高中数学 第五讲直线与曲线相交的特征式
平面直角坐标系中直线与曲线的性质
平面直角坐标系中直线与曲线的性质平面直角坐标系中，直线与曲线是数学中的重要概念，它们有着不同的性质和特点。
本文将从直线和曲线的定义、方程形式以及性质等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、直线的性质直线是平面上的一条无限延伸的轨迹，具有以下几个基本性质：1. 独一性：通过平面上两点，恰有一条直线经过；2. 平行性：两条直线如果没有交点，那么它们是平行的；3. 垂直性：两条直线如果互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1；4. 点斜式方程：直线可以用点斜式方程表示，即y-y₁ = k(x-x₁)，其中(k是斜率，(x₁, y₁)是直线上一点的坐标)；5. 斜截式方程：直线也可以用斜截式方程表示，即y = kx + b，其中(k是斜率，b是截距)；6. 截距式方程：直线还可以用截距式方程表示，即x/a + y/b = 1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
二、曲线的性质曲线是平面上的一条有限长度的轨迹，它通常由函数或参数方程给出，具有以下几个基本性质：1. 连续性：曲线上的任意两点之间都可以通过曲线上的点连续得到；2. 光滑性：曲线上的任意一点处的切线存在且唯一；3. 凹凸性：曲线上的点的曲率可以描述曲线的凹凸程度；4. 参数方程：曲线可以用参数方程表示，即x = f(t)，y = g(t)，其中t是参数；5. 隐式方程：曲线也可以用隐式方程表示，即F(x, y) = 0，其中F 是包含x和y的方程。
三、直线与曲线的关系在平面直角坐标系中，直线与曲线可以有以下几种关系：1. 相交：直线与曲线有交点；2. 切线：直线与曲线在某一点处相切，即两者的斜率相等；3. 平行：直线与曲线没有交点且斜率相等；4. 相离：直线与曲线没有交点且斜率不相等。
在实际问题中，直线与曲线的性质经常被应用于解决几何问题、物理问题等。
例如，在计算机图形学中，直线和曲线的性质被广泛应用于图像的生成和处理；在物理学中，直线和曲线的性质被用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。
相交线的性质
相交线的性质相交线在几何学中起着极其重要的作用，它们连接了不同的点，并且定义了图形之间的关系。
本文将介绍相交线的性质，并且通过几个例子来说明这些性质对于解决几何问题的重要性。
一、相交线的定义相交线是指在平面上，两条直线或曲线的交点。
当两条直线或曲线有一个公共的交点时，它们被称为相交线。
相交线可用于连接不同几何图形，如三角形、四边形等，从而分析它们的性质和关系。
二、1. 直线相交的性质当两条直线相交时，有以下几个性质：- 相交线的两个交点是两条直线的共同点。
- 相交线将两条直线分成四个不同的区域，这四个区域分别位于两条直线的四个象限。
- 相交线的交点将两条直线分成两对相互垂直的角。
2. 平行线相交的性质当两条平行线相交时，有以下几个性质：- 平行线相交的两个交点构成了等腰梯形的一对对角线。
- 平行线相交时，交点与两条平行线上的点之间的线段长度相等。
3. 直线和曲线相交的性质当一条直线与一条曲线相交时，有以下几个性质：- 直线与曲线相交的点对应了曲线上与直线相切的点。
- 相切点的切线与直线垂直。
- 相切点的切线与曲线在该点处的斜率相等。
三、相交线在几何学中的应用相交线的性质在几何学中具有广泛的应用，特别是在解决几何问题时起到了重要的作用。
下面我们通过几个例子来说明相交线的应用。
1. 利用相交线证明三角形相似在证明三角形相似的过程中，相交线的性质经常被用到。
通过在两个三角形之间画出相交线，我们可以得到两组相似的三角形，从而证明它们之间的相似关系。
2. 利用相交线求解几何问题在求解几何问题时，有时可以通过引入相交线来简化问题的解决过程。
例如，在求解平行四边形的面积时，我们可以通过引入对角线，将平行四边形分成两个三角形，并利用三角形面积的公式来求解。
3. 利用相交线证明图形特性相交线的性质可以用于证明图形的特性。
例如，在证明一个四边形是矩形时，我们可以通过证明其对角线相互垂直来得出结论。
综上所述，相交线在几何学中具有重要的性质，它们连接了不同的点，并且定义了图形之间的关系。
高中数学教案：直线与曲线的图像与性质
高中数学教案：直线与曲线的图像与性质一、引言在高中数学教学中，直线与曲线的图像与性质是一个重要的知识点。
它不仅为学生提供了理解和掌握数学概念的机会，还为解决实际问题奠定了基础。
本篇文章将从直线和曲线的基本定义开始，介绍它们的图像特征和性质。
二、直线的图像与性质1. 直线的定义直线可以用两点确定，也可以通过斜率和截距表达。
当两个点确定了一条直线时，我们可以利用这两个点之间的距离计算出斜率和截距。
斜率表示直线倾斜程度的指标，而截距则表示直线与坐标轴交点位置。
这些特性对于绘制直线和解决相关问题非常重要。
2. 直线特征a) 平行与垂直关系：当两条直线具有相同斜率时，它们是平行的；当两条直线斜率相乘为-1时，它们是垂直的。
b) 斜率比较：当斜率为正值时，表示函数递增；当斜率为负值时，表示函数递减。
c) 截距比较：截距越大，表示函数与y轴交点越靠上；截距为负值，则直线在y轴下方与其交点。
3. 直线图像的性质a) 直线是无限延伸的，可以通过一个点和斜率来唯一确定一条直线。
b) 直线具有连续性和平滑性。
它没有转折点或奇异点，并且在整个定义域上是光滑的。
三、曲线的图像与性质1. 曲线的定义曲线是由一组连接不同点而形成的连续弧段组成。
曲线可以用函数方程或参数方程表示，通常根据给定条件以绘制图形或解决问题。
2. 曲线特征a) 对称性：某些曲线具有对称轴或中心对称特征。
例如，圆具有关于其圆心对称性。
b) 极值：曲线上存在极大值和极小值点，这些点反映了曲线的变化趋势。
c) 凸凹性：曲线可能具有凸向上弧段（拱形）或凹向上弧段（碗状）。
这取决于二阶导数的正负。
3. 曲线图像的性质a) 曲线可能是闭合的，如圆、椭圆等，也可以是开放的，如抛物线、双曲线等。
b) 曲线可分为光滑和非光滑两类。
光滑曲线在整个定义域上具有连续性和平滑性，而非光滑曲线则可能存在断点或转折点。
四、直线与曲线的比较1. 图像特征对比直线的图像是一条无限延伸的直道，没有弯曲处。
直线和曲线的基本概念
直线和曲线的基本概念直线和曲线是几何学中非常重要的概念，它们在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍直线和曲线的基本概念，包括它们的定义、性质以及常见的应用。
1. 直线的定义和性质直线是由一条无限延伸的点连成的轨迹，它没有弯曲和拐角。
直线可以通过两点确定，两点确定一条直线的唯一性。
直线上的任意两点可以通过一条直线连接起来。
直线的性质包括：- 直线上的任意两点之间的距离是固定的。
- 直线是无限延伸的，没有起点和终点。
- 直线可以用方程式表示，如y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
- 直线可以平移、旋转和镜像变换，保持直线的性质不变。
直线在几何学中有广泛的应用，例如在解析几何中，直线用于表示线段、射线以及其他几何形状的边界。
2. 曲线的定义和性质曲线是由点连成的轨迹，它可以有弯曲和拐角。
曲线可以是闭合的，如圆或椭圆，也可以是开放的，如抛物线和双曲线。
曲线的性质包括：- 曲线上的每个点都有一个切线，切线是曲线在该点处的斜率。
- 曲线在不同点处的曲率不同，曲率表示曲线的弯曲程度。
- 曲线可以用参数方程或隐式方程表示，例如y = f(x)或F(x, y) = 0。
- 曲线可以通过平移、旋转和缩放变换，保持曲线的性质不变。
曲线在数学中有广泛的应用，例如在微积分中，曲线用于表示函数的图像，研究函数的性质和求解各种问题。
3. 直线和曲线的联系和区别直线和曲线虽然在形状上有很大的不同，但它们也有一些联系和相似之处。
联系：- 直线可以被视为曲线的特殊情况，即曲率为零的曲线。
- 直线和曲线都是由点组成的轨迹，它们都可以用方程式来表示。
- 直线和曲线都可以进行平移、旋转和缩放等变换。
区别：- 直线没有弯曲和拐角，而曲线可以有很大的弯曲。
- 直线的斜率是常数，而曲线的斜率是变化的。
- 直线可以通过两个点确定，而曲线通常需要更多的信息才能确定。
总结：直线和曲线是几何学中基本的概念，它们在数学和其他学科中有广泛的应用。
高中数学专题复习课件解析几何——双曲线与直线的交点
>0
两个交点
<0
0 个交点
=0
一个交点
相交 相离 相切
好也 !
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断下列直线与双曲线的位置关系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1 相交(一个交点)
[1] l : x 3 ,c : x2 y2 1 9 16
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
O
X 相切:一个交点
相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
总结
方程组解的个数
有没有问题 ? 交点个数
两个交点 一个交点
相交
相相 切交
0 个交点 相离
>0
两个交点
相交
<0
0 个交点
相离
=0
? 一个交点
相切
相交
天哪 !
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释
直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中，直线与曲线是基础且重要的概念。
它们在几何、代数以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
直线与曲线的交点和公共点是我们在研究它们时常常遇到的问题。
本文将通过对直线与曲线的交点和公共点进行比较分析，探讨它们之间的区别与联系。
希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地理解直线与曲线的性质，从而对数学知识有更深入的理解和应用。
json"1.2 文章结构": {"本文将分为三个部分进行讨论。
首先，在引言部分中，将介绍本文的概述、文章结构和目的。
其次，正文部分将分为直线与曲线的交点、直线与曲线的公共点以及区别与联系这三个小节来详细探讨两者之间的关系。
最后，在结论部分中，将总结直线与曲线的交点与公共点的区别，探讨其应用与意义，并展望未来研究方向。
通过以上结构，读者将对直线与曲线的交点与公共点有更清晰的认识。
"}1.3 目的目的部分的内容如下：目的在于探讨直线与曲线的交点与公共点之间的区别，深入理解它们在几何学中的重要性和意义。
通过对交点和公共点的概念进行比较分析，揭示它们不同的性质和特点，帮助读者更好地理解这两种几何对象之间的关系。
同时，通过对它们的区别与联系进行论述，进一步启发读者对几何学问题的思考，促进数学知识的拓展和深化。
最终旨在为读者提供对直线与曲线之间交点与公共点的理解，为进一步的研究和应用提供基础和参考。
2.正文2.1 直线与曲线的交点:在数学中，直线和曲线是两种基本的几何图形，它们在平面上有着不同的性质和特点。
当直线和曲线相交时，它们可能会有一个或多个交点。
在这一部分，我们将重点讨论直线与曲线的交点的性质和特点。
首先，我们来看直线与曲线的交点的定义。
当一条直线与一条曲线相交时，它们在交点处有共同的坐标点，即这些坐标点同时满足直线和曲线的方程。
根据直线和曲线的方程，我们可以求解它们的交点坐标，从而找到它们的交点。
直线方程相交知识点总结
直线方程相交知识点总结直线方程是平面几何中的基本概念，对于直线方程的相交问题，是平面几何中的重要知识点。
在解决实际问题、证明定理等方面都有广泛的应用。
了解和掌握直线方程相交知识点，有助于我们更好地理解和应用平面几何知识。
下面将从直线方程的一般式、截距式、点斜式等几种常见形式出发，结合直线的相交问题，对其知识点进行总结。
一、直线方程的一般式直线方程的一般式表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C为常数，A和B不全为0。
直线方程的一般式可以表示平面上的所有直线，通过这种形式，可以方便地进行直线的运算和相交问题的讨论。
1、直线方程的一般式的意义直线方程的一般式的意义在于可以代表平面上的直线，通过A、B、C三个参数可以确定一条直线，其中A和B决定了直线的斜率，C为常数项，决定了直线与坐标轴的交点位置。
2、直线方程的一般式的具体应用直线方程的一般式可以用来求解两条直线的交点，两直线的平行、垂直关系等问题。
通过A、B、C的大小关系，可以得知直线的斜率和交点信息，从而进一步分析直线的相交情况。
3、直线方程的一般式的性质直线方程的一般式具有一些性质，如A和B不全为0，直线不垂直于坐标轴；A与B的比值为直线的斜率；当C=0时，直线过原点；当A、B、C都有公因式时，直线方程的一般式可化简为最简形式。
二、直线方程的截距式直线方程的截距式表示为x/a+y/b=1，其中a和b为正常数，a代表x轴的截距，b代表y轴的截距。
直线方程的截距式可以方便地表示直线在坐标轴上的截距情况，从而更容易进行直线的相交分析。
1、直线方程的截距式的意义直线方程的截距式表示了直线与x轴和y轴的交点位置，通过给定的a、b，可以确定直线在坐标轴上的截距，进而分析直线的位置和相交关系。
2、直线方程的截距式的具体应用直线方程的截距式可以用来求解两条直线的交点，通过截距的大小关系可以得知直线与坐标轴的交点位置。
同时，也可以通过截距的正负关系，判断直线与坐标轴夹角的大小等信息。
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1xy a b+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：22122121()()PP x x y y =-+- （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：0022||Ax By C d A B++=+（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：1222||C C d A B-=+4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B++=+与半径R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线； 当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5．弦长公式：222l R d =-例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是． 解析：由题意知 ＞1，解得－＜k ＜. 答案：(－， )例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0例3设直线x－－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦的长为2，则实数m的值是．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m ＝±.答案：±例4若a，b，c是直角三角形三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：＋＋c＝0所截得的弦长为．解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：＋＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.答案：2例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，，分别切⊙M于A，B两点．(1)若＝，求及直线的方程；(2)求证：直线恒过定点．解：(1)设直线交于点P，则＝，又＝1，⊥，⊥，得＝＝，又∵＝，∴＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．从而直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段是此圆与已知圆的公共弦，相减可得的方程为－2y＋3＝0，所以直线恒过定点.例6过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为．解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为. 设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即－y＋k－2＝0，则＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.答案：1或例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为．解析：圆心(1,0)，d＝＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴＝a，∴a＝，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为．圆C的方程为x2＋y2＋＋F＝0，则错误!解得错误!圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案] (1)C (2)x2＋y2－4x－6＝0例10 (1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为，最小值为．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝2，易知所求圆的半径等于＝.(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x －y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.答案：(1) (2)5＋5－例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则的最小值为．解析：表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相切时的斜率．设直线的方程为y －2＝k (x －1)即－y ＋2－k ＝0.由＝1得k ＝，结合图形可知，≥，故最小值为. 答案：例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△面积的最小值是． 解析：：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝， 则边上的高的最小值为－1.故△面积的最小值是×2×＝3－. 答案：3－例13平面直角坐标系中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线、分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=的距离为12，所以圆O 的半径为2216()()222+=， 故圆O 的方程为222x y +=． ⑵设直线l 的方程为1(0,0)x y a b ab+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切，得222ab a b =+，即221112a b +=，2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=， 直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-，直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2．例14圆x 22=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求的长；（2）当弦被点P 平分时，求直线l 的方程.解:（1）当α=43π时，－1，直线的方程为y －2=－（1），即x ＋y －1=0. 故圆心（0，0）到的距离2100-+22，从而弦长2218-=30.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12=－2，y 12=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 12）（x 1－x 2）+（y 12）（y 1－y 2）=0， 即－2（x 1－x 2）+4（y 1－y 2）=0，∴212121=--x x y y. ∴直线l 的方程为y －2=21（x ＋1），即x －2y ＋5=0.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线－10=0上. (1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程; (2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆222相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －a)2+(y －b)2=25,其中圆心()满足a －10=0.又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a , 故所求圆C 的方程为(10)22=25或(5)2+(y －5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离1110+52.当r 满足5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 222相外切的圆； 当r 满足5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 222相外切；当r 满足5,即52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 222相外切.题目1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．2．求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.3．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则的最小值 ．4．设O 为坐标原点，曲线x 22+2x －61=0上有两点P 、Q ，满足关于直线4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m的值；（2）求直线的方程.5．已知圆C：x22－244=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线C：x22－4＋2－20＋200.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.10 / 11。
高中平面解析几何知识点总结（直线、圆、椭圆、曲线）
高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[,90斜率不存在.（2）直线的斜率：tan),(211212kx x x x y y k．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x xk y y(直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x．（2）斜截式：b kx y(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y (12y y ，12x x ).注：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②方程形式为：0))(())((112112x xy y y yx x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1by ax（b a,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0ba）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0C By Ax(其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B CxB A y，即，直线的斜率：B A k．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kxb 或0x．已知直线横截距x ，常设其方程为x myx (直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()yk xx y 或0xx ．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l yk x b ，222:l yk x b ，有①212121,//b b k k l l ；②12121l l k k .（2）若0:1111C yB xA l ，0:2222C yB x A l ，有①1221122121//C A C A B A B A l l 且；②0212121B B A A l l ．5．平面两点距离公式：（1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则2221210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0CBy Axl ：的距离：22BAC By Ax d．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211C ByAxl C ByAx l ：，：的距离：2221B AC C d．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：①直线ykxb 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．②与直线:0l Ax ByC平行的直线可表示为1AxByC ．③过点00(,)P x y 与直线:0l Ax ByC平行的直线可表示为：00()()A xx B yy ．（2）垂直直线系方程：①与直线:0l AxBy C垂直的直线可表示为10BxAy C ．②过点00(,)P x y 与直线:0l Ax ByC垂直的直线可表示为：00()()0B xx A yy ．（3）定点直线系方程：①经过定点000(,)P x y 的直线系方程为0()yy k xx (除直线xx ),其中k 是待定的系数．②经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B yy ,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111C yB xA l C yB x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111C yB xA C yB xA (除开2l )，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y 与2:(,)0C g x y 的交点坐标方程组(,)0(,)0f x y g x y 的解．10.平面和空间直线参数方程：①平面直线方程以向量形式给出：nb y na x 21方向向量为nn s 21，下面推导参数方程：tn b y t n a x tnb y na x 2121则有令：②空间直线方程也以向量形式给出：nb z nb y na x 321方向向量为nn n s 321,，下面推导参数方程：tn c z t n b y t n a x t ncz nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。
高考数学：专题九 第五讲 解析几何课件
2 2 解得 k＝± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 .
(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为直线 AB 不与 x 轴垂直,所以 AB 斜率存在, 4－x0 y0 所以直线 MN 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 , y0 x0－4 4－x0 直线 AB 的方程为 y－y0＝ y (x－x0), 0
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2－4 8k2m x1＋x2＝ ,x x ＝ . 1＋4k2 1 2 1＋4k2 |km| 2 2 又由 l 与圆 x ＋y ＝1 相切,得 2 ＝1, k ＋1 2 2 2 即 m k ＝k ＋1.
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] 64k4m2 44k2m2－4 ＝ 1＋k2 2 2－ 2 1＋4k 1＋4k 4 3|m| ＝ 2 . m ＋3
题型突破
|BF2| 同理|PF2|＝ (2 2－|AF1|). |AF1|＋|BF2|
第五讲
本 讲 栏 目 开 关
|AF1| |BF2| 因此,|PF1|＋|PF2|＝ (2 2－|BF2|)＋ · 2－|AF1|) (2 |AF1|＋|BF2| |AF1|＋|BF2| 2|AF1|· 2| |BF ＝2 2－ . |AF1|＋|BF2|
例 2
第五讲
在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2＝
2py(p>0)相交于 A,B 两点.
本 讲 栏 目 开 关
(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦 长恒为定值？若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由.
直线到曲线知识点梳理总结
一、直线的定义和特点：1. 直线是由无数个点组成的集合，且这些点在同一条直线上。
2. 直线是最基本的几何图形之一，具有一维的特性，即只有长度没有宽度和高度。
3. 直线可以用方程、参数方程或斜率和截距来表示。
二、直线的方程：1. 一般式方程：Ax + By + C = 02. 截距式方程：x/a + y/b = 13. 斜截式方程：y = mx + c4. 点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)三、直线运动的基本概念：1. 速度：表示单位时间内位移的大小。
2. 位移：表示物体在一定时间内从一个位置到另一个位置的变化。
3. 加速度：表示单位时间内速度的改变量。
4. 匀速直线运动：速度恒定的直线运动。
5. 变速直线运动：速度随时间或位移的变化而变化的直线运动。
四、曲线的定义和特点：1. 曲线是由无数个点组成的集合，且这些点的排列不呈直线状。
2. 曲线是具有一定长度和宽度的几何图形，可以是闭合的也可以是开放的。
3. 曲线通常可以用方程、参数方程、极坐标方程、和隐函数方程来表示。
五、曲线的方程：1. 圆的方程：(x - a)² + (y - b)² = r²2. 椭圆的方程：(x - a)² / m² + (y - b)² / n² = 13. 双曲线的方程：x² / a² - y² / b² = 14. 抛物线的方程：y = ax² + bx + c 或 x = ay² + by + c1. 切线和法线：曲线在某一点的切线是与曲线相切的直线，法线是与切线垂直的直线。
2. 曲率：表示曲线在某一点处的弯曲程度。
3. 弧长：曲线在两个点之间的实际长度。
4. 参数方程：曲线上的点的位置由一个或多个参数表示，即 x = f(t), y = g(t)。
5. 极坐标方程：曲线上的点的位置由极径 r 与极角θ 表示，即r = f(θ)。
直线与曲线的特征
直线与曲线的特征在几何学中，直线与曲线是两种基本的图形。
它们在形态、性质和应用方面都有很大的差异。
本文将探讨直线与曲线的特征，并对它们在不同领域的应用进行简要介绍。
一、直线的特征直线是一种无限延伸且没有弯曲的图形。
它具有以下几个特征：1. 方向一致：直线上的任意两点都可以通过直线上的其他点来连接而成，因此直线上的点的排列是有序的。
2. 等距性：直线上的任意两点之间的距离是相等的。
这意味着直线上的点都处于同一条直线上，并且彼此之间没有偏离。
3. 无曲率：直线上的任意一段小线段，与整个直线的形状完全相同，并且没有弯曲。
直线的这些特征使它在数学、物理和工程等领域中得到广泛应用。
在数学中，直线是解析几何的基础，通过直线的方程可以描述平面内的点的分布情况。
在物理学中，直线运动是研究物体在匀速直线运动时的运动规律。
在工程学中，直线的性质使其成为测量和定位的基准。
二、曲线的特征曲线是一种有弯曲形状的图形。
它具有以下几个特征：1. 方向变化：曲线上的点的排列是无序的，它们的连接路径会随着曲线的变化而改变方向。
2. 曲率变化：曲线上的任意一段小线段与整个曲线的形状会有所不同，它们的弯曲程度不一样。
3. 弯折性：曲线上的点会出现弯曲或弯折，使得曲线的形态更加灵活多变。
曲线的这些特征使它在几何学、艺术和自然科学等领域中得到广泛应用。
在几何学中，曲线是研究点的轨迹和图形的形态的重要对象。
在艺术中，曲线的优美形状被广泛运用于绘画和设计中，给人以美的享受。
在自然科学中，曲线的形状出现在自然界的各种物体和现象中，例如河流的弯曲、动植物的轮廓等。
三、直线与曲线的应用比较直线和曲线各有其独特的应用领域和特点。
直线的特性使它可以用于建立坐标系、描述物体的运动和规划道路等方面。
而曲线的特性使它更适用于描述自然界中的复杂形态和艺术创作等领域。
在数学中，直线和曲线都是基础概念，它们通过方程来描述和研究。
在物理学中，直线运动和曲线运动是两种基本的物体运动形式，通过对它们的研究可以揭示自然规律。
直线和曲线的性质知识点总结
直线和曲线的性质知识点总结直线和曲线是几何学中常见的概念，它们有着不同的性质和特点。
本文将对直线和曲线的性质进行总结，以便读者更好地理解和掌握这两个几何基本要素。
1. 直线的性质直线是由无穷多个点组成的，具有以下几个重要的性质：1.1 直线的特性- 直线上的任意两点可以确定一条直线。
- 任意一点到直线上的任意一点的距离都相等。
- 直线没有起点和终点，是无限延伸的。
1.2 直线的分类- 水平线：水平线与地平线平行，没有上下之分。
- 垂直线：垂直线与水平线的夹角为90度，可以用垂直符号“|”表示。
- 斜线：斜线既不水平也不垂直，可以用斜率来表示其倾斜程度。
1.3 直线的方程- 一般式方程：Ax + By + C = 0，A、B和C为常数。
- 点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的已知点。
- 截距式方程：y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2. 曲线的性质曲线是由一系列点组成的，不同类型的曲线具有不同的性质和特点。
2.1 抛物线的性质- 抛物线是平面上的一个几何图形，具有对称性。
- 抛物线有顶点，顶点为曲线的最高点或最低点。
- 抛物线可以向上开口，也可以向下开口。
- 抛物线可用一般式方程表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
2.2 圆的性质- 圆是由平面上到一个固定点的所有点的距离相等的点组成的。
- 圆的直径是通过圆心并且两端在圆上的一条线段，直径的长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上一周的长度，周长等于2πr，其中r为圆的半径。
- 圆的面积由πr^2计算得出，其中r为圆的半径。
2.3 椭圆的性质- 椭圆是平面上到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。
- 椭圆有两个焦点，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
- 椭圆可以表示为(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
直线与曲线的特点
直线与曲线的特点直线与曲线是几何学中的基本概念，它们在数学、物理学、工程学等领域中具有重要的应用。
直线与曲线各自具有不同的特点和性质，下面将详细介绍它们的特点。
1. 直线的特点直线是由无限多个点组成的，它们的位置可以用直角坐标系中的一元一次方程来表示。
直线在几何学中是最简单的图形，具有以下特点：1.1 无限延伸性直线是无限延伸的，无论在正方向还是负方向上，都可以无限远地延伸。
直线没有起点和终点的限制，这使得直线有着广泛的应用。
1.2 两点确定一条直线在平面上，任意两点可以确定一条直线。
这也是欧几里德几何学的基本公理之一。
直线的方程可以通过已知两点的坐标来求解，并且可以通过斜率来判断直线的倾斜程度。
1.3 方向唯一性直线上的任意两点构成的矢量的方向是唯一的。
直线可以用一组平行于该直线的矢量表示出来，这也是直线在物理学中广泛应用的原因之一。
1.4 切线与法线直线在曲线上的切线是通过该点并且与曲线接触一点的直线，而与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线。
切线和法线在微积分中被广泛应用。
2. 曲线的特点曲线是直线之外的一类平面图形，它与直线的性质有很大的不同。
曲线在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用，下面将介绍曲线的特点。
2.1 控制点决定形状曲线的形状由一组控制点决定，不同的控制点会产生不同的曲线形状。
通过调整或改变控制点的位置可以对曲线的形状进行调整。
2.2 可以是封闭的曲线可以是封闭的，即起点和终点是重合的。
著名的封闭曲线有圆和椭圆，它们在几何学和物理学中具有重要的应用。
2.3 曲率不同曲线上的每个点都有一个曲率，曲率用来描述曲线在该点的弯曲程度。
不同曲线的曲率是不同的，这也决定了曲线的形状和特征。
2.4 分类曲线可以分为多种类型，包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
每种曲线都有其独特的性质和特点，在不同的领域中有着各自的应用。
综上所述，直线和曲线是几何学中最基本的图形之一。
直线具有无限延伸性、方向唯一性和两点确定一条直线的特点，而曲线的形状由控制点决定，可以是封闭的，并且具有不同的曲率和分类。
直线曲线的特性
直线曲线的特性直线和曲线是我们在数学、几何和物理等领域中经常遇到的两种基本图形。
它们各自具有自身的特性和性质，下面将分别介绍直线和曲线的特性。
一、直线的特性直线是由无数个相邻的点连成的，它没有弯曲和转折，其性质和特性如下：1. 方向一致：直线的所有点沿着同一方向无限延伸，没有开始和结束的点。
这是直线最基本的特性，也是与曲线最显著的区别。
2. 长度无限：直线没有长度限制，可以延伸到无穷远处。
3. 线段：直线可以被看作无限延伸的线段。
线段是直线上的两个端点之间的部分，它可以有长度，并且有起点和终点。
4. 距离相等：直线上的两点之间的距离是恒定的，无论选择哪两个点，它们之间的距离都是相等的。
5. 平行性：如果两条直线不相交，它们被称为平行线。
平行线在无限延伸的过程中永远不会相交。
二、曲线的特性曲线是直线以及其他形状的集合，其特性和特点如下：1. 弯曲和转折：曲线可以在平面内以不同的方式弯曲和转折，它可以形成各种形状，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
2. 曲率：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，比如一个圆的曲率是恒定的，而一个抛物线的曲率则随着位置的不同而变化。
3. 端点：曲线可以有一个或多个端点，这取决于曲线的形状和属性。
端点是曲线上的特殊点，它们是曲线的开始或结束点。
4. 弧长：弧长是指曲线上两点之间的距离。
由于曲线的形状和弯曲程度的不同，曲线上的两点之间的距离可能是不等的。
5. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线，切线是与曲线相切且在该点的切线方向一致的直线。
切线可以用来描述曲线的斜率和变化率。
总结：直线和曲线是数学中常见的基本图形，在几何和物理等领域中有着广泛的应用。
直线的特性包括方向一致、长度无限、线段、距离相等和平行性等；而曲线的特性包括弯曲和转折、曲率、端点、弧长和切线等。
熟练地理解和运用直线和曲线的特性，有助于我们解决实际问题，进一步扩展数学知识的应用范围。
2019-2020年高中数学 第五讲直线与曲线相交的特征式
2019-2020年高中数学 第五讲直线与曲线相交的特征式 教学定位：圆锥曲线也是高中数学内容的主干板块，考察以直线与曲线的位置关系为主流题型，力度强劲，以大题的方式呈现．讲为以“直线与圆锥曲线相交于两点的特征式”为切入点顺畅展开．教学内容：1．直线与曲线相交于两点“特征式”的生成过程，“特征式”的结构与解题功能；2．“基本特征式”的运算，解决下列题型：①求弦长；②求面积；③垂直运算；④简单的向量、长度形式．3．“向量特征式”的运算，解决下列题型：①直线上的向量关系；②直线上的线段长度关系转换为向量关系；4．“基本特征式”与“向量特征式”综合形式．教学目标1．整合学校学习成果，梳理知识内容，协助科任教师的教学模式，帮助学生提练形成直线与曲线相交于两点的“特征式”；2．熟练掌握“基本特征式”与“向量特征式”的的应用，建立规范的运算程序；3．当直线过曲线焦点时，提高运用第二定义的能力；4．“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算途径，选择最熟悉的、已经解决了的问题，优化数学解题思维：“首先解决一个熟悉的子问题”；【高考、模拟试题选编】一、直线与圆锥曲线相交于两点运算的特征式命题1．设直线：与曲线：相交于(，)，(，)．求弦的长．解:由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又2212212)()(||y y x x AB -+-=⇒--+-=])(1[)(22121221x x y y x x ＝＝．【】命题2．设直线：与曲线：相交于(，)，(，)．点是坐标原点，求的面积．解：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204；＝＋＝·|－|·|OD|＝··；命题3．设直线：与曲线：相交于(，)，(，)．点O 是坐标原点，若·，求相关参数．解：，，则·＝＋＋＋(＋)＋．①当是锐角或、同向平行；②当是直角；③当是钝角或、异向平行．命题4．设直线：与曲线：相交于、 两点，与轴交于点．设＝λ，求λ的值．解：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又＝λλλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求、，代入③得λ． 命题5．设定直线：与曲线：相交于、 两点，与轴交于点．求的值． 解：设，且设＝λ＝λλλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求、，代入③得λ． 小结：①高考解析几何的主干考察内容是直线与圆锥曲线的位置关系．高三的第一轮系统复习，在梳理、整合知识时，做了大量的练习．由于课时紧迫，教师来不及小结运算“特征式”．新东方优能教育中学部数学组，协助科任教师提升复习效能，帮助学生形成直线与圆锥曲线相交于两点运算的“特征式”；②“基本特征式”：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； ③“向量特征式”⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ． 二、“基本特征式”的直接应用“直线与圆锥曲线相交于两点”问题的基本运算模式，表现为基本“特征式”的直接应用．是“直线与圆锥曲线相交于两点”问题中最简单形式．其运算途径模式化为： ①两设：设点的坐标与直线方程；②联立消元、一元二次方程、特征式； ③根据题目要求，充分运用特征式．1．弦长、面积例1．(08、湖北、文、理）已知双曲线的两个焦点为，，点在曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．2．垂直例2．设过点，的直线与椭圆：交于不同的两点、．点在直线＝－上，满足，且四边形为矩形．求直线的方程．例3．(09、山东、改编)已知椭圆：．求证：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且，并求出该圆的方程；3．直线与圆锥曲线的局部相交于两点例4．(09、武汉四月)已知椭圆的两个焦点分别为和，且点、在椭圆C 上．又．（1）求焦点的轨迹的方程；【（2）若直线：()与曲线T 交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围】4．直线过曲线的焦点例5．过点，的直线L 与曲线C ：相交于两点、．过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．若，求直线的方程．小结：(1)直线与曲线相交于两点的运算程序是：两设→基本特征式→运用特征式；(2)基本“特征式”解决下列问题：弦长、面积、垂直、钝角与锐角的判定；(3)求解时注意下列问题：①通过焦点的直线，考虑第二定义，用以简化运算；②“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算模式，“先解答一个熟悉的子问题”，然后逐次展开；③直线与圆锥曲线的局部相交于两点，确定参数的范围所需要的不等式，是由“△＞0、＋、·”三个因素决定．三．“向量特征式”的运算模式直线与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于两点A、B，直线L上的向量满足某种关系，是时尚的高考题型．“向量关系与线段长度比都是坐标关系”．其运算途径是“向量特征式”的基本运算模式．1．“向量关系转换为坐标关系”，运用“向量特征式”例6．过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且向量＝，求直线的方程．2．“向量特征式”的直接运用例7．过点的直线与双曲线交于不同的两点、，与轴交于点．且＝＝，＋＝－，求点的坐标．例8．(09、全国2、10)已知直线：与抛物线：相交、两点，为的焦点．若，则＝A．B．C．D．3．“线段长度比→向量关系→坐标关系”，运用“向量特征式”例9．(08、武汉市)设、∈R，常数a＞0，定义运算“*”：*＝（＋)－（x1－x2)．（1）若x≥0，求动点P(，)的轨迹方程；（2）设a＝2，不过原点的直线L与x轴、y轴的交点为T、S，与（1）中的轨迹C交于两个不同的点P、Q，求的范围．本节内容小结：(1)直线与曲线相交于两点，直线上的向量关系、长度关系→点的坐标关系，然后运用向量“特征式”求解；(2)运算程序：两设→基本“特征式”＋向量“特征式”→运用向量“特征式”；(3)直线与双曲线的渐近线交于两点，求的方法：→→；(4)点在曲线上，“代点整体消参”：＝,＝－；＝，＝－．代入双曲线方程：－＝，－＝，两式相减并整理有：(＋＋2)(－)＝(＋)(－)(＋＋2)＝＋．(5)直线与抛物线相交于两点，求＝＝＋(＋)＋，稍显麻烦．。
高中数学 第五讲直线与曲线相交的特征式
5．直线与圆锥曲线相交于两点的特征式教学定位：圆锥曲线也是高中数学内容的主干板块，考察以直线与曲线的位置关系为主流题型，力度强劲，以大题的方式呈现．讲为以“直线与圆锥曲线相交于两点的特征式”为切入点顺畅展开．教学内容：1．直线与曲线相交于两点“特征式”的生成过程，“特征式”的结构与解题功能；2．“基本特征式”的运算，解决下列题型：①求弦长；②求面积；③垂直运算；④简单的向量、长度形式．3．“向量特征式”的运算，解决下列题型：①直线上的向量关系；②直线上的线段长度关系转换为向量关系；4．“基本特征式”与“向量特征式”综合形式．教学目标1．整合学校学习成果，梳理知识内容，协助科任教师的教学模式，帮助学生提练形成直线与曲线相交于两点的“特征式”；2．熟练掌握“基本特征式”与“向量特征式”的的应用，建立规范的运算程序；3．当直线过曲线焦点时，提高运用第二定义的能力；4．“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算途径，选择最熟悉的、已经解决了的问题，优化数学解题思维：“首先解决一个熟悉的子问题”；【高考、模拟试题选编】一、直线与圆锥曲线相交于两点运算的特征式命题1．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )， B (2x ，2y )．求弦AB 的长．解:由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又2212212)()(||y y x x AB -+-=⇒--+-=])(1[)(22121221x x y y x x 2211||||k x x AB +-=＝)1(4222k a ac b +-＝||a ∆21k +．【=||AB 22111||k y y +-】 命题2．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )．点O 是坐标原点，求AOB ∆的面积．解：由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； OAB S ∆＝OAD S ∆＋OBD S ∆⇒OAB S ∆＝21·|1y －2y |·|OD| ＝21·2211||k x x +-·d ； 命题3．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )．点O 是坐标原点，若OA ·OB a =，求相关参数．解：)(11y x OA ，=，)(22y x OB ，=，则OA ·OB ＝1x 2x ＋1y 2y a =⇒ 1x 2x ＋)(1m kx +)(2m kx +a =⇒)1(2k +1x 2x ＋km (1x ＋2x )＋2b a =． ①当a 0>⇒AOB ∠是锐角或OA 、OB 同向平行；②当a 0=⇔AOB ∠是直角；③当a 0<⇒AOB ∠是钝角或、异向平行．命题4．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于)(11y x A ，、)(22y x B ， 两点，与x 轴交于点)0(0，x D ．设＝λ，求λ的值． 解：由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又＝λ⇒=-)y (110，－x x λ)(202y x x ，-⇒=-10x x λ)(02x x -021)1(x x x λλ+=+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求1x 、2x ，代入③得λ． 命题5．设定直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于)(11y x A ，、)(22y x B ， 两点，与x 轴交于点D ．求||||AD BD 的值． 解：设)0(0，x D ，且设||||AD BD ＝λ⇒＝λ ⇒=-)y (110，－x x λ)(202y x x ，-⇒=-10x x λ)(02x x -021)1(x x x λλ+=+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求1x 、2x ，代入③得λ． 小结：①高考解析几何的主干考察内容是直线与圆锥曲线的位置关系．高三的第一轮系统复习，在梳理、整合知识时，做了大量的练习．由于课时紧迫，教师来不及小结运算“特征式”．新东方优能教育中学部数学组，协助科任教师提升复习效能，帮助学生形成直线与圆锥曲线相交于两点运算的“特征式”；②“基本特征式”：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； ③“向量特征式”⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ． 二、“基本特征式”的直接应用“直线与圆锥曲线相交于两点”问题的基本运算模式，表现为基本“特征式”的直接应用．是“直线与圆锥曲线相交于两点”问题中最简单形式．其运算途径模式化为： ①两设：设点的坐标与直线方程；②联立消元、一元二次方程、特征式； ③根据题目要求，充分运用特征式．1．弦长、面积例1．(08、湖北、文、理）已知双曲线C 的两个焦点为)02(1，-F ，)02(2，F ，点)73(，P 在曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过)20(，Q 的直线L 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若EOF ∆的面积为22，求直线L 的方程．2．垂直例2．设过点2(-Q ，)0的直线L 与椭圆：1422=+y x 交于不同的两点A 、B ．点N 在直线x ＝－174上，满足+=，且四边形AOBN 为矩形．求直线L 的方程． 例3．(09、山东、改编)已知椭圆E ：2214x y +=．求证：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OB OA ⊥，并求出该圆的方程；3．直线与圆锥曲线的局部相交于两点例4．(09、武汉四月)已知椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，且点)0,5(-A 、)0,5(B 在椭圆C 上．又)4,5(1-F ．（1）求焦点2F 的轨迹T 的方程；【（2）若直线L ：b kx y +=(0>k )与曲线T 交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围】4．直线过曲线的焦点例5．过点2(N ，)0的直线L 与曲线C ：)1(1322≥=-x y x 相交于两点P 、Q ．过P 、Q 分别作直线012=-x 的垂线，垂足分别为A 、B ．若2||||||AB QB PA =+，求直线L 的方程．小结：(1)直线与曲线相交于两点的运算程序是：两设→基本特征式→运用特征式；(2)基本“特征式”解决下列问题：弦长、面积、垂直、钝角与锐角的判定；(3)求解时注意下列问题：①通过焦点的直线，考虑第二定义，用以简化运算；②“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算模式，“先解答一个熟悉的子问题”，然后逐次展开；③直线与圆锥曲线的局部相交于两点，确定参数的范围所需要的不等式，是由“△＞0、1x ＋2x 、1x ·2x ”三个因素决定．三．“向量特征式”的运算模式直线L 与圆锥曲线F(x ，y)＝0相交于两点A 、B ，直线L 上的向量满足某种关系，是时尚的高考题型．“向量关系与线段长度比都是坐标关系”．其运算途径是“向量特征式”的基本运算模式．1．“向量关系转换为坐标关系”，运用“向量特征式”例6．过点)02(，E 的直线L 与双曲线)0(3322≥=-x y x 交于不同的两点M 、N ，且向量＝3，求直线L 的方程．2．“向量特征式”的直接运用例7．过点)40(，P 的直线L 与双曲线1322=-y x 交于不同的两点M 、N ，与x 轴交于点Q ．且＝1t ＝2t ，1t ＋2t ＝－732，求点Q 的坐标． 例8．(09、全国2、10)已知直线L ：)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C ：xy 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点．若FB FA 2=，则k ＝A ．31B ．32C ．32 D ．322 3．“线段长度比→向量关系→坐标关系”，运用“向量特征式”例9．(08、武汉市)设1x 、2x ∈R ，常数a ＞0，定义运算“*”：1x *2x ＝（1x ＋2x )2－（x 1－x 2)2．（1）若x ≥0，求动点P(x ，a x *)的轨迹方程；（2）设a ＝2，不过原点的直线L 与x 轴、y 轴的交点为T 、S ，与（1）中的轨迹C 交于两个不同的点P 、Q ，求||||||||SQ ST SP ST +的范围．本节内容小结：(1)直线与曲线相交于两点，直线上的向量关系、长度关系→点的坐标关系，然后运用向量“特征式”求解；(2)运算程序：两设→基本“特征式”＋ 向量“特征式”→运用向量“特征式”；(3)直线与双曲线的渐近线交于B A 、两点，求AOB ∠sin 的方法：12tan ＝渐k AOB ⨯∠→2sin AOB ∠→AOB ∠sin ； (4)点在曲线上，“代点整体消参”： 1x ＝101)1(t x t +,1y ＝－14t ；2x ＝202)1(t x t +，2y ＝－24t ．代入双曲线方程：2021)1(x t +－316＝21t ，2022)1(x t +－316＝22t ，两式相减并整理有：(1t ＋2t ＋2)(1t －2t )20x ＝(1t ＋2t )(1t －2t )⇒(1t ＋2t ＋2)20x ＝1t ＋2t ．(5)直线与抛物线相交于两点，求21y y ＝)(1m kx +)(2m kx +＝)1(2k +1x 2x ＋km (1x ＋2x )＋2b ，稍显麻烦．。
两直线相交的条件公式
两直线相交的条件公式
两直线相交的判定公式：ax+bx+c=0.在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。
两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。
若两个几何图形在某个地方有且只有有一个交点，则可以称为相切而不是相交。
如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。
直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
直线是轴对称图形。
它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。
在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。
在球面上，过两点可以做无数条类似直线。
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5．直线与圆锥曲线相交于两点的特征式教学定位：圆锥曲线也是高中数学内容的主干板块，考察以直线与曲线的位置关系为主流题型，力度强劲，以大题的方式呈现．讲为以“直线与圆锥曲线相交于两点的特征式”为切入点顺畅展开．教学内容：1．直线与曲线相交于两点“特征式”的生成过程，“特征式”的结构与解题功能；2．“基本特征式”的运算，解决下列题型：①求弦长；②求面积；③垂直运算；④简单的向量、长度形式．3．“向量特征式”的运算，解决下列题型：①直线上的向量关系；②直线上的线段长度关系转换为向量关系；4．“基本特征式”与“向量特征式”综合形式．教学目标1．整合学校学习成果，梳理知识内容，协助科任教师的教学模式，帮助学生提练形成直线与曲线相交于两点的“特征式”；2．熟练掌握“基本特征式”与“向量特征式”的的应用，建立规范的运算程序；3．当直线过曲线焦点时，提高运用第二定义的能力；4．“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算途径，选择最熟悉的、已经解决了的问题，优化数学解题思维：“首先解决一个熟悉的子问题”；【高考、模拟试题选编】一、直线与圆锥曲线相交于两点运算的特征式命题1．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )， B (2x ，2y )．求弦AB 的长．解:由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又2212212)()(||y y x x AB -+-=⇒--+-=])(1[)(22121221x x y y x x 2211||||k x x AB +-=＝)1(4222k a ac b +-＝||a ∆21k +．【=||AB 22111||k y y +-】 命题2．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )．点O 是坐标原点，求AOB ∆的面积．解：由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； OAB S ∆＝OAD S ∆＋OBD S ∆⇒OAB S ∆＝21·|1y －2y |·|OD| ＝21·2211||k x x +-·d ； 命题3．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )．点O 是坐标原点，若OA ·OB a =，求相关参数．解：)(11y x OA ，=，)(22y x OB ，=，则OA ·OB ＝1x 2x ＋1y 2y a =⇒ 1x 2x ＋)(1m kx +)(2m kx +a =⇒)1(2k +1x 2x ＋km (1x ＋2x )＋2b a =． ①当a 0>⇒AOB ∠是锐角或OA 、OB 同向平行；②当a 0=⇔AOB ∠是直角；③当a 0<⇒AOB ∠是钝角或、异向平行．命题4．设直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于)(11y x A ，、)(22y x B ， 两点，与x 轴交于点)0(0，x D ．设＝λ，求λ的值． 解：由⎩⎨⎧=+=0)(y x f m kx y ，⇒02=++c bx ax ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； 又＝λ⇒=-)y (110，－x x λ)(202y x x ，-⇒=-10x x λ)(02x x -021)1(x x x λλ+=+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求1x 、2x ，代入③得λ． 命题5．设定直线L ：m kx y +=与曲线C ：0)(=y x f ，相交于)(11y x A ，、)(22y x B ， 两点，与x 轴交于点D ．求||||AD BD 的值． 解：设)0(0，x D ，且设||||AD BD ＝λ⇒＝λ ⇒=-)y (110，－x x λ)(202y x x ，-⇒=-10x x λ)(02x x -021)1(x x x λλ+=+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ，由①与②求1x 、2x ，代入③得λ． 小结：①高考解析几何的主干考察内容是直线与圆锥曲线的位置关系．高三的第一轮系统复习，在梳理、整合知识时，做了大量的练习．由于课时紧迫，教师来不及小结运算“特征式”．新东方优能教育中学部数学组，协助科任教师提升复习效能，帮助学生形成直线与圆锥曲线相交于两点运算的“特征式”；②“基本特征式”：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+>-=∆a c x x a b x x ac b 2121204； ③“向量特征式”⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+a c x x a b x x x x x 2121021)1(λλ． 二、“基本特征式”的直接应用“直线与圆锥曲线相交于两点”问题的基本运算模式，表现为基本“特征式”的直接应用．是“直线与圆锥曲线相交于两点”问题中最简单形式．其运算途径模式化为： ①两设：设点的坐标与直线方程；②联立消元、一元二次方程、特征式； ③根据题目要求，充分运用特征式．1．弦长、面积例1．(08、湖北、文、理）已知双曲线C 的两个焦点为)02(1，-F ，)02(2，F ，点)73(，P 在曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过)20(，Q 的直线L 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若EOF ∆的面积为22，求直线L 的方程．2．垂直例2．设过点2(-Q ，)0的直线L 与椭圆：1422=+y x 交于不同的两点A 、B ．点N 在直线x ＝－174上，满足+=，且四边形AOBN 为矩形．求直线L 的方程． 例3．(09、山东、改编)已知椭圆E ：2214x y +=．求证：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OB OA ⊥，并求出该圆的方程；3．直线与圆锥曲线的局部相交于两点例4．(09、武汉四月)已知椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，且点)0,5(-A 、)0,5(B 在椭圆C 上．又)4,5(1-F ．（1）求焦点2F 的轨迹T 的方程；【（2）若直线L ：b kx y +=(0>k )与曲线T 交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围】4．直线过曲线的焦点例5．过点2(N ，)0的直线L 与曲线C ：)1(1322≥=-x y x 相交于两点P 、Q ．过P 、Q 分别作直线012=-x 的垂线，垂足分别为A 、B ．若2||||||AB QB PA =+，求直线L 的方程．小结：(1)直线与曲线相交于两点的运算程序是：两设→基本特征式→运用特征式；(2)基本“特征式”解决下列问题：弦长、面积、垂直、钝角与锐角的判定；(3)求解时注意下列问题：①通过焦点的直线，考虑第二定义，用以简化运算；②“设问语句干扰”型的题目，要坚持运算模式，“先解答一个熟悉的子问题”，然后逐次展开；③直线与圆锥曲线的局部相交于两点，确定参数的范围所需要的不等式，是由“△＞0、1x ＋2x 、1x ·2x ”三个因素决定．三．“向量特征式”的运算模式直线L 与圆锥曲线F(x ，y)＝0相交于两点A 、B ，直线L 上的向量满足某种关系，是时尚的高考题型．“向量关系与线段长度比都是坐标关系”．其运算途径是“向量特征式”的基本运算模式．1．“向量关系转换为坐标关系”，运用“向量特征式”例6．过点)02(，E 的直线L 与双曲线)0(3322≥=-x y x 交于不同的两点M 、N ，且向量＝3，求直线L 的方程．2．“向量特征式”的直接运用例7．过点)40(，P 的直线L 与双曲线1322=-y x 交于不同的两点M 、N ，与x 轴交于点Q ．且＝1t ＝2t ，1t ＋2t ＝－732，求点Q 的坐标． 例8．(09、全国2、10)已知直线L ：)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C ：xy 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点．若FB FA 2=，则k ＝A ．31B ．32C ．32 D ．322 3．“线段长度比→向量关系→坐标关系”，运用“向量特征式”例9．(08、武汉市)设1x 、2x ∈R ，常数a ＞0，定义运算“*”：1x *2x ＝（1x ＋2x )2－（x 1－x 2)2．（1）若x ≥0，求动点P(x ，a x *)的轨迹方程；（2）设a ＝2，不过原点的直线L 与x 轴、y 轴的交点为T 、S ，与（1）中的轨迹C 交于两个不同的点P 、Q ，求||||||||SQ ST SP ST +的范围．本节内容小结：(1)直线与曲线相交于两点，直线上的向量关系、长度关系→点的坐标关系，然后运用向量“特征式”求解；(2)运算程序：两设→基本“特征式”＋ 向量“特征式”→运用向量“特征式”；(3)直线与双曲线的渐近线交于B A 、两点，求AOB ∠sin 的方法：12tan ＝渐k AOB ⨯∠→2sin AOB ∠→AOB ∠sin ； (4)点在曲线上，“代点整体消参”： 1x ＝101)1(t x t +,1y ＝－14t ；2x ＝202)1(t x t +，2y ＝－24t ．代入双曲线方程：2021)1(x t +－316＝21t ，2022)1(x t +－316＝22t ，两式相减并整理有：(1t ＋2t ＋2)(1t －2t )20x ＝(1t ＋2t )(1t －2t )⇒(1t ＋2t ＋2)20x ＝1t ＋2t ．(5)直线与抛物线相交于两点，求21y y ＝)(1m kx +)(2m kx +＝)1(2k +1x 2x ＋km (1x ＋2x )＋2b ，稍显麻烦．。