数学八年级下册二次根式

∴当 x ≥5时， x 5有意义
1
（2）由1-3x≥0得x≤ 3
∴当 x ≤ 1时，
（3）由题意可知3 ：13
1 3x有意义
x0
x0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x 有意义；
1
变式：
x5
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。（默2） x5
x 5 0
解：由题意得
x
1
5
0
x-5 0
3、如果 x2 a(a 0) ，
那么x a 。
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）； 3、关系式中h 5t 2，用含有h的式子
表示t，则t为 h 。
5
新授:
a2 2500 b 3
ab c
(a b)2 (b c)2 c a
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简（：默9）
(b c a)2 + (c a b)2 - (b c a)2
解：原式 b c a c a b b c a
a,b,c是三角形三边, b c a 0,c (a b) 0,b (c a) 0
a （1）
2
a ,(a 0)
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
an (n为偶数） a
a (a 0)
思考：若 m(m m42)28m 416 m 4, （默8）
则m的取值范围是 _________
m4
m40
(m 4)2 ? 4 m m 4
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
2.已知 x 2y 与9 x y互 3为相反数，
∴ 当x＞5时， 1 在实数范围内有意义。
x5
1
x－52 （默3）
解:由题意得,
Q
x 52 0
x 52 0
x 52 0
x 25
求下列二次根式中字母 a 的取值范围（默4）
(1) a2
a2 (2) (a 1)2
(字1)母解(说数2时2.)a：解形，当明的：式其被取:时 字开值1a.-范，母方2当a围a的其数02被2是取字本开0全0值母身方体范的为数实围取非数本为值正身：范数为使围或非被为能负∵∴范都开：化数无字围有方全为或论 母是数体非能全a为实正a化a的体取数0数为的取实何1；形非值值数值2式负。.，0 a 0
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.
3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值. （默11）
若（a 2)2 3b c 2 0,则a b c 3
例3、当x是怎样的实数时， x 2 有最
小值？最小值是多少？ （解默：12）x 2 0
x 2 有什么性质？
x2 0
二次根式 a的双重非负性： x 2 0
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___; ;当a 0 时, a2 ___a_.
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2
a
a
(a a (a
0） 0)
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
t2 11
t2 1 1
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0 看到0指数,底数不为0
3
x2 2xy y2
解:原式 1
(x>0 )
2 解:原式 x 1
(x﹤y)
(1 2) 2 1
x 0 解:原式 (x y)2
x 0
xy
x 1 0 x y
原式 (x 1) x y 0
x
1
原式 （x y)
yx
例3、化简及求值：
a (1) 24 (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥Байду номын сангаас)表示。
复习
1、如果 x2 4，那么 x ±2 ；
2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
(5) 22 |2|=2 (6) (2)2 -|-2|=-2
2 3 ___3___
12 ___1__ 1
大
家 抢 答
2 2 5
2 ___5___
2 5
2 2
2
7 ____7__,
5 2 ___5_____
42 ______4___ 4
2 x 1 (x 1)
x 1
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2)2 3 b c 2 0,则a b c 3
1.已知 y x 4 4 x，你2 能求出 的x 值y吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。
快
速 判
1
3 2 ___3___,2
2 7
2
2
__7____,
3
2
1 3
2
21 _____3___,
断
4
5
2
5
________,5
2 3
2
2 _____3___
.
归纳
一般地，
( a )2 a（a≥0）
22 __2_,
52 _5__,
02 __0_,
| 2 | _2__; | 5 | _5__; | 0 | __0_ .
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
4.化简（默10）2p
p 2
0
(1 p)2
2
2 p
(a 1)2 ( a)2
解：原式 1 p (2 p) 解：原式 a 1 a
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看,
a 2先开方,后平方 a 2 a≥0
a2 先平方,后开方 a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
a0
a
a 0
x 2
当x= -2时，
x 2 有最小值0
2、2+ 3 x的最小值为＿2 ＿，此时x的值为
＿3＿。
当t是怎样的实数时， t2 1 有最 小值？最小值是多少？ （默13）
解： t2 1 0 当t=0时， t 2 1
t 2 1 0 有最小值1
t 2 1(不可能）
t2 0
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a 2
⑸ m 32
⑷ x (x 0)
a9
⑹ a 1 (a 3)
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) xx155 (2) 1 3x (3) 1 x 3 x
解：（1）由x-5≥0,得x ≥5
∵ a2 2a 2
(a2 2a 1) 1
(a 1)2 1 0
∴字母 a的取值范围是全体实数.
(a为任何实数) (a为任何实数)
(a 1)2(a=1)
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2 1
1 2a
3 a 32
解求：字（母1的）取由值题范意围得的：口诀（默5）
从a 左1看 0到右;a从上1看到下
(4) 1 2a a2 其中a= 3
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
(1) 24
a (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
解：原式 a2 a2 解：原式 ab
解：原式 22 4
a 0,b 0