2015线性A代数答案

专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
由此可得： (1) a1 , a2 , a4 为一个极大无关组；
.......................................8 分
(2) 由 b3 b1 b2 知 a3 a1 a2 ．.........................................10 分
： 系（部）
第二页（共三页）
4 0 0 5、(文科做,工科不做)求矩阵 A 0 3 1 , 的特征值和特征向量． （12 分） 0 1 3 4 0 0 5、(工科做,文科不做)设 A 0 3 1 , 求一个正交矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角矩阵，并写出对 0 1 3
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示其通解．(12 分) 解：对增广矩阵作初等行变换，有
3 4 a 2 3 4 a 2 3 4 a 2 3 2 ............................5 分 0 2 b 2 0 2 b 2 0 2 2a 2 3 6 0 2 3 2 0 0 b 3 0
(1).................................................5 分
得
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
0 1 0 1 1 / 2 , 2 0 , 3 1 / 2 . 1/ 2 0 1 / 2
1，2，3 线性无关
x1 x3 0 x1 x2 0 x x 0 2 3 1 0 1
对 1 2, 由 (2 E A) x 0 ，
0 得到特征向量 p1 1 , 1
密封线 装订线
对 2 3 4, 由 (4 E A) x 0

方程组(1)只有零解 x1 x2 x3 0 .......................................8 分 向量组 b1, b2 , b3 线性无关. ...........................................10 分
1 0 得到特征向量 p2 0 , p3 1 . .......................................12 分(7 分) 0 1
p2 与 p3 恰好正交，所以 p1 , p2 , p3 两两正交. 再将 p1 , p2 , p3 单位化，令 i pi || pi || (i 1,2,3)
密封线 装订线
0 0 1
B.
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1 3
0 1 3 0
=
5 1 1 11 1 1 .................................................6 5 5 0
T
T
T 2 (3) 当 a 0 ，且 b 3 时，方程组有无穷多解 , 1, 0 k 0, 3, 2 。..............12 分 a
密封线 装订线
3、求向量组 1 (1， 2， 3， 4)T ,2 (1，， -1 1， -1)T , 3 (21 ， ， 4， 3)T , 4 (1， 1，， -1 -1)T 的一个极大无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示． (10 分) 解：解：对由该向量组组成的矩阵作初等行变换化为行最简形，得： 1 0 1 0 0 1 1 0 r ˆ (b1 , b2 , b3 , b4 ) ．................6 分 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 0 0 0 1 0 0 0 0
四．证明题（共 16 分） 1.已知 A 是 n 阶方阵,且满足 A2 A 2E 0( E 是 n 阶单位阵),证明 A E 和 A 3E 可 逆,并求其逆矩阵. （6 分） 证明:
1 1 1 A 2 A 2 E 0, A A E E ,即 A E A 2 2
解：由 X AX B ，得 X ( E A) 1 B
1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 r 0 1 1 1 1 ( E A, B) 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 2 5 3 1 1
.
： 系（部）
第一页（共三页）
0 1 0 1 1 2、设矩阵方程 X AX B ，其中 A 1 1 1 ， B 2 0 , 求 X .(10 分) 1 0 1 5 3
ax1 2 x2 3x3 4, 4．当 a ， b 取何值时，方程组 2 x2 bx3 2, 有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷 2ax 2 x 3 x 6 2 3 1
桂林理工大学考查试卷 （2014~2015 学年制第二学期）
课程名称： 线性代数 命题者： 试题库 试卷编码： （下）
题 号 得 分 学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效 一 二 三 四
4． n 阶方阵 A 有两个不同的特征值 1 , 2 ，对应的特征向量分别是 p1 和 p2 ，则 p1 和 p2 线性无关. 5．设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为 –2 .
A 3E
1 1 1 A 4E E ,故 A 3 E A 4 E 10 10
A 的特征值是 1 2, 2 3 4.
........................................5 分(3 分) 2. 设向量组 a1, a2 , a3 线性无关 , b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a1 , 讨论向量组 b1, b2 , b3 的线性相 关性. （10 分） ........................................8 分(5 分) 证明：设存在 x1, x2 , x3 使 x1b1 x2b2 x3b3 0 ,即 x （ ） x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) 0, ..2 分 1 1 2 亦即 （ x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0. ......................................3 分
n(n 1) 2
源自文库
. .
2．若 A，B 均为 3 阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝____ -54
x1 x 2 x3 0 3．若齐次线性方程组 x1 x 2 x3 0 只有零解，则 应满足 x x x 0 2 3 1
1
1
2 (1) 当 a 0 ，且 b 3 时，方程组有唯一解 , 1, 0 ...............................7 分 a
(2) 当 a 0 时， b 方程组均无解。 .....................................9 分
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D） A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
5．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于（C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．排列 246(2n 2)(2n)135(2n 3)(2n 1) 的逆序数为
1、试计算行列式 等于（ D. m-n D ）
3 5 2 1
0 0 1
5 1 2 0 1 5
B. -(m+n) C. n-m
1 0 0 A= 0 2 0 ，则 0 0 3
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
A- 等于（ B ）
角阵.(12 分） 解：先求 A 的特征值、特征向量，由特征多项式，有
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
类似地,
4
| E A |
0 0
0 3 1
0 1 ( 2)(4 ) 2 ................................3 分(2 分) 3
[A]卷 考核年级： 2014 级
五 总分
三、解答下列各题（共 54 分）
3 1 1 3 1 3 2 4 .的值. (10 分) 1 3
一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1．设行列式 A. m+n 2．设矩阵
1 3 A. 0 0
a 11 a 21 a 12 a =m， 13 a 22 a 23 a 11 a =n，则行列式 11 a 21 a 21 a 12 a 13 a 22 a 23
1 0 0 3 1 r 0 1 0 2 0 ....................................7 分所以 0 0 1 1 1 3 1 X ( E A) B 2 0 ..............................................10 分 1 1
......................10 分
1 1 0 2 0 .................................................7 分 0 1 1
故所求正交矩阵
0 P (1 ,2 ,3 ) 1 / 2 1/ 2 1 0 0 1 / 2 且 P 1 AP 0 1/ 2 2 0 0 0 4 0 . ..................12 分 0 0 4
分
=
3．设矩阵
3 1 2 A= 1 0 1 ，A*是 2 1 4
5 1 1 6 2 6 2 0 30 10 40. ....................................10 5 5 5 5 0
分
A 的伴随矩阵，则 A *中位于第一行第二列的元素是（B）
1 1 0 0 2 3 C. 0 1 0 D. 0 1 0 0 0 2
1

5 11 0 5
1 1 0 5
1 1 3 1 1 3 0 0
......................................3 分
0 1 2 0