高中数学学案：基本不等式及其简单应用(1)

高中数学学案：基本不等式及其简单应用(1)

1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理,了解其证明过程．

2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1. 阅读：必修5第96～98页．

2. 解悟：①什么是教材规定的基本不等式？需要怎样的使用条件？证明其正确性有哪几种证法？②基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件？③“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的？请用符号语言表示出来；④教材必修5第98页关于基本不等式的几何解释,你能理解吗？

3. 践习：在教材空白处,完成必修5第98～99页练习第2、3、4、5题.

基础诊断

1. 已知mn ＝8(m>0,n>0),则m ＋n 的最小值为．

解析：因为m>0,n>0,所以m ＋n ≥2mn ＝42,当且仅当m ＝n ＝22时,等号成立． 2. 下列命题正确的是__②__．(填序号) ①函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2；

②函数y ＝sin x ＋1sin x ,x ∈⎝ ⎛

⎦⎥⎤0，π2的最小值是2；

③函数y ＝x 2＋5

x 2＋4的最小值是2；

④函数y ＝2－3x －4

x 的最大值是2－4 3.

解析：对于①,当x>0时,y ＝x ＋1x ≥2,当且仅当x ＝1时取等号,当x ＝0时,y ＝x ＋1

x 无意义,当x<0时,y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－x －1x ≤－2,当且仅当x ＝y ＝－1时取等号,故y ＝x ＋1x 的值域为(－∞,

－2]∪[2,＋∞),无最小值；对于②,因为x ∈⎝ ⎛

⎦⎥⎤0，π2,所以sin x ∈(0,1],y ＝sin x ＋1sin x ≥2,当且仅当

sin x ＝1,即x ＝π2时取等号,故②正确；对于③,y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1

x 2＋4,令t ＝x 2＋4,则y

＝t ＋1t ,t ∈[2,＋∞)．因为y ＝t ＋1t 在[2,＋∞)上为增函数,所以y min ＝2＋12＝5

2,故③错误；对于④,

当x>0时,y ＝2－3x －4x ≤2－23x·4x ＝2－43,当且仅当x ＝23

3时取等号．当x<0时,y ＝2－

3x －4x ≥2＋4 3.当且仅当x ＝－23

3时取等号,故④错误．

3. 已知x<54,则函数f(x)＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为__1__．

解析：因为x<54,所以4x －5<0,所以y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋1

4x －5

＋3＝3－(5－4x ＋

15－4x )≤3－2＝1,当且仅当x ＝1时取等号,所以f(x)＝4x －2＋14x －5

的最大值为1. 4. 设a>0,b>0,且a ＋b ＝1,则1a ＋1

b 的最小值为__4__．

解析：因为a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＋1b ＝1＋a b ＋b a ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,当

且仅当b a ＝a b ,即a ＝b ＝1

2时,取等号．

范例导航

考向❶ 通过简单构造和变形,运用基本不等式求最值 例1 求函数f(x)＝x ＋1

x －2(x>2)的最小值．

解析：因为x>2,所以x －2>0, 所以f(x)＝x －2＋1

x －2

＋2≥2

（x －2）·1x －2＋2＝4,当且仅当x －2＝1

x －2

,即x ＝3∈(2,

＋∞)时取等号．所以当x ＝3时,函数f(x)min ＝4.

当x>0时,求函数f(x)＝2x

x 2＋1

的最大值．

解析：因为x>0,所以f(x)＝2x x 2＋1＝2x 2＋1x ＝2x ＋1x ≤22x·

1x ＝1,当且仅当x ＝

1

x ,即

x ＝1∈(0,＋∞)时,取等号,所以当x ＝1时,函数f(x)max ＝1.

【注】 本例突出构造x ＋a

x 型,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在．

考向❷ 通过常值代换,运用基本不等式求最值

例2 已知x>0,y>0,且2x ＋y ＝1,求1x ＋1

y 的最小值．

解析：方法一：因为2x ＋y ＝1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x

y >0,

所以1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2y x ·2x

y ＝3＋22,

当且仅当y x ＝2x y ,即y 2＝2x 2,y ＝2x,即当x ＝1－2

2,y ＝－1＋2时取等号,

所以当x ＝1－22,y ＝－1＋2时,1x ＋1

y 的最小值为3＋2 2. 方法二：因为2x ＋y ＝1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x

y >0,

所以1x ＋1y ＝(2x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＋1y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2

y x ·2x

y ＝3＋22,

以下同方法一．

如图,已知函数y ＝a x ＋b(b>0)的图象经过点(1,3)．求

4a －1＋1

b 的最小值.

解析：因为函数y ＝a x ＋b(b>0)的图象经过点(1,3),所以a ＋b ＝3. 又由图象可知a>1.

因为b>0,所以10,

所以4a －1＋1b ＝2（a －1＋b ）a －1＋12·（a －1＋b ）b ＝52＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2

2b a －1·a －12b ＝9

2

, 当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取得等号,所以4a －1

＋1b 的最小值为9

2.

【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”,通过计算变形转化为含有x ＋a

x 的形式,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在. 考向❸ 参数的取值范围与恒成立问题