圆中的最值问题

拔高专题圆中的最值问题一、基本模型构建

常见模型

图(1) 图

（2）

思考图（1）两点之间线段最短；

图（2）垂线段最短。

.在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

二、拔高精讲精练

探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．

∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，

∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题

例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值

解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2，

∴AB=2OA=6，∴OP=

•

OA OB

AB

=3，∴PQ=22

OP OQ

=22．

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．

解：（1）线段AB长度的最小值为4，

理由如下：

连接OP，

∵AB切⊙O于P，

∴OP⊥AB，

取AB的中点C，

∴AB=2OC；

当OC=OP时，OC最短，

即AB最短，

此时AB=4．

【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。