高中数学学案：基本不等式及其简单应用(1)

高中数学学案：基本不等式及其简单应用(1)
1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理,了解其证明过程．
2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1. 阅读：必修5第96～98页．
2. 解悟：①什么是教材规定的基本不等式？需要怎样的使用条件？证明其正确性有哪几种证法？②基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件？③“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的？请用符号语言表示出来；④教材必修5第98页关于基本不等式的几何解释,你能理解吗？
3. 践习：在教材空白处,完成必修5第98～99页练习第2、3、4、5题.
基础诊断
1. 已知mn ＝8(m>0,n>0),则m ＋n 的最小值为．
解析：因为m>0,n>0,所以m ＋n ≥2mn ＝42,当且仅当m ＝n ＝22时,等号成立． 2. 下列命题正确的是__②__．(填序号) ①函数y ＝x ＋1
x 的最小值是2；
②函数y ＝sin x ＋1sin x ,x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π2的最小值是2；
③函数y ＝x 2＋5
x 2＋4的最小值是2；
④函数y ＝2－3x －4
x 的最大值是2－4 3.
解析：对于①,当x>0时,y ＝x ＋1x ≥2,当且仅当x ＝1时取等号,当x ＝0时,y ＝x ＋1
x 无意义,当x<0时,y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－x －1x ≤－2,当且仅当x ＝y ＝－1时取等号,故y ＝x ＋1x 的值域为(－∞,
－2]∪[2,＋∞),无最小值；对于②,因为x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π2,所以sin x ∈(0,1],y ＝sin x ＋1sin x ≥2,当且仅当
sin x ＝1,即x ＝π2时取等号,故②正确；对于③,y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1
x 2＋4,令t ＝x 2＋4,则y
＝t ＋1t ,t ∈[2,＋∞)．因为y ＝t ＋1t 在[2,＋∞)上为增函数,所以y min ＝2＋12＝5
2,故③错误；对于④,
当x>0时,y ＝2－3x －4x ≤2－23x·4x ＝2－43,当且仅当x ＝23
3时取等号．当x<0时,y ＝2－
3x －4x ≥2＋4 3.当且仅当x ＝－23
3时取等号,故④错误．
3. 已知x<54,则函数f(x)＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为__1__．
解析：因为x<54,所以4x －5<0,所以y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋1
4x －5
＋3＝3－(5－4x ＋
15－4x )≤3－2＝1,当且仅当x ＝1时取等号,所以f(x)＝4x －2＋14x －5
的最大值为1. 4. 设a>0,b>0,且a ＋b ＝1,则1a ＋1
b 的最小值为__4__．
解析：因为a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＝1＋a b ＋b a ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,当
且仅当b a ＝a b ,即a ＝b ＝1
2时,取等号．
范例导航
考向❶ 通过简单构造和变形,运用基本不等式求最值 例1 求函数f(x)＝x ＋1
x －2(x>2)的最小值．
解析：因为x>2,所以x －2>0, 所以f(x)＝x －2＋1
x －2
＋2≥2
（x －2）·1x －2＋2＝4,当且仅当x －2＝1
x －2
,即x ＝3∈(2,
＋∞)时取等号．所以当x ＝3时,函数f(x)min ＝4.
当x>0时,求函数f(x)＝2x
x 2＋1
的最大值．
解析：因为x>0,所以f(x)＝2x x 2＋1＝2x 2＋1x ＝2x ＋1x ≤22x·
1x ＝1,当且仅当x ＝
1
x ,即
x ＝1∈(0,＋∞)时,取等号,所以当x ＝1时,函数f(x)max ＝1.
【注】 本例突出构造x ＋a
x 型,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在．
考向❷ 通过常值代换,运用基本不等式求最值
例2 已知x>0,y>0,且2x ＋y ＝1,求1x ＋1
y 的最小值．
解析：方法一：因为2x ＋y ＝1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x
y >0,
所以1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2y x ·2x
y ＝3＋22,
当且仅当y x ＝2x y ,即y 2＝2x 2,y ＝2x,即当x ＝1－2
2,y ＝－1＋2时取等号,
所以当x ＝1－22,y ＝－1＋2时,1x ＋1
y 的最小值为3＋2 2. 方法二：因为2x ＋y ＝1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x
y >0,
所以1x ＋1y ＝(2x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2
y x ·2x
y ＝3＋22,
以下同方法一．
如图,已知函数y ＝a x ＋b(b>0)的图象经过点(1,3)．求
4a －1＋1
b 的最小值.
解析：因为函数y ＝a x ＋b(b>0)的图象经过点(1,3),所以a ＋b ＝3. 又由图象可知a>1.
因为b>0,所以1<a<3,a －1>0,
所以4a －1＋1b ＝2（a －1＋b ）a －1＋12·（a －1＋b ）b ＝52＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2
2b a －1·a －12b ＝9
2
, 当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取得等号,所以4a －1
＋1b 的最小值为9
2.
【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”,通过计算变形转化为含有x ＋a
x 的形式,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在. 考向❸ 参数的取值范围与恒成立问题
例3 设k>0,若关于x 的不等式kx ＋4
x －1≥5在区间(1,＋∞)上恒成立,求实数k 的取值范
围．
解析：因为x>1,所以x －1>0. 因为k>0,kx ＋4
x －1≥5,
所以k(x －1)＋4
x －1≥5－k,
所以k(x －1)＋
4
x －1
≥2k （x －1）·4
x －1
＝4k,
当且仅当k(x －1)＝
4
x －1
时取等号． 所以4k ≥5－k,即(k)2＋4k －5≥0, 所以k ≥1,所以k ≥1,
所以实数k 的取值范围是[1,＋∞)．
【注】 本例重点学习“将恒成立问题转化为用基本不等式解决”,要关注式子的结构形式及转化途径,在运用基本不等式时,紧紧抓住“正、定、等”.
【变式题】 已知不等式x 2＋a|x|＋1≥0 对任意x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围． 解析：当x ＝0时,不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立； 当x ≠0时,因为x 2＋a |x |＋1≥0, 所以a ≥－x 2＋1|x |＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫|x |＋1|x |,
因为|x |＋1
|x |≥2,
当且仅当x ＝±1时取等号, 所以－⎝ ⎛
⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2,
所以a ≥－2.
自测反馈
1. 已知0<x<4,则4x ＋14－x
的最小值为__94__．
解析：因为4x ＋14－x ＝x ＋（4－x ）4(4x ＋14－x )＝1＋4－x x ＋x 4（4－x ）＋14≥54＋1＝
9
4,当且仅当x 4（4－x ）
＝4－x x ,即x ＝8
3时取等号． 2. 已知正实数x,y 满足()x －1()y ＋1＝16,则x ＋y 的最小值为__8__． 解析：因为正实数x,y 满足(x －1)(y ＋1)＝16,所以x ＝16y ＋1＋1,所以x ＋y ＝16
y ＋1
＋y ＋1≥2
（y ＋1）·
16
y ＋1
＝8,当且仅当y ＝3,x ＝5时取等号,所以x ＋y 的最小值为8. 3. 设x,y ∈R,a >1,b >1,若a x ＝b y ＝3,a ＋b ＝23,则1x ＋1
y 的最大值为__1__．
解析：因为a x ＝b y ＝3,所以x ＝log a 3＝1log 3a ,y ＝log b 3＝1log 3b ,所以1x ＋1
y ＝log 3a ＋log 3b ＝
log 3ab ≤log 3⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
＝1,当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 4. 已知正数x,y 使得x ＋22xy ≤λ(x ＋y)恒成立,则实数λ的最小值为__2__． 解析：因为正数x,y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y)恒成立,所以λ≥
x ＋22xy
x ＋y
.因为22xy ≤x ＋
2y,所以x ＋22xy x ＋y ≤x ＋x ＋2y
x ＋y
＝2,所以λ≥2,所以实数λ的最小值为2.
1. 应用基本不等式求最大(小)值时,要注意“一正、二定、三相等”．
2. 利用基本不等式求最值中,条件最值问题往往运用常数的代换,凑成基本不等式的形式求解最值．
3. 你还有哪些体悟,写下来：。