专题训练(一)平行四边形的证明思路
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专题训练(一) 平行四边形的证明思路
班别姓名
【题型1】若已知条件出现在四边形的边上,则应考虑:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.
求证:四边形BECD是平行四边形.
2.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
3.如图,在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
4.如图,DE是△ABC的中位线,延长DE到F,使EF=DE,连接BF.
(1)求证:BF=DC;
(2)求证:四边形ABFD是平行四边形.
【题型2】若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【题型3】若已知条件出现在对角线上,则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC为平行四边形.
7.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
8.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点.求证:四边形AECF是平行四边形.
专题训练(四) 平行四边形的证明思路
类型1 若已知条件出现在四边形的边上,则应考虑:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.求证:四边形BECD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即BE∥CD.
又∵EC∥BD,
∴四边形BECD是平行四边形.
2.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵BE=DF,
∴AB -BE =CD -DF ,即AE =CF.
又∵AE∥CF,
∴四边形AECF 是平行四边形.
3.如图,在▱ABCD 中,分别以AD ,BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE ,DF.求证:四边形BEDF 是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴CD =AB ,AD =CB ,∠DAB =∠BCD.
又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形,
∴DE =AD =AE ,CF =BF =BC ,∠DAE =∠BCF=60°.
∴BF =DE ,CF =AE ,∠DCF =∠BCD-∠BCF ,∠BAE =∠DAB-∠DAE ,即∠DCF=∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中,
⎩⎨⎧CD =AB ,
∠DCF =∠BAE,CF =AE ,
∴△DCF ≌△BAE(SAS ).
∴DF =BE.
∴四边形BEDF 是平行四边形.
4.(钦州中考)如图,DE 是△ABC 的中位线,延长DE 到F ,使EF =DE ,连接BF.
(1)求证:BF =DC ;
(2)求证:四边形ABFD 是平行四边形.
证明:(1)∵DE 是△ABC 的中位线,
∴CE =BE.
在△DEC 和△FEB 中,
⎩⎨⎧CE =BE ,
∠CED =∠BEF,DE =FE ,
∴△DEC≌△FEB.
∴BF=DC.(SAS)
(2)∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,且DE=1
2 AB.
又∵EF=DE,
∴DE=1
2 DF.
∴DF=AB.
∴四边形ABFD是平行四边形.
类型2 若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∠C+∠D=180°.
∵∠A=∠C,
∴∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
类型3若已知条件出现在对角线上,则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC为平行四边形.
证明:∵AB∥CD,
∴∠BAE =∠CFE.
∵E 是BC 的中点,
∴BE =CE.
在△ABE 和△FCE 中,
⎩⎨⎧∠BAE=∠CFE,
∠AEB =∠FEC,BE =CE ,
∴△ABE ≌△FCE(AAS ).
∴AE =E F.
又∵BE=CE ,
∴四边形ABFC 是平行四边形.
7.如图,▱ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O ,分别与AB ,CD 的延长线交于点E ,F.求证:四边形AECF 是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OD =OB ,OA =OC ,AB ∥CD.
∴∠DFO =∠BEO,∠FDO =∠EBO.
∴△FDO ≌△EBO.(AAS )
∴OF =OE.
∴四边形AECF 是平行四边形.
8.如图,▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别是OB ,OD 的中点.求证:四边形AECF 是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA =OC ,OB =OD.
∵点E ,F 分别是OB ,OD 的中点,