《反证法》教案

《反证法》教案

教学目标

1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

2、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.

教学重点

反证法证题的步骤.

教学难点

理解反证法的推理依据及方法.

教学方法

讲练结合教学.

教学过程

一、提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.

二、探究

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b 2≠c2成立吗？请说明理由.

探究：

假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法.

三、应用新知

例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C

证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C.

小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确.

例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c.求证：a//b

证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.∴a//b.

小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.

例3求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.

已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.

则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.

即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立.

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

三、课堂练习：课本P164练习.

四、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用.对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高.

五、课后作业：课本P164习题.