专题训练(一)平行四边形的证明思路

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专题训练(一) 平行四边形的证明思路

班别姓名

【题型1】若已知条件出现在四边形的边上,则应考虑:

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.

求证:四边形BECD是平行四边形.

2.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.

3.如图,在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.

4.如图,DE是△ABC的中位线,延长DE到F,使EF=DE,连接BF.

(1)求证:BF=DC;

(2)求证:四边形ABFD是平行四边形.

【题型2】若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C.求证:四边形ABCD是平行四边形.

【题型3】若已知条件出现在对角线上,则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC为平行四边形.

7.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.

8.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点.求证:四边形AECF是平行四边形.

专题训练(四) 平行四边形的证明思路

类型1 若已知条件出现在四边形的边上,则应考虑:

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.求证:四边形BECD是平行四边形.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,即BE∥CD.

又∵EC∥BD,

∴四边形BECD是平行四边形.

2.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD.

∵BE=DF,

∴AB -BE =CD -DF ,即AE =CF.

又∵AE∥CF,

∴四边形AECF 是平行四边形.

3.如图,在▱ABCD 中,分别以AD ,BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE ,DF.求证:四边形BEDF 是平行四边形.

证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴CD =AB ,AD =CB ,∠DAB =∠BCD.

又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形,

∴DE =AD =AE ,CF =BF =BC ,∠DAE =∠BCF=60°.

∴BF =DE ,CF =AE ,∠DCF =∠BCD-∠BCF ,∠BAE =∠DAB-∠DAE ,即∠DCF=∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中,

⎩⎨⎧CD =AB ,

∠DCF =∠BAE,CF =AE ,

∴△DCF ≌△BAE(SAS ).

∴DF =BE.

∴四边形BEDF 是平行四边形.

4.(钦州中考)如图,DE 是△ABC 的中位线,延长DE 到F ,使EF =DE ,连接BF.

(1)求证:BF =DC ;

(2)求证:四边形ABFD 是平行四边形.

证明:(1)∵DE 是△ABC 的中位线,

∴CE =BE.

在△DEC 和△FEB 中,

⎩⎨⎧CE =BE ,

∠CED =∠BEF,DE =FE ,

∴△DEC≌△FEB.

∴BF=DC.(SAS)

(2)∵DE是△ABC的中位线,

∴DE∥AB,且DE=1

2 AB.

又∵EF=DE,

∴DE=1

2 DF.

∴DF=AB.

∴四边形ABFD是平行四边形.

类型2 若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C.求证:四边形ABCD是平行四边形.

证明:∵AD∥BC,

∴∠A+∠B=180°,

∠C+∠D=180°.

∵∠A=∠C,

∴∠B=∠D.

∴四边形ABCD是平行四边形.

类型3若已知条件出现在对角线上,则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC为平行四边形.

证明:∵AB∥CD,

∴∠BAE =∠CFE.

∵E 是BC 的中点,

∴BE =CE.

在△ABE 和△FCE 中,

⎩⎨⎧∠BAE=∠CFE,

∠AEB =∠FEC,BE =CE ,

∴△ABE ≌△FCE(AAS ).

∴AE =E F.

又∵BE=CE ,

∴四边形ABFC 是平行四边形.

7.如图,▱ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O ,分别与AB ,CD 的延长线交于点E ,F.求证:四边形AECF 是平行四边形.

证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴OD =OB ,OA =OC ,AB ∥CD.

∴∠DFO =∠BEO,∠FDO =∠EBO.

∴△FDO ≌△EBO.(AAS )

∴OF =OE.

∴四边形AECF 是平行四边形.

8.如图,▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别是OB ,OD 的中点.求证:四边形AECF 是平行四边形.

证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴OA =OC ,OB =OD.

∵点E ,F 分别是OB ,OD 的中点,

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