矢量基本知识

dt


dB Adt (Axi Ay j)dt



B ( Axdt)i ( Aydt) j
C
三维空间中应有3个不共面的矢量
若按直角坐标正交分解 A Axi Ay j Azk
A的模： A A Ax2 Ay2 Az2
z
Az A
x Ax
Ay
y
Ax Acos

Ay

A sin
Bx B cos

By

B sin

Cx Cy
dt
dt
dt
(3)
d
(A B)
A
dB

B
dA
dt
dt
dt
(4)
d
(A B)
A
dB

dA

B

dA

B
A
dB
dt
dt dt
dt
dt
2、矢量的积分
设 A B 在同一平面直角坐标系内
dB
A

dB
Adt
i j i k j i j k k i k j k k k jki ji 0 0
五、矢量的导数和积分
1、矢量的导数
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dA

dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt
dt
dt
矢量加法满足：

交换律：A B B A
结合律：A

(B

C)

(A

B)

C
式中各个矢量均相对同一个参照系
(2) 数乘
大小

A

C方向

C A





0 0
C平行于A


C平行于 A
三、矢量的分解 任一个矢量都可以分解为任意多个分矢 量如：
其大小为
dA dt

dAx dt
2


dAy dt
2


dAz dt
2
矢量函数求导法则
(设A与B均为t的函数)
(1)
d
(A B)
dA
dB
dt
dt dt
(2)
d
[ f (t)B]
B
df

f (t) dB
预备知识
矢量代数的基本知识
一、 标量和矢量
标量：有大小，无方向，遵循通常的代数 运算法则。
矢量：有大小，有方向，遵循矢量代数运 算法则。
1、矢量的几种表示方式 • 几何表示 有指向的线段
• 解析表示 A A1 A2 A3 大小
A
A＝ A
矢量平移不变性：如果把矢量在空间平移， 则矢量的大小和方向都不会因平移而改变
2、矢量相等： 大小相同，方向相同
3、单位矢量：长度为一个单位的矢量

eˆ A

Aˆ

A A
xˆ

i
x
x
rˆ r r
二、矢量的运算法则 (1) 加法
平行四边形法则和三角形法则
B
C
R D
C
B
A
平行四边形法则
A
多三边角形形法法则则
C A2 B2 2 ABcos
arctan B sin A B cos
方向

例如力矩
M

r
F
C
A
B
M Frsin
C
F


O
M
r

B


A
矢积的性质：
A B B A
A (B C) A B A C
AA 0
矢量与标量不能相等 ！
矢量的印刷体用黑体字母表示（如书上）， 手写时一定要标上“ ”

i j k, j k i , k i j
练习
(1) i ( j k) k (i j) j (k i )
111
3
(2) i ( j k) j (i k) k (i j k)
3、正交坐标系中的矢量表示法
正交坐标系由相互正交的坐标组成，各个
坐标上的单位矢量的集构成正交坐标系的基。
直角坐标系是正交坐标系，它的基为：
（ i , j, k)
j
i j jk ki 0 o
i

k
i i j j kk 1
标积满足

交换律： A B BA
分配律：

A( B C) AB A.C
例如：功
W

F
r

F
r
cos
F
F
r
2、矢量的矢积（叉积、叉乘）
AB C
C AB
大小为平行四边形面积 ABsin (0 )

Ax Ay

Bx By
y

C
C
2 x

C
2 y



arctan
Cy Cx
C

A
B

By Ay
Ax
Bx
x
四、矢量的标积矢积
1、矢量的标积（点积、点乘）


A B ABcos 为A与B的夹角


若B为单位矢量，A B为A在B方向的投影。