对数函数·换底公式·例题
换底公式的课后经典练习
.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q ，故选B.5．设x ＝ ，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a ＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、 复习引入：对数的运算法则如果 a > 0 ，a - 1，M > 0， N > 0 有: log a (MN) Jog a M gN(1) 町1。
…N ⑵ log.M n 二 nlog a M(n R) (3)二、 新授内容：1. 对数换底公式：log a NJ°gmN( a > 0,alog m a=1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)x证明：设 log a N = x , 贝U a = N ■两边取以m 为底的对数：log m a x = log m N = x log m a2. 两个常用的推论① log a b log b a =1 , log a b log b c 」og c a = 1 ” ②log a mb n =卫 log a b ( a, b > 0且均不为 1) *m证：① logab logb 「罟■晋"三、讲解范例:例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b,1解：因为 log 2 3 = a ，则 log 3 2a② log a m b nlgb n mlganlg bm lga二log4256log 356 log 3 42 log 3 7 3 log 32 log 37 log 3 2 ■ 1ab 3 ab b 1从而得:log m N x 二log m alog a Nlog m N log m a用a, b 表示log 42 又log 37 = b,厂1-log023 例2计算：①5 0 2解：①原式-5 %23② log43 log92 -log j 432.5log5-5 3115②原式=-log 2log 3log 22例 3 设x, y, z 二（0,：：）且3x=4y=6z证明 1 ：设3x取对数得: 2y z=4y=6z=klg4x 2y lg k 2lg k2 3x-4y=（三lg 33x :: 4y又：4y -6z =（4••• 4y :: 6z2 比较3x,4y,6z的大小*•/ x, y, z （0, ：：）• k 1igk zQig62lg3 lg4 2lg3 2lg22lgk 2lgk lg6lgk644）lgklg4lg 4 lg6.3x :: 4y :: 6z* lg 64 - lg 81lgklg3lg4 lg3lg 4::06）lgk」g36T g64lgk =lg2lg6lg2lg6例 4 已知log a x= log a c+b，求x，分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为 两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式. 解法由对数定义可知：x = a log a 」b =a log ac a b =c a b ・解法二：x由已知移项可得log a x 「log a c 二b ，即log a b*c由对数定义知：—=a b . x=ca b .c解法三：bb b bb =log a a logx=logc loga logca . x =ca四、课堂练习：①已矢卩 log 18 9 = a , 18b = 5 ,又•••log 35=q ••• lg5 二逐 血込log 310 log 3^log 351 + 3pq三、 小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、 课后作业：1 .证明：1 log a blog ab x用 a, b 表示 log 36 45解：T log 18 9 = a18-log i8— =1 _log i8 2…log 182 = 1 _a•/ 18b = 5log 36 45••• log 18 5 =blog 18 45 log 18 9 log 18 5 a b log 18 36 1 +log 18 2一 2 -alog 3 5 = q ,求 lg 5•- log 23 3 = p = log 23 =3 p =解：Tlog 8 3 = p②若 log 8 3 = p ,证法 1： 设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r 则:X =a p X = (ab)q = a q b qb=a r••• a p =(ab)q =a q(1 r) 从而 p =q(1 • r) ■/ q = 0• p= 1 r 即：log a X=1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式 左边=log a X= logxab= gg a ab = 1 log a b =右边log ab X log X a2•已知 log a ! d = log a 2 b ?二 二 log a . b n 二’ 求证：砸玄侵a n (b 1b 2bn )='【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内 容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】证明：由换底公式lg d _ lg b 2 lg a 1 lg a 2lg b n lg a n 由等比定理得:lg b 1 lg b^ 亠 lgb n = g lga ?亠 亠 lg a .lg(db 2 b n ) lg(ae 2 a n )•- log a 。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
换底公式练习题
换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中一个重要的概念，常用于解决对数运算中底数不同的情况。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数变换为另一个底数，从而简化计算。
在本文中，我们将通过一些实际的练习题来加深对换底公式的理解和应用。
练习题一：已知log2 3 ≈ 1.585和log2 5 ≈ 2.322，请计算log3 5。
解析：我们需要将底数为2的对数转换为底数为3的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log2 3转换为底数为3的对数：log3 3 = log2 3 / log2 3 ≈ 1.585 / 0.631 ≈ 2.511练习题二：已知log5 2 ≈ 0.431和log5 3 ≈ 0.682，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为5的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log5 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log5 3 / log5 2 ≈ 0.682 / 0.431 ≈ 1.583练习题三：已知log10 2 ≈ 0.301和log10 3 ≈ 0.477，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为10的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log10 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log10 3 / log10 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.584通过以上练习题，我们可以看到换底公式的应用。
它可以帮助我们在不同底数的对数运算中进行转换，从而简化计算过程。
换底公式的理解和掌握对于解决复杂的对数问题非常重要。
除了上述练习题，我们还可以通过实际生活中的例子来进一步理解换底公式的应用。
例如，假设我们需要计算某个物质的半衰期，而我们只知道以10为底的对数。
如果我们想要以2为底进行计算，就可以利用换底公式将底数为10的对数转换为底数为2的对数，从而得到准确的半衰期。
对数换底公式例题
对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。
它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。
在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。
例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。
解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。
根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。
例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。
解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
换底公式及对数运算的应用
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
求m 的值.
ab
15
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
2.2.1 对数与对数运算
换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算三个法则：
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数的性质 .
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
作业： 《红对勾》第26课时
个人观点供参考，欢迎讨论
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
对数函数·换底公式·例题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ]解 B 由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
换底公式解方程练习题
换底公式解方程练习题在学习代数方程解法时，我们经常会遇到涉及对数函数的方程。
对数函数的换底公式是解决这类方程的重要工具之一。
本文将通过一些列练习题来帮助读者掌握换底公式在解方程中的应用。
练习题1:解方程log2x + log2(x-1) = 2的解。
解答：根据换底公式，我们可以将对数函数转换为以任意底为底的对数。
公式如下：logab = logcb / logca将方程log2x + log2(x-1) = 2转换为：log2x + log2(x-1) = log22利用对数的性质，我们可以将加法转换为乘法：log2(x(x-1)) = log22化简得：x(x-1) = 2展开方程，得到二次方程：x^2 - x - 2 = 0将方程进行因式分解，得到：(x-2)(x+1) = 0解得x的两个解为x = 2和x = -1。
但要注意，对数函数的定义域要求x > 0，所以舍去x = -1。
因此，方程log2x + log2(x-1) = 2的解为x = 2。
练习题2:解方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。
解答：同样地，根据换底公式和对数性质，我们可以将方程转换为以相同底的对数方程。
公式如下：logab - logac = loga(b/c)将方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1转换为：ln(x+2) - ln2(x-1) = ln(e)利用对数性质，我们可以将减法转换为除法：ln((x+2)/(2(x-1))) = ln(e)因为ln(e) = 1，所以简化为：(x+2)/(2(x-1)) = e分子分母同时乘以2(x-1)，得到：x+2 = 2e(x-1)展开方程，得到：x + 2 = 2ex - 2e移项，整理得到：2 - 2e = (2e - 1)x将方程进行化简，得到：x = (2 - 2e) / (2e - 1)这样，我们得到了方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。
对数运算的换底公式
对数运算的换底公式好嘞，以下是为您生成的关于“对数运算的换底公式”的文章：在数学的奇妙世界里，对数运算的换底公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
咱们先来说说什么是对数。
想象一下，你有一堆苹果，要知道这堆苹果数量是 2 的几次方才能得到，这就是对数的概念。
比如说，8 是 2 的 3 次方，那 3 就是以 2 为底 8 的对数。
而换底公式呢，就是logₐb = logₓb / logₓa 。
这看起来有点复杂，是吧？别担心，我给您举个例子。
有一次我去超市买水果，苹果 5 元一斤，香蕉 8 元一斤。
我心里就琢磨，要是用苹果的价格作为基准，那香蕉的价格相当于多少“苹果价”呢？这就好像是在做对数的换底运算。
假设我们把苹果的价格当作底数，那么香蕉价格的对数就是log₅8 。
但直接算这个不太容易，这时候换底公式就派上用场啦。
我们可以换成以 10 为底，那就变成了 log₁₀8 / log₁₀5 。
通过查常用对数表或者用计算器，就能算出这个值啦。
在学习数学的过程中，很多同学一开始看到这个换底公式就头疼，觉得太抽象，不好理解。
其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它其实没那么可怕。
比如说在求解一些复杂的对数方程时，换底公式就能大显身手。
就像上次我辅导一个学生做作业，有道题是这样的：log₂(x + 1) =log₄(2x + 3) 。
这要是不懂得用换底公式，还真不好办。
我们把等式两边都换成以 2 为底，那右边就变成了 log₂(2x + 3) / log₂4 ，而 log₂4等于 2 ，所以等式就变成了 2log₂(x + 1) = log₂(2x + 3) ，然后再去求解，是不是就清晰多啦？再比如说在比较两个对数的大小时，换底公式也能发挥作用。
假设要比较 log₃5 和 log₅7 的大小，直接看很难判断。
但用换底公式把它们都换成以 10 为底，就能计算出具体的值，然后轻松比较大小。
总之，对数运算的换底公式虽然看起来有点复杂，但它真的是我们解决对数问题的得力工具。
对数的换底公式对数函数
对数的换底公式复习如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M NM M NNM n M n R =+=-=∈log log ()m n a a nM M n R m=∈ 新课试证明与理解： 1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例3、计算：①0.21log 35 ② 4219432log 2log 3log -⋅例4、设),0(,,+∞∈z y x 且zyx643==，求证 zy x 1211=+练习①已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5作业1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++对数函数的图像与性质(第一课时)[互动过程1]复习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,以及与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:例1．求下列函数的定义域:2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的定义域1(1)y lg(x 5);(2)y ln3x=-=-例2．比较下列各题中两个数的大小:22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 93(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）4.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7.23.0log （3）1.5log a_____9.5log a （a ＞0，且a ≠1）课堂补充练习:1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）xy 311log 7-= （4）x y 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。
高中数学第四章对数运算与对数函数2对数的运算换底公式课后习题北师大版必修第一册
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式A级必备知识基础练1.2log510+log50.25=( )A.0B.1C.2D.42.(2022内蒙古包头高三期末(文))若x log34=1,则3(4x-4-x)=( )A.5B.7C.8D.103.1lo g1419+1lo g1513等于( )A.lg 3B.-lg 3C.1lg3D.-1lg34.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )A.6B.9C.12D.185.(2022江西九江高一期末)设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )A.2ab +1 B.2ba+1 C.ab+2 D.ba+26.log35log46log57log68log79= .7.设a x=M,y=log a N(a>0,且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示log M34√N= .8.计算:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43;(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.B级关键能力提升练9.若lg x-lg y=a,则lg(x2)3-lg(y2)3=( )A.3aB.32a C.a D.a210.若2log a(P-2Q)=log a P+log a Q(a>0,且a≠1),则PQ的值为( )A.14B.4C.1D.4或111.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2 c =2a+1bD.1c=2b−1a12.设a=log36,b=log520,则log215=( )A.a+b-3 (a-1)(b-1)B.a+b-2 (a-1)(b-1)C.a+2b-3 (a-1)(b-1)D.2a+b-3 (a-1)(b-1)13.(2022江西景德镇一中高一期末(文))已知实数x,y,正数a,b满足a x=b y=2,且2x +1y=-3,则1b-a的最小值为 .14.已知log a(x2+4)+log a(y2+1)=log a5+log a(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值.C级学科素养创新练15.设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log 21+b+ca+log 21+a-cb=1.2.1 对数的运算性质2.2 换底公式1.C 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.C 因为x log34=1,所以log34x=1,即4x=3,所以3(4x-4-x)=3×3-13=8.故选C.3.C 原式=lo g1914+lo g1315=log94+log35=log32+log35=log310=1lg3.4.D ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,∴1 a =log k2,1b=log k3.∵2a+b=ab,∴2 b +1a=2log k3+log k2=log k9+log k2=log k18=1,∴k=18.5.C log318=lg18lg3=lg2+lg32lg3=a+2bb=ab+2,故选C.6.3 log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2=3.7.3x-5y4 ∵a x=M,∴x=log a M,∴log a34√N log a M3-log a4√N5=3log a M-54log a N=3x-54y.8.解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.(2)(方法一)原式=lg 1258+lg54−lg2lg9×lg3lg4=lg(45×54)−lg22lg3×lg32lg2=lg1-14=-14.(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)+lg8-14=-14.(3)∵log53=a,log54=b,∴log25144=log512=log53+log54=a+b.9.A lg(x2)3-lg(y2)3=3(lg x2-lg y2)=3(lg x-lg y)=3a.10.B 由2log a(P-2Q)=log a P+log a Q,得log a(P-2Q)2=log a(PQ),P>0,Q>0,P>2Q.由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得PQ=4.11.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>1),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,由ab+bc=2ac,可得bc +ba=2,因为bc+ba=lo g6klo g9k+lo g6klo g4k=lo gk9lo g k6+lo gk4lo g k6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;2 a +1b=2lo g4k+1lo g6k=2log k4+log k6=log k96,2c=2lo g9k=2log k9=log k81,故2c≠2a+1b,故C错误;2 b −1a=2lo g6k−1lo g4k=2log k6-log k4=log k9,1c=1lo g9k=log k9,故1c=2b−1a,故D正确.12.D ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=1a-1,log25=2b-1,∴log215=log23+log25=1a-1+2b-1=2a+b-3(a-1)(b-1).故选D.13.-132 已知实数x,y,正数a,b满足a x=b y=2,则x=log a2,y=log b2,由换底公式可得2x +1y=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,可得a2b=18,则1b=8a2,因为a>0,则1b-a=8a2-a=8a-1162-132≥-132,当且仅当a=116时,等号成立,因此,1b-a的最小值为-132.14.解由对数的运算法则,可将等式化为log a[(x2+4)·(y2+1)]=log a[5(2xy-1)],∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,∴{xy=3, x=2y.∴yx=12.∴log8yx =log812=lo g232-1=-13log22=-13.15.证明log2(1+b+c a)+log2(1+a-c b)=log2[(1+b+c a)(1+a-c b)]=log2(a+b+c)(a+b-c)ab =log2(a+b)2-c2ab=log22=1.。
高一数学换底公式练习题
指数函数和对数函数•换底公式•例题例1-6-38 log 34 • log 48 •log s m=log4l6 , 贝U m 为[ ]9A. -B. 9C. 18D. 272解 B 由已知有lg4 lg8 lgm lgl6例1-6-39若lce l(72-l)+log b(^+l)<>则下列各式中正确的是[ ]A. b>a> 1B. 1 > a> b> 0C. a>b> 1D. 1 > b> a> 0解 A 由已知不等式得呃(Qj)<log b〔Ql)换底得—> 0,所以1砂〉妝・又lg耳〉0, lgb〉0,所以b〉』〉l・lga lgb故选A.2例1-6-40若log t-<L则自的取值范围是[ ]2 2A, (0,〒)U(1・ +8) B.(亍 +8)2 2 2 U (-, 1) D. (0, -)U(-32— 2 匠解A因为log -<b所以戶<1-3 lga2 ?当4时，叱 <如解得乱迁，所以2 9当0«<1吋池；〉丽解得0<a<|.故选A.例1-6-41 £仗)的图象与y=(9的图象关于直线y二吹用F?则F(x) = f(2x-?)的单调递増区间为[ ]A. [1 , ] B . (- X, 1] C . (0,2) D. [1 , 2)解 D 由己備f(x)・二log扣所!JJj(x)=logl(2x-x3).由F仅)=lo沖在定义域上是减函数,所血优向1, 2)上是増函数.2X -X 2>0 得 O v x v 2.又 t=2x-x 2=-（x-1） 2+1 在[1 , +^）上是减函数,例 1-6-42 已知r>b>£>h 如杲log.b = m, log 汕=山iogb~=p ，1略;=q ，则下式正确的是a b[ ]A. m >p >n >qB. n >p >m >qC. m >n >p >qD. m >q >p >n3解C 令尸2, b 二2卿知.例 1-6-43（1）若 log a c+log b C=O （c 丰 0），则 ab+c-abc= ⑵log s 9=a , log 35=b ,则 log 代2= __ （用 a , b 表示）.但 C M 1,所以 lga+lgb=0，所以 ab=1，所以 ab+c-abc=1.例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为［0 , 1］，则函数f ［lg(x 2-1)］的定义域解72<K7u^^/n«-72由题设有O w lg(x 2-1) < 1,所以Kx2-1 < 10•解之即得.例1-6-45 已知log i227=a，求log616 的值.解由log1227 = a, ^logi23=| ・所以曲121 ir log D16 21% 4 盹口三10£s 16 =-------- =--------- = ---------------' log u6 log]异6 10g12(3X ⑵4(1 ■吨弓_4(3胡l + log123 ] + ? 3 + a3例1-6-46 比较下列各组中两个式子的大小：(1)1 吗谒loggWGCl)⑵log b a^log3b a(a>K b>0, b尹f , l#l)R (l)log£logh = 21o酣I.因为0<Xl,所以当0<X悅21og a x>0,从而iQgQlogk；当囂=1时，21og芒=0,从(fDlog^ = loglxi 当Q1时，21og t x<0,从而log a x<loglx.⑵b缈血"击-品呃2log.b * log/2b)当?或b〉l时’上式为正，故log朋〉log価当时，上式为负，故log評<1姑耶乩例1-6-47 已知常数a>0且a^ 1,变数x, y满足3log x a+log a x-log x y=3⑴若x=a t（t工0），试以a, t表示y；⑵若t € {t|t 2-4t+3 <0}时，y有最小值8,求a和x的值.解（1）由换底公式，得log a y=(log a x) 2-3log a X+3当x=a t时,log a y=t 2-3t+3，所以r2-3t+3y=a(2)由12-4t+3 < 0,得1< t < 3.当CKK1且y有最小值8吋，u = t —3t+?二卜勺+；必有最大值，所以当t=3时，U max=3.即a3=8，所以a=2,与0v a v 1矛盾.此时满足条件的a值不存在.F 3 3当a>l且y有最小值&吋，u= +〒必有最小值，所以当L/丿4 23 3 3时・U站二亍恥亍=&所以a = 16,此吋；< =疽二64,所以“16,x = 64.。
对数函数·换底公式·例题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为[]解B由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解A由已知不等式得故选A．[]故选A．[]A．[1，+∞]B．(-∞，1]C．(0，2)D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43(1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解(1)由换底公式，得即log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。