-磁场的高斯定理和安培环路定律

l
2πR

l B d l 0I


0
2π
I R
Rd

IB

dl
对任意形状的回路
oR

l
B dl
l
0I
是否成立？？？
太原理工大学物理系
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。

lB dl lBdl cos


0I
2πr
dlc
os
d

l
MN
NO
OP
PM

MBN d l OBP d l BL BL 2BL
0
Ii 0 jL 2BL 0 jL
B

1 2
0
j
i
太原理工大学物理系
例7 电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒组
成。电流从内圆柱流去，从外筒流回，电流均
匀的分布在横截面上。设圆柱半径a，圆筒内半
n1
nk
磁感应强度的环流

B dl
(I 01
I 2
...... I ) 0 ...... 0 n
L

n
安培环路定理
B dl
L

0
Ii
i 1
适用任意稳恒磁场
太原理工大学物理系
3.稳恒磁场的性质

高斯定理： SB dS 0
无源场

dΦm

BdS

0I
2πx
ldx
I
B
Φm
B
dS

0Il
S
2π
d2 dx x d1
l
Φm

0 Il
2π
ln
d2 d1
d1 d2
o
x
太原理工大学物理系
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框
的磁通量.
I

I
内,与电流成右手螺旋。 载流长直导线的磁感强度为
B 0I
2π R
I
B
dl
oR
l
B

dl


0
2π
I dl R
l


0I Rd
2πR

0I
2π
d

B dl
l
0I
太原理工大学物理系
若回路绕向为反方向时，则
B dl
0I dl
L回路的环流为零意味着什么？
3)安培闭合环路L及绕向可以任意选取吗？
4)回路对电流有多次链套：

L B dl 20I
太原理工大学物理系
课堂练习：如图，在圆形电流所 在平面内，选取一个同心圆形闭 合回路，则由安培环路定理可知
LI

(A) B dl 0 ,且环路上任意一点B=0.
n
安培环路定理： B dl L

0
Ii
i 1
比较静电场：
有旋场

静电场高斯定理：SE

dS

1
0

qi
有源场
静电场环路定理： E dl 0 L
无旋场
太原理工大学物理系
问题

1）B 是否与回路 L外电流有关？


2）若 B d l 0 ,是否回路L上各处 B 0 ？ L
成无限多dS

B dS
通过dS的通量
B
dΦm B dS
BdS cos
s
通过整个曲面的磁通量
Φm sB dS
对于闭合曲面 ，规定闭合面的法线指向面外。
Φm SB dS SB cosdS
太原理工大学物理系
2.磁场的高斯定理 在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量恒为0。
L
(B) B dl 0 ,且环路上任意一点B0.
(C)
L B dl 0
，且环路上任意一点B0.
L

(D) B dl 0 ，且环路上任意一点B=常量. L
答案：(B)
太原理工大学物理系
三、用安培环路定理求磁场
步骤： （1）分析磁场大小、方向的分布特点 （2）选取合适的回路L （3）用环路定理计算磁场

Φm sB dS 0 磁场为无源场
磁场线闭合，无头无尾，这说明不存在单独 磁荷(磁单极子)。
1931年狄拉克理论上预言了磁单极子的存在。
m 2 108 g 1020 m p
由于m大，因此现有的加速器能量产生不了磁单极 子对；人们希望从宇宙射线中发现。目前尚未在实 验中确认磁单极子存在。
太原理工大学物理系
例1 如图载流长直导线的电流为 I ,试求通过矩
形面积的磁通量.
解 先求 B ，对变磁场

给出 dΦm后积分求Φm
B
在矩形内任取一面积元
x
I
dS = ldx ,在此面积元内
l
磁感应强度可看作常量.
d1 d2
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
太原理工大学物理系
径b，外半径c，求空间各点的磁感应强度B.
解: 根据安培环路定理
b
a
c
r
I I
太原理工大学物理系
(1) r<a
(2) a<r<b
b
a
c
r
I I
太原理工大学物理系
(3) b<r<c
b
a
c
r
I I
(4) r>c
太原理工大学物理系
解 (1)分析磁场
螺旋线圈无限长，螺旋线圈内的磁感线是一 组平行于轴线的直线；且距轴线同远的点其磁场 大小相同.
（2）选矩形回路L
太原理工大学物理系
（3）计算

M
NB
++++++++++++
P
LO

B dl B dl B dl B dl B dl

dl2

0I
2π
d

B1 dl1 B2 dl2 0

l B d l 0
太原理工大学物理系
如果有n个电流穿过积分回路,另有k个没有穿
过积分 回路,回路上的磁感应强度
B B B ...... B
1
2
n
B ...... B
B 0I
2π r
同法可求：圆柱面内的磁场 B
0 r R,

l B d l B 2r 0
0I
2π R
B 0I
2π r
B0
B0
oR r
太原理工大学物理系
问题
1）有人说：“因回路不环绕电流时，环路上 磁场必为零，由此可证圆柱面内无磁场”，这 样的说法对吗？ 2）在以上的例子里选择任意回路，环路定理 是否成立？磁场可以求解吗？
B 0NI
2π R
令 L 2πR
B 0 NI L





P











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例6 一无限大均匀载流平面薄板，面电流密 度为j，求面外一点的磁感应强度B的大小。
解：
M
N
j+


P

L

O


B dl B dl B dl B dl B dl
B
I
dl
r



0I rd
2πr

0I
2π

d
l

B dl
l
0I
dl cos rd
太原理工大学物理系
闭合回路不环绕电流时
B1

0I
2 π r1
B2

0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
r2
l
B1

dl1


0I
2π
d
B2
B dl
L

0
Ii 磁场为非保守场
i 1
1)“环绕”：设想闭合路径L为一根绳子，绳子勒紧 后能把电流捆住，即为环绕。
2） 电流的正负问题：电流的流向与安培回路绕 向满足右手法则的电流为正，否则为负。 3）安培环路定理成立的条件:稳恒电流
太原理工大学物理系
课堂练习： 如图所示，求磁感应强度对回路L 的环流。
dl
的平面内，选择半径r的圆形环路
L，环路正方向如图。

计算 l B dl B 2 π r
0 Ii 0I
i
B 2 π r 0 I
B 0I
2πr
太原理工大学物理系
例4 无限长载流圆柱面的磁场
解：先求柱面外的场
(1)对称性分析
将圆柱面分为无限多窄条， 每个窄条可看作是载有电流 dI的无限长直导线.
2a
m dm a1 Bldx
x
l

2a
a

0I 2x

2
0I
3a
x ldx
a
0Il Ln2
o

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aa
x
总结：有关磁通量的计算
1) 均匀磁场通过平面的通量
2) 非均匀磁场通过平面的通量
3) 均匀磁场通过曲面的通量
s'
S

l
MN
NO
OP
PM
B MN 0nMNI B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 ,外 部磁场为零.
太原理工大学物理系
例7 求载流螺绕环内的磁场
解 1）对称性分析； 环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
2）选回路 .

lB d l B 2 π R 0NI
p点的磁场的大小与r 有关，方向与r垂直。
（2）选合适的环路：在垂直于
轴线的平面内，选择半径r的圆形 环路L，环路正方向如图。
L
L1
r
IR
L2 r
R dI2
r
dI1
p
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(3)计算 r R,

l B dl B 2 π r
0 Ii 0I
i
B 2 π r 0 I
问题：怎样的回路才算是合适的回路？
磁场计算的两种方法：
毕—沙—拉定律可以计算任意电流的磁场 B
安培环路定理可以计算对称性磁场的
B
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例3 求载流长直导线的磁感强度。 I
解：先分析磁场
B
磁感线是在垂直于轴线的平面
内以轴线为中心的同心圆。
or
选合适的环路：在垂直于轴线 l
n

Φm B S B Sn
sB
课堂练习：磁场的磁
s
感应强度 B ai bj ck ( T )
通过一半径为R，与z轴垂直的圆面的磁通量的大
小为多少？


答： S R2k Φm B S cR2
太原理工大学物理系
(3) S是任意曲面，B是非均匀磁场，把S分
B dS 0
B
n

sB
dS

B s'

dS

0
均匀磁场通过曲面的通量转化为均匀磁场 通过平面的磁通量
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二、安培环路定理
1.定理：

在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径L的线积分，等于该闭合路径所环绕的电
流强度代数和的 0 倍.

n
说明：
§8-5 磁场的高斯定理和安培环路定理 一、磁场的高斯定理
1.磁通量 定义：通过某面积S的磁通量等于通过S的磁感 线的条数。
(1)均匀磁场，S是平面，且与磁场线垂直
B N S
S

B
磁通量 Φm BS
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(2)均匀磁场， S是平面，与磁场线不垂直
Φm BS BS cos
B
解：取垂直纸面向里为法
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内
为均匀磁场
a aa
B

0I 2x

2
0I
3a
x
o
x
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窄条形面元的元磁通为

dm B dS BdS Bldx I

I
B
通过矩形面积内的磁通量
2π r
太原理工大学物理系

0 r R l B dl B 2 π r
0
i
Ii

0
πr2 π R2
I
B
2Fra Baidu bibliotek
π
r

0r2
R2
I
I
r
R L
B 0Ir
2π R2
0I B
2π R
oR r
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例6 求长直密绕螺线管内磁场

M
N
B
+++ P
+
+
+
+L+ + +O+ +
分析：闭合路径L勒紧 后，能把电流捆住3根
电流，利用右手螺旋判 I1
断电流的正、负。
I2 I3 L
I I2 2I1
I1
L内

答案： B dl 0 I 0(I2 2I1)
L
L内
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2 验证(用特例说明)
设闭合回路L为圆形回路,在垂直于导线的平面
3）关于对称性分析还有较简单的方法： 由圆柱面上电流分布的轴对称性说明磁场对
圆柱面的轴线也有轴对称性。
太原理工大学物理系
例5 无限长载流圆柱体的磁场
解:（1）对称性分析 磁场对圆柱体的轴线有轴对称性。
（2）选取回路
I
半径为r的圆周
R
（3）计算
L
r
r R B 2 π r 0I
B
B 0I