相似三角形添加辅助线的方法举例(有规范标准答案).docx

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相似三角形添加辅助线的方法举例

例1：已知：如图，△ ABC 中， AB＝ AC， BD⊥ AC 于 D．

求证： BC2＝ 2CD· AC．

A

D

B C

例 2．已知梯形ABCD 中， AD // BC ， BC 3AD ， E 是腰 AB 上的一点，连结CE

（ 1）如果CE AB ， AB CD ， BE 3AE ，求 B 的度数；

（ 2）设BCE 和四边形 AECD 的面积分别为S1和 S2，且 2S13S2，试求BE

的值AE

例 3．如图 4-1，已知平行四边

AF

1

AD

ABCD中， E 是 AB 的中点，3，连E、F交AC于G．求AG：AC

的值．

.\例4、如图 4—5， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=___________.

例 5、如图 4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC、 BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC 于F，若 AB=a， BC=b， BE=c，求 BF 的长．

AB BD

例 6、已知在△ ABC 中， AD 是∠ BAC的平分线．求证：AC CD ．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案

例 1： 已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于 D ．

求证： BC 2＝ 2CD · AC ．

分析： 欲证 BC 2

＝ 2CD ·AC ，只需证

BC

AC

．但因为结论中有“

2”，无法

2CD

BC

直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅

助线，对其中某一线段进行倍、 分变形， 构造出单一线段后， 再证明三角形相似． 由 “ 2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一 （构造 2CD ）：如图，在 AC 截取 DE ＝ DC ， ∵ BD ⊥ AC 于 D ，

∴ BD 是线段 CE 的垂直平分线， ∴ BC=BE ，∴∠ C=∠ BEC ， 又∵ AB ＝ AC ， ∴∠ C=∠ ABC ．

∴ △BCE ∽△ ACB ．

∴ BC

AC ， ∴ BC

AC B

CE BC

2CD

BC

∴ BC 2＝ 2CD · AC ．

证法二 （构造 2AC ）：如图，在 CA 的延长线上截取 AE ＝ AC ，连结 BE ， ∵ AB ＝ AC ，

∴ AB

＝

AC=AE ． ∴∠ EBC=90°，又∵

BD ⊥ AC ．

∴∠ EBC=∠ BDC=∠ EDB=90°， ∴∠ E=∠ DBC ， ∴△ EBC ∽△ BDC

∴ BC

CE 即 BC 2 AC

CD

BC CD

BC

∴ BC 2＝ 2CD · AC ．

1

BC ） ：如图，取

1 BC ．

证法三 （构造 BC 的中点 E ，连结 AE ，则 EC=

2

2

又∵ AB=AC ，

∴ AE ⊥BC ，∠ ACE=∠ C ∴∠ AEC=∠ BDC=90°

∴△ ACE ∽△ BCD ．

.\

A

D

B C

A

E

D

C

E

A

D

B

C

A

∴ CE

1

BC

AC ．

D

AC

即 2

B

E

C

CD BC

CD

BC

∴ BC 2＝2CD · AC ．

A

证法四 （构造

1 1

BC ．

BC ）：如图，取

BC 中点 E ，连结 DE ，则 CE=

2

2

∵ BD ⊥ AC ，∴ BE=EC=EB ，

∴∠ EDC=∠ C

又∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ C ，

∴△ ABC ∽△ EDC ．

D

B

E

C

.\∴ BC AC J即BC AC．

CD EC CD1

BC

2

∴BC2＝ 2CD· AC．

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．

例 2．已知梯形ABCD 中， AD // BC ， BC 3AD ， E 是腰 AB 上的一点，连结CE

（ 1）如果CE AB ， AB CD ， BE3AE ，求 B 的度数；

（ 2）设BCE 和四边形 AECD 的面积分别为S1和 S2，且 2S13S2，试求BE

的值

（ 1）设AE k ，则 BE3k

AE 解法 1如图，延长 BA 、 CD 交于点 F

AD // BC ，又 CE BF BC

BC

3AD ，

CF ，又

BF

CF

3

AF BF

AF 2k ， E 为

BCF 为等边三角形

BF 的中点

故B60

解法2如图

作DF // AB 分别交 CE 、 CB 于点 G 、 F

则CE DF ，得平行四边形 ABFD

同解法 1 可证得CDF 为等边三角形

故B1 60

解法 3如图

作AF // EC 交 CD 于 G ，交 BC 的延长线于 F 作GI // AB ，分别交 CE 、 BC 于点 H 、 I

则CE GI ，得矩形 AEHG

BC BE

，

AF // CE3

CF AE