第二十讲容斥原理

第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。

对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。

应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。

有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。

[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。

[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。

[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。

当容斥原理的题目做多了之后，很多基本的题目就不再需要一个一个的画图了。

但是，当遇到复杂的问题时，图形还是帮助我们理解和解决问题的一个帮手。

[举一反三]1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？2、六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？3、森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。

”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类，狮子大王又派大象去统计兽类的种数，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我应该算兽类。

”大家又把蝙蝠算为兽类，统计出森林中共有70种兽类。

最后狮子大王问：森林中共有鸟类和兽类多少种？狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。

”听了上面的故事，请你说说狐狸军师这样统计对吗？为什么，正确的答案应该是多少种呢？[思路拓展][例2]在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没明白每一种人的数量应该填在哪个空位里，题目就变得非常容易了。

同学们还要注意的一点是，最外圈的6，6，4三个数，并不是指的数字所在范围里的人数，而是指的整个圆里（即买了某种冷饮而并非只买这种冷饮）的人数。

另外，方法二里，为什么要减去1×2，同学们能明白吗？[举一反三]1，三年级一班的同学们报名参加趣味体育运动会，比赛内容共三项，分别是跳绳、拍球跑和踢毽子，每个人至少报了一项。

报跳绳的有15人，报拍球跑的有18人，报踢毽子的有20人，同时包跳绳和拍球跑的有8人，同时报跳绳和踢毽子的有5人，没有报了拍球跑和踢毽子，但是没报跳绳的同学。

三样都报的有2人。

那么三年级一班有多少名同学呢？2，班里组织了一次语数外三科的小测验，每名同学都至少有一门得满分，但是没有人拿到三个满分。

语文得满分的有10人，数学得满分的有20人，外语得满分的有25人，语文数学都得满分的有6人，数学外语都得满分的有12人，语文外语都得满分的有2人。

那么全班一共有多少人？3，一次中、美、俄三方的学术交流会上，有28人会说中文，有25人会说英文，有20人会说俄文，有13人会说中文和英文，有10人会说中文和俄文，有6人会说英文和俄文，仅有大会组织者一人三种语言全会。

那么这次交流会一共有多少人参与？[例3] 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多多少人？最少多少人？分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。

另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。

当x 取最大值7时，全班有39746+=人，当x 取最小值0时，全班有390+=39人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

[评注]这道题目里，我们不知道三科都得满分者的人数，也就无法直接用容斥原理来计算班里的总人数。

但是我们可以假设出三科都得满分的人数，再利用包含原则，即三科都得满分的人数不能小于0，也不能超过某两科得满分的人数，从而确定了三科都满分的人数的一个范围，再代入全班人数的计算式子，便可得出最多的人数与最少的人数。

遇到这种需要假设的题目，同学们一定要注意设，并且要知道设哪个。

如果这道题目假设了语文、数学得满分但英语没得满分的人数，虽然也能计算，但是会麻烦很多。

[举一反三]1， 在四年级二班里，有25名男生，有30名少先队员，有13名三好学生。

男少先队员有12人，男三好学生有6人，少先队员里的三好学生有5人，有3名女生既不是少先队员又不是三好学生。

那么四年级二班最少有多少人，最多有多少人？2， 某公司的员工为地震灾区捐款、献血和游行鼓励，每位员工至少参加了一项。

捐款的有40人，献血的有35人，游行的有25人，捐款、献血但是没有游行的有8人，捐款、游行但是没有献血的有12人，同时献血和游行的有10人。

那么这个公司最少有多少名员工，最多又有多少名呢？3， 小玉在黑板上写下了一些数，其中每个数都至少能被2、3、5之一整除。

被2整除的数有10个，被3整除的数有9个，被5整除的数有6个。

被2、3整除但是不被5整除的有4个，被2、5整除但是不被3整除的有3个、被3、5整除但是不被2整除的有2个。

那么小玉最少写下了几个数？最多又写下了几个呢？[例4]有28人参加田径运动会，每人至少参加跑、跳、投中的两种比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？题目就变画图来得清晰与直接。

[举一反三]1，有28人参加田径运动会，没有人同时参加跑、跳、投三种比赛。

已知有20人参加了跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是10人，只参加跳项目的有5人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？2，56名小朋友，每名小朋友胸前都戴着红、白、蓝三种颜色的花，每人每种花至多戴一朵。

有30名小朋友戴了红花，有15名小朋友戴了白花和蓝花，只戴一种花的有21人，他们中戴每个颜色的花的人数都相同。

那么有多少名小朋友三种花都戴了呢？3，一次聚会，对参与聚会的人规定，如果穿了西服，打了领带，则必须穿黑皮鞋。

来的50人里穿西服、打领带、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打领带但是没有穿西服的有6人。

那么有多少人没穿西服，没打领带，并且没穿黑皮鞋？[例5]某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

[评注]所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。

用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？另外，这道题目也帮助我们复习了质数与合数的概念和性质。

[举一反三]1，某校五年级三班有51人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有20人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有8人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

2，27块立方体，每个都用红、黄、蓝三种颜料中的一种或几种涂上了色。

已知涂了红色的有21块，涂了黄色和蓝色的立方体个数都各自是一个整数的平方。

同时涂了红、黄两色的有10块，同时涂了黄、蓝两色的有3块，同时涂了红、蓝两色的有2块。

仅有一块立方体三种颜色都涂了。

那么有多少块涂了黄色呢？3，有20名同学，爱唱歌的有8人，爱跳舞的有9人，爱演奏乐器的有10人，爱唱歌跳舞的有5人，爱唱歌和演奏乐器的有4人，爱跳舞和演奏乐器的有5人。

三种都爱的和三种都不爱的同学的个数都是一个质数，那么有多少名同学至少有一个爱好？[例6]有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？在容斥中进行扣除。

准确地画出“只有两次达到优秀”的人数在图中的位置，是解决此问题的关键。

[举一反三]1、学校先后举行数学、作文、自然三科竞赛，某班有25人报名参加。

其中14人参加数学竞赛，12人参加作文竞赛，10人参加自然竞赛，并且有4人参加数学作文两科竞赛，有2人参加数学、自然两科竞赛；只有1人三科竞赛都参加。

问有多少人参加作文、自然两科的竞赛？2、有A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有12人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人，三本书全都读过有多少人？3、某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？[例7]在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？[分析]显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。

我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。