高中数学学案:基本不等式及其简单应用(1)
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高中数学学案:基本不等式及其简单应用(1)
1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理,了解其证明过程.
2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1. 阅读:必修5第96~98页.
2. 解悟:①什么是教材规定的基本不等式?需要怎样的使用条件?证明其正确性有哪几种证法?②基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件?③“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的?请用符号语言表示出来;④教材必修5第98页关于基本不等式的几何解释,你能理解吗?
3. 践习:在教材空白处,完成必修5第98~99页练习第2、3、4、5题.
基础诊断
1. 已知mn =8(m>0,n>0),则m +n 的最小值为.
解析:因为m>0,n>0,所以m +n ≥2mn =42,当且仅当m =n =22时,等号成立. 2. 下列命题正确的是__②__.(填序号) ①函数y =x +1
x 的最小值是2;
②函数y =sin x +1sin x ,x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0,π2的最小值是2;
③函数y =x 2+5
x 2+4的最小值是2;
④函数y =2-3x -4
x 的最大值是2-4 3.
解析:对于①,当x>0时,y =x +1x ≥2,当且仅当x =1时取等号,当x =0时,y =x +1
x 无意义,当x<0时,y =x +1x =-⎝ ⎛
⎭
⎪⎫-x -1x ≤-2,当且仅当x =y =-1时取等号,故y =x +1x 的值域为(-∞,
-2]∪[2,+∞),无最小值;对于②,因为x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0,π2,所以sin x ∈(0,1],y =sin x +1sin x ≥2,当且仅当
sin x =1,即x =π2时取等号,故②正确;对于③,y =x 2+5x 2+4=x 2+4+1
x 2+4,令t =x 2+4,则y
=t +1t ,t ∈[2,+∞).因为y =t +1t 在[2,+∞)上为增函数,所以y min =2+12=5
2,故③错误;对于④,
当x>0时,y =2-3x -4x ≤2-23x·4x =2-43,当且仅当x =23
3时取等号.当x<0时,y =2-
3x -4x ≥2+4 3.当且仅当x =-23
3时取等号,故④错误.
3. 已知x<54,则函数f(x)=4x -2+1
4x -5
的最大值为__1__.
解析:因为x<54,所以4x -5<0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+1
4x -5
+3=3-(5-4x +
15-4x )≤3-2=1,当且仅当x =1时取等号,所以f(x)=4x -2+14x -5
的最大值为1. 4. 设a>0,b>0,且a +b =1,则1a +1
b 的最小值为__4__.
解析:因为a +b =1,所以1a +1b =(a +b)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a +1b =1+a b +b a +1=2+b a +a b ≥2+2b a ·a b =4,当
且仅当b a =a b ,即a =b =1
2时,取等号.
范例导航
考向❶ 通过简单构造和变形,运用基本不等式求最值 例1 求函数f(x)=x +1
x -2(x>2)的最小值.
解析:因为x>2,所以x -2>0, 所以f(x)=x -2+1
x -2
+2≥2
(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x -2=1
x -2
,即x =3∈(2,
+∞)时取等号.所以当x =3时,函数f(x)min =4.
当x>0时,求函数f(x)=2x
x 2+1
的最大值.
解析:因为x>0,所以f(x)=2x x 2+1=2x 2+1x =2x +1x ≤22x·
1x =1,当且仅当x =
1
x ,即
x =1∈(0,+∞)时,取等号,所以当x =1时,函数f(x)max =1.
【注】 本例突出构造x +a
x 型,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在.
考向❷ 通过常值代换,运用基本不等式求最值
例2 已知x>0,y>0,且2x +y =1,求1x +1
y 的最小值.
解析:方法一:因为2x +y =1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x
y >0,
所以1x +1y =2x +y x +2x +y y =3+y x +2x y ≥3+2y x ·2x
y =3+22,
当且仅当y x =2x y ,即y 2=2x 2,y =2x,即当x =1-2
2,y =-1+2时取等号,
所以当x =1-22,y =-1+2时,1x +1
y 的最小值为3+2 2. 方法二:因为2x +y =1, 又因为x>0,y>0,所以y x >0,x
y >0,
所以1x +1y =(2x +y)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x +1y =3+y x +2x y ≥3+2
y x ·2x
y =3+22,
以下同方法一.
如图,已知函数y =a x +b(b>0)的图象经过点(1,3).求
4a -1+1
b 的最小值.
解析:因为函数y =a x +b(b>0)的图象经过点(1,3),所以a +b =3. 又由图象可知a>1.
因为b>0,所以10,
所以4a -1+1b =2(a -1+b )a -1+12·(a -1+b )b =52+2b a -1+a -12b ≥52+2
2b a -1·a -12b =9
2
, 当且仅当2b a -1=a -12b ,即a =73,b =23时取得等号,所以4a -1
+1b 的最小值为9
2.
【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”,通过计算变形转化为含有x +a
x 的形式,利用基本不等式求最值,解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在. 考向❸ 参数的取值范围与恒成立问题