力学 第三章刚体的转动

一、基本概念
1．刚体(Rigid Body)
（理想模型）
2．刚体的平动(Translation)
动画 动画 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。
3．刚体的转动(Rotation)
刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动
4．刚体定轴转动
动画
角坐标 :
角速度: 角加速度:

d dt
1 1 2 2 MV 2 mV1 mgR 2 2
式中 V1和 V2 分别为小球到达A处时小球和 容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是 错的，错在何处？说明原因并改正之。
★ 第一式错。 因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容 器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时 在桌面上滑动，小球相对桌面作曲线运动， 轨迹不是圆周。此人列的第一式中的R应是 小球的轨迹在A点时的曲率半径，而不是圆 的半径R，此式错了。
（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。
推导： 方法一：书 P181~182
方法二：
AAB
B dv F dr m v dt A A dt
B
AAB
B mv dv m(v x dv x v y dv y v z dv z ) A
d dt
v r
at r an r
2
二、刚体定轴转动
★ 在A点取质量元 mi
Fi ( mi ) ai ( mi ) (ait ti ain ni )
★
★ mi 的运动遵循牛顿第二定律
oo
,
Fi i ri
A
ri Fi ( m i ) [ait ( ri ti ) ain (ri ni )]

t
0
kdt
1 0 3
0
J
d

2
2J t k0
例4（0115）有一半径为R的圆形平板平放 在水平桌面上，平板与水平桌面的 摩擦系数为 ，若平板绕通过其中 心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
解： M 摩擦 J
M 摩擦

OO
2 1 2 d mgR mR 3 2 d
与圆弧中心O在同一水平面上，B端和 O的连线与竖直线夹角为 60 ，有

表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m，
一质量为m=1kg的小滑块自A端从静止 开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出
时，槽相对地面的速度。
o
B

A
练习（5268）解答
V2 (V V 2V V cos )
2 1 '2 2 ' 1 2
用求导的方法
积分加初始条件
例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 < m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。
已知： m1，m2 ，m， R ，Mr 求： a , T1 , T2
1 （ 1 ）当 解： 3 0 时，飞轮的角加速
度
?
2
M阻力 k J
k 0 时， 9J
1 3
2 0
1 （2）从开始制动到 3 0 所经历的时间
d M阻力 －k J J dt
2
kdt J
d

2
设开始制动的时刻为 t 0
m
.
R
m1
动画
m2
0
m
.
解: 研究对象 m1 ，m2 ，m
R
建立坐标，受力分析
如图
对各隔离体写出运动方程： 对m1 ： T1 m1 g m1a1
m1
m2
对m2：
m2 g T2 m2a2
Mr
' T1
m
T2'
y
对m： T ' R T ' R M J 2 1 r
2 又： a1 a2 R , J 1 mR , 2
2 d mgR J 3 dt

2
1
0 4 gd Rd 0 3
2 n
3 R n 16 g
2 0
复习：P251 ~ 266
作业：P286 ~ 287
预习：P266 ~ 276
5.11 5.12 5.13
补充作业（写在作业本上，交上来） （0164）如图所示的大圆盘，质量为M，半径为R，对于 2 过圆心o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 1 。如 MR 2 果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径 为 r，且 2r R。已知挖去的小圆盘相对于过o点且垂直 2 3 mr 于盘面的转轴的转动惯量为 2 ，则挖去小圆盘后剩余 部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
1 2 J mL 3
m m
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体 薄球壳
J mR 2
1 2 J mR 2
R
m
2 2 J mR 3
球体
R
m
R m
2 2 J mR 5
* 平行轴定理 以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴 的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚 2 体对于后一轴的转动惯量为： J J md 例：
F ( rd) sin （与互余）
而 Fr sin M 合外力矩
dA M d
2. 刚体转动动能 ★考虑刚体上第 i 个质元，质量为 mi
速度为 v i Ri
1 2
V2 x V cos V1x
' 2
MV1x mV2 x 0
1 1 2 2 mgR cos MV1 mV 2 2 2
m cos 2Rg cos V1 2 m M 1 m cos (m M )
V1 0.144m / s
第五章
刚体的转动
T2'
y
T1
a1
T2
a2
m1 g
m2 g
例2（0158）电风扇在开启电源后，经过 的角速度为 0 。当关闭电源后，经
过 t 2 时间风扇停转。已知风扇转子
t1
时间达到了额定转速，此时相应
的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩
和电机的电磁力矩均为常量，试根据
已知量推算电机的电磁力矩。
解： 在 0 ~ t1 内
关闭电源后， 经过 t 2 时间
M电磁 M 摩擦 J 1
M 摩擦 J 2
0 0 1t1
0 0 2 t2
★ 结果：
1 1 M电磁 J0 ( ) t1 t 2
例3（5031）转动着的飞轮的转动惯量为J， 在 t 0时角速度为 。此后飞轮经 0 历制动过程。阻力矩的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为 k （ k 为 1 大于零的常数）。当 3 0时， 飞轮的角加速度 ? 。从开始制 1 动到 所经历的时间 t ? 0 3
例7（0196）一质量为m的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为M，内 壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人 为了求出小球自容器边缘B滑至底部A处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程
N mg mV / R
2 1
B
m
A
o
M
mV 1 MV2 0
R
答案：
o
r
1 2 J (4 M 3m )r 2
六、刚体转动的功和能
1．力矩做功 当刚体在力矩
M
作用下从 1 转到 2
2
时，力矩所做的功为：A Md
d
dr
o
r
ds

F

合外力 F 对 刚体所作的元功：
1
dA F dr Fds cos
2 ri Fi ( m i ) ri
0
ri 同时叉乘方程两边
★ 方程两边同时求和 2 ri Fi [ ( m i ) ri ]
J : 转动惯量 M 合外力矩 J
M 合外力矩
三、转动定律
★第一转动定律：
由牛顿第一定律： 类比有:
T1
a1
T2
a2
T1 T1' , T2 T2'
m1 g
m2 g
联立求得：
问：如何求角加速度？
a
( m2 m1 ) g
Mr
根据
at R
可求得
1 m1 m2 m 2
R
注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时：
m 0, Mr 0
1 Mr m1[(2m2 m ) g ] R 2 T1 1 m1 m2 m 2 1 Mr m2 [(2m1 m ) g ] R 2 T2 1 m1 m2 m 2
1 2 1
2
)
解： ★ 注意：
0
题中滑轮不是轻质滑轮， 是有质量的刚体。 所以，两边所受张力不同。
. m
m1
r
m2 g T2 m2a2
T1 m1 g m1a1
m2
T2r T1r J 滑轮
1 2 J 滑轮 I mr 2 a2 a1 a r
' T1
m
( m 2 m1 ) a g m1 m 2 2m1m2 T1 T2 g m1 m2
这便是中学所熟知的结果
例1 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 m 和 m 的 物体，滑轮质量为m，半径为 r ，其 1 2 转动惯量可按 I 2 mr 计算（视为圆 盘），绳与轮之间无相对滑动，试 (m m 求物体的加速度 a 和绳的张力。
M 合外 0 时
F
i
0
v 恒量
a 0
恒量

0

绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。
★第二转动定律：
牛顿第二定律： F ma
类比有:
d M J J dt
刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所 获得的角加速度的乘积。
a2对地 a2对B aB对地 a2对地 a2对B aB对地 a3对地 a3对B aB对地 a3对地 a3对B aB对地
对m1、m2以地为参照系
m2 g T2 m2 a2对地
T2 m3 g m3a3对地
a2对B a3对B a1对地 aB对地
四、转动惯量
★ 质点 ★ 质点系 ★ 刚体
J
J mr
n 1
2
★常见均匀刚 体的转动惯量 见书P261
2
J mi ri
J r dm
2
转动惯量与（a）刚体的质量m有关； （b）与m的分布有关； （c）与转轴的位置有关
几种常见刚体的转动惯量： 细棒 细棒
LBiblioteka Baidu
L
m
1 J mL2 12
A
T1
aB对地
B
T2 m2 T2 m3
对m1、m2以B为参照系
m2 g T2 m2 aB对地 m2 a2对B T2 m3 g m3aB对地 m3a3对B a2对B a3对B a1对地 aB对地
m1 m1 g
a2对B
a3对B
m2 g m3 g
对m1
m1 g T1 m1a1对地
★ 正确解法是： 选容器为参照系，小球相对容器作圆周 运动，在小球落至A处这一时刻，容器 无竖直方向（法向）加速度，竖直方向 惯性力等于零。因此
N mg mV / R
'2 1
V V1 V2
' 1
mV 1 MV2 0
1 1 2 2 MV 2 mV1 mgR 2 2
练习（5268）如图所示，一个质量为M=4kg 静止放在光滑的水平地面上。槽的A端
L
L
m
c
m
*垂直轴定理
1 J c mL2 12 1 L2 1 2 2 J ( mL ) m( ) mL 12 2 3
c
z
Jz J x J y
x
y
五、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
d MJ J dt
J (t ) (t ) (t ) M J M (t ) (t ) (t )
B
A
m(
vx
2
vx
1
v x dv x
v y2
v y1
v y dv y
v z2
v z1
v z dv z )
1 1 2 2 mv2 mv1 2 2
物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量
作业讲解（P109 2.3）
对m1
m1 g T1 m1a1对地
a1对地