2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷(文科)(7月份)
2020届安徽省六安市一中2017级高三高考适应性考试数学(文)试卷参考答案
8．【答案】B 解：由等比数列的性质，可得 a1a11 2a6a8 a3a13 a62 2a6a8 a82 (a6 a8 )2 25 ，
又因为 an
0 ，所以 a6
a8
5 ，所以
a72
a6
a8
( a6
2
a8
)2
25 4
，故选：B.
9．【答案】D
解：把函数
y
sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位得到
3．B
4．【答案】C 解：①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在
区间
内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为
正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故
④不正确．故选：C．
5．【答案】 A 圆柱高为 3 ，从而圆锥高为 2 3 ，V 1 22 2 3 8 3
2ac
2bc
即 b2 c2 a2 bc （3 分）
所以 cos A b2 c2 a2 1 （5 分） 因为 0 A ，所以 A （6 分）
2bc
2
3
（2）解法一：由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，
得 bc 4 b2 c2 ，（7 分）即 (b c)2 3bc 4 ．因为 bc (b c )2 ， （9 分） 2
7．【答案】A 解；A 选项中命题的否定是：若 xy 0 ，则 x，y 都不为零，故 A 不正确；B 选项是 一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结
论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出 x 1 ，故 D
【数学】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(九)(文)(解析版)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）（文）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z 满足2(1i)(1i)z -=+（i 为虚数单位），则z = （ ） A ．0BC ．2D．2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为（ ）ABC．1D．16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且432110,99S a S ==，若()72M a =，()e496,log N a P a ==，则,,M N P 的大小关系为 （ ）A ．M P N >>B ．M N P >>C ．N M P >>D ．N P M >>7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 （ ）A ．16πB ．18πC ．20πD ．24π8．已知单位向量,a b 的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b ，且⊥m n ，则=n （ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值是35，则判断框内应补充的条件为 （ ）A ．9i ≤B ．10i ≤C ．11i ≤D ．12i ≤10．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>一个焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，O 是原点，若ABO △是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A B C D 11．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）A ．|cos3|x xB ．1cos22xx +C ．22225(4)(49)x x x ππ--D ．|sin 2|x x12．设定义在R 上的函数()y f x =满足对任意t ∈R 都有1(2)()f t f t +=，且 (0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，则(2016),4(2017),2(2018)f f f 的大小关系是（ ）A ．2(2018)(2016)4(2017)f f f <<B ．2(2018)(2016)4(2017)f f f >>C ．4(2017)2(2018)(2016)f f f <<D ．4(2017)2(2018)(2016)f f f >>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=-+，则函数()f x 图象的对称轴为 .14．已知直线1:250l x y +-=与直线()2:50l mx ny n -+=∈Z 相互垂直，点()2,5到圆()()22:1C x m y n -+-=的最短距离为3，则mn = .15．已知点(,)x y 满足280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，求11x z y +=-的取值范围为 .16．已知数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，数列{}n b 对*n ∈N ，有1122n n n S b S b S b a +++=L ，求122017b b b +++=L .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.（1）求a b；（2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）如图，正三棱柱A B C ABC '''-中，D 为AA '中点，E 为BC '上的一点，,AB a CC h '==. （1）若DE ⊥平面BCC B ''，求证：BE EC '=.（2）平面BC D '将棱柱A B C ABC '''-分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为1V ，下面一个几何体的体积为2V ，求12,V V .19．（12分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为[40,45),[45,50)，[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)由此得到右图所示频率分布直方图.（1）求a的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；（2）从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？20．（12分）已知()(),0P x y y ≥是曲线Ω上的动点，且点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1.直线1:10l x y -+=与直线2:320l x y -=的交点为Q .（1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）已知,A B 是曲线Ω上不同的两点，线段AB 的垂直垂直平分线交曲线Ω于,C D 两点，若,A B 的中点为Q ，则是否存在点R ，使得,,,A B C D 四点内接于以点R 为圆心的圆上；若存在，求出点R 坐标以及圆R 的方程；若不存在，说明理由.21．（12分）已知函数2()2ln 2(1)f x a x a x x =-++(1)a ≤. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间21[,]e e上有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．【答案】B 【解析】注意到23(1i)(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +++====-+--+，则z ，故选B.2．【答案】C 【解析】依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =--，故{}1,2,3A B =I ，故A B I 的真子集个数为7，故选C.3．【答案】C 【解析】由22222()()()xy yz x y y z +=++，得22242xy z x z y =+，即22()0xz y -=，2xz y =，从而z yy x=，以上推导过程均是可逆的，故选C.4．【答案】B 【解析】可知当1x <-时，2||2x x >-，此时()f x x =-.当11x -≤≤时，可得2||2x x -≤，此时2()2f x x =-.当1x >时，2||2x x >-，此时()f x x =.综上，2,1()2,11,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，可得当1x =-或1x =时()f x 取得最小值1，故选B.5．【答案】D 【解析】依题意，不妨设2AB =，故正六边形ABCDEF的面积2126S =⨯=Ω的面积2214233πS π=⨯⨯=，故所求概率41πP ，故选D.6．【答案】B 【解析】依题意，242101011993S q q S =⇒+=⇒=，故246111,,327243a a a ===，则97e 3e 1111,,log 03273243M N P ====<，故M N P >>，故选B. 7．【答案】C 【解析】将三视图还原，可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积2222222220S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯=，故选C.8．【答案】B 【解析】依题意，⊥m n ，故()240λ⋅-=a a b ，故2820λ-⋅=a a b，故40λ⎛-⋅= ⎝⎭，解得λ=-4=+n a，故()22416=+=n a ，故4=n 9．【答案】C 【解析】当2i =，可得2,2T a S a =+=+； 当3i =，可得1,3T a S =-+=； 当4i =，可得5,8T a S a =-+=-+； 当5i =，可得,8T a S ==； 当6i =，可得6,14T a S a =+=+； 当7i =，可得1,15T a S =-+=； 当8i =，可得9,24T a S a =-+=-+； 当9i =，可得,24T a S ==； 当10i =，可得10,34T a S a =+=+； 当11i =，可得1,35T a S =-+=.故判断框内应补充的条件为11?i ≤，故选C.10．【答案】D 【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(,0)c 代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为22(,),(,)b b c c a a -，由于ABO △是等边三角形，则可得2tan 30b ac =︒，从而22a c ac -=，即1e e -=，解之得ee =，故选D.11．【答案】B 【解析】由图象可得当0x >，()0f x ≥，故可排除C ，因为当322x ππ<<时，22225(4)(49)0x x x ππ--<.当322x ππ<<，可得()0f x >，而当x π=时，|sin 2|0x x =，故可排除D 选项，当56x π=时，|cos3|0x x =，故可排除A 选项，故选B. 12．【答案】C 【解析】由于1(2)()f t f t +=，故对任意t ∈R 有11(4)()1(2)()f t f t f t f t +===+，则()y f x =为周期函数，周期为4.当(0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，可得()()0xf x f x '->，构造函数()()((0,4])f x F x x x =∈，2()()()0xf x f x F x x '-'=>，故()F x 在区间(0,4]上单调递增，则(1)(2)(4)124f f f <<， 即4(1)2(2)(4)f f f <<.注意到(2017)(45041)(1)f f f =⨯+=，(2018)(45042)(2)f f f =⨯+=，(2016)(45034)(4)f f f =⨯+=，故由4(1)2(2)(4)f f f <<可得4(2017)2(2018)(2016)f f f <<，故选C.13．【答案】()84k x k ππ=+∈Z 【解析】依题意，21cos(4)112()sin (2)sin 44222x f x x x ππ--=--=-=-， 由4,2x k k ππ=+∈Z 得84k x ππ=+，故11()sin 422f x x =-关于直线()84kx k ππ=+∈Z 对称. 14．【答案】2【解析】依题意，20m n -=31+ ②；联立两式，解得2,1m n ==，故2mn =.15．【答案】3[,5]2【解析】不等式组280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥所表示的平面区域如图所示阴影部分（包括边界），其中,,A B C 为直线的交点，11(1)y z x -=--表示阴影部分区域内的点与点(1,1)P -连线的斜率，计算可得,,A B C三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得1(1)y x ---的最大值为3122(1)3AP k -==--，1(1)y x ---的最小值为2114(1)5BP k -==--，故112[,]53z ∈，从而3[,5]2z ∈.16．【答案】20171009【解析】由条件(1)n S n n =+可得112a S ==，当2n ≥，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，从而数列{}n a 的通项公式2()n a n n *=∈N .当2n ≥时，由1122n n n S b S b S b a +++=L 得1122111n n n S b S b S b a ---+++=L ，将此二式相减，可得1n n n n S b a a -=-，1222(1)1n n n n a a b S n n n n --===-++.当1n =时，得1111,1S b a b ==， 符合表达式221n b n n =-+，故数列{}n b 的通项公式为22()1n b n n n *=-∈+N ， 从而12201722222222017()()()212232017201820181009b b b +++=-+-++-=-=L L .17．【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin A B=或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a A b B ==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=，解得c ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，则sin 2sin B A B =222cos 2b c a A bc +-=，从而sin()sin cos cos sin (A B A B A B -=-.（12分） 18．【解析】（1）如图，取BC 中点F ，连接,AF EF .Q 棱柱A B C ABC '''-为正三棱柱，∴ABC △为正三角形，侧棱,,AA BB CC '''两两平行且都垂直于平面ABC .∴AF BC ⊥，AF BB '⊥Q ,BC BB '⊂平面BCC B ''，BC BB B '=I ，∴AF ⊥平面BCC B ''，Q DE ⊥平面BCC B ''，∴//DE AF ，,,,A F E D ∴四点在同一个平面上.Q //AA '平面BCC B ''，AA '⊂平面AFED ，平面BCC B ''I 平面AFED EF =，∴//AA EF '，Q //AA CC ''，∴//EF CC '，E ∴为BC '中点，即BE EC '=.（6分）（2）正三棱柱A B C ABC '''-的底面积212S a =⨯，则体积2V h =. 下面一个几何体为四棱锥B ACC D '-，底面积13=()224ACC D h S h a ah '⨯+⨯=梯形，因为平面ABC ⊥平面ACC A ''，过点B 作ABC △边AC 上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面ACC A ''，故四棱锥B ACC D '-的高，则221334V ah h =⨯=，从而22212V V V h h h =-=.（12分） 19．【解析】（1）由于小矩形的面积之和为1，则(0.0340.0650.020.01)51a a a ++++++⨯=，由此可得0.008a =.（3分）该厂工人一天生产此产品数量的平均值(42.50.00847.50.0352.50.032=⨯+⨯+⨯+)57.50.0662.50.0467.50.0272.50.01557.35⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（6分）（2）生产产品数量在[55,60)的工人有0.06510030⨯⨯=人，生产产品数量在[60,65)的工人有0.0085510020⨯⨯⨯=人，生产产品数量在[65,70)的工人有0.02510010⨯⨯=人，生产产品数量在[70,75]的工人有0.0151005⨯⨯=人，故用分层抽样法从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中抽样，抽取人数分别为301363020105⨯=+++人，201343020105⨯=+++人，101323020105⨯=+++人，51313020105⨯=+++人.（12分） 20．【解析】（1）因为点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1，则点P 到()0,1的距离与点P 到直线1y =-的距离相等；故点P 的轨迹为抛物线24x y =，即曲线Ω的轨迹方程为24x y =；（5分）（2）联立10,320,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩故()2,3Q ；设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211224,4x y x y ==，根据点差法，两式相减， 整理得12121214AB y y x x k x x -+===-， 所以直线AB 的方程是10x y -+=，直线CD 的方程是50x y +-=，联立2450x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得(2(2C D --+-+-，从而有CD =联立2410x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得(2(2A B --++，有8AB =；设CD 的中点为R ，则(2,7)R -，从而有2CDRA RB ==，故,,,A B C D 四点共圆且(2,7)R -为圆心，故圆R 的方程是22(2)(7)48x y ++-=.（12分）21．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22(1)()()2(1)2a x x a f x a x x x--'=-++=， 令()0f x '=可得1x =或x a =.下面分三种情况.①当0a ≤时，可得0x a ->，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 此时()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).②当01a <<时，由()0f x '>得0x a <<或1x >，由()0f x '<得1a x <<， 此时()f x 的单调递增区间为(0,),(1,)a +∞，单调递减区间为(,1)a .③当1a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（6分） （2）由（1）得，当0a <时，()f x 在1x =处取得最小值21a --，且()f x 在区间21[,]e e内先减后增，又224242()42(1)(24)20f e a a e e e a e e =-++=--+->，212(1)1()2a f a e e e +=--+，要使得()f x 在区间21[,]e e上有两个零点， 必须有1()0f e≥且210a --<，由此可得12122(1)e a e e --<-+≤. 当0a =时，2()2f x x x =-，显然()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当10a e <≤时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先减后增， 又21221()2()0a f a e e e e=----<，2242242()(24)2(24)20f e e a e e e e e =--+->--+->， 故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当11a e <<时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先增，先减，后增. 又22()2ln 2(1)2ln (2)0f a a a a a a a a a a =-++=-+<,2242()(24)20f e e e e >--+-＞，故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当1a =时，由（1）得()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点.综上，a 的取值范围是121(,]22(1)e e e ---+.（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=，得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)， 化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组， 得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-.当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩，此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分）23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得0x ≤，结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥， 结合2x ≥得此时103x ≥. 综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分） （2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立，故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++，()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+， ()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+， ()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥， 要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高考适应性考试数学(文)试题
4．对甲、乙两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图， 下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
A． 8 3 3
B． 4 3 3
C． 2 3 3
D． 2 3
6．已知函数
f
(x)
e x x2
ex (x 0) (x 0)
，若
a
50.01 , b
3 2
log32 , c
六安一中 2020 届高三年级适应性考试
文科数学试卷
命题人：
审题人：
时间：120 分钟
满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每一小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的．
1．已知 A x Z x 1 ，集合 B x log2 x 2 ，则 A B （ ）
8．在各项均为正数的等比数列an 中， a1a11 2a6a8 a3a13 25 ，则 a72 的最大值是（ ）
A．25
B． 25 4
C．5
D． 2 5
9．把函数 y sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）
6
后得到函数 y f (x) 的图象，对于函数 y f (x) 有以下四个判断：①该函数的解析式为
log 20.9
，则有（
）
A． f (b) f (a) f (c) C． f (a) f (c) f (b)
B． f (a) f (b) f (c) D． f (c) f (a) f (b)
7．下列命题错误的是( ) A．命题“若 xy 0 ，则 x，y 中至少有一个为零”的否定是：“若 xy 0 ，则 x，y 都不为零”
安徽省六安市第一中学2020届高三数学上学期第二次月考试题文(含解析)
六安一中 2020 届高三年级第二次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】, ∴复数的共轭复数是应选： C点睛：除法的重点是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．2. 若，且，则角的终边位于（）A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 B【分析】∵ sin α＞ 0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴，∵由 tan α＜ 0，∴角α 的终边位于二四象限，∴角α 的终边位于第二象限．应选择 B．3. 已知函数，此中为实数，若对恒成立，且，则的单一递加区间是（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】 A【分析】若对恒成立，则为函数的函数的最值，即 2× +φ=kπ + ， k∈ Z，则φ=kπ + ， k∈Z，又 f （）＞ f （π）， sin （π +φ） =﹣sin φ＞ sin （2π +φ） =sin φ， sin φ＜ 0．令 k=﹣1，此时φ=﹣，知足条件sin φ＜ 0，令 2x﹣∈ [ 2kπ﹣，2kπ + ]，k∈ Z，解得： x∈ [ kπ + ，kπ +] （ k∈ Z）．则 f （ x）的单一递加区间是[ kπ + ，kπ +] （ k∈ Z）．应选 C．4.A. B.-1 C. D.1【答案】 D【分析】，应选： D.5.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 C考点：余弦定理。
6.已知，则A.9B.3C.1D.2【答案】 C【分析】试题剖析：,可得，即，又解得，，.应选 B.考点： 1、向量的模，2、向量的数目积的运算.7.已知函数，此中，若的值域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】∵的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤≤，可解得 a∈．应选： D．8. 若，，且，则的值是（）A. B. C.或 D. 或【答案】 A【分析】∵，∴，又 0＜＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又，∴β﹣α∈（，π），∴ cos （β﹣α） =﹣=﹣，∴ cos（α +β） =cos[ 2α +（β﹣α） ] =cos2αcos（β﹣α）﹣ sin2 αsin （β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），，∴（α +β）∈（，2π），∴α +β=，应选： A．点睛：求角问题一般包括三步：第一步明确此角的某个三角函数值，第二步依据条件限制角的范围；第三步求出此角 .9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所构成，该八边形的面积为（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积. 故此题正确答案为 A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】此题是一道对于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；第一依据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，从而获得正方形的面积，最后获得答案.10.已知函数，此中为实数，若对恒成立，且，则的单一递加区间是（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】若对恒成立，则为函数的函数的最值，即 2× +φ=kπ + ， k∈ Z，则φ=kπ + ， k∈Z，又 f （）＞ f （π）， sin （π +φ） =﹣sin φ＞ sin （2π +φ） =sin φ， sin φ＜ 0．令 k=﹣1，此时φ=﹣，知足条件sin φ＜ 0，令 2x﹣∈ [ 2kπ﹣，2kπ + ]，k∈ Z，解得： x∈ [ kπ + ，kπ +] （ k∈ Z）．则 f （ x）的单一递加区间是[ kπ + ，kπ +] （ k∈ Z）．应选 C．11.在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】如图，设∠ PAE=θ，，则：；又；∴；∴；∴的最大值为．应选 B．12.若，实数知足方程组则（）A. 0B.C.D. 1【答案】 D【分析】，由②化简得：8y3﹣（ 1+cos2y ） +2y+3=0，整理得：﹣ 8y 3+cos2y ﹣ 2y﹣ 2=0，即（﹣ 2y）3+cos（﹣ 2y） +（﹣ 2y）﹣ 2=0，设 t= ﹣2y ，则有 t 3+cost+t ﹣ 2=0，与方程①对照得： t=x ，即 x=﹣ 2y，∴ x+2y=0，则 cos （x+2y ） =1．应选 D点睛：解题重点依据两个方程的结构特色，结构新函数借助新函数的性质明确从而获得的值 .x 与y 的关系,第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题13.在中，5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上），且的面积为，则__________ ．【答案】【分析】依据题意，的面积为：，则，在中，由余弦定理有：.14.2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）. 假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于__________．【答案】【分析】试题剖析：由题意得，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，∴1=5cosα - 5sin α，∴c osα - sin α=．因为α为锐角， cos 2α+sin 2α=1，∴ cosα=，sin α=，∴考点：此题考察三角函数的应用评论：用三角函数来表示正方形的边长，列方程求解15.如图，是边长为 4 的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的取值范围是__________ ．【答案】【分析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x 轴成立如图坐标系则圆弧 APB方程为 x2+y2=4，（ y≥0）， C（2， 4）， D（﹣ 2， 4）所以设 P（2cosα， 2sin α），α∈ [0 ，π ]∴=（ 2﹣2cosα， 4﹣2sin α），=（﹣ 2﹣2cosα， 4﹣2sin α），由此可得=（ 2﹣2cosα）（﹣ 2﹣2cosα） +（ 4﹣2sin α）（4﹣2sin α）=4cos 2α﹣ 4+16﹣16sin α +4sin 2α=16﹣16sinα化简得=16﹣16sin α∵α∈ [0 ，π ] ，sin α∈ [0 ， 1]16；当α=时，取最小值为0．∴当α=0 或π时，取最大值为由此可得的取值范围是 [0 ， 16]故答案为： [0 ，16]点睛：向量有三种表达形式，几何形式，代数形式，符号形式，三种形式对应着办理平面向量问题的三种策略 .16. 如图，在平面斜坐标系中，分别是轴，轴的单位向量），则叫做，斜坐标定义：假如的斜坐标 .（此中，（ 1）已知得斜坐标为（ 2）在此坐标系内，已知，则__________．，动点知足，则的轨迹方程是__________．【答案】(1). 1 (2).【分析】（ 1）∵，∴1．........................故答案为：1； y=x三、解答题17.设（本大题共的内角6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤所对边的长分别为，且有. ）.（ 1）求角的大小；（ 2）若，为的中点，求的长 .【答案】 (1) (2)【分析】试题剖析：（Ⅰ）依据 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC ，可得 2sinBcosA=sin （ A+C），从而可得 2sinBcosA=sinB ，由此可求求角 A 的大小；（Ⅱ）利用 b=2，c=1，A= ，可求 a 的值，从而可求B= ，利用 D 为 BC的中点，可求AD的长．试题分析：（ 1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（ 2）∵，，∴，∴，∴，∵ 为的中点，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件灵活转变边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 其基本步骤是：第一步：定条件，即确立三角形中的已知和所求，在图形中标出来，而后确立转变的方向. 第二步：定工具，即依据条件和所求合理选择转变的工具，实行边角之间的互化.第三步：求结果 .18. 在中，.（ 1）求的值；（ 2）若，求在方向上的投影【答案】 (1)(2)【分析】试题剖析：（ 1）依据降幂公式.，代入化简获得，再依据两角和的余弦公式化简为，（ 2）依据投影公式在方向上的投影为定理求，代入即可 .试题分析： (1) 由可得即，∴（ 2）由正弦定理得由余弦定理得在方向上的投影：19.已知函数，所以依据正弦定理求，，，由题意知，∴，∴，解得（舍）.的图象对于直线，再求, 依据余弦．对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（1）求和的值..（ 2）若，求的值 . 【答案】(1) , (2)【分析】试题剖析：（ 1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，由函数对于直线对称，可知可求得的值；（ 2）对进行三角恒等变换，可求得值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求试题分析：（ 1）由题意可得函数的最小正周期为，，函数为，联合得值 .的再依据图象对于直线对称，可得联合，可得（2）再依据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.20. 已知函数. 若的最小正周期为 .（ 1）求的单一递加区间；（ 2）在中，角的对边分别是知足，求函数的取值范围 .【答案】 (1) (2)【分析】试题剖析：（ 1）利用正弦、余弦的二倍角公式以及两角和公式把化简成，经过已知的最小正周祈求出，获得的分析式，再经过正弦函数的单一性求出答案；（ 2）依据正弦定理及，求出，从而求出，获得的范围，把代入依据正弦函数的单一性，求出函数的取值范围 .试题分析： (1) f ( x) ＝sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－＝ sin ，∵ T＝＝4π，∴ω＝，∴ f ( x)＝sin ，∴ f ( x)的单一递加区间为( k∈ Z) ．(2) ∵(2 a－c)cos B＝b cos C，∴ 2sin A cos B－ sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝ sin( B＋C) ＝ sin A，∴ cos B＝，∴ B＝.∵ f ( A)＝sin ， 0＜A＜，∴，∴ f ( A)∈.21.如图，在直角坐标系交于点，与中，点轴交于点是单位圆上的动点，过点，记，且作轴的垂线与射线.（1）若，求.（ 2）求面积的最大值.【答案】(1) (2)【分析】试题剖析：﹙1﹚同角三角的基本关系求得的值 , 再利用两角差的余弦公式求得的值 .(2) 利用用割补法求的面积 , 再利用正弦函数的值域, 求得它的最值.试题分析：（ 1）依题意得所以因为，且所以（ 2）由三角函数定义，得，，所以,,，从而..,.因为，所以当时，“ =”成立，所以面积的最大值为.22.已知函数.（ 1）若函数（ 2）若函数的最大值为有两个零点6，求常数和，求的值；的取值范围，并求和的值；（ 3）在（ 1）的条件下，若，议论函数的零点个数. 【答案】 (1)(2),(3)没有零点【分析】试题剖析：（ 1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简分析式，由x 的范围求出的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出m的值；（ 2）由 x 的范围求出z=的范围，函数在上有两个零点方程在上有两解，再转变为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出m的范围，由正弦函数的图象和对称性求出x1与 x2的和；（ 3）由（ 1）求出 f （ x）的最小值，求出当t ≥ 2 时（ t ﹣ 1） f （ x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简，由 x 的范围、正切函数的性质求出范围，即可判断出函数g（ x）的零点个数．试题分析：（ 1）由题意得，，，∵，∴，则∴时，解得；（ 2）令，∵，∴函数在上有两个零点方程即函数与在由图象可知，解得由图象可知，∴解得；（ 3）在（ 1）的条件下，，，，，在上有两个交点上有两解，且，则，当时，（当且时取等号），，∵，∴，（当时取等号），所以当时，函数有一个零点，当函数时，恒成立，没有零点。
2020年高考模拟试卷安徽省六安一中高考数学第六次模拟测试试卷(文科)(解析版)
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{5，6，7，8，9，10}D．{6，7，8，9，10}2．已知实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），则复数z＝b﹣ai的共轭复数为（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i3．已知命题，2x0﹣3sin x0＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（）A．真，￢p：，2x﹣3sin x＞0B．真，￢p：，2x﹣3sin x≥0C．假，￢p：，2x0﹣3sin x0＞0D．假，￢p：，2x0﹣3sin x0≥04．已知向量＝（﹣2，m），＝（1，n），若（﹣）∥，且||＝，则实数m的值为（）A．2B．4C．﹣2或2D．﹣4或45．运行如下程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中可以填（）A．S＜30B．S＜62C．S≤62D．S＜1286．cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣7．已知函数f（x）＝ln+x3+3x2+3x，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称B．函数f（x）的图象关于y＝﹣1对称C．函数f（x）的图象关于（﹣1，0）中心对称D．函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称8．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后．得到的函数图象关于x＝对称，则当ω取到最小值时．函数f（x）的单调增区间为（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）B．[+kπ，+kπ]（k∈z）C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）D．[+kπ，+kπ]（k∈z）9．已知实数x，y满足，若z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，则实数m的取值不可能为（）A．7B．8C．9D．1010．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A．1B．C．D．211．已知椭圆C：+＝1的离心率为，且M，N是椭圆C上相异的两点，若点P （2，0）满足PM⊥PN，则•的取值范围为（）A．[﹣25，﹣]B．[﹣5，﹣]C．[﹣25，﹣1]D．[﹣5，﹣1] 12．已知关于x的不等式1+2xlnx≤mx2在[1，+∞）上恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当n＝23时，从左往右第22个数为．14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件：①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为．（注：以上三个条件得到的双曲线C的方程一致）15．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB＝CD，PA＝PB＝AD，PA+AD＝CD＝4，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为．16．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，，QN＝2QP＝2，则四边形MNQP面积的最大值为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若T n是数列{}的前n项和，若T n＜M恒成立，求实数M的取值范围．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，且AD∥BC，BC ＝2AD＝，F为AC，BD的交点，点E在平面ABCD内的投影为点F．（1）AF⊥ED；（2）若AF＝EF，求三棱锥D﹣ABE的体积．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若|AF1|＝2，点关于直线y＝x的对称点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程与离心率；（2）过点（0，2）做直线l与椭圆M相交于两个不同的点M，N；若恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知函数．（1）当p＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）若p＞1时，证明：．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{5，6，7，8，9，10}D．{6，7，8，9，10}【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：依题意，集合A＝{x|}＝{x|}＝{x|x＞}，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}＝{x∈N|1＜x＜11}＝{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴A∩B＝{5，6，7，8，9，10}．故选：C．2．已知实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），则复数z＝b﹣ai的共轭复数为（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），∴（a+bi）（2+i）（2﹣i）＝（3﹣5i）（2﹣i），∴a+bi＝﹣i，∴a＝，b＝﹣，则复数z＝b﹣ai＝﹣﹣i的共轭复数为＝﹣+i．故选：A．3．已知命题，2x0﹣3sin x0＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（）A．真，￢p：，2x﹣3sin x＞0B．真，￢p：，2x﹣3sin x≥0C．假，￢p：，2x0﹣3sin x0＞0D．假，￢p：，2x0﹣3sin x0≥0【分析】取时，2x0﹣3sin x0＝，即可判断命题p为真，根据特称命题的否定为全称命题得￢p．解：不妨取，此时2x0﹣3sin x0＝，故命题p为真；特称命题的否定为全称命题，故￢p：，2x﹣3sin x≥0，故选：B．4．已知向量＝（﹣2，m），＝（1，n），若（﹣）∥，且||＝，则实数m的值为（）A．2B．4C．﹣2或2D．﹣4或4【分析】先求出＝（﹣3，m﹣n），再由向量平行和向量的模列出方程组，由此能求出实数m．解：∵向量＝（﹣2，m），＝（1，n），（﹣）∥，且||＝，∴＝（﹣3，m﹣n），，解得m＝±2．故选：C．5．运行如下程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中可以填（）A．S＜30B．S＜62C．S≤62D．S＜128【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：运行该程序，第一次，S＝2，k＝2；第二次，S＝6，k＝3；第三次，S＝14，k＝4；第四次，S＝30，k＝5；第五次；S＝62，k＝6；第六次，S＝126，k＝7；观察可知，判断框中可以填“S＜62？”．故选：B．6．cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【分析】利用诱导公式，两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．解：cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（﹣）×﹣（﹣）×+tan（75°﹣45°）＝（﹣）×﹣（﹣）×+＝+．故选：A．7．已知函数f（x）＝ln+x3+3x2+3x，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称B．函数f（x）的图象关于y＝﹣1对称C．函数f（x）的图象关于（﹣1，0）中心对称D．函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称【分析】首先考查函数向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度后图象的特征，然后结合题意考查所给函数的特征即可求得最终结果．解：将函数图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为：f（x﹣1）+1＝ln+（x﹣1）3+3（x﹣1）2+3（x﹣1）+1＝ln+x3，则函数g（x）＝f（x﹣1）+1的定义域为（﹣2，2），且g（﹣x）＝﹣g（x），即函数g（x）是奇函数，关于坐标原点中心对称，则函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称．故选：D．8．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后．得到的函数图象关于x＝对称，则当ω取到最小值时．函数f（x）的单调增区间为（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）B．[+kπ，+kπ]（k∈z）C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）D．[+kπ，+kπ]（k∈z）【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，从而求得f（x）的单调增区间．解：将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后，可得y＝sin（ωx﹣﹣）的图象，再根据得到的函数图象关于x＝对称，可得ω•﹣﹣＝kπ+，k∈Z，即ω＝4k+，则当k＝0时，ω取到最小值为，此时，函数f（x）＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得π﹣≤x≤+，故函数f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈z，故选：C．9．已知实数x，y满足，若z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，则实数m的取值不可能为（）A．7B．8C．9D．10【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的范围，转化求解m的范围，判断选项即可．解：实数x，y满足的可行域如图：由，解得B（5，2），由，解得A（1，）．z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，可知目标函数z＝mx﹣y﹣3，经过A时取得最小值，m ﹣≥0，可得m≥．则实数m的取值不可能为：7．故选：A．10．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A．1B．C．D．2【分析】根据三视图，将该几何体的立体图还原回来，即可根据棱长的大小，比较得出最小值．解：根据题给的三视图，将其嵌入到某长方体中，还原路径如下图所示，红线为俯视图四个顶点有可能出现的棱，蓝线为主视图三个顶点有可能出现的棱，绿线为侧视图四个顶点有可能出现的棱，可得四个点A、B、C、D，而四个点恰好不多不少为空间几何体的顶点个数，所以此时立体体还原完毕，由图可知，该三棱锥最短的棱长为BC，且BC＝1．故选：A．11．已知椭圆C：+＝1的离心率为，且M，N是椭圆C上相异的两点，若点P （2，0）满足PM⊥PN，则•的取值范围为（）A．[﹣25，﹣]B．[﹣5，﹣]C．[﹣25，﹣1]D．[﹣5，﹣1]【分析】椭圆C：+＝1的离心率为，可得＝，解得b2．可得椭圆的标准方程．设M（x，y），x∈[﹣3，3]．可得•＝＝＝﹣，再利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．解：椭圆C：+＝1的离心率为，∴＝，解得b2＝1．∴椭圆的标准方程为：＝1．设M（x，y），x∈[﹣3，3]．则•＝＝＝﹣＝﹣[（x﹣2）2+y2]＝﹣＝﹣＝f（x），x＝时，f（x）取得最大值﹣；x＝﹣3时，f（x）取得最小值﹣25．∴•∈．故选：A．12．已知关于x的不等式1+2xlnx≤mx2在[1，+∞）上恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】依题意，，令，则m≥[g （x）]max，利用导数求出函数g（x）在[1，+∞）的最大值即可．解：依题意，，令，故，令h（x）＝x﹣xlnx﹣1，则h'（x）＝﹣lnx，故当x∈[1，+∞）时，h'（x）＝﹣lnx≤0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）≤h（1）＝0，∴g'（x）≤0，故在[1，+∞）上单调递减，故m≥[g（x）]max＝g（1）＝1，故m的最小值为1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当n＝23时，从左往右第22个数为253．【分析】根据每行数字的个数可得从左往右第22个数为该行的倒数第3个数字，且与该行的第3个数字相等，把每行的第三个数字（从第3行，n＝2开始），所组成的数列为1，3，6，10，15，…，即可找到规律，求出即可．解：由图表可得，第n行有n+1个数字，当n＝23时，即第23行有24个数字，则从左往右第22个数为该行的倒数第3个数字，且与该行的第3个数字相等，把每行的第三个数字（从第3行，n＝2开始），所组成的数列为1，3，6，10，15，…，即为，，，，…，，则当n＝23时，从左往右第22个数为＝253，故答案为：25314．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件：①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为．（注：以上三个条件得到的双曲线C的方程一致）【分析】依题意可求出b＝3，选条件①，双曲线C的离心率为，故，又b＝3，且a2+b2＝c2，即可求出a，b，c的值，从而求出双曲线方程．解：依题意，双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，故，即b＝3，选条件①，解析如下：∵双曲线C的离心率为，故，又b＝3，且a2+b2＝c2，故a＝4，c＝5，故双曲线C的方程为，故答案为：．15．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB＝CD，PA＝PB＝AD，PA+AD＝CD＝4，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为52π．【分析】作出图形，确定球心的位置，利用勾股定理建立方程，即可得出结论．解：由题意，PA＝AD＝2，PF＝FG＝3，球心O在平面ABCD中的射影为CD的中点，如图所示，设OG＝d，则，∴d＝1，，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4π•13＝52π，故答案为52π．16．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，，QN＝2QP＝2，则四边形MNQP面积的最大值为．【分析】结合已知可求∠MPN，结合余弦定理可求NP，然后结合三角形的面积可表示四边形MNPQ的面积，结合辅助角公式及正弦函数性质即可求解．解：因为，故，故，故△MPN是等腰直角三角形；在△QNP中，QN＝2，QP＝1，由余弦定理，NP2＝5﹣4cos Q，＝，S△NPQ＝＝sin Q，所以S MNQP＝＝；易知当Q＝时，四边形MNPQ的面积有最大值，最大值为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若T n是数列{}的前n项和，若T n＜M恒成立，求实数M的取值范围．【分析】（1）数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，可得a n＝a1﹣（n ﹣1），可得＝3n﹣1．即可证明数列{a n}是以3为公比的等比数列．由a2+2是a1，a3的等差中项，可得2（a2+2）＝a1+a3，解得a1．（2）由（1）可得：＝．可得T n，进而得出M的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，∴a n＝a1﹣（n﹣1），∴＝3n﹣1．∴n≥2时，＝＝3，数列{a n}是以3为公比的等比数列．∴a2＝3a1，a3＝9a1．∵a2+2是a1，a3的等差中项，∴2（a2+2）＝a1+a3，∴2（3a1+2）＝a1+9a1，解得a1＝1．∴数列{a n}是以3为公比，1为首项的等比数列．∴a n＝3n﹣1．（2）解：＝．∴T n＝＝．∵T n＜M恒成立，∴．∴实数M的取值范围是．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【分析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，由此能求出甲参赛的概率．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，利用列举法能求出甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：（1，2，1，2），（1，2，1，3），（1，2，1，4），（1，2，2，3），（1，2，2，4），（1，2，3，4），（1，3，1，2），（1，3，1，3），（1，3，1，4），（1，3，2，3），（1，3，2，4），（1，3，3，4），其中满足条件的有（1，2，3，4），（1，3，2，4）两种，故所求概率p＝．19．已知四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，且AD∥BC，BC ＝2AD＝，F为AC，BD的交点，点E在平面ABCD内的投影为点F．（1）AF⊥ED；（2）若AF＝EF，求三棱锥D﹣ABE的体积．【分析】（1）依题意，△AFD∽△CBF，则，结合已知求得AD＝，AC＝，求解三角形证明AC⊥BD；再由已知得AC⊥EF；利用线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE，进一步得到AF⊥ED；（2）直接利用等积法求三棱锥D﹣ABE的体积．【解答】（1）证明：依题意，△AFD∽△CBF，则，又∵AB＝1，BC＝，∴AD＝，AC＝，在Rt△BDA中，，∴AF＝，在△ABF中，∵，∴∠AFB＝90°，即AC⊥BD；∵EF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EF；又∵BD∩EF＝F，BD⊂平面BDE，EF⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∵ED⊂平面BDE，故AC⊥ED，即AF⊥ED；（2）解：依题意，．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若|AF1|＝2，点关于直线y＝x的对称点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程与离心率；（2）过点（0，2）做直线l与椭圆M相交于两个不同的点M，N；若恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）依题意求出a＝2，再结合点在椭圆上，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程以及离心率；（2）队直线l的斜率分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，M（0，1），N（0，﹣1），所以，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到＝，所以，从而求得实数λ的取值范围．解：（1）依题意，点关于直线y＝x的对称点为，因为|AF1|＝2，故，故椭圆，将代入椭圆中，解得b＝1，所以椭圆C的方程为故离心率；（2）当直线l的斜率不存在时，M（0，1），N（0，﹣1），所以．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0，可得4k2＞3，且，所以＝，所以，故，综上实数λ的取值范围为．21．已知函数．（1）当p＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）若p＞1时，证明：．【分析】（1）利用导函数即可求出函数f（x）的极值点；（2））p＞1，令，利用导数可得g（x）在x ＝1时取得极大值，并且也是最大值，即，又2p，设，利用导数得到h（p）的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，从而证得．【解答】解（1）依题意，，故，可知，当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0，故函数f（x）的极小值点为，无极大值点；（2）∵p＞1，令，故，可得函数g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴g（x）在x＝1时取得极大值，并且也是最大值，即，又2p﹣1＞0，∴，设，则，所以h（p）的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，∵，∴，∴h（p）＜3，又e p ﹣3＞0，∴，即．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．【分析】（1）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把直线l的极坐标方程化为普通方程；（2）根据坐标平移与伸缩变换，得到曲线C1的标准方程；设出曲线C1上点的参数方程，求出点到直线l的距离，计算最小值即可．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得C的普通方程为+＝1，即（x﹣2）2+y2＝4；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0，即ρcosθ•﹣ρsinθ•+＝0，化为普通方程是x﹣y+2＝0；（2）将曲线C向左平移2个单位，得x2+y2＝4再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，∴C1的标准方程为：+y2＝1；设曲线C1上的点的坐标为P（2cosα，sinα），其中α∈[0，2π），∴P到直线l的距离为d＝＝，当cos（α+β）＝﹣1时，d取得最小值为＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当m＝2时，原不等式可化为x﹣2＞2（x﹣3），从而可解得答案；（2）通过对x范围的讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，求得需要的最小值，解相应的不等式即可求得实数m的取值范围．解：（1）由，知x＞3；故m＝2时，，故当m＝2时，不等式的解集为（3，4）；（2）依题意，当m≥﹣2，f（x）+|x+1|＝，故，解得m≥2；当m≤﹣2时，f（x）+|x+1|＝，故，解得m≤﹣6；综上所述，实数m的值为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．。
2020届安徽省六安市高三下学期模拟卷（四）数学（文）试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（四）文科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =（ ） A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:i x0.2 1 2.2 3.2 i y1.12.12.33.34.2中一个x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 （ ） A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.56．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．()tan f x x = B ．()sin f x x x =+ C ．2()ln2xf xx-=+ D ．()x x f x e e -=-7．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．728．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．164π+B ．484π+C ．4812π+D ．4816π+10．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,,6BCD BC CD AB ⊥=，若该三棱锥的外接球的体积为500π3，则BC CD ⋅的最大值为 （ ）A ．252B ．32C ．50D ．6411．在DEF △中，34DB DE =,13DA DF =,4DE =,9cos 16D =，若DAB △的面积为157，则sin E =（ ）12．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞ C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知非零向量a,b ，2||=a ，向量a 在向量b 上的投影为1-，()⊥+a a 2b ，则=b . 14．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()()254B x m y m -+-=外切，则实数m 的值为 .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知过抛物线2:4G y x =的焦点F 的直线交抛物线自下到上于,A B ，C 是抛物线G 准线上一点，若2AC AF =-，则以AF 为直径的圆的方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b =n a n +，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取1人，求这两人恰好都为女士的概率.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，2AB =，求点C 到平面BDE 的距离.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过(0,2)的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅（其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin x f x e ax x =-+.（1）已知函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）当0x ≥时，()1f x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值. （2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04文科数学答案与解析1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12.【答案】B13．【答案】214．【答案】0或1615．【答案】3(0,]216．【答案】2224()(39x y -+=【 17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a a n n +=⨯++， 即113(1)1n n a a n n ++=++，111,130a a =∴+=≠，10n a n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分） ∴13n n a n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分） （2）由（1）知，3n n b n =⨯，（7分）∴221323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ①（8分） ∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ②（9分） ①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=++++-⨯=-⨯=--，（11分） ∴1(21)3344n n n T +-=+.（12分） 18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分） （2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，（6分）设抽取的40人中成绩在[80,90)之间男士为123,,A A A ，女士为12,B B ，成绩在[90,100]之间的男士为45,A A ，女士为35,B B ，（7分）从成绩在[80,90）,[90,100]的被抽取人员中各随机选取1人，有{1A ,4A },{1A ,5A }，{1A ,3B },{1A ,4B },{2A ,4A },{2A ,5A },{2A ,3B },{2A ,4B },{3A ,4A },{3A ,5A },{3A ,3B }， {3A ,4B },{1B ,4A },{1B ,5A },{1B ,4B },{1B ,3B },{2B ,4A },{2B ,5A },{2B ,4B },{2B ,3B }， 共有20种不同取法，其中选中的2人中恰好都为女士的取法有{1B ,4B },{1B ,3B }，{2B ,4B },{2B ,3B }共4种不同取法，（10分）故选中的2人中恰好都为女士的概率为41205=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ， BCE △为正三角形，∴EO BC ⊥，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥， DO EO O =，∴BC ⊥平面DOE ，∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 在等边BCE △和BCD △中，3DO OE =在Rt DOE △中，2222336ED DO EO ++（）（）在DBE △中，22222222(6)1cos 24BD BE DE DBE BD BE +-+-∠=⋅， ∴215sin 1cos DBE DBE ∠-∠∴11515222DBE S =⨯⨯△9分） 设C 到平面DBE 的距离为d ，C DBED BCE V V --=， ∴1133DBE BCE S d S DO =⨯△△，即2115123333d ⨯=， 解得215d =∴C 到平面DBE 215.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ，122F M MF =-，∴122F F F M =，∴2F 是线段1F M 的中点，P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=，由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线0x =，代入椭圆方程22143x y +=解得y = 此时3OA OB ⋅=-，（5分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，22(34)1640k x kx +++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+， 222(16)44(34)48(41)0k k k ∆=-⨯⨯+=-＞，解得214k ＞（8分） ∴12y y =12(2)(2)kx kx ++=2222121222243212122()44343434k k k k x x k x x k k k -+++=-+=+++， 1212OA OB x x y y ⋅=+222412123434k k k -=+++=2222216121216253344343k k k k k --=-=-++++， 214k ＞，∴2434k +＞，∴2110434k <+＜，∴225250434k <+＜， ∴1334OA OB -⋅＜＜，（11分） 综上所述，OA OB ⋅的取值范围为13[3,)4-.（12分） 21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin 1x h x f x g x e ax x =-=-+-，∴()cos x h x e a x '=-+，（5分） 设()cos x m x e a x =-+，∴()sin x m x e x '=-，当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，∴()0m x '≥， ∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)2h a '=-，（7分）当2a ≤时，20a -≥，则当0x ≥时，()(0)20h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当2a >时，(0)20h a '=-＜，()h x '在[0,)+∞上是增函数，x 趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大，∴存在00,x ∈+∞（）上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.（12分）22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分） 由题知直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）.（5分） （2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得，27180t --=，∴1212187t t t t +=-，（8分）∴1224||||7AB t t =-.（10分） 23．【解析】（1）113,21()3,2231,2x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分） ∴()f x 在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数， (2)7,(3)8f f -==，∴()f x 在区间[2,3]-上的最大值为8，∴8m ≥，∴实数m 的最小值为8.（5分）（2）a b ab +=，0,0a b >>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b a a b a b a b a b a b +=++=+++++≥， 当且仅当2222a b b a=且b a a b =，即a b =时，22a b +取最小值8. ∴22a b +的最小值为8.（10分）。
2020年安徽省六安市第一中学高考适应性考试数学试题(附答案解析)
2020年安徽省六安市第一中学高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 满足133732a a a a +=⋅=，则5a =（ ）A ．±B ．-C ．D ．4-2．2010年至2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，全球连接器行业增长呈现加速状态.根据如下折线图，下列结论正确的个数为（ ）①每年市场规模逐年增加；②市场规模增长最快的是2013年至2014年；③这8年的市场规模增长率约为40%；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳.A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}321012=---，，，，，A ，{}23B x x =≤，则A B =（ ）A ．{0}2，B ．{101}-，，C ．{0}1，D ．321{012}---，，，，， 4．已知两个向量()()3,1a cos sin b θθ==-，，则2a b -的最大值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．9m >B ．C ．D ．9m <6．已知函数()cos21f x x x -+，下列结论中错误的是A ．()f x 的图象关于π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 B ．()f x 在5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于π3x =对称 D ．()f x 的最大值为37．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ） 参考公式：121()()()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =； A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 8．设π(0]2x ∈，，则下列命题：①sin x x ≥；②sin cos x x x ≥；③sin x y x=是单调减函数；④若sin sin kx k x ≥恒成立，则正数k 的取值范围是01k <≤，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 10．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i11．定义函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin ,cos x x 的最小值为（ ）A．BC．D12．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．-5B ．5C ．35D ．-90二、双空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则点1A 到平面AMN 的距离是________；若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是________.三、填空题14．已知动点(,)P x y 满足240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则21y z x -=+的最大值为______.15．点P 是双曲线221169x y -=左支上的一点，其右焦点为F ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为7，则PF =___________.16．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为____________四、解答题17．已知函数e ()x a f x x-=，其中0,x a >∈ R ． （I ）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（II ）当1a =时，证明：1m ∀≤，()ln f x x x m ≥+．18．如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C的交点3(2且 21AF F ∠为钝角.（1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）过2F 作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 19．在矩形所在平面α的同一侧取两点E 、F ，使DE α⊥且AF α⊥，若3AB AF ==，4=AD ，1DE =.（1）求证：AD BF ⊥（2）取BF 的中点G ，求证//DF AGC 平面（3）求多面体-ABF DCE 的体积.20．选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10．（Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求2221(1)(2)(3)4a b c -+-+-的最小值，并求出此时a ，b ，c 的值． 21．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b ，1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－2cos 21tan A A+的值域． 22．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望.23．已知直线l 经过点()2,1P ，倾斜角4πα=. （1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆:2O ρ=相交于两点A ，B ，求线段AB 的长度.【答案与解析】1．C根据等比数列的性质求解即可．解：∵3732a a ⋅=，∴253732a a a =⋅=，∴5a =±，又130a a +=>，∴5a =故选：C ．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．2．C根据图形判断有年份规模呈下降，判断①错误；折线图中20132014-变化最大，判断②正确；③求出平均增长率，判断③正确；根据图像的平稳程度，判断④正确.①201l 年到2012年的市场规模有所下降，①说法错误；②市场规模增长最快的是2013年至2014年，该说法正确；③这8年的市场规模增长率约为63.545.3100%40%45.3-⨯≈，该说法正确； ④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上，正确的结论有3个.故选:C.本题考查折线图数据分析，属于基础题.3．B求解出集合B ，根据交集定义求得结果.解:由{}{23B x x x x =≤=≤≤,又{}321012=---，，，，，A , 则{}1,0,1A B =-故选：B.本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.4．C根据向量的线性运算得2a b -的表达式，再由向量模的求法，逆用两角差的正弦公式进行化简，即可求出答案．解：∵向量()()cos sin 31a b θθ==-，，，，∴2a b -=（2cos θ2sin θ+1），∴()(()22222cos 2sin 1a b θθ-=++＝4﹣θ+4sin θ+4＝8sin （θ3π-）+8≤8+8＝16，当sin （θ3π-）＝1时，取“＝”， ()22222164a b a b a b ∴-=-=-≤=∴2a b -的最大值为4．故选C ． 本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及逆用两角差的正弦公式，是基础题目．5．C【解析】试题分析：设()()()22029{ 930f f x x x m m f ≤=-+∴∴≤≤考点：三个二次关系 6．B利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．f （x ）﹣cos2x+1=2sin （2x ﹣6π）+1， A ．当x=12π时，sin （2x ﹣6π）=0，则f （x ）的图象关于（12π，1）中心对称，故A 正确， B ．由2kπ+2π≤2x ﹣6π≤2kπ+32π，k ∈Z ，得kπ+3π≤x≤kπ+56π，k ∈Z ， 当k=0时，函数的递减区间是[3π，56π]，故B 错误， C ．当x=3π时，2x ﹣6π=2×3π﹣6π=2π，则f （x ）的图象关于x=3π对称，故C 正确， D ．当2sin （2x ﹣6π）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D 正确， 故选：B ．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数。
2020年全国I卷 高考考前适应性试卷 文科数学(一) Word版含答案
2020年全国I 卷高考考前适应性试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数432++-=x x y 的零点是（ ） A ．1，4-B ．1-，4C ．1-D ．42．已知集合2{|20}A x x x a =-+>，且1A ∉，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,1)-∞3．设,a b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβ B ．若a α∥，b α⊂，则//a b C ．若a α⊂，b α⊥，则a b ⊥ D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b4．计算()212i 1i 2+-+的值为（ ） A ．2i -B ．23i +C ．13i 2+D ．1i 2-5．等差数列{}n a 的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（ ） A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-6．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0ω>，π2ϕ<，则（ ）A ．4A =B ．1ω=C ．π6ϕ=D ．4B =7．已知(1,2sin )x =+a ，(2,cos )x =b ，(1,2)=-c ，()-∥a c b ，则锐角x 等于（ ） A ．30°B ．75°C ．60°D ．45°8．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别A B C 产品数量（件） 1300 样本容量（件）130由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是（ ） A ．800B ．700C ．600D ．9009．某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的长度，那么这个几何体的体积是（ ） A ．3B ．2C ．23D ．3310．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）A ．0．6B ．0．4C ．0．2D ．0．8此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y -+=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111||||2AF BF -=，则直线l 的倾斜角π(0)2θθ<<等于（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数是________．14．若函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点(,)a a ，则()f x =_________．15．如图所示，直线2=x 与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE =e ，22OE =e ．任取双曲线C 上的点P ，若12OP a b =+e e （a 、b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 ．16．已知圆1O ，2O ，3O 是三个两两垂直的平面与球O 的球面的交线，其半径分别为1，12，且圆1O ，2O ，3O 的公共点P 在球面上，则球的表面积为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （1）求AB 的值； （2）求πsin(2)4A -的值．18．（12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x ，家长所得点数记为y ；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为n ．（1）在方案一中，若12x y +=，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（2）在方案二中，若2m n >，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD =，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ； （3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CPCQ的值．20．（12分）如图，已知椭圆22143+=x y 上两定点(2,0)P -，3(1,)2Q ，直线1:2=-+l y x m 与椭圆相交于A 、B 两点（异于P 、Q 两点）． （1）求证：PA QB k k +为定值；（2）当(1,2)m ∈-时，求A 、P 、B 、Q 四点围成的四边形面积的最大值．21．（12分）已知函数2()ln f x a x x =+(a 为实常数)． （1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数； （2）求函数()f x 在[1,]e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[1,]x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知点A 到直线π:sin()(0)4l m m ρθ-=>的距离为3． （1）求实数m 的值；（2）设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足||||1OP OQ ⋅=，求点Q 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知()f x =定义在区间[1,1]-上，设1x ，2[1,1]x ∈-且12x x ≠． （1）求证：1212()()f x f x x x -≤-；（2）若221a b +=，求证：()()f a f b +≤2020年全国I 卷高考考前适应性试卷文 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】0432=++-=x x y ，得1-=x 或4=x ． 2．【答案】A【解析】可知2{20}A x x x a =-+≤，而1A ∉，1A ∈，那么2120a -+≤，则1a ≤． 3．【答案】B【解析】对于a α∥，b α⊂，a 与b 还可能异面． 4．【答案】D 【解析】()212i 111i i 2i i 222+-+=+-=-． 5．【答案】B【解析】可得23(1)n a n d =+-，第7项开始为负值，说明60a ≥，且70a <， 得5230d +≥，6230d +<， 又公差是整数，所以公差为4-． 6．【答案】C【解析】易知2A =，2B =，由图象知5πππ41264T =-=，那么πT =， 又2πT ω=，那么2ω=，那么A 、B 、D 错误．7．【答案】D【解析】(2,sin )x -=a c ，()-∥a c b ，则2cos 2sin 0x x -=，则锐角x 等于45°． 8．【答案】A【解析】设C 产品的样本容量为x ，则A 产品的样本容量为10x +，由B 知抽取的比例为110，故10130300x x +++=，故80x =，所以C 产品的数量为800． 9．【答案】D【解析】该几何体是一个三棱锥，底面积为122⨯=1，则这个几何体的体积是1133=． 10．【答案】C【解析】第一次循环，0.4A =，2n =； 第二次循环，0.8A =，3n =； 第三次循环，0.6A =，4n =； 第四次循环，0.2A =，5n =； 第五次循环，0.4A =，6n =； 第六次循环，0.8A =，7n =； 第七次循环，0.6A =，8n =； 第八次循环，0.2A =，9n =； …依次可得第2011次循环，0.6A =，2012n =； 第2012次循环，0.2A =，2013n =．知输出0.2A =． 11．【答案】C【解析】易知0b <，0c >，而圆与x 轴有两个交点，则0a c >>， 又圆与y 轴没有交点，则a b <，则0c a b <<<， 可以解出两直线的交点为(,)b c a ca b a b+--++， a b <，则a b <-，则0a b +<，同理得0b c +<，0a c ->，那么可得0b c a b +-<+，0a ca b-<+，那么交点在第三象限． 12．【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，则21222(2)k x x k ++=，121x x =，而11AF x =+，21BF x =+， 那么由111||||2AF BF -=，可得2112122()1x x x x x x -=+++，则222(2)2k k+=+，则42230k k --=，那么23k =，而直线l 的倾斜角θ满足π02θ<<，那么k =π3θ=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】4【解析】232(1)(1)1y x x x x x =+-=+--，则2321y x x '=+-， 则在1=x 处的导数是4． 14．【答案】2x-【解析】可得aa =12aa a =，则12a =，那么1()()22x xf x -==． 15．【答案】41ab =【解析】可得()12,1E ，()22,1E -，∴(2,1)(2,1)(22,)OP a b a b a b =+-=+-， ∴(22,)P a b a b +-，代入双曲线方程得41ab =． 16．【答案】8π【解析】，那么球的表面积为24π8π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）（2）10． 【解析】（1）在ABC △中，4cos2cos23A C -=，则224(12sin )(12sin )3A C ---=，224sin sin A C =，2sin sin A C =，由正弦定理sin sin AB BC C A =，则sin 2sin CAB BC BC A===．（2）在ABC △中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅，于是sin 5A ==，从而4sin 22sin cos 5A A A ==， 223cos 2cos sin 5A A A =-=，所以πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44410A A A -=-=． 18．【答案】（1）112；（2）425． 【解析】（1）由题意，宝宝和家长所得点数x ，y 所有取值所得基本事件总数为36， 而满足12x y +=的(,)x y 有(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组， 则抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率1313612P ==． （2）由题，,[1,6]m n ∈，则(,)m n 所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25．(,)m n 满足不等式2m n >所占区域面积为14242⨯⨯=，则按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率2425P =．19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）83．【解析】（1）因为E 是AD 的中点，PA=PD ，所以PE AD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，所以AB=BD ， 又因为E 是AD 的中点，所以BE AD ⊥． 因为PEBE E =，所以PBE AD 平面⊥．（2）连结AC 交BD 于点O ，连结OQ ，因为O 是AC 中点，Q 是PC 的中点， 所以OQ 为PAC △中位线，所以PA OQ //．因为PA BDQ ⊄平面，OQ BDQ ⊂平面，所以BDQ PA 平面//． （3）设四棱锥P BCDE -，Q ABCD -的高分别为1h ，2h ， 所以113P BCDE BCDE V S h -=，213Q ABCD ABCD V S h ==， 因为2P BCDE Q ABCD V V --=，34BCDE ABCD S S =且底面积，所以1283h h =，因为12h CP h CQ =，所以83CP CQ =． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）33 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，可得22444120x mx m -+-=，则212123x x m x x m ⎧=-⎨+=⎩，212211121233(1)()(2)02221(2)(1)PA QBy y x y x y k k x x x x --+-+-∴+=+=+-+-， 用1112y x m =-+，2212y x m =-+， 代入可得121212*********232222(2)(1)PA QBx x x mx m x x x mx m x k k x x -++---++--+=+-122112(1)()30(2)(1)x x m x x m x x -+-++-==+-．（2）12APBQ P Q S AB h h =⨯+=+因为P ，Q 在直线l的两侧，APBQ S ∴=， 当0m =时，APBQ S ∴=21．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）[1,)-+∞． 【解析】（1）当2a =-时，2()2ln f x x x =-，当(1,)x ∈+∞，22(1)()0x f x x-'=>， 故函数()f x 在(1,)+∞上是增函数．（2）22()(0)x af x x x+'=>，当[1,]x e ∈时，222[2,2]x a a a e +∈++． 若2a ≥-，()f x '在[1,]e 上非负（仅当2a =-，1x =时，()0f x '=）， 故函数()f x 在[1,]e 上是增函数，此时min ()(1)1f x f ==； 若222e a -<<-，当x =()0f x '=，当1x ≤<时，()0f x '<，此时()f x 是减函数；x e <≤时，()0f x '>，此时()f x 是增函数，故min ()ln()222a a a f x f ==--； 若22a e ≤-，()f x '在[1,]e 上非正（仅当22a e =-，x e =时，()0f x '=），故函数()f x 在[1,]e 上是减函数，此时2min ()()f x f e a e ==+，综上可知，当2a ≥-时，()f x 的最小值为1，相应的x 值为1；当222e a -<<-时，()f x 的最小值为ln()222a a a--，相应的x当22a e ≤-时，()f x 的最小值为2a e +，相应的x 值为e ． （3）不等式()(2)f x a x ≤+化为2(ln )2a x x x x -≥-， ∵[1,]x e ∈，∴ln 1x x ≤≤且等号不能同时取到，所以ln x x <，即ln 0x x ->，因而22ln x xa x x -≥-（[1,]x e ∈），令22()ln x x g x x x-=-（[1,]x e ∈），则2(1)(22ln )()(ln )x x x g x x x -+-'=-，当[1,]x e ∈时，10x -≥，ln 1x ≤，22ln 0x x +->，从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以()g x 在[1,]e 上为增函数， 故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以a 的取值范围是[1,)-+∞．22．【答案】（1）2m =；（2）1πsin()24ρθ=-，点Q 的轨迹是一个圆． 【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则点A的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为0x y -+=， 由点A 到直线l的距离为13d m ==+=，∴2m =． （2）由（1）得直线l 的方程为πsin()24ρθ-=，设00(,)P ρθ，(,)Q ρθ，则000011ρρρρθθθθ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，① 因为点00(,)P ρθ在直线l 上，所以00πsin()24ρθ-=，② 将①代入②，得1πsin()24θρ-=，则点Q 的轨迹方程为1πsin()24ρθ=-．化为直角坐标方程为221((16x y ++=，则点Q 的轨迹是一个圆． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）12|()()|f x f x -==，∵1212||||||x x x x +≤+12||||x x >+， ∴1212()()f x f x x x -≤-．（2）()()f a f b +=要证()()f a f b +≤≤进一步只要证明26≤，32≤， 因为221a b +=22(1)(1)2a b +++≤，32成立，所以结论成立．。
2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷(理科)(7月份) (解析版)
2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（理科）（7月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．设复数z＝1+bi（b∈R），且z2＝﹣3+4i，则的虚部为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．43．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．14．函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（）A．B．C．D．5．下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件；②已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得；③已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为；④已知随机变量ξ～N（1，δ2），若P（ξ＜3）＝0.6，则P（﹣1＜ξ＜1）＝0.1．A．1B．2C．3D．46．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a5a9+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．7．已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣D．608．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线x＝﹣1相切，若圆P的面积为25π，则圆P的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25B．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝25C．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25D．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝259．把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：①该函数的解析式为；②该函数图象关于点（）对称；③该函数在上是增函数；④函数y＝f（x）+a在上的最小值为，则．其中，正确判断的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④10．已知x与y之间的几组数据如表：x1234y1m n4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a211．已知向量，满足||＝1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（）A．[，∞）B．（，∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）12．已知函数f（x）＝﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，e﹣3）C．（﹣1，+∞）D．（e﹣3，+∞）二、填空题（共4小题）.13．设等差数列{a n}的前n项和S n，a4＝4，S5＝15，若数列的前m项和为，则m＝．14．当实数x，y满足不等式组时，恒有a（x+1）≥y，则实数a的取值范围是．15．已知双曲线的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于D．若AD⊥F1B，则双曲线C的离心率为16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则点A1到平面AMN的距离是；若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1＝60°，E是棱BB1的中点，CA＝CB，F在线段AC上，且AF＝2FC．（1）证明：CB1∥面A1EF；（2）若CA⊥CB，面CAB⊥面ABB1A1，求二面角F﹣A1E﹣A的余弦值．19．已知D为圆上一动点，，DF的垂直平分线交DE于点P，设点P的轨迹为曲线C1．（1）求曲线C1的轨迹方程；（2）经过点M（0，1）且斜率存在的直线l交曲线C1于Q、N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，曲线C1与y轴负半轴交于点A，连接AB、AN，是否存在实数λ使得对任意直线l都有k AN＝λk AB成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数．（1）讨论f（x）单调性；（2）取a＝e，若在[1，e]上单调递增，求k的取值范围．21．某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制．已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记x为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点且倾斜角为α．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B，满足A为MB的中点，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x﹣m|+m（m∈R）．（1）若不等式f（x）≤2的解集为，求m的值；（2）在（1）的条件下，若a，b，c∈R+，且a+4b+c＝m，求证：ac+4bc+4ab≥36abc．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜6}，故选：D．2．设复数z＝1+bi（b∈R），且z2＝﹣3+4i，则的虚部为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【分析】利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出．解：z2＝﹣3+4i，∴（6+bi）2＝﹣3+4i，5﹣b2+2bi＝﹣3+6i，∴1﹣b2＝﹣4，2b＝4，则＝1﹣2i的虚部为﹣4．故选：A．3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．4．函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及区间（0，1）上函数值的符号，结合所给的图象分析可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x﹣）sin x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝[（﹣x）﹣]sin （﹣x）＝（x﹣）sin x＝f（x），为偶函数，与所给函数的图象不符，不符合题意；且在区间（0，3）上，x﹣＜0，cos x＞0，f（x）＝（x﹣）cos x＜0，函数图象在x 轴下方，符合题意；对于D，f（x）＝（x+）cos x，其定义域为{x|x≠7}，有f（﹣x）＝[（﹣x）+]cos （﹣x）＝﹣（x+）cos x，为奇函数，故选：B．5．下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件；②已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得；③已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为；④已知随机变量ξ～N（1，δ2），若P（ξ＜3）＝0.6，则P（﹣1＜ξ＜1）＝0.1．A．1B．2C．3D．4【分析】①分别判断充分性和必要性即可；②根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可；③根据正切函数的图象与性质，判断即可；④根据正态分布曲线的性质，计算即可．解：对于①，α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α；m∥β时，不能得出α∥β，充分性不成立，对于②，命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，对于③，函数的最小正周期为，其图象过点，所以函数y的对称中心为；③正确．则P（ξ≥3）＝P（ξ≤﹣1）＝0.8，综上知，正确的命题序号是①③④，共3个．故选：C．6．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a5a9+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．【分析】由题意利用等比数列的性质、基本不等式，求得a1a13的最大值．解：由题意利用等比数列的性质知，又因为a n＞0，所以a7+a8＝5，故选：B．7．已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣D．60【分析】模拟程序框图的运行过程，求出输出a的值，再求二项式的展开式中常数项的值．解：模拟程序框图的运行过程，如下：i＝0，s＝1，i＝1，i＜4，是，s＝＝﹣1；i＝3，3＜4，是，s＝＝；∴二项式（﹣）6的展开式中的通项是令3﹣r＝5，得r＝3；故选：A．8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线x＝﹣1相切，若圆P的面积为25π，则圆P的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25B．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝25C．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25D．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝25【分析】由圆的面积公式可得圆P的半径r，由直线和圆相切可得P的横坐标，再由抛物线的定义求得p的值，得到抛物线的方程，进一步求得P的坐标，可得圆P的方程．解：由圆P的面积为25π，得πr2＝25π，可得圆P的半径r＝5，以P为圆心的圆过点F且与直线x＝﹣1相切，由抛物线的定义可得4+＝5，解得p＝2，可得P的坐标为（4，4），故选：C．9．把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：①该函数的解析式为；②该函数图象关于点（）对称；③该函数在上是增函数；④函数y＝f（x）+a在上的最小值为，则．其中，正确判断的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【分析】由函数的图象平移与伸缩变换求得f（x）的解析式判断①；求出f（）＝0判断②；由x的范围求得的范围判断③；求出函数y＝f（x）+a在上的最小值，结合已知求得a判断④．解：把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，得到y＝sin2（x+），纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）＝2sin（2x+）．①该函数的解析式为，正确；②当x＝时，f（）＝2sinπ＝0，该函数图象关于点（）对称，正确；③当x∈[7，]时，∈[]，该函数在上不单调，故③错误；④当x∈[0，]时，8x+∈[，]，函数y＝f（x）+a在上的最小值为，∴正确判断的序号是①②④．故选：D．10．已知x与y之间的几组数据如表：x1234y1m n4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a2【分析】由题意可得m+n＝5，分别取m与n的值，得到b1，a1，b2，a2，r1，r2，r3的值，逐一分析四个选项得答案．解：由题意，1+m+n+4＝10，即m+n＝5．若m＝8.5，则n＝3.5，此时，．+（3﹣2.5）（3.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（7﹣2.5）＝5.5，＝（﹣1.5）7+（﹣1）2+32+1.52＝6.8．若m＝2，则n＝3，此时，．＝5，＝（﹣1.5）8+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5．若m＝2.5，则n＝2.4，此时，．+（3﹣2.5）（6.5﹣2.5）+（4﹣2.7）（4﹣2.5）＝4.5，由样本点的中心相同，故A正确；故选：D．11．已知向量，满足||＝1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（）A．[，∞）B．（，∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【分析】由||＝1，与的夹角为，|x+2|≥|+|，化为，即≥0，由于对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，可得△≤0，解出即可．解：∵||＝1，与的夹角为，∴|x+2|≥|+|，化为，∵对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，化为，解得．故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，e﹣3）C．（﹣1，+∞）D．（e﹣3，+∞）【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．当时，f'（x）＜0；当6＜x＜e时，f'（x）＞0；从而可得，解得h＞e﹣7，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应位置上．13．设等差数列{a n}的前n项和S n，a4＝4，S5＝15，若数列的前m项和为，则m＝2020．【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：等差数列{a n}的前n项和S n，a4＝4，S5＝15，设首项为a1，公差为d，所以，解得，所以a n＝1+n﹣1＝n．所以＝，故答案为：202014．当实数x，y满足不等式组时，恒有a（x+1）≥y，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域．由题，可得a≥，当（x，y）取点A（0，4）时，的最大值为，所以a≥4．故答案为：[2，+∞）．15．已知双曲线的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C 相交于A，B两点，F1B与y轴相交于D．若AD⊥F1B，则双曲线C的离心率为【分析】提供两种方法：（法1）根据条件表示|AF2|＝，且|AF1|＝，根据双曲线定义可得c2﹣a2＝2a2，解得c＝a，即可得到e；（法2）利用坐标表示A、B、D，利用向量法得到•＝0，即﹣2c2+＝﹣2c2+＝0，解得e2＝3．解：（法1）：∵AD⊥BF1，DF1＝BD，∴AF1＝AB＝，又∵|AF2|＝，∴|AF1|﹣|AF8|＝＝2a，则c2﹣a2＝8a2，解得c＝a，（法7）：由条件可知A（c，），B（c，﹣），则D（0，﹣），∵AD⊥BF4，解得e2＝3，∴e＝，故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则点A1到平面AMN的距离是；若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是[，]．【分析】构造与平面AMN平行的平面A1EF，得出P点轨迹，将A1到平面AMN的距离转化为F到平面AMN的距离计算，并在△A1EF中计算A1P的范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，FM，则A1E∥AM，EF∥MN，∴A1到平面AMN的距离等于F到平面AMN的距离，∴cos∠MAN＝＝，sin∠MAN＝，又V F﹣AMN＝V A﹣MNF＝＝，∴A4到平面AMN的距离为．∵A1E＝A1F＝，EF＝，当P与E（或F）重合时，A1P取得最大值．故答案为：，[，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．【分析】（1）解法一：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；解法二：结合余弦定理进行化简可得，a，b，c的关系，进而可求cos A，即可求解；（2）解法一：由余弦定理结合基本不等式可求b+c的范围，然后结合三角形的两边之和大于第三边即可求解；解法二：由已知结合正弦定理可表示，a，b，c，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．解：（1）解法一：由已知，得a cos B+b cos A＝2c cos A．由正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A．（1分）所以sin C＝2sin C cos A．因为0＜A＜π，所以．所以．（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得bc+4＝b2+c2因为又∵b+c＞a，所以3＜a+b+c≤6．所以，，因为，所以4＜a+b+c≤618．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1＝60°，E是棱BB1的中点，CA＝CB，F在线段AC上，且AF＝2FC．（1）证明：CB1∥面A1EF；（2）若CA⊥CB，面CAB⊥面ABB1A1，求二面角F﹣A1E﹣A的余弦值．【分析】（1）连接AB1交A1E于点G，连接FG，利用三角形相似证明FG∥CB1，然后证明CB1∥面A1EF．（2）过C作CO⊥AB于O，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设AB＝2，求出面A1FE的一个法向量，面ABA1的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）连接AB1交A1E于点G，连接FG．…………（1分）又CB1⊄面A4EF，FG⊂面A1EF，所以CB1∥面A1EF…………因为面CAB⊥面ABB1A1，面CAB∩面ABB3A1＝AB，所以CO⊥面ABA1．连接OA1，如图以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标………6 分由，得，BB2的中点，，………得方程的一组解为，即…………所以二面角F﹣A6E﹣A的余弦值为．…………19．已知D为圆上一动点，，DF的垂直平分线交DE 于点P，设点P的轨迹为曲线C1．（1）求曲线C1的轨迹方程；（2）经过点M（0，1）且斜率存在的直线l交曲线C1于Q、N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，曲线C1与y轴负半轴交于点A，连接AB、AN，是否存在实数λ使得对任意直线l都有k AN＝λk AB成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知，点P轨迹是以E，F为焦点的椭圆，即可求出曲线C1的轨迹方程．（2）设直线的方程为y＝kx+1，与椭圆联立得到（2+3k2）x2+6kx﹣9＝0，设Q（x1，y1）N（x2，y2），A（0，﹣2），B（﹣x1，﹣y1），再根据韦达定理可得，经过化简可得，进而可得，即可得出结论λ＝3．【解答】（1），∴点P轨迹是以E，F为焦点的椭圆，（6）设l直线的方程为y＝kx+1，联立，设Q（x1，y1），N（x2，y2），因为，，又因为点B与点Q关于原点对称，所以B（﹣x2，﹣y1），即，由点Q在椭圆上，得，所以，所以存在实数λ＝3，使k AN＝λk AB成立．20．已知函数．（1）讨论f（x）单调性；（2）取a＝e，若在[1，e]上单调递增，求k的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，即可求解；（2）构造函数，结合k的范围及由单调性与导数关系的相互转化，即可求解．解：（1），6°当k≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；f（x）在区间上是单调递增，f（x）在区间单调递减．1°、当，令，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在区间上是单调递增，又φ（1）＝0，φ（e）＝，∴k≤φ（1）＝0．∴，2°、同理可得，，综合1°、2°得k≤7或k≥1．21．某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制．已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记x为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）若甲获得发球权，求出获胜的概率，如果甲没有发球权，求出获胜的概率，利用互斥事件的概率求和即可．（2）比赛结束时甲的总得分x的可能取值为0，3，6，9，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解：（1）若甲获得发球权，则获胜的概率为，如果甲没有发球权，则获胜的概率为，所以甲获胜的概率为．∴，“乙甲甲乙乙”，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”，X＝9，∴．X0369P．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点且倾斜角为α．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B，满足A为MB的中点，求tanα．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得曲线C的普通方程x2+y2＝4x，结合x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，可得曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．由直线l过定点及倾斜角为α，直接写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t A，t B．将直线l的参数方程代入C并整理，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系求解．解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2＝8，即x2+y2＝4x，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t A，t B．得，又A为MB的中点，∴t B＝2t A，∴，∵0≤α≤π，∴．即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x﹣m|+m（m∈R）．（1）若不等式f（x）≤2的解集为，求m的值；（2）在（1）的条件下，若a，b，c∈R+，且a+4b+c＝m，求证：ac+4bc+4ab≥36abc．【分析】（1）直接根据不等式f（x）≤2的解集为，得到关于m的方程，再解出m即可；（2）由（1）知，a+4b+c＝m＝1，然后根据＝•（a+4b+c），利用基本不等式求出其最小值，即可证明ac+4bc+4ab≥36abc成立．解：（1）∵不等式f（x）≤2的解集为，∴，∴m＝1．∴＝∴ac+4bc+4ab≥36abc，∴ac+4bc+4ab≥36abc．。
安徽省六安市第一中学高三下学期适应性考试数学(文)试题
安徽省六安市第一中学高三下学期适应性考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，，则中的元素有（）A. 个B. 个C. 个D. 个2. 已知为纯虚数，，则的虚部为（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.4. 已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A. 虚轴长为B. 焦距为C. 离心率为D. 渐近线方程为 5. 某程序框图如图所示，则输出的值是（）A. B. C. D.6. 已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（）A. ②③B. ①③C. ①④D. ③④7. 函数为定义在上的奇函数，当时，单调递增.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.8. 设函数，若，是两个不相等的正数且，，，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.9. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.10. 已知函数，将的图象向右平移个单位所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位所得图象关于轴对称，则的值不可能．．．是（）A. B. C. D.11. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. B. C. D.12. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________．14. 设，满足约束条件，则的最大值为__________．15. 设直三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是__________．16. 已知数列对任意，总有成立，记，则数列的前项和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年1月某日起连续天监测空气质量指数()，数据统计如下：(（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的众数和中位数；（3）在空气质量指数分别属于和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，再从中任意18. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.19. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点.（1）求证：面；（2）求点到平面的距离.20. 已知椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别做轴的垂线，垂足分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数（为实常数）.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线.（1）求的普通方程及的直角坐标方程；（2）若，分别为，上的动点，且的最小值为，求的值.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求的取值范围.安徽省六安市第一中学高三下学期适应性考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，，则中的元素有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个 【答案】B【解析】分析：先分别求出A 和B ，然后再求出，最后求出，从而得到的元素个数.解析：，，，.则的元素个数为1. 故选：B.点睛：解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn 图法解决，此时要搞清Venn 图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．2. 已知为纯虚数，，则的虚部为（ ）A.B. C.D.【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则、共轭复数与纯虚数的定义及其虚部的定义即可得出. 解析：，复数为纯虚数，，，则的虚部为.故选：C.点睛：复数相关概念与运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．3. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出.解析：设等差数列的公差为d，，化为.则.故选：D.点睛：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．4. 已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A. 虚轴长为B. 焦距为C. 离心率为D. 渐近线方程为【答案】D【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.解析：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.故选：D.点睛：本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程a、b的值.5. 某程序框图如图所示，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，p的值，当n=23，p=79时满足条件，输出n 的值为23.解析：执行程序框图，有P=1，n=2，第一次执行循环体，有n=5，p=11；不满足条件，第2次执行循环体，有n=11，p=33；不满足条件，第3次执行循环体，有n=23，p=79；满足条件，输出n的值为23.故选：C.点睛：程序框图的应用技巧(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循环结构来解决．在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．6. 已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（）A. ②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.解析：①若，，且，则，正确.，且，可得出或，又，故可得到.②若，，且，则，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.③若，，且，则，不正确.且，可得出，又，故不能得出.④若，，且，则，正确.且，可得出，又，故得出.故选：C.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．7. 函数为定义在上的奇函数，当时，单调递增.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数为定义在上的奇函数，由，可知.当时，函数单调递增，由为定义在上的奇函数，则在上单调递增.则由可得：，解得.故选B.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．8. 设函数，若，是两个不相等的正数且，，，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=＜q，.故.故答案为：B。
2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(文科)(七)
2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（七）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集U＝{−2, −1, 0, 1, 2}，集合M＝{0, 1}，N＝{0, 1, 2}，则(∁U M)∩N＝（）A.{0, 2}B.{1, 2}C.{2}D.{0}2. 已知i是虚数单位，则(1+i1−i )2017+1i=()A.0B.1C.iD.2i3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|−|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2√5，则该双曲线方程为（）A.x24−y2=1 B.x23−y22=1 C.x2−y24=1 D.x22−y23=14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.2πB.4πC.2π+4D.3π+45. 2016里约奥运会期间，小赵常看的4个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中两个频道试看，那么，小赵所看到的第一个电视台恰好没有转播奥运比赛，而第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率为（）A.1 2B.13C.14D.166. 已知公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝8d，则7S55S7=()A.57B.79C.1011D.11237. 要得到函数f(x)＝cos(2x−π3)+1的图象，只需把y＝2cos2x的图象（）A.向左平移π3个单位 B.向右平移π6个单位C.向上平移1个单位D.向上平移2个单位8. 运行如图所示的程序，输出的结果为（）A.12B.10C.9D.89. 已知某函数在[−π, π]上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A.y＝2sin xB.y＝cos x+|x|C.y＝ln|cos x|D.y＝sin x+|x|10. 若实数x，y满足不等式组{x+y≤2y−z≤2y≥1，则(x+2)2+(y−3)2的最大值和最小值之和为（）A.192B.352C.14D.1811. 如图，在四棱锥C −ABCD 中，CO ⊥平面ABOD ，AB // OD ，OB ⊥OD ，且AB ＝2OD ＝12，AD ＝6√2，异面直线CD 与AB 所成角为30∘，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）A.3√2B.4√2C.√21D.√4212. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足：0≤x ≤1时，f(x)＝−x 3+3x ，且f(x −1)＝f(x +1)，若方程f(x)＝log a (|x|+1)+1(a >0, a ≠1)恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(5, 6)B.(6, 8)C.(7, 8)D.(10, 12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p x =qp (p,q,qp )0x =0,1[0,1] ，若m ＝4，n ＝6则R(mn )+R(lg m)＝________．已知点A 在直线y ＝2x 上，点B 的坐标为(1, 1)，O 为坐标原点，则OA →⋅OB →=6，则|OA →|＝________．已知a ，b ，c ，∈[−4, 4]，则√|a −b|+√|b −c|+√2|c −a|的最大值为________．圆C 过点(0, 2)，且圆心C 在抛物线y 2＝x 上（不与原点重合），若圆C 与y 轴交于点A ，B ，且|AB|＝4，则圆心C 的坐标为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C ，且△ABC 的面积为2√3．（1）求bc 的值；（2）若b ＝2c ，求a ．如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且MC ＝MD ＝CD ＝4，BC ＝4√2，N 为BC 中点．（1）求证：AN ⊥MN ；（2）求三棱锥C −MAN 的体积．2016年9月15中秋节（农历八月十五）到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%．（1）试根据所给数据分析，能否有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关？ 参考公式与临界值表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中：n ＝a +b +c +d（2）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，四边形A 1B 1A 2B 2面积和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l:y ＝kx +m 与椭圆C 交于M ，N 两点，OM ⊥ON （其中O 为坐标原点），求直线l 被以线段F 1，F 2为直径的圆截得的弦长．已知函数f(x)=2x−m e x（其中m 为常数）．（1）若y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若y ＝f(x)在[1, 2]上的最大值为2e 2，求m 的值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]直线l 的参数方程为{x =t cos αy =t sin α （其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0）（1）点M 的直角坐标为(2, 2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝2，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围． [选修4-5不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −m|+|x|(m ∈R) （1）若f(1)＝1，解关于x 的不等式f(x)<2（2）若f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（七）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】由条件可得∁U M＝{−2, −1, 2}，则(∁U M)∩N＝{2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，i4＝1．可得i2017＝(i4)504⋅i＝i．即可得出．【解答】∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，i4＝1．∴i2017＝(i4)504⋅i＝i．∴(1+i1−i )2017+1i=i+−i−i⋅i=i−i＝0．3.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】由题意可得c=√5，即a2+b2＝5，运用双曲线的定义，可得b＝2a，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】由双曲线的焦距为2√5，即有2c＝2√5，可得c=√5，即a2+b2＝5，由|PF1|−|PF2|＝b，及双曲线定义可得|PF1|−|PF2|＝2a，即为2a＝b，即4a2＝b2，解得a＝1，b＝2，则双曲线的方程为x2−y24=1．4.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图得到几何体是圆柱的一半，根据图中数据计算表面积．【解答】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的一半，其中底面半径为1，圆柱高为2，所以其表面积为12×2π×2+π×12+2×2=3π+4；5.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设正在转播奥运比赛的电视台为A，B，没有转播奥运比赛的电视台为c，d，则前两个节目出现的不同情况有12种不同情况，第二个电视台在转播奥运比赛的情况有(c, A)，(d, A)，(c, B)，(d, B)，共4种不同情况，由此能求出第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率．【解答】设正在转播奥运比赛的电视台为A，B，没有转播奥运比赛的电视台为c，d，则前两个节目出现的不同情况有：(A, B)，(B, A)，(A, c)，(c, A)，(A, d)，(d, A)，(B, c)，(c, B)，(B, d)，(d, B)，(c, d)，(d, c)共12种不同情况，第二个电视台在转播奥运比赛的情况有(c, A)，(d, A)，(c, B)，(d, B)，共4种不同情况，故所求概率为P=412=13．6.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的前n项和公式得到7S55S7=a3a4，再由等差数列通项公式，能求出结果．【解答】∵公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝8d，∴7S55S7=7×5(a1+a5)25×7(a1+a7)2=a3a4=8d+2d8d+3d=1011．7.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】需把y ＝2cos 2x ＝cos 2x +1的图象向右平移π6个单位，可得函数f(x)＝cos 2(x −π6)+1＝cos (2x −π3)+1的图象， 8.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】运行程序，输出的结果为满足S ＝1+3+32+...+3k−1≥2017的最小正整数k 的值， 由S =1−3k 1−3≥2017，可得k ≥8，即当S ＝1+3+32+...+37时，不满足条件S <2017，退出循环，可得：x ＝log 338＝8． 故输出结果为8． 9.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】运用排除法直接求解． 【解答】易知，选项B ，C 均为偶函数，其图象应关于y 轴对称，不符合题意，故排除BC ；又由图可知，当x ＝0时，函数值大于0，而选项D ，当x ＝0时，y ＝sin 0+|0|＝0，故排除D ． 10. 【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据(x +2)2+(y −3)2的几何意义求出最小值与最大值，再求和即可． 【解答】画出不等式组{x +y ≤2y −z ≤2y ≥1表示的平面区域如图所示；其中点A(−1, 1)，B(1, 1)，C(0, 2)，而(x +2)2+(y −3)2的几何意义是平面区域内的点(x, y)与点(−2, 3)的距离的平方， 最小值为点(−2, 3)到直线x −y +2＝0的距离的平方， 即d 2=(√2)2=92；最大值为点(−2, 3)到点B 的距离的平方，即d′2＝(1+2)2+(1−3)2＝13， 所以最大值与最小值之和为92+13=352．11. 【答案】 C【考点】 球内接多面体 【解析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO ＝30∘，求出OC ，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径． 【解答】由条件可知AB // OD ，所以∠CDO 为异面直线CD 与AB 所成角， 故∠CDO ＝30∘，而OD ＝6，故OC ＝OD tan 30∘＝2√3，在直角梯形ABOD 中，易得OB ＝6，以OB ，OC ，OD 为相邻的三条棱， 补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径， 由(2R)2＝(2√3)2+62+62＝84，故R =√21． 12.【答案】 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】作出f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1的函数图象，根据函数图象的交点个数列出不等式组得出a 的范围． 【解答】∵ f(x −1)＝f(x +1)，∴ f(x)的周期为2，作出y ＝f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1的函数图象如图所示：由图象可知f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1都是偶函数， ∴ 两函数在(0, +∞)有6个不同交点， ∴ {log a 6+1<2log a 8+1>2a >1，解得6<a <8．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 【答案】13【考点】函数与方程的综合运用 【解析】根据所给定义代入计算即可 【解答】根据定义可得R(mn )+R(lg m)＝R(23)+R(lg 4)=13+0=13， 【答案】2√5【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设A 点坐标(m, 2m)，利用数量积列方程解出m ，从而可得|OA →|． 【解答】设点A 的坐标为(m, 2m)，则OA →=(m, 2m)，OB →=(1, 1)， ∴ OA →⋅OB →=m +2m ＝3m ＝6，解得m ＝2，∴ OA →=(2, 4)， ∴ |OA →|=√4+16=2√5． 【答案】 8【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用换元思想设x =√|a −b|，y =√|b −c|，z =√|c −a|，其中a ≥b ≥c ，则x 2+y 2＝z 2，再次换元设x ＝z cos θ+z sin θ(0≤θ≤π2)，0≤z ≤2√2，利用三角函数表示即可求出最值． 【解答】设x =√|a −b|，y =√|b −c|，z =√|c −a|，不妨设a ≥b ≥c ，则x 2＝a −b ，y 2＝b −c ，z 2＝a −c ，故x 2+y 2＝z 2，所以可设x ＝z cos θ+z sin θ(0≤θ≤π2)，0≤z ≤2√2， 则x +y +√2z ＝z(sin θ+cos θ+√2)＝z[√2sin (θ+π4)+√2]≤z(√2+√2)＝2√2×2√2=8，即√|a −b|+√|b −c|+√2|c −a|的最大值为8． 【答案】 (16, 4) 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设圆心的坐标，由题意可得圆的半径，令x ＝0，可得与y 轴的交点的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由题意可得参数的值，进而求出圆心的坐标． 【解答】设圆心为C(m 2, m)，m >0，则圆的半径为r =√m 4+(m −2)2，圆C 的方程为(x −m 2)2+(y −m)2＝m 4+(m −2)2，令x ＝0，可得y 2−2my +4m −4＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2＝2m ，y 1⋅y 2＝4m −4，则|AB|＝|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√4m 2−4(4m −4)=4，且m ≠0， 故m ＝4，则圆心C 的坐标为(16, 4)．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C ＝sin (B +C)＝sin A ， 即2sin A =−sin A cos A (sin A >0)，可得cos A =−12，(0<A <π)， sin A =√1−14=√32， 由△ABC 的面积为2√3， 可得12bc sin A =√34bc ＝2√3， 解得bc ＝8；b ＝2c ，且bc ＝8， 解得b ＝4，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2−2bc cos A ＝16+4−2×4×2×(−12)＝28，解得a ＝2√7． 【考点】 正弦定理 余弦定理【解析】（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sin A ，再由三角形的面积公式，可得bc 的值； （2）求得b ，c 的值，由余弦定理计算即可得到所求a 的值． 【解答】−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C＝sin (B +C)＝sin A ， 即2sin A =−sin Acos A (sin A >0)， 可得cos A =−12，(0<A <π)，sin A =√1−14=√32， 由△ABC 的面积为2√3， 可得12bc sin A =√34bc ＝2√3， 解得bc ＝8；b＝2c，且bc＝8，解得b＝4，c＝2，则a2＝b2+c2−2bc cos A＝16+4−2×4×2×(−12)＝28，解得a＝2√7．【答案】证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面ABCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2√3，ON＝2√3，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．连接AC，△NAC的面积为：S△NAC=12×AB×NC=12×4×2√2=4√2．∴三棱锥C−MAN的体积为：V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO=13×4√2×2√3=2√63．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）取CD的中点O，连接OA，OM，ON，推导出MO⊥CD，从而MO⊥平面ABCD，由此能证明AN⊥MN．（2）连接AC，三棱锥C−MAN的体积为V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO，由此能求出结果．【解答】证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面ABCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2√3，ON＝2√3，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．连接AC，△NAC的面积为：S△NAC=12×AB×NC=12×4×2√2=4√2．∴三棱锥C−MAN的体积为：V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO=13×4√2×2√3=2√63．【答案】由所给条件可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=140(50×20−40×30)280×60×90×50=727<2.706，所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关；根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1−500(0.0001+0.0002+0.0003+0.0004)2=0.25．则人均消费月饼的数量为：750×0.0002×500+250×0.0004×500+1750×0.25+2250×0.25+2750×0.0003×500+3250×0.0001×500＝1900（克）．喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+40140=914，根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：1900×300000×914×0.35=128250000（克）＝128.25（吨）．【考点】独立性检验【解析】（1）由已知求得K2的观测值，再与临界值表比较得结论；（2）求出第三组数据和第四组数据的频率，再由频率分布直方图求得人均消费月饼的数量，得到喜欢吃月饼的人数所占比例，进一步求得该厂生产的月饼数量．【解答】由所给条件可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=140(50×20−40×30)280×60×90×50=727<2.706，所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关；根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1−500(0.0001+0.0002+0.0003+0.0004)2=0.25．则人均消费月饼的数量为：750×0.0002×500+250×0.0004×500+1750×0.25+2250×0.25+2750×0.0003×500+3250×0.0001×500＝1900（克）．喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+40140=914，根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：1900×300000×914×0.35=128250000（克）＝128.25（吨）．【答案】∵四边形A1B1A2B2与四边形F1B1F2B2的面积为4．∴ 12×2a ×2b ＝4，∴ ab ＝2，∵ 椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√32， ∴ ca =√32，结合a 2＝b 2+c 2，得c =√32a ，b =12a ，∴ a 2＝4，则b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0， 设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则△＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0， 即m 2<4k 2+1，x 1+x 2=−km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 由OM ⊥ON ，得OM →⋅ON →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴ (k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，即(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+km ⋅(−8km4k 2+1)+m 2＝0，整理可得m 2=4k 2+45，即|m|=2√5⋅√k 2+15，① 把①代入m 2<4k 2+1，得，该不等式恒成立． 以F 1F 2为直径的圆的圆心为(0, 0)，半径为√3． 圆心O 到直线l 的距离为d =2=2√55， 则直线l 被圆O 截得的弦长为：2√3−45=2√555． 【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由四边形A 1B 1A 2B 2面积4，得ab ＝2，由椭圆的离心率为√32，得c a=√32，由此求出a ，b ，从而能求出椭圆C 的方程．（2）由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，由此利用弦长公式、根的判别式、直线垂直、圆的性质，结合已知条件，能求出直线l 被圆O 截得的弦长． 【解答】∵ 四边形A 1B 1A 2B 2与四边形F 1B 1F 2B 2的面积为4． ∴ 12×2a ×2b ＝4，∴ ab ＝2， ∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，∴ ca=√32，结合a 2＝b 2+c 2，得c =√32a ，b =12a ，∴ a 2＝4，则b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0， 设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则△＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0， 即m 2<4k 2+1，x 1+x 2=−km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 由OM ⊥ON ，得OM →⋅ON →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴ (k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，即(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+km ⋅(−8km4k 2+1)+m 2＝0，整理可得m 2=4k 2+45，即|m|=2√5⋅√k 2+15，① 把①代入m 2<4k 2+1，得，该不等式恒成立． 以F 1F 2为直径的圆的圆心为(0, 0)，半径为√3． 圆心O 到直线l 的距离为d =√1+k2=2√55， 则直线l 被圆O 截得的弦长为：2√3−45=2√555． 【答案】 由f(x)=2x−m e 可得f′(x)=2e x −e x (2x−m)e =−2x+m+2e ，由y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增可得f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立， 即−2x+m+2e x≥0，∴ 2x ≤m +2，由x ∈[1, 4]可得2x ∈[2, 8]，故只需8≤m +2，∴ m ≥6，即实数m 的取值范围是[6, +∞)． 由（1）可知f′(x)=−2x+m+2e x，①当m +2≥4，即m ≥2时，f′(x)>0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递增，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(2)=4−m e 2=2e 2，故m ＝2，满足m ≥2；②当m +2≤2，即m ≤0时，f′(x)<0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递减，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(1)=2−m e =2e 2，故m ＝2−2e ，不满足m ≤0，舍去；③当2<m +2<4，即0<m <2时，由f′(x)＝0可得x =m+22．x <m+22时，f′(x)>0；当x >m+22时，f′(x)<0，即f(x)在[1, 2+m 2)上单调递增, 在(m+22, 2]上单调递减，故f(x)的最大值为f(m+22)=m+2−me m+22=2e m+22，即2e m+22=2e 2，所以，m ＝2，不满足0<m <2，舍去． 综上可知，m ＝2． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可转化为f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立，分离参数后转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求 函数的单调性，结合已知最值即可求解m 【解答】 由f(x)=2x−m e x可得f′(x)=2e x −e x (2x−m)e 2x=−2x+m+2e x，由y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增可得f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立， 即−2x+m+2e x≥0，∴ 2x ≤m +2，由x ∈[1, 4]可得2x ∈[2, 8]，故只需8≤m +2，∴ m ≥6，即实数m 的取值范围是[6, +∞)． 由（1）可知f′(x)=−2x+m+2e x，①当m +2≥4，即m ≥2时，f′(x)>0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递增，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(2)=4−m e 2=2e 2，故m ＝2，满足m ≥2；②当m +2≤2，即m ≤0时，f′(x)<0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递减，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(1)=2−m e =2e 2，故m ＝2−2e ，不满足m ≤0，舍去；③当2<m +2<4，即0<m <2时，由f′(x)＝0可得x =m+22．x <m+22时，f′(x)>0；当x >m+22时，f′(x)<0， 即f(x)在[1, 2+m 2)上单调递增, 在(m+22, 2]上单调递减，故f(x)的最大值为f(m+22)=m+2−m em+22=2em+22，即2em+22=2e 2，所以，m ＝2，不满足0<m <2，舍去． 综上可知，m ＝2．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程] 【答案】∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0），∴ 曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为x 2+y 2−2mx −4＝0， 即(x −m)2+y 2＝m 2+4，由点M 在曲线C 的内部可得(2−m)2+22<m 2+4，解得m >1， 即实数m 的取值范围是(1, +∞)．直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝−4． 则直线l 与曲线C 截得的弦长为|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α+16∈[4, 4√2]， 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是[4, 4√2]．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程，由点M 在曲线C 的内部，能求出实数m 的取值范围． （2）直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程，得ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，利用韦定理、弦长公式能求出直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围． 【解答】∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0），∴ 曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为x 2+y 2−2mx −4＝0， 即(x −m)2+y 2＝m 2+4，由点M 在曲线C 的内部可得(2−m)2+22<m 2+4，解得m >1， 即实数m 的取值范围是(1, +∞)．直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝−4． 则直线l 与曲线C 截得的弦长为|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α+16∈[4, 4√2]， 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是[4, 4√2]． [选修4-5不等式选讲]【答案】由f(1)＝1可得|1−m|+1＝1，故m ＝1． 由f(x)<2可得|x −1|+|x|<2．①当x <0时，不等式可变为(1−x)−x <2，解之得x >−12，∴ −12<x <0；②当0≤x ≤1时，不等式可变为(1−x)+x <2，即1<2，∴ 0≤x ≤1； ③当x >1时，不等式可变为(x −1)+x <2，解之得x <32，∴ 1<x <32．综上可知，原不等式的解集为(−12, 32)．由绝对值不等式的性质可得f(x)＝|x −m|+|x|≥|x −m −x|＝|m|， 当且仅当(x −m)⋅x ≤0时等号成立，故f(x)的最小值为|m|．要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，故只需|m|≥m 2，即|m|⋅(|m|−1)≤0， 故|m|≤1，即−1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[−1, 1]．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由题意求得m ＝1，不等式即|x −1|+|x|<2，分类讨论，去掉绝对值，求得x 的范围，综合可得结论． （2）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值为|m|，要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，只需|m|≥m 2，由此求得m 的范围． 【解答】由f(1)＝1可得|1−m|+1＝1，故m ＝1． 由f(x)<2可得|x −1|+|x|<2．①当x <0时，不等式可变为(1−x)−x <2，解之得x >−12，∴ −12<x <0；②当0≤x ≤1时，不等式可变为(1−x)+x <2，即1<2，∴ 0≤x ≤1； ③当x >1时，不等式可变为(x −1)+x <2，解之得x <32，∴ 1<x <32． 综上可知，原不等式的解集为(−12, 32)．由绝对值不等式的性质可得f(x)＝|x −m|+|x|≥|x −m −x|＝|m|， 当且仅当(x −m)⋅x ≤0时等号成立，故f(x)的最小值为|m|．要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，故只需|m|≥m 2，即|m|⋅(|m|−1)≤0， 故|m|≤1，即−1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[−1, 1]．。
安徽省六安市第一中学2020届高三高考模拟测试文科数学试题(含答案解析)
A. x3 3x log3 x
B. 3x x3 log3 x
C.log3 x x3 3x
D.log3 x 3x x3
4.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数的代表作，书中有如下问题:“今有勾八步，股一十
五步，问勾中容圆，径几何?”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径
6
2
3
题是()
A.函数 f(x)的图象关于直线 x = 对称 12
B. x = − 是函数 f(x)的一个零点 6
C.函数 f(x)的图象可由 g(x) = 3 sin 2x 的图象向左平移 个单位得到 3
D.函数 f(x)在[0, ]上是增函数 12
7.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上任意一点, M 是线段 PF 上的点,且|PM|=
=
(an
an+1 + 1)(an+1
+ 1)
(n
N*)
，求数列{bn}的前
n
项和 Tn .
18、(本小题满分 12 分) 在某市高三数学质:量检测中，全市共有 5000 名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人 数为 2000 人，非示范性高中参加考试学生人数为 3000 人现从所有参加考试的学生中随机抽取 100 人，做 检测成绩数据分析. (1)设计合理的抽样方案(说明抽样方法和样本构成即可); (2)依据 100 人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的
(2)将曲线
C2
经过伸缩变换
x y
= =
2 2
y
2
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(六)数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{3xA x =>,{}2N 12110B x x x =∈-+<，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,10【答案】C【解析】对集合A 和B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合{3xA x =>3x >9233x >，解得92x >， 所以集合92A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭. 集合{}2N 12110B x x x =∈-+<，212110x x -+<，()()1110x x --<，解得111x <<，所以集合{}2,3,4,5,6,7,8,9,10B =， 所以A B =I {}5,6,7,8,9,10. 故选：C. 【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 2．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 【答案】A【解析】根据()()i 2i 35i a b ++=-得到,a b 的值，从而得到复数z ，在得到复数z 的共轭复数. 【详解】因为()()i 2i 35i a b ++=-， 所以()()2235a b a b i i -++=-，所以2325a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得15135a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以13155z b ai i =-=-- 所以复数z 的共轭复数为131i 55-+. 故选：A. 【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题. 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -> B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥ C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -> D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥ 【答案】B【解析】根据命题，当6x π=时，判断出命题p 为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题p 的否定. 【详解】 命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<，当0,62x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，32923sin 066326ππππ-⨯-=-=<， 所以命题p 为真命题； 命题p 的否定为：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥. 故选：B. 【点睛】本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.4．已知向量()2,a m =-r ，()1,b n =r ，若()a b b -r r r∥，且b =r 则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或4【答案】C【解析】根据已知得到a b -r r的坐标，然后根据()a b b -r r r ∥，b =r m ，n 的方程组，从而得到答案. 【详解】向量()2,a m =-r ，()1,b n =r， 所以()3,a b m n -=--r r，因为()a b b -r r r∥，b =r所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2. 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题. 5．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填（ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <【答案】B【解析】根据框图得到S 和k 的变化规律，根据输出的k 的值为6，得到6k =时S 的值，从而得到判断语句，得到答案. 【详解】 根据框图可知，0,1S k ==， 12S =，2k =，1222,3S k =+=， 123222,4S k =++= 12342222,5S k =+++= 1234522222,6S k =++++=要使k 的输出值为6，此时()52126212S -==-，所以判断框内的语句可以为62S <. 故选：B. 【点睛】本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题. 6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A ．132+B ．132-C ．132-+D ．132--【答案】A【解析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案. 【详解】()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒++︒()tan 75tan 45cos 18060sin 30sin 60sin1201tan 75tan 45︒-︒=︒+︒︒+︒︒++︒︒cos60sin30sin60sin120tan30=-︒︒+︒︒+︒1122223=-⨯++12=. 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题. 7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称 【答案】D【解析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案. 【详解】 函数()321ln 333xf x x x x x-=++++， 所以103xx->+，解得31x -<< 即函数()f x 的定义域为()3,1-，若函数()f x 的对称中心横坐标为1-，或者对称轴为1x =-， 则()()()()3232ln232321x f x x x x x+--=+--+--+---323ln3321xx x x x+=----- 此时得到()()2f x f x ≠-- 所以()f x 不是关于1x =-对称，()()2f x f x +--323213ln33ln 33231x x x x x x x x x x-+=++++----+- 2=-.所以函数()f x 关于()1,1--成中心对称. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题. 8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZB ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 【答案】C【解析】根据平移，得到平移后的解析式()g x ，然后由对称轴为2x π=，得到ω的表达式，从而得到ω的最小值，确定出()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递增区间. 【详解】函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位， 得到()sin 43g x x ππω⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 图象关于2x π=对称，所以2432k ππππωπ⎛⎫--=+⎪⎝⎭，k ∈Z ，整理得1043k ω=+，k ∈Z ， 因为0>ω，所以当0k =时，ω的最小值为103， 所以()10sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，10222332k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，解得3320545k x k ππππ-≤≤++，k ∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z .故选：C. 【点睛】本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于简单题.9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点A 时，z 取最小值，根据0z ≥恒成立，得到关于m 的不等式，从而得到m 的范围，确定出答案. 【详解】实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 根据约束条件，画出可行域，如图所示，将目标函数3z mx y =--化为斜截式3y mx z =--， 根据选项可知m 的值为正，即直线斜率大于0所以当直线3y mx z =--过A 点时， 在y 轴上的截距3z --最大，即z 最小，解13525x x y =⎧⎨+=⎩得1225x y=⎧⎪⎨=⎪⎩，即221,5A ⎛⎫⎪⎝⎭此时min 2235z m =-- 因为0z ≥恒成立，所以22305m --≥ 解得375m ≥，所以m 不可取的值为7. 故选：A.【点睛】本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（ ）A．1 B2C3D．2【答案】B【解析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体的棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.【详解】-，如图所示，根据三视图还原出几何体，为三棱锥A BCD根据三视图中的数据，可将几何体放入长为1，宽为2，高为2的长方体中，则B，C为长方体侧棱的中点，-中，所以由图可知三棱锥A BCD最短棱为22==+=AB CD112故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.11．已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为23，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为（ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--【答案】A【解析】根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅uuu r uuu r 的坐标表示，得到关于x的函数，结合x 的范围，得到答案. 【详解】椭圆222:19x y C b+=的3a =，其离心率为23，所以23c a =，所以22c =所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-， 则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2PM PN PM =⋅-u u u u r u u u r u u u u r因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦uuu r uuu r uuu r()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅uuu r uuu r 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12- 当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦uuu r uuu r .故选：A. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.12．已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据参变分离变形为m ≥2ln 112x x x x +++在()0,∞+恒成立，设()f x =2ln 112x x x x +++，利用导数求函数的最大值.【详解】第一种解法（秒杀）：令1x =时，2ln12(1)12m m +-⨯+≤化简：43m ≥；令2x =时，2ln 22(1)224m m +-⨯+≤，化简22ln 24m +≥ 你还可以在算出3,4，选择题排除法.B 为最佳选项.第二种解法（常规）：()22ln 212x m x mx +-+≤⇔m ≥2ln 112x x x x +++ 构造()f x =2ln 112x x x x +++ 求导()2211ln 2()12x x x f x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭'，令'()0f x =，即1-ln 02x x -=， 再令()g x =1-ln 2x x -，11()2g x x=--'在()0+∞，，'()0g x <，()g x 在()0+∞，上是单调递减，设点t ，1-ln 02t t -=⇒()f x 在()0t ，递增；()f x 在(),t +∞递减， 所以max()f x ()f t ==2ln t t 11t t 2+++1t =，1()0,(1)02g g ><，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()11,2t ∈所以m 的最小值是2. 故选：B 【点睛】本题考查导数研究函数问题的综合应用，重点考查了不等式恒成立，求参数的最小整数问题，选择题代特殊值是比较快速的方法，如果是解答题，需要有严谨的推理过程，本题求函数的最大值，需要二次求导，并且根据零点存在性定理估算最值点（极值点）的范围.二、填空题13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为_____________. 【答案】253【解析】根据23n =，共有24个数，则所求为这一行的倒数第3个数，找到每一行倒数第3个数的规律，从而得到所求. 【详解】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，每一行倒数第3个数（从第3行，2n =开始） 为1，3，6，10，15，⋅⋅⋅， 即为122⨯，232´，342⨯，452⨯，562⨯，⋅⋅⋅，()12n n -，所以当23n =时，左往右第22个数为22232532⨯=. 故答案为：253. 【点睛】本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线C 的离心率为54； ②双曲线C 与椭圆22:13611x y C '+=共焦点； ③双曲线右支上的一点P 到12,F F 的距离之差是虚轴长的43倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C 的方程为_____________.【答案】221169x y -= 【解析】根据题意得到双曲线的渐近线，然后根据右焦点(),0c 到渐近线的距离为3，得到b ，①根据离心率得到,a c 关系，结合222+=a b c ，求出a ，从而得到双曲线方程；②求出椭圆22:13611x y C '+=的焦点，从而得到5c =，结合222+=a b c ，求出a ，从而得到双曲线方程；③根据题意得到12423PF PF b -=⋅，由双曲线的定义得到a ，从而得到双曲线方程. 【详解】依题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 右焦点(),0c 到渐近线的距离为3故223bc a b =+，即3b =；①双曲线C 的离心率为54，故54c a =； 又3b =，且222+=a b c ，所以得4,5a c ==，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ②椭圆22:13611x y C '+=的焦点坐标为(5,0),(5,0)-，故5c =；又222+=a b c ，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ③依题意，设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ， 故12423PF PF b -=⋅，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=. 故答案为：221169x y -=. 【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求标准方程，根据双曲线的定义求标准方程，双曲线的几何性质，属于简单题.15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且//AB CD ，12AB CD =，PA PB AD ==，43PA AD CD +==，若平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_____________.【答案】52π【解析】根据已知条件，求出四棱锥P ABCD -中各棱的长度，四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在平面ABCD 的射影为CD 中点G ，PF AB ⊥得到F 为AB 中点，作OE PF ⊥，得到OG EF d ==，3OE FG ==，利用勾股定理得到关于d 的方程，解得d 的值，再求出半径R 的值，从而求出外接球的表面积. 【详解】因为四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,43PA AD CD +==，23PA PB AB AD BC =====，故3ADCπ∠=；取CD 的中点G ，则G 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心； 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ， 所以O 在平面ABCD 的射影为G ，作PF AB ⊥于F ，则F 为AB 中点，3PF =因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB = 所以PF ⊥平面ABCD ，而FG ⊂平面ABCD ，所以PF FG ⊥ 由PF OG P ，可得在平面PAGF 中，作OE PF ⊥， 则OG EF d ==，3OE FG ==由22OP OC =，可得2222OE PE OG GC +=+， 即()()2229323d d +-=+，解得1d =，所以9413R =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为()241352ππ⨯=.、故答案为：52π. 【点睛】本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.16．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥224MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为_____________.【答案】524+【解析】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，利用余弦定理，表示出2NP ，根据224MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭得到4MPN π∠=，从而把MNP ∆的面积用NP 表示，然后得到四边形MNQP 面积关于θ的函数，从而得到其最大值. 【详解】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，由余弦定理得2222cos NP NQ PQ NQ PQ θ=+-⋅⋅54cos θ=-，224MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭sin 14MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，所以4MPN π∠=，因为MN MP ⊥，所以MNP ∆为等腰直角三角形， 所以215cos 44MNP S NP θ∆==- 121sin sin 2NPQ S θθ∆=⨯⨯⨯=所以5cos sin 4MNQP MNP NPQ S S S θθ∆∆=+=-+ 5244πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以当34θπ=时，MNQP S 面积最大，最大值为524+故答案为：524【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题.三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【答案】（1）13-=n n a ； （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）根据题意得到13n na a +=，根据22a +是13,a a 的等差中项，得到1a 的值，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）可知1113n n a -=，利用等比数列的求和，得到n T ，由n T M <恒成立，得到M 的取值范围.【详解】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，所以13n na a +=；所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ； （2）由（1）可知1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，1123111111133n n n T a a a a -=+++⋯+=++⋯+ 1131331123213nn⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率. 【答案】（1）12； （2）16. 【解析】（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案. 【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”， 故甲参加围棋比赛的概率为12； （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为()1,2,1,2，()1,2,1,3，()1,2,1,4，()1,2,2,3，()1,2,2,4，()1,2,3,4，()1,3,1,2，()1,3,1,3，()1,3,1,4，()1,3,2,3，()1,3,2,4，()1,3,3,4，其中满足条件的有()1,2,3,4，()1,3,2,4两种， 故所求概率21126P ==. 【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题19．已知四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，且//AD BC ，222BC AD AB ===，F 为,AC BD 的交点，点E 在平面ABCD 内的投影为点F .（1）求证：AF ED ⊥；（2）若AF EF =，求三棱锥D ABE -的体积. 【答案】（1）见解析； （2）636【解析】（1）根据题意可得AFD CBF ∆∆:，从而得到相似比，利用勾股定理得到,BD AC 的长，从而得到,BF AF 的长，从而证明AC BD ⊥，由EF ⊥平面ABCD ，得到AC EF ⊥，从而得到AC ⊥平面BDE ，可以得到AF ED ⊥；（2）三棱锥D ABE -转化为E ABD -，然后根据（1）中所得线段长度，求出其体积. 【详解】（1）因为//AD BC ，所以AFD CBF ∆∆:， 所以12AF DF AD CF BF BC ===， 又因1,2AB BC ==90ABC ∠=︒，所以223AC AB BC =+=所以133AF AC ==因为222BC AD ==22AD =在Rt BDA V 中，2262BD AB AD =+=，所以233BF BD ==，在ABF V 中，22222133AF BF AB ⎛⎫⎛+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以90AFB ∠=︒，即AC BD ⊥；由题意可知EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC EF ⊥；又因为BD EF F =I ，BD ⊂平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥平面BDE ，因为ED ⊂平面BDE ，故AC ED ⊥， 即AF ED ⊥；（2）3AF EF ==，Rt ABD △的面积为1112224ABD S AD AB =⋅=⨯=V所以1133D ABE E ABD ABD V V S EF --==⋅==V . 【点睛】本题考查平面几何的相关知识，线面垂直的性质和判定，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若12AF =，点1⎫-⎪⎪⎝⎭关于直线y x =的对称点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程与离心率；（2）过点()0,2做直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,M N ；若OM ON λ⋅<uuu r uuu r恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1 （2）13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）根据12AF =，得到2a =，得到点1⎫-⎪⎪⎝⎭关于直线y x =的对称点，代入椭圆方程，求出b ，再得到c ，从而得到椭圆的标准方程和离心率；（2）当直线l 斜率不存在时，得到1OM ON ⋅=-u u u u r u u u r，直线l 斜率存在时，设为2y kx =+，与椭圆联立，得到k 的范围和12x x +，12x x ，从而表示出OM ON ⋅u u u u r u u u r，得到其范围，再得到λ的取值范围. 【详解】（1）因为12AF =2a =，故椭圆222:14x y C b+=，点1⎫-⎪⎪⎝⎭关于直线y x =的对称点为⎛- ⎝⎭，将⎛- ⎝⎭代入椭圆222:14x y C b +=中，得213144b += 解得1b =，所以c ==所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率c e a ==（2）当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)M N -，所以1OM ON ⋅=-u u u u r u u u r． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)M x y N x y联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=， 由>0∆，可得243k >，1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r21212(1)2()4k x x k x x =++++2171311,144k ⎛⎫=-+∈- ⎪+⎝⎭， 所以1314OM ON -≤⋅<uuu u r uuu r ， 因为OM ON λ⋅<uuu r uuu r恒成立， 所以134λ≥，即实数λ的取值范围为13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查根据,,a b c 的值求椭圆的标准方程和离心率，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，属于中档题. 21．已知函数()2ln 2p f x x x =-. （1）当0p >时，求函数()f x 的极值点；（2）若1p >时，证明：()()33e 121p p x f x p ---<-. 【答案】（1）极小值点为x =，无极大值点； （2）见解析. 【解析】（1）对()f x 求导，通过判断()f x '的正负，从而得到()f x的极小值点为x ，无极大值点； （2）设()()()1g x p x f x =--，通过导数得到()g x 最大值，从而得到()()()211p p x f x -⎡--⎤⎣⎦()12112p p ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，设()()312112ep p p h p -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，利用导数得到()h x 最大值，再通过放缩得到()3h p <，结合已经得到的结论，从而进行证明.【详解】（1）依题意，()2ln 2p f x x x =-，故())21111px f x px x x x+--'=-==；可知，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>；故函数()f x的极小值点为x ，无极大值点； （2）因为1p >，令()()()()211ln 2p g x p x f x p x x x =--=--+，故()()()11px x g x x+-'=-，可得函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞， 所以()g x 在1x =时取得极大值，并且也是最大值，即()max 112g x p =-． 又210p ->，所以()()()211p p x f x -⎡--⎤⎣⎦()()()1212112p g x p p ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭． 设()()312112e p p p h p -⎛⎫--⎪⎝⎭=，则()()()()2332971272e 2e p p p p p p h p ---+--'=-=-，所以()h p 的单调递增区间为71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为7,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， 72x =时，()h x 取得极大值，也是最大值， 所以()1236742eh p h ⨯⎛⎫≤=⎪⎝⎭因为3933=，所以()3h p <， 又因为3e 0p ->，所以()()23211ln 3e 2p p p p x x x -⎡⎤---+<⎢⎥⎣⎦，即()()33e 121p p x f x p ---<-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用导数证明不等式，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）()22:24C x y -+=；:0l x y -+=； （2. 【解析】（1）曲线C 的参数方程化简消参后得到普通方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，对直线l 的极坐标方程进行化简，得到l 的直角坐标方程；（2）根据变换规则，得到变换后的曲线1C 的方程，写出其参数方程，从而得到曲线1C上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）所以22cos 2sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得()2224x y -+=，即曲线C 的普通方程为：()2224x y -+=.直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，cos sin 0ρθρθ+=cos sin 0ρθρθ-+=， 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y -+= （2）曲线C ：()2224x y -+=向左平移2个单位， 得到224x y +=，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12得到2244x y +=，即曲线221:14y C x +=； 所以曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数)，设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ， 则点P 到直线l 的距离为：则d ==其中1tan 2ϕ=-)，当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值，为2所以点P 到直线l的距离的最小值为2. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题. 23．已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()3,4； （2）(][),62,-∞-+∞U .【解析】（1）根据题意得到223x x ->-，可以先确定3x >，从而去掉绝对值，化为一次不等式，得到解集；（2）分2m ≥-和2m <-，得到()112f x x ++的分段形式，从而得到其最小值，然后根据()1122f x x ++≥恒成立，得到关于m 的不等式，解得m 的范围. 【详解】（1）当2m =时，不等式()23f x x >-，即223x x ->-，因为20-≥x ，所以3x >，所以由223x x ->-，得()223x x ->-，解得4x <， 故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（2）依题意，当2m ≥-，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-≥⎪⎪⎪++=-++-≤≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，故()min11122m f x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦， 因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m+≥，解得2m ≥； 当2m <-时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<≤-⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩，故()min11122m f x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦， 因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m--≥，解得6m ≤-； 综上所述，实数m 的值为(][),62,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(四)数学(文)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（四）文科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =I ð（ ） A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:i x 0.2 1 2.2 3.2 i y1.12.12.33.34.2中一个x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 （ ） A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.56．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．()tan f x x = B ．()sin f x x x =+ C ．2()ln2xf x x-=+ D ．()x x f x e e -=-7．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．728．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．164π+B ．484π+C ．4812π+D ．4816π+10．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,,6BCD BC CD AB ⊥=，若该三棱锥的外接球的体积为500π3，则BC CD ⋅的最大值为 （ ）A ．252B ．32C ．50D ．6411．在DEF △中，34DB DE =u u u r u u u r ,13DA DF =u u u r u u u r ,4DE =,9cos 16D =，若DAB △的面积为157，则sin E =（ ）A B ．18C D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知非零向量a,b ，2||=a ，向量a 在向量b 上的投影为1-，()⊥+a a 2b ，则=b . 14．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()()254B x m y m -+-=外切，则实数m 的值为 .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知过抛物线2:4G y x =的焦点F 的直线交抛物线自下到上于,A B ，C 是抛物线G 准线上一点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AF 为直径的圆的方程为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b =n a n +，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取1人，求这两人恰好都为女士的概率.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，2AB =，求点C 到平面BDE 的距离.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过(0,2)的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r（其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin x f x e ax x =-+.（1）已知函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）当0x ≥时，()1f x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值. （2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04文科数学答案与解析1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12.【答案】B13．【答案】214．【答案】0或1615．【答案】3(0,]216．【答案】2224()(39x y -+=【 17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a a n n +=⨯++， 即113(1)1n n a a n n ++=++，Q 111,130a a =∴+=≠，10n a n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分） ∴13n n a n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分） （2）由（1）知，3n n b n =⨯，（7分）∴221323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①（8分）∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②（9分）①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ，（11分） ∴1(21)3344n n n T +-=+.（12分） 18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分） （2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，（6分）设抽取的40人中成绩在[80,90)之间男士为123,,A A A ，女士为12,B B ，成绩在[90,100]之间的男士为45,A A ，女士为35,B B ，（7分）从成绩在[80,90）,[90,100]的被抽取人员中各随机选取1人，有{1A ,4A },{1A ,5A }，{1A ,3B },{1A ,4B },{2A ,4A },{2A ,5A },{2A ,3B },{2A ,4B },{3A ,4A },{3A ,5A },{3A ,3B }， {3A ,4B },{1B ,4A },{1B ,5A },{1B ,4B },{1B ,3B },{2B ,4A },{2B ,5A },{2B ,4B },{2B ,3B }， 共有20种不同取法，其中选中的2人中恰好都为女士的取法有{1B ,4B },{1B ,3B }，{2B ,4B },{2B ,3B }共4种不同取法，（10分）故选中的2人中恰好都为女士的概率为41205=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形，∴EO BC ⊥，Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=，∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ，∴BC ⊥平面DOE ，∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 在等边BCE △和BCD △中，3DO OE =在Rt DOE △中，2222336ED DO EO ++（）（）在DBE △中，22222222(6)1cos 24BD BE DE DBE BD BE +-+-∠=⋅， ∴215sin 1cos DBE DBE ∠-∠∴11515222DBE S =⨯⨯△9分） 设C 到平面DBE 的距离为d ，Q C DBE D BCE V V --=， ∴1133DBE BCE S d S DO =⨯△△，即2115123333d ⨯=， 解得215d =∴C 到平面DBE 215.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ，Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r ，∴122F F F M =u u u u r u u u u u r ，∴2F 是线段1F M 的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=，由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线0x =，代入椭圆方程22143x y +=解得y = 此时3OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，（5分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，22(34)1640k x kx +++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+， 222(16)44(34)48(41)0k k k ∆=-⨯⨯+=-＞，解得214k ＞（8分） ∴12y y =12(2)(2)kx kx ++=2222121222243212122()44343434k k k k x x k x x k k k -+++=-+=+++， 1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 222412123434k k k -=+++=2222216121216253344343k k k k k --=-=-++++， Q 214k ＞，∴2434k +＞，∴2110434k <+＜，∴225250434k <+＜， ∴1334OA OB -⋅u u u r u u u r ＜＜，（11分） 综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为13[3,)4-.（12分） 21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin 1x h x f x g x e ax x =-=-+-，∴()cos x h x e a x '=-+，（5分） 设()cos x m x e a x =-+，∴()sin x m x e x '=-，Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，∴()0m x '≥， ∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)2h a '=-，（7分）当2a ≤时，20a -≥，则当0x ≥时，()(0)20h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当2a >时，(0)20h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x 趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大，∴存在00,x ∈+∞（）上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.（12分）22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分） 由题知直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）.（5分） （2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得，27180t --=，∴1212187t t t t +=-，（8分）∴1224||||7AB t t =-.（10分） 23．【解析】（1）Q 113,21()3,2231,2x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分） ∴()f x 在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数， Q (2)7,(3)8f f -==，∴()f x 在区间[2,3]-上的最大值为8，∴8m ≥，∴实数m 的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab +=，0,0a b >>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b a a b a b a b a b a b +=++=+++++≥， 当且仅当2222a b b a=且b a a b =，即a b =时，22a b +取最小值8. ∴22a b +的最小值为8.（10分）。
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2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（文科）（7月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}，则A∩B=()A. {x|−1<x<4}B. {x|0<x<4}C. {0,1，2，3}D. {1,2，3}2.设复数z=1+bi(b∈R)，且z2=−3+4i，则z的虚部为()A. −2B. −4C. 2D. 43.已知函数f(x)=e x−(x+1)2(e为自然对数的底数)，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 15.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为()A. 2√3πB. 2√33πC. 4√33πD. 8√33π6. 已知函数f(x)={e x −e −x (x >0)−x 2(x ≤0)，若a =50.01，b =32log 32，c =log 20.9，则有( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(a)>f(b)>f(c)C. f(a)>f(c)>f(b)D. f(c)>f(a)>f(b)7. 下列命题错误的是( )A. 命题“若xy =0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”B. 对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0；则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0C. 命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆否命题为“若方程x 2+x −m =0无实根，则m ≤0”D. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25，则a 72的最大值是( )A. 25B. 254C. 5D. 259. 把函数y =sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y =f(x)的图象，对于函数y =f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y =2sin(2x +π3)；②该函数图象关于点(π3,0)对称；③该函数在[0,π6]上是增函数；④函数y =f(x)+a 在[0,π2]上的最小值为√3，则a =2√3.其中，正确判断的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④10. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m 取最大值时|PA|的值为( )A. 1B. √5C. √6D. 2√211. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，若对一切实数x ，|x a ⃗ +2b ⃗ |≥|a ⃗ +b ⃗ |恒成立，则|b ⃗ |的取值范围是( )A. [12,∞)B. (12,∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)12. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =2x 2−lnx 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为______．14.当实数x，y满足不等式组{x≥03x+y≤4x+3y≥4时，恒有a≥yx+1，则实数a的取值范围是______．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点为F1、F2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是______．16.已知在数列{a n}中，a6=11且na n−(n−1)a n+1=1，设b n=1a n a n+1，n∈N∗，则a n=______，数列{b n}前n项和T n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acosB=(2c−b)cosA．(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19.已知Q为圆E：x2+(y+1)2=16上一动点，F(0,1)，QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l为曲线C上一点A(x0,−1)处的切线，l与直线y=4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．20.某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量，并依据质量指标值m划分等级如表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数x−(同一区间数据用该区间数据的中点值代表)；(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[150,200)和[200,250]内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200,250]的概率；(3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A，B两种设备可供选择．A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台A设备和800台B设备；方案二：购买200台A设备和450台B设备．假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A，B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润=日增加的收入−日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？21.设函数f(x)=e x−x2−x．4(1)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(2)当x<0时f(x)<a恒成立，求整数a的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l 经过点M(−1,−3√3)且倾斜角为α． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求tanα．23. 已知f(x)=2|x −m|+m(m ∈R)．(1)若不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，求m 的值；(2)在(1)的条件下，若a ，b ，c ∈R +，且a +4b +c =m ，求证：ac +4bc +4ab ≥36abc ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}={x|0<x<4}，∴A∩B={1,2，3}，故选：D．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：z2=−3+4i，∴(1+bi)2=−3+4i，1−b2+2bi=−3+4i，∴1−b2=−3，2b=4，解得b=2．则z=1−2i的虚部为−2．故选：A．利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：f′(x)=e x−2(x+1)=0，相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图由图可知−1<x1<0，x2>1，且x>x2时，f′(x)>0，递增，故选：C．求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项．考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置．4.【答案】C【解析】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】D【解析】解：作出该几何体的轴截面图如图，BC=2，BD=1，设内接圆柱的高为h，由π×12×ℎ=√3π，得ℎ=√3．∵△CAB∽△CED，∴EDAB =CDCB，即√3AB=12，得AB=2√3，∴该圆锥的体积为13×π×22×2√3=8√33π．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.【答案】B【解析】解：f(x)在(0,+∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，b=log3812，50.01>50=1，c=log20.9<log21=0，∴0<b<1，a>1，c<0，∴f(a)>f(b)>0>f(c)，∴f(a)>f(b)>f(c)．故选：B．根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0,+∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系．本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据命题的否定值否定命题的结论，故A不正确，B选项是一个特称命题的否定，变化正确，C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，正确D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出X=1，故D正确，故选：A．根据命题的否定值否定命题的结论，特称命题的否定要求的变化B选项都有，写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，得到C正确，根据一元二次方程的解，得到D正确．本题考查命题的否定，考查特称命题的否定，考查一个命题的逆否命题，考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，是一个综合题目．8.【答案】B【解析】解：由等比数列的性质可得：a1a11=a62，a3a13=a82，∵a1a11+2a6a8+a3a13=25，a n>0．∴a62+2a6a8+a82=25=(a6+a8)2≥(2√a6a8)2，∴a6a8≤254，又a6a8=a72，∴a72的最大值是254．故选：B．利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出结论．本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到y=sin2(x+π6)，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)=2sin(2x+π3).①该函数的解析式为y=2sin(2x+π3)，正确；②当x=π3时，f(π3)=2sinπ=0，该函数图象关于点(π3,0)对称，正确；③当x∈[0,π6]时，2x+π3∈[π3,2π3]，该函数在[0,π6]上不单调，故③错误；④当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为−√3+a，由−√3+a=√3，得a=2√3，故④正确．∴正确判断的序号是①②④．故选：D．由函数的图象平移与伸缩变换求得f(x)的解析式判断①；求出f(π3)=0判断②；由x的范围求得2x+π3的范围判断③；求出函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值，结合已知求得a判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，且由题意可得A(0,−1)．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=1m，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1，代入x2=4y，可得x2=4(kx−1)，即x2−4kx+4=0，∴Δ=16k2−16=0，∴k=±1，∴P(2,1)，∴|PA|=√4+4=2√2．故选：D．11.【答案】C【解析】解：∵|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，∵对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，∴△=4|b⃗ |2−4(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≤0，化为(2|b⃗ |+1)(|b⃗ |−1)≥0，解得|b⃗ |≥1．故选：C．由|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+ 2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，由于对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，可得△≤0，解出即可．本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12当a>0时，如图，ax2+1的开口越小，由图可知，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．与函数ℎ(x)=−12本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】3x−y−1=0【解析】解：由y′=4x −1x =3得：x =1,或x =−14(舍)． 所以切点坐标为(1,2).故切线方程为y −2=3(x −1)． 即3x −y −1=0． 故答案为：3x −y −1=0．先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14.【答案】[4,+∞)【解析】解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域．由题a ≥yx+1，yx+1=y−0x−(−1)表示平面区域内的点(x,y)与点B(−1,0)连线的斜率． 当(x,y)取点A(0,4)时，yx+1的最大值为40+1=4，所以a ≥4．故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F(−c,0)，渐近线方程为y =±ba x ，设F 关于y =b a x 的对称点为(m,−ba m)， 由题意可得bm a−c−m=−ab ，(∗)且12(0−ba m)=12⋅ba (m −c)， 可得m =1c ，代入(∗)可得b 2=3a 2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e=ca=2．故答案为：2．设双曲线的左焦点为F(−c,0)，求出渐近线方程，设F关于y=ba x的对称点为(m,−bam)，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．16.【答案】2n−1，n∈N∗n2n+1【解析】解：由na n−(n−1)a n+1=1，可得a1=1，由a6=11，可得a5=9，a4=7，a3=5，a2=3，猜想a n=2n−1，n∈N∗，由na n−(n−1)a n+1=n(2n−1)−(n−1)(2n+1)=1恒成立，则a n=2n−1，n∈N∗成立，则b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．故答案为：2n−1，n∈N∗，n2n+1．由数列的递推式可得数列的前5项，猜想a n=2n−1，n∈N∗，代入检验可得所求通项公式；再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由已知，得acosB+bcosA=2ccosA．由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA，因为sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosA．因为sinC≠0，所以cosA=1因为0<A<π，；所以A=π3(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得bc+4=b2+c2，即(b+c)2=3bc+4．)2，因为bc≤(b+c2(b+c)2+4．所以(b+c)2≤34即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立)．所以a+b+c≤6．所以△ABC周长的最大值为6．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．.由范围(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA=120<A<π，可求A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，即可得解．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos120°=21，∵S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32， ∴三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO =13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，从而BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PO ，推导出PO ⊥AC ，由此能证明PO ⊥平面ABCD ．(2)取BC 的中点F ，连结DF ，则DF ⊥BC ，由余弦定理得PO =√3，S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE ，三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO ，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知得圆E 的圆心为(0,−1)，半径为4，|PQ|=|PF|，∴|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2， ∴点P 在以E ，F 为焦点的椭圆上， 2a =4，c =1，∴a =2，b =√3， ∴曲线C 的方程为y 24+x 23=1．(2)曲线C 的方程为y 24+x 23=1令y =−1，解得x =±32，所以A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)， 设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，整理可得(3k 2+4)x 2+(9k 2−6k)x +274k 2−9k −9=0，△=0⇒k =−2，∴直线l 的方程为2x +y +4=0，∴B(−4,4)，则FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−2)⋅(−4,3)=0，∴以线段AB 为直径的圆过定点F ．【解析】(1)由已知得|PQ|=|PF|，|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2，可判断点P 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，即可得轨迹方程；(2)求出A 点坐标A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)，设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，△=0⇒k =−2，可得l 方程，进而求点点B 坐标，计算FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得结论．本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的运用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得x−=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+1375×0.2+ 425×0.1=312.5；(2)因为区间[150,200)和[200,250]上的频率之比为1：3，所以应从区间[150,200)上抽取1件，记为A1，从区间[200,250]上抽取3件，记为B1，B2，B3，则从中任取两件的情况有(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共6种，其中两件都取自区间[200,250]上：的情况有(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共3种；所以其概率为P=36=12．(3)每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A设备和800台B设备每天可进一步加工的件数为30×100+4×800=6200(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：所以方案一中使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润均值为25×(6000×20+6200×80)100−500×100−80×800=40000(元)；若采用方案二，使用200台A设备和450台B设备每天可进一步加工的件数为30×200+4×450=7800(件)，可得实际加工件数的频数分布表为；所以方案二中使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润均值为25×(6000×20+7000×30+7800×50)100−500×200−80×450=44000(元)．综上所述，公司应该选择方案二．【解析】(1)由频率分布直方图求平均数即可；(2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(3)分别计算方案一、方案二所获得利润值，比较即可．本题考查了频率分布直方图与概率的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)因为f′(x)=e x −x 2−1，记ℎ(x)=f′(x)，所以ℎ′(x)=e x −12，(1分)当x ∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0恒成立，所以，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)>ℎ(0)=0.所以当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(3分)(2)由(1)知，ℎ′(x)=e x −12，令ℎ′(x)=0解得x =−ln2， 当x ∈(−∞,−ln2)时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)单调递减； 当x ∈(−ln2,0)时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)单调递增．(5分)又ℎ(−1)<0，ℎ(−2)>0，所以在(−2,−1)上存在唯一x 0，满足ℎ(x 0)=0，即f′(x 0)=0. (6分) 当x ∈(−∞,x 0)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增；当x ∈(x 0,0)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减， 所以当x <0时，f(x)max =f(x 0)=e x 0−x 024−x 0.(8分)由f′(x 0)=0可得e x 0=x 02+1，所以f(x)max =−x 024−x 02+1，由x 0∈(−2,−1)，可得f(x)max ∈(1,54).(10分)因为f(x)<a 恒成立且a ∈Z ，所以整数a 的最小值为2.(12分)【解析】(1)先对函数求导，结合导数可求函数的单调性即可，(2)转化为求解函数f(x)的最大值，结合导数与单调性的关系及函数的性质，零点判定定理可求． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，以及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.【答案】解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2=4x ， ∵x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得ρ2=4ρcosθ，化简为ρ=4cosθ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．直线l 的参数方程：{x =−1+tcosαy =−3√3+tsinα(t 为参数，0≤α≤π)； (Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ． 将直线l 的参数方程代入C 并整理， 得t 2−6t(√3sinα+cosα)+32=0，又A 为MB 的中点，∴t B =2t A ，因此t A =2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6)，t B =8sin(α+π6)， ∴t A ⋅t B =32sin 2(α+π6)=32， 即sin 2(α+π6)=1． ∵0≤α≤π，∴π6≤α+π6<7π6．从而α+π6=π2， 即α=π3,tan π3=√3．【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程x 2+y 2=4x ，结合x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ.由直线l 过定点及倾斜角为α，直接写出直线l 的参数方程；(Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线的参数方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，∴{2|12−m|+m =22|32−m|+m =2，∴m =1．(2)由(1)知，a +4b +c =m =1，∴ac +4bc +4ab 4abc =(1a +14b +1c)⋅(a +4b +c)≥(√a √a +4b √4b √c√c)2=9． ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ，当且仅当a =4b =c ，即a =c =13，b =112时等号成立， ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ．【解析】(1)直接根据不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，得到关于m 的方程，再解出m 即可；其最小值，即可证明ac+4bc+4ab≥36abc成立．本题考查了不等式的解集与方程的关系，利用基本不等式求最值和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。