高考数学大一轮复习 第八章 第5节 椭圆
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2．涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余) 弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2| 整体代换．
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对点训练 (2014·安徽高考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 ＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，
规律方法 2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已 知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次 方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e 与 a，b 间的关系 e2＝ac22＝1－ba2.
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
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3．椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值为(
)
A．－21
B．21
C．－1295或 21
D.1295或 21
【答案】 C
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4．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴，离心率为 55，
且过点 P(－5,4)，则椭圆的方程为
．
【答案】 4x52 ＋3y62 ＝1
【尝试解答】 由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)， O(0,0)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB＝－ba， 因此直线 OP 的方程为 y＝－bax， 代入椭圆ax22＋by22＝1，得 x＝± 22a，
整理ppt
由 PF1⊥x 轴，知 x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c，
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
a，b，c 的关系
c e＝_a_∈(0,1)
c2＝a2－b2
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点 P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax022＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax022＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax022＋by202＞1.
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1．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两
个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】 D
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2．“－3＜m＜5”是“方程5－x2m＋m＋y2 3＝1 表示椭圆”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
来自百度文库
C．充要条件
①
又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5
②
联立①，②，得 a＝ 10，c＝ 5，
∴b2＝a2－c2＝5， 所以该椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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规律方法 1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法； ②待定系数法；③轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定 量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量” 是指确定 a、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质， 已知条件，列关于 a，b，c 的方程．
B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程
为
．
【答案】 x2＋32y2＝1
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考向二 [145] 椭圆的几何性质
(1)(2013·辽宁高考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接
AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则 C 的离心率
两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的
面积为 9，则 b＝
.
【答案】 3
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(2)已知 F1，F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左，右焦点， A，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB，PF1⊥x 轴，|F1A|＝ 10＋ 5，求椭圆的方程．
6．(2014·辽宁高考)已知椭圆 C：x92＋y42＝1，点 M 与 C
的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝
.
【答案】 C
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考向一 [144] 椭圆的定义与标准方程
(1)已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的
整理ppt
5．(2013·大纲全国卷)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的
两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且
|AB|＝3，则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
D.x52＋y42＝1
【答案】 C
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第五节 椭 圆
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[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主 要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向 量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系， 常以解答题形式考查．
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一、椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数． (1)若 2a＞|F1F2| ，则集合 P 为椭圆； (2)若2a＝|F1F2| ，则集合 P 为线段； (3)若 2a＜|F1F2| ，则集合 P 为空集．
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二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范围
_－__a≤x≤a_ －__b_≤y≤_b
_－__b≤x≤b －__a_≤y≤a
对称性
对称轴：坐__标__轴__；对称中心：_原__点__
性
质 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
为( )
3
5
4
6
A.5
B.7
C.5
D.7
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(2)已知椭圆：x92＋by22＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为 F1，
F2，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若|B→F2|＋|A→F2|的最大
值为 8，则 b 的值是( )
A．2 2
B. 2
C. 3
D. 6
【答案】 (1)B (2)D
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对点训练 (2014·安徽高考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 ＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，
规律方法 2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已 知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次 方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e 与 a，b 间的关系 e2＝ac22＝1－ba2.
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
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3．椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值为(
)
A．－21
B．21
C．－1295或 21
D.1295或 21
【答案】 C
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4．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴，离心率为 55，
且过点 P(－5,4)，则椭圆的方程为
．
【答案】 4x52 ＋3y62 ＝1
【尝试解答】 由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)， O(0,0)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB＝－ba， 因此直线 OP 的方程为 y＝－bax， 代入椭圆ax22＋by22＝1，得 x＝± 22a，
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由 PF1⊥x 轴，知 x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c，
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
a，b，c 的关系
c e＝_a_∈(0,1)
c2＝a2－b2
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点 P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax022＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax022＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax022＋by202＞1.
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1．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两
个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】 D
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2．“－3＜m＜5”是“方程5－x2m＋m＋y2 3＝1 表示椭圆”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
来自百度文库
C．充要条件
①
又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5
②
联立①，②，得 a＝ 10，c＝ 5，
∴b2＝a2－c2＝5， 所以该椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
整理ppt
规律方法 1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法； ②待定系数法；③轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定 量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量” 是指确定 a、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质， 已知条件，列关于 a，b，c 的方程．
B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程
为
．
【答案】 x2＋32y2＝1
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考向二 [145] 椭圆的几何性质
(1)(2013·辽宁高考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接
AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则 C 的离心率
两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的
面积为 9，则 b＝
.
【答案】 3
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(2)已知 F1，F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左，右焦点， A，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB，PF1⊥x 轴，|F1A|＝ 10＋ 5，求椭圆的方程．
6．(2014·辽宁高考)已知椭圆 C：x92＋y42＝1，点 M 与 C
的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝
.
【答案】 C
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考向一 [144] 椭圆的定义与标准方程
(1)已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的
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5．(2013·大纲全国卷)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的
两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且
|AB|＝3，则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
D.x52＋y42＝1
【答案】 C
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第五节 椭 圆
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[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主 要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向 量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系， 常以解答题形式考查．
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一、椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数． (1)若 2a＞|F1F2| ，则集合 P 为椭圆； (2)若2a＝|F1F2| ，则集合 P 为线段； (3)若 2a＜|F1F2| ，则集合 P 为空集．
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二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范围
_－__a≤x≤a_ －__b_≤y≤_b
_－__b≤x≤b －__a_≤y≤a
对称性
对称轴：坐__标__轴__；对称中心：_原__点__
性
质 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
为( )
3
5
4
6
A.5
B.7
C.5
D.7
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(2)已知椭圆：x92＋by22＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为 F1，
F2，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若|B→F2|＋|A→F2|的最大
值为 8，则 b 的值是( )
A．2 2
B. 2
C. 3
D. 6
【答案】 (1)B (2)D
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