2015线性A代数答案
2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)
当 k = −2 时，r(A, b) = 3 > r(A) = 2, 方程组无解。 当 k ̸= 1, −2 时，r(A, b) = 3 = r(A) = 3, 方程组有唯一解，其解为 k+1 , x = −k +2 1 x2 = x = 3 λ 1 0
1 , k+2 (k+1)2 k+2
2 二、 (15 分) k 取何值时，下述线性方程组有无穷多解、唯一解、或无解？ 有解时求 出所有的解。 kx + x2 + x3 = 1, 1 x1 + kx2 + x3 = k x + x + kx = k 2 1 2 3
解:
设方程组的系数矩阵为 A，增广矩阵为 (A, b). 对增广矩阵作行初等变换 1 1 k k2 1 1 k k2 −→ 0 k − 1 1 − k k − k 2 (A, b) −→ (5分) 1 k 1 k k 1 1 1 0 1 − k 1 − k2 1 − k3 当 k = 1 时，上述矩阵为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2) 反证：若 β + kα ∈ U , 则由 α ∈ U 以及 U 是线性子空间，得 β = (β + kα) − kα ∈ U, 矛盾。故对任何实数 k , β + kα ̸∈ U . (2分)
如果有两个不同实数 k1 , k2 , 使得 β + k1 α, β + k2 α ∈ W , 则 (k1 − k2 )α ∈ W , 矛 盾。 3） (证法一) 对真子空间的个数 s 用数学归纳法。当 s = 1 时， 3）显然成立。假定命题对 s 成立，下设 V 有 s + 1 个真子空间 V1 , V2 , · · · , Vs , Vs+1 , 不妨假定他们两两不 同。由归纳假设，对任何 i = 1, 2, · · · , s + 1，存在向量 αi , 当 j ̸= i 时，αi ∈ / Vj . 如果 V = V1 ∪ V2 ∪ · · · ∪ Vs ∪ Vs+1 , 那么 αi ∈ Vi . 考虑无穷多个向量 α1 + kα2 (k ∈ R)，其中一定有两个不同向量 α1 + k1 α2 , α1 + k2 α2 属于同一个子空间 Vt , (3分)
14-15-1线代试题答案
2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。
燕山大学线代作业本答案2015
2015版线性代数作业答案第一章 行列式 答案一. 填空 1. 2,5k j == 2. (1)n n - 3. 0 4. 1或2或3 5.1(1)!n n +-6. 3()a b a -7. –28，0 二. 选择题 1.d 2.b 3.c三. 计算 1. 1 2. txyz yz tz ty --- 3. –2(2)n -! 4.11()nn i i x x a -=+∑ 5.[]1(1)()n x n a x a -+--四. 1!2!3!(2)!(1)!!n n n --五. 提示：按第一列展开或数学归纳法。
六. (1)nx -第二、三章 矩阵及线性方程组 答案 (1)一．填空 1. 222123x x x ++，211213221223231323x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2. AB BA =，3. 2()3A B +，4. 101m λ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 5. A E ，6. 2-, 94 二．选择题 1. a 2. b 3. a 4. b 5. c 6. c 三. 计算 2208328310A B C -⎛⎫--=⎪--⎝⎭四. 1.不能相乘. 2. 31062136263626243836⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 3.11104⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 4. 16- 五*.(1) 证: 必要性 A B +是幂等矩阵0AB BA ⇒+=222()A B A B A AB BA B A AB BA B +=+=+++=+++0AB BA ⇒+=充分性由0AB BA += 2()A B A B ⇒+=+A ,B 为同阶幂等矩阵,222()A B A AB BA B A AB BA B +=+++=+++又0AB BA += 2()A B A B ⇒+=+.(2)证必要性 由()TT T AB B A AB AB BA ==⇒=而,,AB A B 均为n 阶对称矩阵,()()T T T AB AB B A BA ===充分性 由()(),T T T AB BA AB AB B A BA =⇒===又()T AB BA AB AB =⇒=.六. 1009822100504950105001AA A E A E ⎛⎫⎪=+-=-= ⎪⎪⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（2）一．填空题1. 112A - 2. -2 , 1 , 213122-⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭ 3. 22308-⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 22500 二．选择题1. c2. b3. c 三． 计算题1. 517117518751--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭2. 201030102B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭3. 1127312732683684A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭四．证明题1.证 (A 为n 阶方阵)()222()2A A E EA E A E E--=+-=220,2A E A E E A E A E +-=≠⇒+-均可逆且()()1122A E A E -+=- ()122A E A E -+-=2.证 2()a baA bA cE A A E E c c+=-⇒--= 3.证 ()()112k k KE A E A A E A A A A A---+++=+++----kE A E =-= 121()k E A E A A A --⇒-=++++4. ()100012001023020034B E A ⎛⎫ ⎪-⎪=+= ⎪-⎪-⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（3）一．填空题1. 22. 03. ,r m r n ≤≤4.=5. 1002075043⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ 二．选择题1. b, 2 . c, 3. C 4. a三．计算题1. 0132002100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2. 12101313221671A --⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭ 3. 52294212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 0λ= ()2R A =5. λ=5，1μ=6.(1)=0a , (2) 312X =111211-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（4）一．填空题1. 1r = ()232,,,n n k k k k k ----2,n k k 任意常数2. ()(),R A R A b n ==3. 32a b =4. 2a =- 二．选择题1. c2. c3. c4. D5. d三．求解线性方程组1. 12341101x x k x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ k R ∈2. 121234335244371244100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四．当1,2λλ==-时 有解,1λ= 123111010x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2λ=-123121210x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭五. 1λ≠ 10λ≠ 唯一解10λ= 无解1λ= 无穷多解 12123221100010x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭六．先把矩阵表达式转化为具体等式得到一个含4个未知数和两个待定常数的线性方程组，求出所有解（通解）即可解决: 当1,0a b =-=时121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中12,k k 为任意常数.第四章 向量组的线性相关性 答案（1）一. 填空题1. 12210a b a b -=2. ()4r A =3. 无4.0ml ≠ 二. 选择题1. a2. c3. d4. d5. c 三. 1. 线性相关 2. 线性相关 四. 可选12,αα为一个最大无关组31211599ααα=-+ 4126399ααα=+五.证明: 1. 易知1243ββββ-=- 即12340ββββ-+-= 所以1234,,,ββββ线性相关.2. 令 1122330k b k b k b ++=即 ()()()112123123222340k a k a a k a a a +++++= ()()123123233222340k k k a k k a k a +++++= 因为123,,a a a 线性无关所以 12323322023040k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===因此123,,b b b 线性无关3. (1) 设110m m k k k ααα++= 1(,,,m k k k 不全为0)则k 一定不为0,否则上式变为110m m k k αα+=而1,,m k k 不全为0, 1,,m αα线性相关与已知1,,m αα线性无关矛盾所以11mm k k kkααα--=- (2) 设11,m m l l ααα=++ 11m m s s ααα=++则有()()1110m m m l s l s αα-++-=因为1,,m αα线性无关, 所以 i i l s = ()1,2,,i m =，即表示法唯一4.设12r ，，，ααα为向量组的一个最大无关组，任取一线性无关的部分组12r ，，，βββ，有111112211 r r r r r c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βαβαβα，记12 r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭βββB =，12 r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααA =，11111r r r c c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 得B =CA ，()()()r r r r r ≤≤=B =CA C ，故()r r =C ，矩阵C 可逆，可得-1A =C B ，从而有12r ，，，ααα与12r ，，，βββ等价，故12r ，，，βββ也是一最大无关组。
2014_2015学年线性代数试题和答案
因为1）可知 R(B) 3, B 0
八、2）解：
1
E A 0
1
0
2
0
1
0 22
1
所以，A 的特征值为 1 0, 2 3 2.
所以，B 的特征值为 k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
（A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。
（A）A-AT；
（B）CACT（C为任意n阶矩阵）
（C）AAT；
（D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
2x1 2x2 x3 0
1、设线性方程组 x1 x2 2x3 0 的系数矩阵A，三阶
x1 x2 3x3 0
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1
2、设矩阵 A 0
2
0
，矩阵
B
(k
E
A)2
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 )2 (2k1 k2 )3 0
国为向量组 1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k2 k2
k3 k3
0 0
2k1 k2 0
由此求方程组的系数行列式 1 1 1
只有惟一零解，所以 线性无关。
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E
的特征值为： 2,2,5 ， B 20
4、设有向量组 1 (1,1,2)T ,2 (1,2,3)T ,3 (1,3, t)T ,
中国农业大学2015-2016(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。
所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。
2015-2016-1线性代数 B卷参考答案
拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。
2015版 线性代数 第一章 行列式 答案
第一章 行列式第一节 数域与排列 第二节 行列式定义一、填空1.（1）0；（2）5；（3）(1)2n n -；（4）(1)2n n -；（5）(1)n n - 3.11233442a a a a 和14233142a a a a -； （由n 阶行列式的定义） 4. 正 （6(1)-，注意将行标写为标准次序）；5. 1(1)n --；6. 2,1i j ==（将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；7. 2- （只有主对角线上的元素相乘为3x ）； 8.(1)2n n -； 9. 0； （提示：一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数，本题1n -次项为2x ，其系数为0，也即0a b c ++=，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；10. (1)2n n t -- 二、1. 0 （直接利用对角线法则，也可用性质计算）；2. abcd - （按n 阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积abcd 的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 abcd -）。
第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行（列）展开一、1. A （B,C,D 为充分条件）； 2 . C （由教材P23定理1.4.1可得）； 3. C ；4. A （2122232411110********cc c c A A A A +++==） 二、1、0（各列都加到第一列则第一列元素全为0） ；2、(1)na -⋅；（1111det()nij n nn a a a a a =,而1111det()nij n nna a a a a ---=--,每行提公因子1-）；3、0（由n 阶行列式的定义）；4、15（1212222232324242(1)(5)23071415D a A a A a A a A =+++=-⨯-+⨯+⨯+⨯=）；5、m n -， （11121311131311111211122122232123232121222122a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=-+）；6. 85，（12121(1)045x A +=-=，可解得45x =）。
2015线性代数练习题答案
2015线性代数练习题答案1001. 二阶行列式2一、单项选择题3k?0的充分必要条件是15kA. k?k? B. ?kC.?k?D. k?2或k?3100解析：按第一行展开：23k3k?1?A11?1?1?3?k2?0k15k13?521110?5设中第一行元素的代数余子式为A11,A12,A13,A1411112. ?4?1?3则A11?A12?A13?A14=A.0 B.2C.3D.71111110?5解析：A11?A12?A13?A14=?011112?4?1?3第二个等号：行列式的性质。
1103. 已知行列式x31中，代数余子式A12?0，则|A|? x2解析：A12?所以x?21?2x1?4?2x?02福建师范大学协和学院答题纸共页，第1页代入原行列式计算。
A. -B.C.D. 04.下列结论正确的是A. 若AB?AC,则B?CB. ?AB??A?1B?1T?1C. ?AB??BTATD. 若A2?0，则A=05.设向量组?1?,?2?,?3?,和?1?,?2?,则向量组间的关系是A. 向量组?1,?2,?3能被?1,?2线性表示，但?1,?2不能被?1,?2,?3线性表示B. 向量组?1,?2能被?1,?2,?3线性表示，但?1,?2,?3不能被?1,?2线性表示C. 向量组?1,?2和?1,?2,?3等价D.向量组?1,?2不能被?1,?2,?3线性表示，且?1,?2,?3不能被?1,?2线性表示R?3R?3R?2解析：R?R1,?2可以由?1,?2,?3线性表出R?2?R?3??1,?2,?3不可以由?1,?2线性表出6. 下列不是矩阵An?n可逆的充分必要条件的是A. 矩阵A为非奇异矩阵B. A?0C. 齐次线性方程组Ax?0有唯一解D. A满秩矩阵解析：A：定义。
?10?B：例如，??不是0矩阵，但是其行列式=0，不可逆。
00??福建师范大学协和学院答题纸共页，第2页A?0才是矩阵An?n可逆的充要条件。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
2015-16线代A卷答案
一个极大无关组，故所求向量组的秩为 3，且 α1, α2, α3 为它的一个极大无关组.
10 分
4 0 0
20.（本题
10
分）设实对称矩阵
A
0 0
3 1
1 3
，求正交矩阵
P，使 P1AP
.
4 0 0 解 | A E | 0 3 1 (4 )(2 6 8) (2 )(4 )2 0 ，
对于
2
3
4 ，由
(A 2E)x
0
，即
0
1
1
x2
0
，解得基础解系为
0 1 1 x3 0
(1, 0, 0)T , (0,1,1)T ，因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单
位特征向量： p2 (1, 0, 0)T , p3 (0,
1, 2
1 )T . 2
0
1
于是可得正交矩阵
3
2
1
2
3
1
1 1 ,2 0 ,3 0 .
6分
0
1
0
0
0
1
1
取
x3 x4 x5
0 0
,
0
得非齐次方程组的一个特解 0
2
0
0 0
，于是，所求方程
组的通解为 x 0 k11 k22 k33 , （k1, k2, k3 为任意实数）.
1 0
0
1 0 -2
-1 5 4
1 0 -1
0 5
2
1 0
0
1 0 0
-1 1 7
1 0 0
0 1
7
1 3 2 2 5 0 2 3 1 5 0 2 3 1 5
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
北大版线性代数答案
北大版线性代数答案【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分）1.（教材1.1）行列式a.13b.11c.10 （c ）。
d.1（ a）。
c.0d. 2.（教材1.1）行列式a.b.3.（教材1.2）行列式（ b）。
a.40b.-40c.0d.14.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。
a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.（教材1.3）行列式（b ）。
(提示：参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解，那么（d）。
6.（教材1.4）若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）11. 若0?3521x?0，则??__________。
?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。
?x?x?x?023?13．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶矩阵。
?a11?4．矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。
a32??25．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。
3. 向量组a1，a2，（）?0?14. a???0??0100?000??，则a?1?a。
（）?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。
()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
2015-2016-1线性代数试卷及答案
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2015 — 2016学年 第一学期课程名称：线性代数（共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ （5分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-00320541A ，矩阵B 满足*1BA E ABA +=-，求B 。
其中*A 是A 的伴随矩阵，1-A 是A 的逆矩阵，E 是三阶单位矩阵。
解 由已知有2-=A ，E A A 2*-=，所以有 B A AB 2-=A B E A =+⇒)2(|||||2|A B E A =+⇒又由于，12|2|=+E A 因此，61||-=B (5分)设21,αα和21,ββ都是线性无关的三维向量，证明：存在三维非零向量γ即可以由21,αα线性表示，也可以由21,ββ线性表示. 证明 由于四个三维向量必线性相关，所以存在不全为零的数4321,,,k k k k 使得 024132211=+++ββααk k k k 又由于21,αα和21,ββ都是线性无关的，所以21,k k 和43,k k 都不全为零，所以，只要取0--24132211≠=+=ββααγk k k k 即可. 分) 已知T )0,0,0,1(1=α,T )0,1,1,2(2=α，T )1,3,2,3(3--=α都是线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++-=-++23243432143214321x x x x d x x x cx b x x ax x 的解，求此方程组的通解。
解 由于T )0,1,1,1(12=-αα和T)1,3,2,4(13--=-αα是导出组的解，且线性无关，所以方 程组系数矩阵的秩2)(≤A R . 由于A 有二阶子式不等于0，所以2)(≥A R ，因此2)(=A R 。
所以，方程组的通解为：R k k k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121,,132401110001 注：若将i α带入方程可解得：3,3,1,2===-=d c b a ，通解只要满足2－1 ⎩⎨⎧-=+-=432431517x x x x x x分)设A是n阶方阵，A有特征向量α对应特征值2，T A有特征向量β对应特征值1，(1) 求αβT；(2)求矩阵Tβα的特征值；（3）问Tβα是否可以相似对角化，为什么？解 (1) 由已知有：αα2=A,ββ=TA,所以有αβαβαβTTT A2==于是，0=αβT(2) 由（1）得：0)(2==TTTβαβαβα所以，Tβα的所有特征值全为0.(3）由已知可知Tβα是非零矩阵，所以1)(=TRβα,所以属于特征值0只有1-n个线性无关的特征向量，所以，Tβα不能相似对角化.分)在向量空间3][xR中求由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵.解由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-+312211),,1()3,2,21(2222xxxxxxx所以，=),,1(2xx1222312211)3,2,21(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+xxxxx于是，由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵为：.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/16/16/52/12/113122111C分)一幢大的公寓建筑使用模块建筑技术，每层楼的建筑设计由三种设计中选择。
2014-2015-2-线性代数A卷答案
2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（，则（ B ）（A ）E ABDC = （B ）E CDAB = （C ）E ACBD = （D ）E BACD = 2. 设向量组I ：321,,a a a 可由向量组II ：21,b b 线性表示，则（线性表示，则（ C ） （A ）向量组II 必线性相关必线性相关 （B ）向量组II 必线性无关必线性无关（C ）向量组I 必线性相关必线性相关 （D ）向量组I 必线性无关必线性无关3. 设A 是 n (3³n ) 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（的伴随矩阵，则（ C ）（A ）A A A n 1**||)(-= （B ） A A A n 1**||)(+= （C ）A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=4. 设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,a a 是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，的两个不同的解， 则b Ax =的通解是（的通解是（ A ）（A ）121)(a a a +-k （B ）21a a +k （C ）121)(a a a ++k （D ） 221)(a a a --k5. 设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T=，则下列结论错误的是（，则下列结论错误的是（ D ） （A ）A 与B 相似相似 （B ）A 与B 等价等价 （C ）A 与B 有相同的特征值有相同的特征值 （D ）A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4 . 7. 设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22EA A +-____. 8. 设三阶矩阵),,(321a a a =A ，且1||=A ，则|),,(|13321a a a a a -+=____1___. 9. 已知矩阵A=÷÷÷øöçççèæ--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___. 10. 10. 设设21,l l 是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==x x 为 对应的特征向量，则对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11. 11. 若矩阵若矩阵AB 是可逆矩阵, 则矩阵B A ,均是可逆矩阵（均是可逆矩阵（ × ）. 12. 12. 若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（ √ ）. 13. 13. 若同阶矩阵若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（必为正交矩阵（ √ ）. 14. 若向量组321,,a a a 线性相关，则向量组133322211 , ,a a b a a b a a b +=+=+= 无关（无关（ × ）. 15. 若A 是23´矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，仅有零解， 则b Ax =有唯一解（有唯一解（ × ）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式a ba a ab a a a aa b a ab a D =的值的值. .解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a ab a b a b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a aa b b a 1111)3(+==3))(3( 0000 000 001111)3(a b b a ab a ba bb a -+=---+---10分17. 17. 利用初等变换求矩阵利用初等变换求矩阵÷÷÷øöçççèæ--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵的逆矩阵. .解：÷÷÷øöçççèæ--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ÷÷÷øöçççèæ-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分÷÷÷øöçççèæ---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ÷÷÷øöçççèæ----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r÷÷÷øöçççèæ--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32÷÷÷øöçççèæ-----¸1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313 所以的逆矩阵是÷÷÷øöçççèæ----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组ïîïíì=++=++=++040203221321321与方程12321-=++有公共解，有公共解，求的值及所有公共解解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组ïïîïïíì-=++=++=++=++1204023213221321321有解, 即),()(=.---------------------------------------------------------------------------3分 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-112104102101112 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----110)2)(1(0001100111~÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----)2)(1(001 10001100111~当1=或2=时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=时，,2),()(==对应的方程组的通解为Î÷÷÷øöçççèæ-=,1 0 1（2）当2=时，,3),()(==对应的方程组的唯一解为÷÷øöççèæ-=1 1 0.---10分 19. 求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=a a a ，T 4)2,2,4(-=a 的秩，的秩， 并求出一个极大无关组. 解：对÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分 ÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a ÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~ 所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,a a 为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20. 20. 设三阶实对称阵设三阶实对称阵的秩为的秩为22，621==l l 是的二重特征值的二重特征值..若,)0,1,1(T 1=a T 2)1,1,2( =a 都是的属于的属于66的特征向量的特征向量. .(1) (1) 求求的另一个特征值及所有对应特征向量的另一个特征值及所有对应特征向量 （（2）求矩阵.解：( 1 )因为三阶实对称阵的秩为2，所以332136||0l l l l ===，所以03=l .----2分 不妨设对应的特征向量为÷÷÷øöçççèæ=3213a ，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以 îíì=++=+02032121，其非零解是0,111¹÷÷÷øöçççèæ-=--------------------------------5分 （2）取,1113÷÷÷øöçççèæ-=a 令),,(321a a a ==÷÷÷øöçççèæ- 1 1 01 1 11 2 1,则÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ=-0 6 63211所以÷÷÷øöçççèæ---÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ-=÷÷÷øöçççèæ=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61=÷÷÷øöçççèæ--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题分，共分）21. 已知为阶矩阵，且=2，证明.)()(=-+证明：证明： 令-=，所以0=从而£-+)()(--------------------------3分又因为)()())((+£-+，从而)()()(-+£=. 因此.)()(=-+------------------------------------------------------------5分22. 已知矩阵+,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+必可逆. 证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+--------------4分所以矩阵11--+必可逆.--------------------------------------------------------------5分。
北大版线性代数答案
北大版线性代数答案【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分）1.（教材1.1）行列式a.13b.11c.10 （c ）。
d.1（ a）。
c.0d. 2.（教材1.1）行列式a.b.3.（教材1.2）行列式（ b）。
a.40b.-40c.0d.14.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。
a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.（教材1.3）行列式（b ）。
(提示：参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解，那么（d）。
6.（教材1.4）若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）11. 若0?3521x?0，则??__________。
?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。
?x?x?x?023?13．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶矩阵。
?a11?4．矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。
a32??25．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。
3. 向量组a1，a2，（）?0?14. a???0??0100?000??，则a?1?a。
（）?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。
()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
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A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D） A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
5．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于（C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．排列 246(2n 2)(2n)135(2n 3)(2n 1) 的逆序数为
角阵.(12 分） 解：先求 A 的特征值、特征向量，由特征多项式，有
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
类似地,
4
| E A |
0 0
0 3 1
0 1 ( 2)(4 ) 2 ................................3 分(2 分) 3
1，2，3 线性无关
x1 x3 0 x1 x2 0 x x 0 2 3 1 0 1
对 1 2, 由 (2 E A) x 0 ，
0 得到特征向量 p1 1 , 3 4, 由 (4 E A) x 0
1 1 0 0 2 3 C. 0 1 0 D. 0 1 0 0 0 2
1
5 11 0 5
1 1 0 5
1 1 3 1 1 3 0 0
......................................3 分
0 1 2 0
A 3E
1 1 1 A 4E E ,故 A 3 E A 4 E 10 10
A 的特征值是 1 2, 2 3 4.
........................................5 分(3 分) 2. 设向量组 a1, a2 , a3 线性无关 , b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a1 , 讨论向量组 b1, b2 , b3 的线性相 关性. （10 分） ........................................8 分(5 分) 证明：设存在 x1, x2 , x3 使 x1b1 x2b2 x3b3 0 ,即 x （ ） x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) 0, ..2 分 1 1 2 亦即 （ x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0. ......................................3 分
.
： 系（部）
第一页（共三页）
0 1 0 1 1 2、设矩阵方程 X AX B ，其中 A 1 1 1 ， B 2 0 , 求 X .(10 分) 1 0 1 5 3
ax1 2 x2 3x3 4, 4．当 a ， b 取何值时，方程组 2 x2 bx3 2, 有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷 2ax 2 x 3 x 6 2 3 1
四．证明题（共 16 分） 1.已知 A 是 n 阶方阵,且满足 A2 A 2E 0( E 是 n 阶单位阵),证明 A E 和 A 3E 可 逆,并求其逆矩阵. （6 分） 证明:
1 1 1 A 2 A 2 E 0, A A E E ,即 A E A 2 2
桂林理工大学考查试卷 （2014~2015 学年制第二学期）
课程名称： 线性代数 命题者： 试题库 试卷编码： （下）
题 号 得 分 学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效 一 二 三 四
4． n 阶方阵 A 有两个不同的特征值 1 , 2 ，对应的特征向量分别是 p1 和 p2 ，则 p1 和 p2 线性无关. 5．设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为 –2 .
1 0 得到特征向量 p2 0 , p3 1 . .......................................12 分(7 分) 0 1
p2 与 p3 恰好正交，所以 p1 , p2 , p3 两两正交. 再将 p1 , p2 , p3 单位化，令 i pi || pi || (i 1,2,3)
n(n 1) 2
. .
2．若 A，B 均为 3 阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝____ -54
x1 x 2 x3 0 3．若齐次线性方程组 x1 x 2 x3 0 只有零解，则 应满足 x x x 0 2 3 1
1
分
=
3．设矩阵
3 1 2 A= 1 0 1 ，A*是 2 1 4
5 1 1 6 2 6 2 0 30 10 40. ....................................10 5 5 5 5 0
分
A 的伴随矩阵，则 A *中位于第一行第二列的元素是（B）
......................10 分
1 1 0 2 0 .................................................7 分 0 1 1
故所求正交矩阵
0 P (1 ,2 ,3 ) 1 / 2 1/ 2 1 0 0 1 / 2 且 P 1 AP 0 1/ 2 2 0 0 0 4 0 . ..................12 分 0 0 4
1
2 (1) 当 a 0 ，且 b 3 时，方程组有唯一解 , 1, 0 ...............................7 分 a
(2) 当 a 0 时， b 方程组均无解。 .....................................9 分
密封线 装订线
0 0 1
B.
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1 3
0 1 3 0
=
5 1 1 11 1 1 .................................................6 5 5 0
[A]卷 考核年级： 2014 级
五 总分
三、解答下列各题（共 54 分）
3 1 1 3 1 3 2 4 .的值. (10 分) 1 3
一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1．设行列式 A. m+n 2．设矩阵
1 3 A. 0 0
a 11 a 21 a 12 a =m， 13 a 22 a 23 a 11 a =n，则行列式 11 a 21 a 21 a 12 a 13 a 22 a 23
T
T
T 2 (3) 当 a 0 ，且 b 3 时，方程组有无穷多解 , 1, 0 k 0, 3, 2 。..............12 分 a
密封线 装订线
3、求向量组 1 (1， 2， 3， 4)T ,2 (1，， -1 1， -1)T , 3 (21 ， ， 4， 3)T , 4 (1， 1，， -1 -1)T 的一个极大无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示． (10 分) 解：解：对由该向量组组成的矩阵作初等行变换化为行最简形，得： 1 0 1 0 0 1 1 0 r ˆ (b1 , b2 , b3 , b4 ) ．................6 分 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 0 0 0 1 0 0 0 0
： 系（部）
第二页（共三页）
4 0 0 5、(文科做,工科不做)求矩阵 A 0 3 1 , 的特征值和特征向量． （12 分） 0 1 3 4 0 0 5、(工科做,文科不做)设 A 0 3 1 , 求一个正交矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角矩阵，并写出对 0 1 3
1、试计算行列式 等于（ D. m-n D ）
3 5 2 1
0 0 1
5 1 2 0 1 5
B. -(m+n) C. n-m
1 0 0 A= 0 2 0 ，则 0 0 3
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
A- 等于（ B ）
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示其通解．(12 分) 解：对增广矩阵作初等行变换，有
3 4 a 2 3 4 a 2 3 4 a 2 3 2 ............................5 分 0 2 b 2 0 2 b 2 0 2 2a 2 3 6 0 2 3 2 0 0 b 3 0
1 0 0 3 1 r 0 1 0 2 0 ....................................7 分所以 0 0 1 1 1 3 1 X ( E A) B 2 0 ..............................................10 分 1 1
方程组(1)只有零解 x1 x2 x3 0 .......................................8 分 向量组 b1, b2 , b3 线性无关. ...........................................10 分
解：由 X AX B ，得 X ( E A) 1 B