抛物线及其标准方程导学案

抛物线及其标准方程导学案

抛物线及其标准方程(导学案) 学习目标:

1、能利用抛物线的定义建立适当的坐标系确定抛物线的方程;

2、会根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程;

3、能根据条件运用待定系数法求抛物线的标准方程;

学习过程:

想一想:在我们以前的数学学习和生活中，哪些是与抛物线有关的,请举例: 复习回顾:求曲线方程的五个步骤:

问题情境:

如图:点F是定点，直线L为不经过点F的定直线，H是直线上的任意一点，过点H作直线的垂线HM ，线段FH的垂直平分线m交KM于点M，拖动点H，得到点M的轨迹为红色曲线，

你能发现点M满足的几何条件吗,

一、抛物线的定义:

我们把

的点的轨迹叫做抛物线。

其中点F叫做抛物线的，直线L叫做抛物线的

思考:

如果点F在直线L上，那么到点F和直线L距离相等的点的轨迹是什么,

二、抛物线标准方程的确定

1、思考:设抛物线的焦点F到准线L的距离为常数P(P>0)，如何建立坐标系,使求出抛物线的方程更简单呢,

方案一:以定直线L为y轴，过点F且垂直于直线L的直

线为x轴，建立坐标系xoy，如图:

则焦点F的坐标为，准线L的方程为

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设抛物线上任意一点M的坐标为，，，点M到准线L的距离为d，则 x,y d= MF,

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为:

化简得:

方案二:以定点F为原点，过点F且垂直于直线L的直线为x轴，过点F且与直线L平行的直线为y轴，建立坐标系xoy，如图:

则焦点F的坐标为，准线L的方程为

，，设抛物线上任意一点M的坐标为x,y，点M到准线 L的距离为d，则

d= MF,

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为:

化简得:

方案三:以经过点F且垂直于直线L的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立坐标系xoy，如图:

，准线L的方程为则焦点F的坐标为

，，x,y设抛物线上任意一点M的坐标为，点M到准线L的距离为d，则d= MF,

由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为:

化简得:

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思考:为什么这样建立坐标系，能使抛物线的方程更简单,

2、抛物线的标准方程

由曲线与方程的关系知，抛物线的标准方程为:

它所表示的抛物线的焦点坐标在，焦点坐标为，准线方程为

思考:P的几何意义为:

2y,8x小试身手:指出抛物线的焦点坐标和准线方程

三、抛物线的其他标准方程:

1、右图中的两条抛物线的图像关于对称，由右边

2，，y,2pxp,0抛物线的标准方程为:得，

的方程为，焦点F的坐标为，准线L的方程为

2、右图中的两条抛物线的图像关于对称，由右边

2，，y,2pxp,0抛物线的标准方程为:得，

的方程为，焦点F的坐标为，准线L的方程为

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3、右图中的两条抛物线的图像关于对称，由上边

2，，x,2pyp,0抛物线的标准方程为:得，

的方程为，焦点F的坐标为，准线L的方程为

4、填表:一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示:

图形开口方向标准方程焦点坐标准线方程

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5、思考:结合上述表格，你能发现四种标准方程有哪些相同点和不同点, 相同点:

不同点:

合作探究:

如何根据抛物线四种标准方程的形式，区分抛物线的对称轴和开口方向,

四、典例分析:

例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

22y,20xy,2x(1) (2)

222y，5x,0x，8y,0(3) (4)

方法总结:在已经抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，如果给出的不是抛物线的标准方程，如何求其焦点坐标和准线方程,

例2:根据下列条件，写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3，0)

1(2)准线方程是x = , 4

(3)焦点到准线的距离是2

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方法总结:在已知抛物线的焦点坐标或准线方程求抛物线的标准方程中，抛物线的标准方程是否唯一,为什么,

五、能力提升

2x,ay(a?0)，试讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准已知抛物线方程为线方程,

六、课外探究: 2y,ax，bx，c(a,0)1、二次函数的图像为什么是抛物线,

2、求过点A(-3，2)的抛物线的标准方程

课堂小结:

作业:课后练习1、2、3

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