正弦函数和余弦函数的图象
正弦余弦正切函数图象
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1
正余弦函数的图象
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
22
x
02
20
csionsx
10
01
向左平y 移 个单位长度 22
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y 1
o
2
2
-1
y=cosx，x[0, 2]
3
2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
正弦函数余弦函数的图象
2 1 1 0 1 -1 2
2 0
1
1 0
0
y
o
2
3 2
2 x
练习
例4.作函数y=|sinx|,x∈R的简图 解:先作出正弦函数的图象，保留x轴上方 的部分，再将x轴下方的图象沿x轴向上 翻折。 y
2
o
2
x
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
1. 作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 2. 作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图 解:列表 x 0 sinx 0 1+sinx 1 用五点法描点做出简图 2 y
1
2
1 2
0 1
-1 0
3 2
2
0 1
y 1 sin x, x 0, 2
3 2
o
-1
2
2
x
y sin x, x 0,2
主页
y α 的终边
P(x,y)
o
M
x
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
一、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
如何作出正弦函数的图象？ 问题1:如何将点 ( ,sin ) 在直角坐标系中表示出来？ 问题2:如何确定角(即所需描点的横坐标)？ y
5 6 2 3
2
12
3
-1
最高点 最低点 最高点
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
主页
11 3
23 6
4
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1．了解正弦函数、余弦函数的图象．(重点) 2．会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．(难点、易错点) 3．能利用正、余弦函数的图象解决简单问题．(重点)
问题：如何作出正弦函数 y=sinx 的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线（表示正弦）来解决。 回顾知识 sinα、cosα、tanα的几何表示.
● ● ● ● ● ●
●
x
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x[0,2] sin(x+2k)=sinx, kZ y
y=sinx xR
向左、向右平行移动(每次 2π 个单位长度)
1
4
3
2
1
o
2
3
4
x
正弦函数y=sinx, xR的图象叫正弦曲线.
利用正弦、余弦函数的图像解不等式
3 例4、求解不等式 sin x ³ . > 2 y
y sin x
P2
1
P1
y =
3 2
O
3
p 2
2 3
π
3p 2
2π x
-1
2 (2k , 2k )k Z 3 3
1 练习、写出使 sinx≥2(x∈R)成立的 x 的取值集合．
三、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？
π sin( x) y cosx 2
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 π 向左平移 2个单位长度而得到。余弦函数 的图象叫做余弦曲线。
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
正弦函数余弦函数的图像(公开课)
o
A
M
1
x
正切线AT tan=AT
既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的 三角函数值,那么通过描点( x, sin x) ,连线即可得到函数 y sin x, x 0,2 的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( 2 ,0)
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
8
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
2 ]的简图 例1：（1）画出y=1+sinx , x∈[0，
x
sinx
1s i n x
0 0 1
2
π
0 1
3π 2
2π
0 1
1
-1 0
2 y
1. o -1
.
π 2
2
y 1 sinx, x [0,2 π ]
.
.
3π 2
.
2
x
y sinx, x [0,2π]
（2）画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
解：按关键点列表
x sinx 0 0
y sin x , x R 的简图
2
0 0
-1 1
1.4.1正弦、余弦函数的图象
正弦函数的图象
y=sinx ( x∈[0,2] )
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
7
6 4
2
●
0
11
3 5 6 -1
632
3 23
●
7 4 3 5 11
●
6 3 2 3 6 2
2 5 ●
（2）用五点作图法画正弦、余弦函数的简图
作业：1.课本P46. 1题，《导学案》1题
2.预习1.4.2
函数y=sinx, x[0,2]
y
1
. 函数y=sinx, x[0,2]的图象
.
.
.
o /2 3/2 2
xห้องสมุดไป่ตู้
-1
.
关键点：
(0,0)、(
2
,1)、(
,
0)、(
3
2
,-1)、(
2
,
0)
y=sinx的图象与y=cosx的图象之间的关系
y=cosx=sin(x + ), xR
2
y y = sin x, x∈R 1
x
0
sinx 0
2
3
2
2
1 0 -1 0
1+sinx 1
21 0 1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1●
● 2
●
y=sinx，x[0, 2]
3
2
x
2
●
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
(1)正弦函数y=sin x的图象关于x轴对称.( × )
(2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × )
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
？
画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个
数.
？
解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角
,- ,(1,0),(10,1) ,并用光滑曲线连接得到
坐标系内描出
y=lg x的图象,如图.
由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3.
答案:D
？
反思感悟
1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方
1+2sin x
0
1
1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1
-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1
,- ,(2π,1),
然后用光滑的曲线连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
图象,如图所示.
？
(2)列表:
x
cos x
2+cos x
描点连线,如图.
0
1
3
0
2
π
-1
1
0
2
2π
1
3
？
反思感悟
1.“五点法”是画与三角函数有关的函数的图象的常用方
【数学课件】正弦、余弦函数的图象
x
-2 -
o -1
2
3
4
y = cos x, x∈R
正弦曲线
1
y
y sinx , x R
x
2 3
4
-2
-
o
பைடு நூலகம்-1
余弦曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
π 2 ]的简图 三.用五点法作y=sinx , x∈[0，
x
0 0
π 2
2π 3
O1
M
O
π
X
[引入]能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系 中作出正弦函数y=sinx（x R)的图象呢？
2] 一. 用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0， 的图象：
5 6
7 6 4 3 5 3
6
11 6
1
● ●
● ●
● ●
7 4 3 5 11 6 6 3 2 3
2
2
x
y sinx, x [0,2π]
π 2]的简图 例2：画出y=-cosx , x∈[0，
x 0 π 2 π 3π 2 2π
cosx 1
0
-1
0
1
- c o s x- 1
y 1
0
1
0
-1
y cosx , x [0,2π]
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？ π y cosx cos(x) sin[ ( x)] 2 π sin( x) 2 注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 π 向左平移 2个单位长度而得到。余弦函数 的图象叫做余弦曲线。
正弦函数余弦函数的图像课件
? y ? sin x, x? ?0,2? ? 图象与x轴的交点(0,0) (? ,0) (2? ,0)
? 图象的最低点(
3?
2,
? 1)
? 图象的最高点(0 ,1) (2? ,1)
? y ? cos x, x? ?0,2? ?
图象与x轴的交点(
?
2
,
0
)
(
3?
2
,0)
? 图象的最低点(? ,?1)
既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的
三角函数值,那么通过描点(x, sin x) ,连线即可得到函数
y ? sin x, x? ?0,2? ?的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y
B
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
?
2?
?
0
sinx 0
y ? sin x 0
?
2
?
3?
2
2?
-1
0
1
0
1
0
1
0
描点并将它们用光滑曲线连 接起来
y y ? sin x, x? R 1
? 2? ? 3? ? ? 2
?? o
2
?
? 3?
2
2
-1
y=sinx，x? [0,?] 2
2? x
13
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线
五点法
结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x? [0, ?2]
正弦,余弦函数的图像PPT课件
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
y=sinx
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
正弦、余弦函数的图象
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦函数、余弦函数的图象
2∏
y=sinx
描点画图: y
1
0
1
0
-1
0
这种只描 出五个关 键点得到 函数简图 的方法称 为“五点 法”
y=sinx, x∈[0, 2π]
∏
o
-1
/2
∏
3∏/
2
2∏
x
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正弦函数的图象
y
1
-4∏
-7∏/
y=sinx ,x∈R
x
0
∏
2
-3∏
-5∏/
2
-2∏
-3∏/
2
-∏
-∏
/2
-1
/2
∏
3∏/
2
2∏
5∏/
2
3∏
7∏/
2
4∏
思考6: 在函数y=cosx, x∈[0, 2π] 的图象 上,起着关键作用是哪几个点?
X y=cosx 0 1
∏/ 2
∏ -1
3∏/ 2
2∏ 1
0
0
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课堂练习
练习2. 用“五点法”画出函数y=cosx, x∈[0, 2π] 的简图. X y=cosx
高中数学多媒体课件
正弦函数与余 弦函数的图象
复习提问
1.在弧度制下,正弦函 数 y=sinx 与 余 弦 函 数 y=cosx的定义域分别是什 么? 2.怎样利用单位圆作 出角x的正弦线与余弦线?
角x的终边
y
P Mo (Ⅱ) y x o
y
角x的终边
P M x (Ⅰ) y M
3: 我们在画一次函数、 M 二次函数、指数函数与对 o 数函数等函数图象的时候, P 采用什么方法? 其主要步 角x的终边 (Ⅲ) 骤是什么?
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1．4．1 正弦函数和余弦函数的图象
编写人: 杨朝书 审核人：王维芳 时间 2010-3-22
一、学习目标
1、 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。
2、 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。
二、重点难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象。
难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数和余弦函数图象间的关系。
三、知识链接
1、sin(2)k απ+=_____________,cos(2)k απ+=____________,tan(2)k απ+=__________ （其中k Z ∈）
2、三角函数的几何表示，即___________，作出角
23
π
的正弦线、余弦线和正切线。
3、诱导公式：sin()2πα-= sin()2
πα+= cos()πα-= cos()πα+=
4、函数的定义__________________________________________________________________ 四、学习过程 [知识探究]正弦函数、余弦函数的图象 阅读课本30p 第一段：正弦函数、余弦函数的定义是：__________________________________.
问题1、用描点法作出正弦函数sin y x =的图象（试填写下表并描点，作出图象）
阅读课本31p 完成问题2、用几何法作出正弦函数sin y x =的图象。
1、利用几何法作正弦函数的图象可分为两步：一是画出______________的图象；二是把这一图象向_____________________________连续平移（每次2π个单位长度）
2、“五点法”作图的一般步骤是①_________;②_____________;③________________
3、“五点法”作正弦函数图象的五个点是_______________________________;“五点法”作余弦函数图象的五个点是 _______________________________
4、函数cos y x =（x R ∈）的图象可以通过sin ()y x x R =∈的图象向_______平移_____个单位长度得到。
5、通过图象能说出正弦曲线和余弦曲线是否是轴对称图象和中心对称图形？若是对称轴是什么？对称中心是什么？ [典型例题] 例题
画出下列函数的简图：
⑴1sin y x =+，[0,2]x π∈；⑵cos ,[0,2]y x x π=-∈；⑶1sin(2)26
y x π=
+
变式：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象来得到1sin y x =+，
[0,2]x π∈的图象？同样的，能否从函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图象得到函数cos ,[0,2]
y x x π=-∈的图象？
五、基础达标
1、以下对正弦函数sin y x =的图象描述，不正确的是（）
A 、 在[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）上的图象形状相同，只是位置不同
B 、 介于直线1y =和直线1y =-之间
C 、 关于 x 轴对称
D 、 与y 轴仅有一个交点
2、对于余弦函数cos y x =的图象，有以下描述：
① 向左向右无限伸展；
② 与sin y x =的图象形状完全一样，只是位置不同； ③ 与x 轴有无数个交点； ④ 关于y 轴对称； 其中正确的描述是：
A 、1项
B 、2项
C 、3项
D 、4项 3、从函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象来看，对应于1
sin 2
x =的x 值有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、函数1sin y x =-，[0,2]x π∈的简图是（）
5、用五点法作2cos()4
y x π
=+
，7[,]44
x ππ
∈-
的简图时，五个关键点的坐标是
__________,___________,____________,____________,_____________
6、下列叙述正确的个数为（）
①sin y x =，[0,2]x π∈的图象关于(,0)P π成中心对称。
②cos y x =，[0,2]x π∈图象关于直线
x π=对称；③正余弦函数图象不超过两直线1y =±的范围。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0 7、1sin y x =+与3
2
y =
两曲线交点个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 六、布置作业
1、作出下列函数的简图
（1）3cos 1y x =+，[0,2]x π∈；（2）sin y x =，3[,]22
x ππ
∈-
七、反思与总结：1、五点作图是指哪五点，怎样才能得到这五点？ 2、试列出正余弦函数性质。