131x x ->+可化为211031x x -->+， 2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<， 解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣， 故答案为：1{2}3xx -<<-∣. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集． 【解析】（1）不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >， 所以0513a ab >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩，解得5a =，3b =-；所以不等式220x bx a +-<化为23100x x --<，解得25x -<<； 所求不等式的解集为{|25}x x -<<； （2）1153x x ->+化为11053x x -->+即44053x x -->+，()()1530x x ∴++< 所求不等式的解集为31,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【解析】(1)由题意得： 1280008000050001(1)23000t --⨯+， 即24t =(2)由（1）得5000(24)(10)n S n n n =+≤设第n 天发生危险，由题意得 5000(24)400012800080000n n n +>-，即2242560n n +->，得8n >．所以汛期的第9天会有危险【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解析】设该旅店某晚的收入为y 元，则 *(5010)(20010),y x x x N =+-∈由题意12600y >，则(5010)(20010)12600x x +-> 即210000150010012600x x +->，即215260x x -+<， 解得：213x <<，且*x ∈N所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【解析】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+， 所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【解析】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200y x=， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以20010x x≥+，又0x >， 所以2102000x x +-≤，解得010x <≤， 所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，200150(26)(4)(26)442484246S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭56x =时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424806)+平方米题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24 B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【答案】B【解析】由题意，对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立， 当0k =时，不等式即为30-<，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式2230kx kx +-<恒成立，则满足2Δ240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得240k -<<， 综上，实数k 的取值范围为(24,0]-． 故选：B ．【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤.例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[]22-,【解析】若命题p 是假命题，则210x ax -+≥恒成立， 则2Δ40a =-≤，解得22a -≤≤.故答案为：[]22-,. 例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【解析】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<． 综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤． 故选：B ．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min12x x m ⎛-+<= ⎝，所以212x x -+<1515x -+<<故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥， 又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22am ∴+=-， 又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >- B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集， 不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤，①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤； ②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤， 所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤； 综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-． 故选：B ．5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【答案】C【解析】∵α，β为方程0y =的两实数根，∴α，β为函数()()2022y x m x n =--+的图像与x 轴交点的横坐标，令()()1y x m x n =--，∴m ，n 为函数()()1y x m x n =--的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数()()2022y x m x n =--+的图像可由()()1y x m x n =--的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m n αβ<<<. 故选:C.6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ， 则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<.故选：A. 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误； 由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（ ） A ．∅ B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】不等式变形为(2)(1)0x ax -+>，又0a <，所以1(2)()0x x a-+<，12a =-时，不等式解集为空集；12a <-，12x a -<<，102a -<<时，12x a <<-，因此解集可能为ABD ． 故选：ABD ．11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误； 对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误； 对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确. 故选：AD.12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<； 所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________. 【答案】1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 【答案】{|7x x >或2}x ≤ 【解析】因为517x ≥--，所以5107x +≥-，即207x x -≥-， 等价于(2)(7)070x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得7x >或2x ≤，所以不等式的解集为{|7x x >或2}x ≤. 故答案为：{|7x x >或2}x ≤15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)(]1,02,3-⋃【解析】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃． 故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m，其中0m <，则44b a b+的最小值为______． 【答案】2【解析】∵2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴0a >,且方程2240ax bx ++=的两根为m ，4m， ∴42bm m a +=-,44m m a ⋅=，∴1a =，∵0m <，∴424b m m=-+≥-， 即2b ≥，当且仅当2m =-时取“=”． ∴44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， ∴44b a b+的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22530x x +->； (2)220x x +-≤； (3)4220x x --≥； (4)21x x >．【解析】（1）由22530x x +->，得()()3210x x +->，解得3x <-或12x >， 所以不等式的解集为{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由220x x +-≤，得220x x --≥，()()120x x +-≥， 解得1x ≤-或2x ≥，所以不等式的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（3）由4220x x --≥，得()()22120x x +-≥，解得21x ≤-（舍去）或22x ≥，得2x ≤-2x ≥，所以不等式的解集为{2x x ≤-}2x ≥. （4）由21x x ，得2210xx >，1x >12x -（舍去），所以1x >，所以不等式的解集为{}1x x >.18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--。
用函数的观点看方程与不等式教学设计
用函数的观点看方程与不等式教学设计观美中学张少青函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，一个函数若有解析表达式，那么那个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，假如那个对应关系是函数，那么那个方程能够看成是一个函数。
许多有关方程、不等式的问题能够用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也能够用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。
【教学目标】1、明白得一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会依照一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。
【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的明白得。
【教学难点】对应关系的明白得及实际问题的探究建模。
【教学过程】一、创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。
它与我们往常学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必定的联系。
今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。
（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。
二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必定的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该把握的思想方法。
）二、探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x + 20 = 0.（2）当自变量为何值时，函数y = 2x + 20的值为零？问：①关于2x + 20 = 0和y = 2x + 20，从形式上看，有什么相同和不同的地点？②从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？③作出直线y = 2x + 20，看看（1）与（2）是如何样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，关心学生明白得；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。
用函数观点看方程
用函数观点看方程（组）与不等式
第一课时 一次函数与一元一次方程
学习目标：
1、理解一次函数与一元一次方程的关系；
2、会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解。
学习重点：
用一次函数的图象求解一元一次方程。
学习难点：
一次函数与一元一次方程的关系的发现，归纳和运用。
学习过程：
一、自主学习：
（一）学生看课本P 123，完成下列问题：
（1）方程2x+20=0的解为________。
（2）自变量x 为_________时，函数y=2x+20的值为0？
（3）画出函数y=2x+20的图象，它与x 轴交点的坐标是(_______)。
（4）直线y=2x+20与x 轴交点的横坐标与方程2x+20=0的解有什么关系？
（学生独立思考后可进行小组内讨论、交流，并最终得出结论）。
结论：
求一元一次方程的解就是求一次函数与x 轴交点的横坐标。
（二）看例1，再次验证一次函数与一元一次方程的关系。
二、自主检测：
1、一元一次方程3x-6=0的解为x=2，那么一次函数y=3x-6的函数值为0时，自变量x 的取值为_______。
2、函数y=-21x-3的图象与x
-21x-3=0的解是_________。
3、如图是函数y=2x+2的图象，由图象可知
方程2x+2=0的解是__________。
4、当自变量x 的值满足什么条件时，函数列条件？
（1）y=0 （2）y=-5
三、课堂小结：
本节课你收获了什么？
四、布置作业：
课本P129 1，2
教后感：。
14.3用函数观点看方程(组)与不等式教案
14.3用函数观点看方程（组）与不等式（第1课时）一、教学目标1.以一个一次函数的解析式和图象的关系为例，经历观察思考过程，初步理解数形结合思想.2.知道一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标是一元一次方程ax+b=0的解. 二、教学重点和难点 1.重点：数形结合思想.2.难点：一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标是一元一次方程ax+b=0的解. 三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：前面我们学习了一次函数，什么是一次函数？形如y=kx+b 的函数叫做一次函数.譬如，y=2x+3就是一个一次函数. 师：一次函数的图象是一条直线. （师出示下图，如板书设计所示）师：（指准图象）这条直线就是一次函数y=2x+20的图象.师：（指y=2x+20和图象）式子y=2x+20和它的图象是密切相关的，这个式子能反映这个图象，反过来这个图象也能反映这个式子.式子反映图象，图象反映式子，这话是什么意思？让我们来看一个例子.师：（指准y=2x+20）当x=-5时，y 等于多少？（板书：当x=-5，y=，如板书设计所示） 生：y=10.（师板书：10）师：（指准板书）当x=-5，y=10，这是式子y=2x+20的情况，式子的这个情况能反映出图象有什么情况？生：……（多让几位同学发表看法）师：式子y=2x+20，当x=-5，y=10，反映图象经过（-5，10）这一点（板书：图象经过点（-5，10），如板书设计所示）.师：（遮住“当x=-5，y=10”，并指准板书）反过来，图象经过（-5，10）这一点，又能反映出式子y=2x+20有什么情况？生：……（多让几位同学回答）师：（指准板书）图象经过（-5，10）这一点，反映式子y=2x+20当x=-5，y=10.师：（指准板书）从这个例子我们看到，式子能反映图象，反过来图象也能反映式子.下面我们再看一个例子.师：（指图象）这个图象从左向右是上升的（板书：图象从左向右上升，如板书设计所示），图象的这个情况能反映出式子y=2x+20有什么情况？生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准y=2x+20）图象从左向右上升，能反映出式子y=2x+20的k＞0，而且y随x的增大而增大（板书：k＞0，y随x的增大而增大，如板书设计所示）.师：（指准板书）反过来，式子y=2x+20的k＞0，y随x的增大而增大，又能反映出图象有什么情况？生：图象从左向右上升.师：（指准板书）从这个例子我们同样看到，式子能反映图象，反过来，图象也能反映式子. 师：式子能反映图象，图象也能反映式子.这是数学中一个很重要的思想，这个思想还有一个专门的名字，叫什么？叫数形结合思想（板书：数形结合思想）.师：（指准板书）“数形结合”中的“数”指的是式子的情况，“形”指的是图象的情况，“数形结合”就是从式子的情况反映出图象的情况，或者从图象的情况反映出式子的情况.这两个例子正是体现了数形结合的思想.（二）试探练习，回授调节1.已知一次函数y=kx+b，填空：(1)如果当x=3，y=4，那么图象经过点（，）；(2)如果图象经过点（5，-1），那么当x= ，y= ；(3)如果k＜0，y随x增大而，那么图象从左向右；(4)如果图象从左向右上升，那么k 0，y随x的增大而 .2.填空：(1)方程2x+20=0的解x= ；(2)一次函数y=2x+20，当x= 时，y=0.（三）尝试指导，讲授新课师：前面我们介绍了数形结合思想，下面我们再来看一个数形结合的例子.师：（指准图象）这一点是什么？这一点是图象与x 轴的交点.这一点的横坐标是什么？纵坐标是什么？生：横坐标是-10，纵坐标是0.（师板书：-10是图象与x 轴交点的横坐标，如板书设计所示）师：（指准图象）-10是图象与x 轴交点的横坐标，这是我们从图象中看到的情况，根据数形结合的思想，图象反映式子，图象的这个情况反映式子的什么情况呢？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准图象）-10是图象与x 轴交点的横坐标，（指准y=2x+20）它反映这个式子当x=-10，y=0（板书：当x=-10，y=0，如板书设计所示）.师：（指准y=2x+20）这个式子当x=-10，y=0，还可以换一种说法，怎么换一种说法？（板书：或者说，x=-10是方程2x+20=0的解，如板书设计所示）师：（指准板书）式子y=2x+20当x=-10，y=0与x=-10是方程2x+20=0的解这两句话说的是一个意思吗？（稍停）它们说的是一个意思.师：（指准图象）这个例子说明什么？说明y=2x+20的图象与x 轴交点的横坐标实际上就是方程2x+20=0的解，反过来也一样.这个例子同样体现了数形结合思想. （四）试探练习，回授调节 3.根据下列一次函数的图象填空：(1)题 (2)题(1)一次函数y=0.5x+4的图象与x 轴交点的横坐标是 ，说明方程 =0的解是x= ；(2)一次函数y=-0.5x+4的图象与x 轴交点的横坐标是 ，说明方程 =0的解是x= . 4.填空：(1)方程0.5x-4=0的解x= ，说明一次函数y= 的图象与x 轴交点的横坐标是；(2)方程-0.5x-4=0的解x= ，说明一次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标是 .5.选做题：方程5x-1=2x+5的解是一次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标. （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了数形结合的思想.什么是数形结合的思想？式子的情况能反映图象的情况，反过来图象的情况也能反映式子的情况，这就是数形结合的思想.有了这种思想，我们可以从式子的角度看图象，也可以从图象的角度看式子.譬如，（指板书）我们可以从图象的角度看方程2x+20=0的解，可以把这个方程的解看成是一次函数y=2x+20的图象与x轴交点的横坐标.（作业：P129习题1.5.）四、板书设计14.3用函数观点看方程（组）与不等式（第2课时）一、教学目标1.知道简单的一元一次不等式（右边为0）的解集与一次函数图象的关系.2.知道二元一次方程组的解与一次函数图象的关系.3.加深理解数形结合思想.二、教学重点和难点1.重点：简单的一元一次不等式的解集、二元一次方程组的解与一次函数图象的关系.2.难点：简单的一元一次不等式的解集与一次函数图象的关系.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.如图，填空：(1)式子y=-0.5x-4当x=2，y=-5，说明直线y=-0.5x-4经过点（ ， ）； (2)直线y=-0.5x-4经过（-10，1），说明式子y=-0.5x-4当x= ，y= ； (3)直线y=-0.5x-4与x 轴的交点的横坐标是 ，说明方程 ＝0的解是x ＝ ；(4)方程-0.5x-4=0的解是x= ，说明直线y= 与x 轴交点的横坐标是 . 2.填空：一次函数y=2x+20， (1)当x 时，y=0； (2)当x 时，y ＞0； (3)当x 时，y ＜0. （二）创设情境，导入新课 （师出示下面的板书和图象）当x=-10，y=0，或者说， -10是图象与x 轴交点的横坐标 x=-10是方程2x+20=0的解师：上节课我们介绍了数形结合思想，什么是数形结合思想？（指板书）式子的情况能反映图象的情况，反过来图象的情况也能反映式子的情况，这就是数形结合思想.师：（指准图象）譬如，-10是一次函数y=2x+20的图象与x轴交点的横坐标，这是图象的情况，图象的这个情况反映了式子的什么情况？师：（指准板书）反映了式子y=2x+20当x=-10，y=0，换一种说法，也就是x=-10是方程2x+20=0的解.师：根据数形结合思想，我们就可以从式子的角度看图象，或者从图象的角度看式子，这就把式子和图象联系起来，或者说是把“数”和“形”结合起来.师：为了加深对数形结合思想的理解，本节课我们再来看两个体现数形结合思想的例子，先看第一个例子.（三）尝试指导，讲授新课师：（指准图象）大家看这个图象，从这个图象我们可以看到一个情况，什么情况？在-10的右边，图象在x轴的上方（板书：在-10的右边，图象在x轴的上方，如板书设计所示）. 师：（指图象）图象的这个情况能反映出式子有什么情况？生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准图象）图象在x轴的上方，这说明什么？说明图象上的点的纵坐标大于0.（指板书）所以图象的这个情况反映出（指准y=2x+20）式子y=2x+20当x＞-10，y＞0（板书：当x＞-10，y＞0，如板书设计所示）.师：（指准板书）式子y=2x+20当x＞-10，y＞0，还可以换一种说法，怎么换一种说法？（板书：或者说，x＞-10是不等式2x+20＞0的解集，如板书设计所示）师：（指准板书）大家可以比较一下这两句话，一句话是式子y=2x＋20当x＞-10，y＞0，另一句话是x＞-10是不等式2x+20＞0的解集.它们实际上说的是一个意思.师：（指准板书）从这个例子我们看到，在-10的右边，图象在x轴上方，这反映出x＞-10是不等式2x+20＞0的解集，反过来也一样.这个例子体现了数形结合思想.师：（指准图象）从这个图象我们还可以看到一个情况，在-10的左边，图象在哪儿？生：图象在x轴的下方.（师板书：在-10的左边，图象在x轴的下方，如板书设计所示）师：（指图象）图象的这个情况能反映出式子有什么情况？（稍停）能反映出式子y=2x+20当x＜-10，y＜0（板书：当x＜-10，y＜0，如板书设计所示）师：（指准板书）式子y=2x+20当x＜-10，y＜0，还可以换一种说法，怎么换一种说法? 生：……（多让几名同学说，然后师板书：或者说，x＜-10是不等式2x+20＜0的解集）师：（指板书和图象）从这三个数形结合的例子，我们看到，一元一次方程2x+20=0、一元一次不等式2x+20＞0，2x+20＜0与一次函数y=2x+20的图象有着密切的联系，只要画出一次函数y=2x+20的图象，我们从图象中就能看出相应的一元一次方程的解、相应的一元一次不等式的解集. （四）试探练习，回授调节 3.看图象填空：(1)一元一次方程0.5x-4=0的解是 ； (2)一元一次不等式0.5x-4＞0的解集是 ； (3)一元一次方不等式0.5x-4＜0的解集是 .4.看图象填空：(1)一元一次方程-0.5x-4=0的解是 ； (2)一元一次不等式-0.5x-4＞0的解集是 ； (3)一元一次不等式-0.5x-4＜0的解集是 . （五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来看一个数形结合的例子. （师出示下图）师：（指准图象）这条直线是一次函数y=2x-1的图象，这条直线是一次函数38y x 55=-+的图象，这两条直线相交于点P ，点P 的坐标是（1，1）.（板书：点P （1，1）是两个图象的交点，如板书设计所示）师：（指准板书）点P （1，1）是两个图象的交点，这是我们从图象中看到的，图象的这个情况能反映式子的什么情况？（让生思考一会儿）师：（指准图象）因为直线y=2x-1经过点P ，所以点P 的坐标（1，1）满足y=2x-1；又因为直线38y x 55=-+也经过点P ，所以点P 的坐标（1，1）也满足 38y x 55=-+.（1，1）既满足这个式子，又满足这个式子，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法，然后师板书：x 1y 1⎧=⎨=⎩是方程组y 2x 138y x 55⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩的解）师：（指板书）这说明x=1，y=1是方程组y=2x-1，38y x 55=-+的解. 师：（指准图象）从这个例子我们可以看到，两条直线的交点坐标实际上就是相应的二元一次方程组的解，反过来也一样，二元一次方程组的解实际上就是相应的两条直线的交点坐标.（六）试探练习，回授调节 5.填空：(1)直线y=3x+2与直线y=2x-1的交点是（-3，-7），则方程组y 3x 2y 2x 1⎧=+⎨=-⎩的解是x _______,y _______;⎧=⎨=⎩ (2)方程组y x 3y x 1⎧=-+⎨=+⎩的解是x 1y 2⎧=⎨=⎩，则直线y=-x+3与直线y=x+1的交点坐标是（ ， ）.6.填空：方程组3x5y82x y1⎧+=⎨-=⎩的解是直线y= 与直线y= 的交点坐标.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了数形结合的两个例子.（指准图象）从第一个例子我们可以看到，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系，只要画出一次函数的图象，看图象我们就能说出相应的一元一次方程的解、相应的一元一次不等式的解集.师：（指准图象）从第二个例子我们可以看到，一次函数与二元一次方程组也有着密切的联系，两个一次函数图象的交点坐标实际上就是相应的二元一次方程组的解.师：从函数图象的角度去看方程、不等式、方程组，这是数形结合思想的体现，这种认识问题的方法对以后学习数学是很重要的.（作业：P126练习1.）四、板书设计。
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。
一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。
而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。
对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。
当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。
而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。
当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。
此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。
具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。
同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。
针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。
4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。
由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。
一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。
同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。
(二)从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。
二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。
第19课时 用函数的观点看方程(组)与不等式(含答案)
第19课时?用函数的瞧点瞧方程〔组〕与不等式?◆知识讲解：1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系：一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着紧密的关系，函数y=ax+b 〔a≠0，a ，b 为常数〕中，函数的值等于0时自变量x 的值确实是基本一元一次方程ax+•b=0〔a≠0〕的解，所对应的坐标〔－ba，0〕是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也确实是基本函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0〔a≠0〕的解；在x 轴的下方也确实是基本函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0〔a≠0〕的解．2．坐标轴的函数表达式：函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴能够用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴能够用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，因此也确实是基本对应着两条直线，从“数〞的角度瞧，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，因此一次函数及其图像与二元一次方程组有着紧密的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解〔1〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．〔2〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．〔3〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有很多多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆经典例题：例1〔2006，长河市〕我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷躲仓库，•C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分不为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分不为每吨15元和18元，设从A 村运往C 仓库的柑橘重量为xt ，A ，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分不为y A 元和y B 元． 〔1〕请填写下表，并求出y B ，y A 与x 之间的函数关系式；〔2〕试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；〔3〕考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请咨询怎么样调运，才能使两村运费之和最小？求出那个最小值．例2某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表： 该市的煤气收费方法是：全然费+超额费+•保险费，•假设每月用气量不超过最低量am 3，那么只付3元全然费和每户的定额保险费c 元；假设用气量超过acm 3，那么超过的局部每立方米支付b 元，并知c≤5元，求a ，b ，c ．◆强化练习：一、填空题1．〔2021，武汉〕如图1所示，直线y=kx+b 通过A 〔－2，－1〕和B 〔－3，0〕两点，那么不等式组12x<kx+b<0的解集为_______． 图1图2图32．〔2006，江苏南通〕如图2，直线y=kx 〔k>0〕与双曲曲折折线y=4x交于A 〔x 1，y1〕B〔x2，y2〕两点，那么2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分不表示甲走路与乙骑自行车〔在同一条路上〕行走的路程s与时刻t的关系，瞧瞧图像并答复以下咨询题：〔1〕乙动身时，与甲相距______km；〔2〕走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；〔3〕乙从动身起，通过_____h与甲相遇；〔4〕甲行走的路程s与时刻t之间的函数关系式_______；〔5〕假如乙自行车不出现故障，那么乙动身后通过______h与甲相遇，相遇处离乙的动身点____km．并在图中标出其相遇点．4．直线y=－x+a与直线y=x+b的交点坐标为〔m，8〕，那么a+b=______．5．一次函数y=2x－a与y=3x－b的图像相交于x轴原点外一点，那么aa b+=_____．6．关于x的一次函数y=mx+2m－7在－1≤x≤5上的函数值总是正数，那么m的取值范围是_______．7．假设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕为一次函数y=3x－1图像上的两个不同的点，且x1>x2，那么y1与y2的大小关系是_______．8．〔2021，绍兴〕如图4所示，函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P，•那么不等式x+b>ax+3的解集为________．图4图5图6二、选择题9．函数y1=x+1与y2=ax+b〔a≠0〕的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是〔〕A．x>－1B．x<2 C．1<x<2D．－1<x<210．〔2006，河南〕如图6，一次函数y=kx+b的图像通过A，B两点，那么kx+b>0•的解集是〔〕A．x>0B．x>2 C．x>－3D．－3<x<2 11．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L1，L2如如下面图，他解的那个方程组是〔〕A．22112y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B．22y xy x=-+⎧⎨=-⎩C．38,132y xy x=-⎧⎪⎨=-⎪⎩D．22,112y xy x=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩12．一次函数y=32x+m和y=－12x+n的图像都通过点A〔－2，0〕，且与x轴交于A，B两点，那么△ABC的面积是〔〕A．2B．3 C．4D．613．〔2006，山西太原〕如如下面图的图形基本上二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，假设b>0，那么a的值等于〔〕A．152-+B．－1 C．152-D．114．如图，一次函数y=kx+6的图像通过A，B两点，那么kx+b>0的解集是〔〕A．x>0B．x<2C．x>－3D．－3<x<215．〔2004，安徽省〕购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，y=kx，•那么这种国债的年利率为〔〕A．kB．3kC．k－1D．13k-三、解答题16．〔2006，浙江船山〕近时期国际石油迅速猛涨，中国也受期妨碍，为了落低运行本钞票，局部出租车进行了改装，改装后的出租车能够用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km．〔1〕使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km，当前的汽油价格为4.6元/L，•当行驶时刻为t天时，所耗的汽油费用为p元，试写出p关于t的函数关系式；〔2〕使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km，•当前的液化气价格为4.95元/kg，当行驶时刻为t天时，所耗的液化气费用为w元，试求w的取值范围〔用t表示〕；〔3〕假设出租车要改装为使用液化气，每辆需配置本钞票为8000元的设备，•依据近时期汽油和液化气的价位，请在〔1〕〔2〕的根底上，计算出最多几天就能收回改装设备的本钞票？•并利用你所学的知识简单讲明使用哪种燃料的出租车对都市的健康开展更有益．〔用20字左右谈谈感想〕．17．〔2003，岳阳市〕我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，方案利用这两种原料生产A，B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，•乙种原料，生产本钞票是120元；生产一件B产品，需要甲种原料，乙种原料，•生产本钞票是200元．〔1〕该化工厂现有的原料能否保证生产？假设能的话，有几种生产方案，请你设计出来；〔2〕设生产A，B两种产品的总本钞票为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质讲明〔1〕中哪种生产方案总本钞票最低？•最低生产总本钞票是多少？18．〔2006，枣庄〕关于x的二次函数y=x2－mx+222m+与y=x2－mx－222m+，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．〔1〕试判定哪个二次函数的图像通过A，B两点；〔2〕假设点A坐标为〔－1，0〕，试求点B坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，关于通过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x•值的增大而减小？19．〔2006，宁波市〕宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，该市在节约集约用地点面已走在全国前列．1996～2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDPy〔亿元〕与建设用地总量x〔•万亩〕之间存在着如如下面图的一次函数关系．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，•假如这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区能够新增GDP多少亿元？〔3〕按以上函数关系式，该市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？〔•精确到0.001万亩〕20．〔2005，盐都市〕学校书法举小组预备到文具店购置A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购置A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过局部每支比零售价低0.4元，其余局部仍按零售价销售．一次性购置B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过局部每支比零售价低0.6元，•其余局部仍按零售价销售．〔1〕假如全组共有20名同学，假设每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；假设每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？〔2〕为了促销，该文具店的A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：不管购置多少支，一律按原零售价[即〔1〕中所求得的A型毛笔的零售价]的90%出售．现要购置A型毛笔a支〔a>40〕，在新的销售方法和原来的销售方法中，•应选哪种方法购置花钞票较少？并讲讲理由．21．〔2004，河北省〕光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20•台派往B地区．两地区与该农村租赁公司商定的天天的租赁价格见下表：〔1〕设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y〔元〕，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；〔2〕假设使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•讲明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；〔3〕假如要使这50台联合收割机天天获得的租金最高，请你为光华租赁公司提出一条合理建议．第19课时?用函数的瞧点瞧方程〔组〕与不等式?◆经典例题：例1〔2006，长河市〕我市某乡A，B两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t，•B•村有柑橘300t．现将这些柑橘运到C，D两个冷躲仓库，•C•仓库可储存240t，•D•仓库可储存260t；从A村运往C，D两处的费用分不为每吨20元和25元，从B 村运往C，D两处的费用分不为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分不为y A元和y B元．〔1〕请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；〔2〕试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；〔3〕考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请咨询怎么样调运，才能使两村运费之和最小？求出那个最小值．【分析】〔1〕依据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．〔2〕欲对比y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B时求出x的取值范围．〔3〕依据条件求出x的取值范围．依据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解】〔1〕y A=－5x+5000〔0≤x≤200〕，y B=3x+4680〔0≤x≤200〕．〔2〕当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．〔3〕由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580〔元〕．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：全然费+超额费+•保险费，•假设每月用气量不超过最低量am 3，那么只付3元全然费和每户的定额保险费c 元；假设用气量超过acm 3，那么超过的局部每立方米支付b 元，并知c≤5元，求a ，b ，c ．【分析】数学能关心我们解决许多生活中的实际咨询题，此题要求a ，b ，c 的值，•不妨设每月用气量为x 〔m 2〕，支付费用为y 〔元〕，再依据题意列出x ，y 的关系表达式，即y=3(0)3()()cx a b x a c x a +≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a ，b ，c的值．【解答】设每月用气量为xm 3，支付费用为y 元，依据题意得y=3(0)3()()cx a b x a c x a +≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am 3，将x=25，y=14；x=35，y=19分不代进②得143(25)193(35)b a c b a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5∴b=0.5把b=0.5代进③得a=3+2c 又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代进②得4=3+0.5[4－〔3+2c －c+c 不成立那么a≥4，如今的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代进a=3+2c 得a=5 ∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】此题要求a ，b ，c 的值，外表瞧与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的要害是分清各段的取值范围，其条件分不在各自的取值范围内使用，假设有不确定的情形，须进行分类讨论．◆强化练习答案:1．－3<x<－22．20，3．〔1〕10〔2〕1〔3〕3〔4〕s=10+203t 〔5〕1.2；18，4．165．256．m>77．y 1>y 28．x>1，9．D10．C 11．D 12．C 13．D 14．C 15．D 16．〔1〕p=300×4.612t，即p=115t ．〔2〕300×4.9516t ≤w≤300×4.9515t 即148516t ≤w≤99t ．〔3〕115t －99t≤8000，t≤500．即最多500元能收回改装设备的本钞票．液化气燃料的出租车对都市健康开展更有益〔感想略〕．17．〔1〕设安排生产A 种产品x 件，那么生产B 种产品〔80－x 〕件，依题意得5 2.5(80)290,1.5 3.5(80)212,x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩解得34≤x≤36．因为x 为整数，因此x 只能取34或35或36．该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：方案一：生产A 种产品34件，B 种产品46件；方案二：生产A 种产品35件，B 种产品45件；方案三：生产A 种产品36件，B 种产品44件．〔2〕设生产A 种产品x 件，那么生产B 种产品〔80－x 〕件，y 与x 的关系为：y=•120x+•200〔80－x 〕，即y=－80x+16000〔x=34，35，36〕．因为y 随x 的增大而减小，因此x 取最大值时，y 有最小值．当x=36时，y 的最小值是y=－80×36+16000=13120．即第三种方案总本钞票最低，最低生产本钞票是13120元．18〔1〕关于二次函数y=x 2－mx+212m +∵△=〔－m 〕2－4×1×212m +=－m 2－2<0∴此函数图像与x 轴没有交点．关于二次函数y=x 2－mx －222m +∵△=〔－m 〕2+4×1×212m +=3m 2+4>0∴此函数图像与x轴有两个不同的交点，故图像通过A ，B 两点的二次函数为y=x 2－mx －222m +．〔2〕B 〔3，0〕，〔3〕将A 〔－1，0〕代进y=x 2－mx －222m +得m 2－2m=0，m=0或m=2假设m=0，那么当x<0时，y 随x 增大而减小；假设m=2，那么当x<1时，y 随x 增大而减小． 19．〔1〕设函数关系式为y=kx+b ，由题意得，33295,48985.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得k=46，b=－1223，∴该函数关系式为y=46x －1223．〔2〕由〔1〕知2005年的年GDP 为46×〔48+4〕－1223=1169〔亿元〕∵1169－985=184〔亿元〕∴2005年市区相应能够新增加GDP184亿元．〔3〕设连续两年建设用地总量分不为x 1万亩和x 2万亩，相应年GDP 分不为y 1亿元和y 2亿元，满足y 2－y 1=1．那么y 1=46x 1－1223③y 2=46x 2－1223④，④－③得y 2－y 1=46〔x 2－x 1〕即46〔x 2－x1〕=1，∴x2－x1=146≈0.022〔万亩〕．即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0．022万亩．20．〔1〕设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，那么依据题意得：201525(0.6)1452020(0.4)155(0.6)129x y yx x y y++-=⎧⎨+-++-=⎩解之得：23xy=⎧⎨=⎩答：这家文具A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．〔2〕假如按原来的销售方法购置a支A型毛笔共需m元，那么m=20×2+〔a－20〕×〔•2－0.4〕=+8；假如按新的销售方法购置a支A型毛笔共需n元，那么n=a×2×90%=，因此n－m=－〔+8〕=－8；∵a>40，∴>8，∴n－m>0．可见，当a>40时，用新的方法购置的A型毛笔花钞票多．答：用原来的方法购置花钞票较少．21．〔1〕假设派往A地区的乙型收割机为x台，那么派往A地区的甲型收割机为〔30－x〕；•派往B地区的乙型收割机为〔30－x〕台，派往B地区的甲型收割机为〔x－10〕台，∴y=1600x+1800〔30－x〕+1200〔30－x〕+1600〔x－10〕=200x+74000．〔10≤x≤30，x为正整数〕〔2〕由题意得200x+74000≥79600，解得x≥28由于10≤x≤30∴x取28，29，30∴有3种不同分配方案〔略〕．〔3〕由于一次函数y=200x+7400的值y是随x的增大而增大，因此，当x=30时，y取最大值，假如要使农机租赁公司这50台联合收割机天天获得租金最高，只需x=30时，•y=6000+74000=80000．建议：农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20•台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．。
函数观点看方程(组)与不等式
选择题1、（2008•海南）如图，直线l1和l2的交点坐标为（）A、（4，﹣2）B、（2，﹣4）C、（﹣4，2）D、（3，﹣1）考点：两条直线相交或平行问题。
专题：计算题。
分析：求两条直线的交点，要先根据待定系数法确定两条直线的函数式，从而得出．解答：解：由图象可知l1过（0，2）和（2，0）两点．l2过原点和（﹣2，1）．根据待定系数法可得出l1的解析式应该是：y=﹣x+2，l2的解析式应该是：y=﹣错误！未找到引用源。
x，两直线的交点满足方程组错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，即交点的坐标是（4，﹣2）．故选A．点评：本题可用待定系数法来确定两条直线的解析式，再联立求得交点的坐标．2、（2007•陕西）如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=﹣x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）A、y=﹣x+2B、y=x+2C、y=x﹣2D、y=﹣x﹣2考点：两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式。
专题：数形结合。
分析：首先设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），根据图象确定A和B的坐标，代入求出k 和b的值即可．解答：解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=﹣x的图象交于点B，可得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，该一次函数的表达式为y=x+2．故选B．点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．3、（2007•金华）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A、0B、1C、2D、3考点：两条直线相交或平行问题。
专题：数形结合。
分析：根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．解答：解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，∴k＜0；∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，∴a＜0；当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，∴y1＞y2．故选B．点评：本题的难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．4、（2006•自贡）无论实数m取什么值，直线y=x+错误！未找到引用源。
人教版八年级数学上册教案用函数观点看方程(组)与不等式备课
一次函数与一元一次方程教学目标：掌握一次函数与一元一次方程知识解决相关实际问题；体会解决问题方法多样性。
教学重点：灵活运用知识解决相关问题．教学难点：初步了解数形结合的内涵。
教具准备：三角尺教学过程一、观察思考：二者之间有什么联系？（１）．方程2x+20=0解（２）．函数y=2x+20从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．二、讲例：例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（用两种方法求解）解法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17 解之得：x=6．解法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6解法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．(例1图) (例2图)例利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验解法一：由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1 我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．解法二：由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1三、小结本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．数形结合在以后学习中有很重要的作用四、练习：用不同种方法解下列方程：1．2x-3=x-2．2．x+3=2x+1．五、课后作业：P129习题14.3 1、2题一次函数与一元一次不等式教学目标：求一元一次不等式的解;理解数形结合的内涵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14.3.1一次函数与一元一次方程
教学目标
1．知识与技能
会用一次函数图象描述一元一次方程的解，发展抽象思维．
2．过程与方法
经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系，体会数与形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
培养良好的应用能力，体会代数的实际应用价值．
重、难点与关键
1．重点：理解用函数观点解决一元一次方程的问题．
2．难点：对一次函数与一元一次方程的再认识．
3．关键：应用数形结合的思想．
教具准备
直尺、圆规．
教学方法
采用“直观操作”教学方法，让学生在图形的认知中领会本节课内容．
教学过程
一.复习引入
前面我们学习了一次函数．实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存．它与我们七年级学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系．这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程(组)不等式的求解问题．
二．探究新知
问题①：解方程2x+20=0
问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定
它与x轴的交点坐标；
问题④：问题①②有何关系？①③呢？
拓展练习
1、方程ax+b=0（a、b为常数a≠0）的解是 __________ .
2、当___________________ 时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
3、直线y= ax+b 与x轴的交点坐标是___________
.
任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a、b为常数a≠0）的形式,所以解这个方程从一次函数的角度可转化为“求一次函数y= ax+b( a≠0）的值0时相应的自变量的值.”从图象上看,这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”
巩固练习1.
2.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线 y=ax+b 的是（ ）
三. 综合运用
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
解法1：设再过x 秒它的速度为17米/秒， 由题意得，2x+5=17 解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
解法2：速度y （单位：米/秒）是时间x （单位：秒）的函数 y=2x+5 由2x+5=17 得 2x －12=0
x
( A )
x
( B )
x
( C )
( c )
x
由右图看出直线y=2x －12与x 轴的交点为（6，0），得x=6.
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
解法3：速度y （单位：米/秒）是时间x （单位：秒）的函数 y=2x+5
由右图可以看出当y =17时，x=6.
从数的角度看: 求ax+b=0（a ≠0）的解 ⇔ x 为何值时，y=ax+b 的值为0？
从形的角度看：
求ax+b=0（a ≠0）的解 ⇔ 确定直线y=ax+b 与x 轴的横坐
四. 综合提高
1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为 ________ ,所以相应的方程x+3=0的解是_______ .
2、设m，n为常数且m≠0，
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是—
—.
3.已知一次函数y = 2x + 1，根据它的图象回答:x 取什么值时，函数的值为1？
4.利用图象法求方程3x+1 = 14的解。
5 .利用函数图象解出x，并笔算检验：5x-3 = x + 2
五.归纳总结
一、今天学习了什么？
二、有什么疑问的地方？
三、有什么和老师、同学探讨的吗？
六．作业布置
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。
干旱持续时间t(天）与蓄水量V（万米3）的关系如图所示，回答下列问题：
（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
（2）蓄水量小于400万米3 时，将发出严重干旱警报，干旱多少天后将发出严重干旱警报？。