厦门大学研究生入学统一考试数学(二)试题

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2001年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2001年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分l5分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分6分)
四、(本题满分7分)
五、(本题满分7分)
六、(本题满分7分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分9分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分6分)
其中E是3阶单位阵，求X．十二、(本题满分6分)
础解系
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
应选（C）。

4．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、。

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)

dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2

2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。

【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。

从而应选（C ）。

法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。

，从而应选（C ）。

2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。

通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。

【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。

2015年厦门大学研究生入学统一考试数学(二)试题(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是( )(A) 2dx +∞⎰ (B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D) 2x x dxe +∞⎰(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续(B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点(3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:()(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂依次是( )(A) 1,02(B) 10,2(C)1,02-(6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(7)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为：( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω(B),a d ∉Ω∈Ω(C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为：( )(A)2221232y y y -+(B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题纸．．指定位置上. (9)3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d ydx ==(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________(11)设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =__________(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =________。

2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学二)

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。

2005-2019历年研究生入学考试试题-数学(二)真题解析汇编

2005-2019历年研究生入学考试试题-数学（二）真题解析汇编目录考研数学历年真题——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (1)一、填空题. (3)二、选择题. (3)三、解答题. (5)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (8)一、填空题. (8)二、选择题 (8)三、解答题 (10)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (13)一、选择题. (13)二、填空题. (15)三、解答题. (15)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (18)一、选择题 (18)二、填空题 (20)三、解答题 (20)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (23)1一、选择题 (23)二、填空题. (25)三、解答题. (25)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (28)一、选择题 (28)二、填空题. (29)三、解答题 (30)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (32)一、选择题 (32)二、填空题 (33)三、解答题 (34)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (36)一、选择题. (36)二、填空题. (37)三、解答题. (38)2013年全国硕士研究生入学统一考试 (40)一、选择题 (40)二、填空题. (41)三、解答题 (42)22014年全国硕士研究生入学统一考试 (44)一、选择题. (44)二、填空题. (45)三、解答题. (46)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (48)一、选择题. (48)二、填空题. (50)三、解答题. (50)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (52)一、选择题 (52)二、填空题 (53)三、解答题. (54)2017年全国硕士研究生入学统一考试 (56)一、选择题 (56)二、填空题. (58)三、解答题. (58)2018年全国硕士研究生入学统一考试 (60)一、选择题. (60)二、填空题. (61)3三、解答题. (62)2019年全国硕士研究生入学统一考试 (64)一、选择题 (64)二、填空题 (65)三、解答题 (65)考研数学历年真题解析——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (71)一、填空题. (71)二、选择题 (73)三、解答题. (77)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (84)一、填空题. (84)二、选择题. (86)三、解答题 (90)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (98)一、选择题. (98)二、填空题. (103)三、解答题. (106)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (113)4一、选择题 (113)二、填空题 (115)三、解答题． (118)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (126)一、选择题. (126)二、填空题. (130)三、解答题. (132)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (140)一、选择题. (140)二、填空题 (144)三、解答题 (147)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (154)一、选择题 (154)二、填空题. (157)三、解答题 (159)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (167)一、选择题 (167)二、填空题. (170)三、解答题 (173)52013年全国硕士研究生入学统一考试 (181)一、选择题 (181)二、填空题. (184)三、解答题 (186)2014年全国硕士研究生入学统一考试 (191)一、选择题. (191)二、填空题. (194)三、解答题. (195)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (202)一、选择题. (202)二、填空题. (204)三、解答题 (205)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (214)一、选择题. (214)二、填空题 (216)三、解答题 (218)2017全国硕士研究生入学统一考试 (227)一、选择题 (227)二、填空题. (228)6三、解答题. (231)2018全国硕士研究生入学统一考试 (237)一、选择题. (237)二、填空题 (239)三、解答题 (242)2019全国硕士研究生入学统一考试 (251)一、选择题 (251)二、填空题 (253)三、解答题 (255)7考研数学历年真题——数学（二）欢迎使用高教考试在线电子教材32005年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上.1.设(1sin )xy x =+，则x dy π== .2.曲线32)y =的斜渐近线方程为 .3.10=⎰.4.微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =−的解为. 5.当0x →时，2()x kx α=与()x β=则k = .6.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果||1A =，那么||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内.7.设函数()n f x =()f x 在(,)−∞+∞内( )（A ）处处可导. （B ）恰有一个不可导点.（C ）恰有两个不可导点.（D ）至少有三个不可导点.4 8.设函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )（A ）()()F x f x ⇔是偶函数是奇函数.（B ）()()F x f x ⇔是奇函数是偶函数．（C ）()()F x f x ⇔是周期函数是周期函数.（D ）()()F x f x ⇔是单调函数是单调函数. 9.设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是( ) （A ）1ln 238+.（B ）1ln 238−+.（C ）8ln 23−+.（D ）8ln 23+. 10.设区域22{(,)|4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则D σ=( ) （A ）ab π.（B ）2ab π. （C ）()a b π+. （D ）()2a b π+.11.设函数(,)()()()x y x y u x y x y x y t dt ϕϕψ+−=++−+⎰，其中函数具ϕ有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 ( )（A ）2222u u x y∂∂=−∂∂. （B ）2222u u x y ∂∂=∂∂. （C ）222u u x y y∂∂=∂∂∂. （D ）222u u x y x ∂∂=∂∂∂.12.设函数11()1x x f x e−=−，则 ( )（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点. （B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点.（C ）0x =都是()f x 的第一类间断点，1x =都是()f x 的第二类间断点. （D ）0x =都是()f x 的第二类间断点，1x =都是()f x 的第一类间断点. 13.设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是 ( )（A ）10λ≠. （B ）20λ≠. （C ）10λ=.（D ）20λ=.14.设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，,A B **分别为,A B 的伴随矩阵，则( )（A ）交换A *的第1列与第2列得到B *. （B ）交换A *的第1行与第2行得到B *. （C ）交换A *的第1列与第2列得到B *−. （D ）交换A *的第1行与第2行得到B *−.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分11分)设函数()f x 连续，且(0)0f ≠，求极限0()()lim()xx x x t f t dtx f x t dt→−−⎰⎰.16.(本题满分12分) 如图，1C 和2C 分别是1(1)2x y e =+和x y e =的图像，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图像，过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记12,C C 与x l 所围成的面积为1()S x ；23,C C 与y l 所围成的图形的面积为2()S y .如果12()()S x S y =，求曲线3C 的方程()x y ϕ=. 17.(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰.18.(本题满分12分)用变量代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)0x y xy y '''−−+=，并求其满足01x y ==，02x y ='=的特解.19.(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：(Ⅰ)存在(0,1)ξ∈，使得(=1f ξξ−）；(Ⅱ)存在两个不同的点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=. 20.(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，并且(1,1)2f =，求(,)f x y 在椭圆域22{(,)|1}4y D x y x =+≤上的最大值和最小值.21.(本题满分9分) 计算二重积分22|1|Dxy d σ+−⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤．22.(本题满分9分)确定常数a ，使向量组1(1,1,)T a α=，2(1,,1)T a α=，3(,1,1)T a α=可由向量组1(1,1,)T a β=，2(2,,4)T a β=−，3(2,,)T a a β=−线性表出，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表出.23.(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB O =，求线性方程组0Ax =的通解．2006年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上. 1.曲线4sin 52cos x xy x x+=−的水平渐近线方程为.2.设函数231sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =.3.广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.4.微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .5.设函数()y y x =由方程1yy xe =−确定，则x dy dx==.6.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪−⎝⎭，E 为2阶单位阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内. 7.设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若0x ∆>，则( )（A ）0dy y <<∆. （B ）0y dy <∆<. （C ）.（D ）0dy y <∆<.0y dy ∆<<8.设函数()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是第一类间断点，则()xf t dt ⎰是( )（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数．（C ）在0x =间断的奇函数. （D ）在0x =间断的偶函数.9.设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于( )（A ）ln31−. （B ）ln31−−. （C ）ln 21−−.（D ）ln 21−.10.函数212x x x y C e C e xe −=++满足的一个微分方程是( )（A ）23xy y y xe '''−−=. （B ）23xy y y e '''−−=. （C ）23x y y y xe'''+−= （D ）23xy y y e '''+−=.11.设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰( )（A ）(,)xdx f x y d y（B ）(,)f x y d y .（C ）(,)ydy f x y dx . （D ）0(,)f x y dx .12.设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '=（B ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '≠ （C ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '= （D ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '≠. 13.设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( )（A ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （B ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. （C ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （D ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.14.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则( )（A ）1C P AP −=（B ）1C PAP−=（C ）T C P AP =.（D ）TC PAP =.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)试确定常数A B C 、、的值，使得.其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.16.(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰.17.(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. 23(1)1()xeBx Cx Ax o x ++=++18.(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,)n n x x n +==．（I ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 19.(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 20.(本题满分12分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，z f =且满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u '''+=；（Ⅱ）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式. 21.(本题满分12分)已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=−⎩．（I ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点(1,0)−引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22.(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=⎩，有3个线性无关解．（I ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =（Ⅱ）求,a b的值，及方程组的通解.23.(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)Tα=−−，2(0,1,1)Tα=−是线性方程组0Ax=的两个解．（I）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交变换Q和对角阵Λ，使得TQ AQ=Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )（A ）1xe− （B ）ln1x−.（C ）11x +−（D ）1cos x −.2.函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在[,]ππ−上的第一类间断点是x =( )（A ）0（B ）1．（C ）2π−. （D ）2π. 3.如图，连续函数()y f x =在区间[3,2]−−，[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2,0]−，[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()()xF x f t dt =⎰，则下列结论正确的是( )（A ）3(3)(2)4F F =−−.（B ）5(3)(2)4F F =. （C ）3(3)(2)4F F −= （D ）5(3)(2)4F F −=−−.4.设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误．．的是( )（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.（B ）若0()()lim x f x f x x→+−存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.（D ）若0()()lim x f x f x x →−−存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(1)xy e x=++的渐近线的条数为( )（A ）0.（B ）1．（C ）2.（D ）3.6.设()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，设()(1,2,,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( )（A ）若12u u >，则{}n u 必收敛. （B ）若12u u >，则{}n u 必发散. （C ）若12u u <，则{}n u 必收敛（D ）若12u u <，则{}n u 必发散.7.二元函数(,)f x y 在(0,0)点可微的一个充分条件是( )（A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →−=.（B ）0[(,0)(0,0)]lim0x f x f x →−=，0[(0,)(0,0)]lim 0y f y f y →−=.（C ）(,)lim0x y →=.（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''−=，0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''−=.8.设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（B ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ−⎰⎰.（C ）1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（D ）1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ−⎰⎰9.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关．．．．的是( )（A ）122331,,αααααα−−−. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）1223312,2,2αααααα−−−. （D ）1223312,2,2αααααα+++. 10.设矩阵211121112A −−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−⎝⎭，100010000B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B ( )（A ）合同且相似. （B ）合同但不相似.（C ）不合同但相似.（D ）既不合同也不相似.二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 11.30arctan sin limx x xx→−= .12.曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对于4t π=的点处的法线斜率为.13.设函数123y x =+，则()(0)n y = .14.二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''−+=的通解为y = . 15.设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z z xy x y∂∂−=∂∂ .16.设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分11分)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t tf t dt t dt t t−−=+⎰⎰，其中1f −是f 的反函数，求()f x .18.(本题满分10分) 设D是位于曲线2x ay −=(1,0)a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(Ⅰ)求区域D 绕x 轴旋转一所成旋转体的体积为()V a ； (Ⅱ)求a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 19.(本题满分11分)求满足微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.20.(本题满分10分)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe−−=确定.设(ln sin )z f y x =−，求x dzdx=，22x d z dx =21.(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶连续导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.22.(本题满分11分).设二元函数2 ,||||1(,)||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{(,)|||||2}D x y x y =+≤.23.(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=−有公共解，求a 的值及所有公共解．24.(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值11λ=，22λ=，32λ=−，且1(1,1,1)T α=−是A 的属于1λ 的一个特征向量.记534B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵.(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.设2()(1)(2)f x x x x =−−，则()f x '的零点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3．2.如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )（A ）曲边梯形ABOD 面积．（B ）梯形ABOD 面积．（C ）曲边三角形ACD 面积．（D ）三角形ACD 面积．3.在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意的常数)为通解的是( )（A ）440y y y y ''''''+−−=（B ）440y y y y ''''''+++=．（C ）440y y y y ''''''−−+=（D ）440y y y y ''''''−+−=．4.判定函数ln ||()sin |1|x f x x x =−，则()f x 间断点的情况 ( )（A ）有一个可去间断点，一个跳跃间断点．（B ）有一跳跃间断点，一个无穷间断点．（C ）有两个无穷间断点．（D ）有两个跳跃间断点．5.设函数()f x 在(,)−∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的( ) （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛．（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛．（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛．6.设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂()（A ）2()vf u （B ）()vf u ．（C ） 2()vf u u ．（D ）()vf u u． 7.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵若3A O =，则( )（A ）E A −不可逆，E A +不可逆．（B ）E A −不可逆，E A +可逆．（C ）E A −可逆，E A +可逆．（D ）E A −可逆，E A +不可逆．8.设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上与A 合同矩阵为 ( )（A ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭（B ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭．（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1221−⎛⎫⎪−⎝⎭．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →−=−，则(0)f = ．10.微分方程2()0xy x e dx xdy −+−=的通解是y = ．11.曲线sin()ln()xy y x x +−=在点(0,1)处的切线方程是．12.曲线23(5)y x x =−的拐点坐标为． 13.设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂．14.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ，若行列式|2|48A =−，则λ= ．三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分9分)求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx→−． 16.(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dt x −=⎧−=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．17.(本题满分9分)20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰计算21⎰．18.(本题满分11分) 计算，其中．19.(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式． 20.(本题满分11分)（I ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=−⎰；（II ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<． 21.(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 22.(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x xx x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤()f x [0,)+∞(0)1f =[0,)t ∈+∞0,x x t ==()y f x =x x ()f xb 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ． (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． 23.(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1−的特征向量，向量3α满足A ααα323=+，（I ）证明123,,ααα线性无关；（II ）令123(,,)P ααα=，求1P AP −．2009年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.函数3()sin x x f x xπ−=的可去间断点的个数为( )（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）无穷多个.2.当0x →时，()sin f x x ax =−与2()ln(1)g x x bx =−是等价无穷小则( ) （A ）1,1/6a b ==−. （B ）1,1/6a b ==. （C ）1,1/6a b =−=−.（D ）1,1/6a b =−=.3.设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) ( )（A ）不是(,)f x y 的连续点. （B ）不是(,)f x y 的极值点.（C ）是(,)f x y 的极大值点. （D ）是(,)f x y 的极小值点.4.设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)y xydx f x y dy dy f x y dx −+=⎰⎰⎰⎰( )（A ）2411(,)xdx f x y dy −⎰⎰.（B ）241(,)xxdx f x y dy −⎰⎰.（C ）2411(,)ydy f x y dx−⎰⎰（D ）221(,)ydy f x y dx ⎰⎰.5.若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内( )（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点.（C ）有极值点，有零点.（D ）无极值点，无零点.6.设函数()y f x =在区间[1,3]−上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰的图形为( )（A ）（B ）（C ）（D ）7.设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )（A ）**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 8.设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则T Q AQ 为 ( )（A ）210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.（B ）110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.25（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ （D ）100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.曲线21022ln(2)t u x e duy t t −−⎧=⎪⎨⎪=−⎩⎰在点(0,0)处的切线方程为.10.已知||1k x e dx +∞−∞=⎰，则k =. 11.1limsin x n e nxdx −→∞=⎰.12.设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx==.13.函数2xy x =在区间(0,1]上的最小值为.14.设,αβ为3维列向量,T β为β的转置.若矩阵Tβα相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则Tβα=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分9分)求极限40(1cos )[ln(1tan )]limsin x x x x x→−−+.16.(本题满分10分)计算不定积分ln(1(0)dx x +>⎰.2617.(本题满分10分)设(,,)z f x y x y xy =+−,其中f 具有二阶连续偏导数.求dz 与2zx y∂∂∂.18.(本题满分10分)设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''−+=.当曲线()y y x =过原点时,其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 19.(本题满分10) 计算二重积分()Dx y dxdy −⎰⎰,其中22{(,)|(1)(1)2,}D x y x y y x =−+−≤≥. 20.(本题满分12分)设()y y x =是区间(,)ππ−内过点(的光滑曲线.当0x π−<<时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.21.(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则存在(,)a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'−=−.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在(0,)(0)δδ>内可导,且0lim ()x f x A +→'=,则(0)f +'存在,且(0)f A +'=.22.(本题满分11分)设2711111111,10422A ξ−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对（I ）中的任意向量23,ξξ,证明123,,ξξξ线性无关. 23.(本题满分11分) 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++−+−.(Ⅰ)求二次型f 的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.282010年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数μλ,使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ−是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A ）21,21==μλ．（B ）21,21−=−=μλ．（C ）31,32==μλ．（D ）32,32==μλ． 3.设曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = ( )（A ）4e ．（B ）3e .（C ）2e .（D ）e .4.设m ，n 均是正整数，则反常积分0⎰的收敛性 ( )（A ）仅与m 的取值有关．（B ）仅与n 的取值有关.（C ）与,m n 的取值有关. （D ）与,m n 的取值无关.5.设函数(,)z z x y =是由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且 20F '≠，则z z xy x y∂∂+=∂∂ ( )（A ）x（B ）z（C ）x− （D ）z −()f x =296.2211lim()()n nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( )（A ）1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰．（B ）1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰．（C ）1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．7.设向量组Ⅰ：12,,,r ααα可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示.则下列命题正确的是( )（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s > （C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s > 8.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于( )（A ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111（B ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−0111（C ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−0111（D ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−0111二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''−+−=的通解为y =.10.曲线3221x y x =+的渐近线方程为.11.函数ln(12)y x =−在0x =处的n 阶导数()(0)n y =.3012.当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为.13.已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽ω以3/cm s 的速率增加．则当12l cm =，5cm ω=时，他的对角线的增加速率为.14.设,A B 为3阶矩阵，且||3A =，||2B =，1||2A B −+=，则1||A B −+=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分10分) 求函数2221()()x t f x x t e dt −=−⎰的单调区间与极值．16.(本题满分10分) (Ⅰ)比较[]⎰⎰⋯=+11),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n与的大小，说明理由；(Ⅱ)记[]⎰⋯=+=1),2,1()1ln(ln n dt t t u nn ,求极限lim n n u →∞.17.(本题满分11分)设函数由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(1)t >−所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ. 18.(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆． 32b 时现将贮油罐平放，当油罐中油的高度为(如图)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ)3119.(本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.确定,a b 的值，使等式在变换x ay ξ=+，x by η=+下简化为20uξη∂=∂∂． 20.(本题满分10分)计算2sin DI r θ=⎰⎰，其中(,)|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭． 21.(本题满分10分)设函数()f x 闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，1(1)3f =．证明：存在1(0,)2ξ∈，1(,1)2η∈，使得22()()f f ξηξη''+=+． 22.(本题满分11分)设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a ；(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解． 23.(本题满分11分)设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵．若Q 的第2,1)T ，求,a Q ．322011年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =−与kcx 是等价无穷小( ) （A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==− （C ）3,4k c == （D ）3,4k c ==−．2.()0(0)0,f x x f ==已知在处可导，且则，2330()2()lim x x f x f x x→−=( ) （A ）)0(2f '− （B ）)0(f '− （C ）)0(f '（D ）03.函数)3)(2)(1(ln )(−−−=x x x x f 的驻点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34.微分方程2(0)xx y y e e λλλλ−''−=+>的特解形式为( )（A ）（B ）（C ）（D ）5.设函数)(x f ，()g x 均具有二阶连续导数，且满足(0)0f >，(0)0g <，且(0)(0)0f g ''==.则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )（A ）(0)0(0)0f ''''<>,g （B ）(0)0(0)0f ''''<<,g ．（C ）(0)0(0)0f ''''>>,g （D ）(0)0(0)0f ''''><,g ．)(x xe ea λλ−+()xx ax e e λλ−+()xx x aebe λλ−+2()x x xae be λλ−+336.设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是 ( )（A ）I J K<<（B ）I K J<<（C ）J I K<<（D ）K J I<<7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12PP （B ）112P P − （C ）21P P （D ）121P P −．8.设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为 ( )（A ）13,αα （B ）12αα,（C ）123ααα,, （D ）234ααα,,．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.=+→x x x 10)221(lim ___________. 10.微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解y =___________.11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s =____________.12.设函数,0(),00,0x e x f x x λλλ−⎧>=>⎨≤⎩，则=⎰+∞∞−dx x xf )(____________.13.设平面区域D 由y x =，圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分__Dxyd σ=⎰⎰．3414.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为___.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围.16.（本题满分11分）设函数()y y x =有参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.17.（本题满分9分）设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =,求211x y zx y==∂∂∂．18.（本题满分10分）设函数()y y x =具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α是曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若dxdydx d =α，求()y x 的表达式. 19.（本题满分10分）（Ⅰ）证明：对任意正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+；（Ⅱ）设111ln (1,2,)2n a n n n=++⋯+−=⋯,证明数列}{n a 收敛. 20.（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（Ⅰ）求容器的容积.（Ⅱ）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2/s gm ；水的密度为33/10m kg ）．21.（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰.22.（本题满分11分）设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1Tα=，()31,3,5Tα=不能由向量组()11,1,1T β=，()21,2,3T β=，()33,4,Ta β=线性表示．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）设矩阵A 为三阶实对称矩阵，且()2R A =，111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(Ⅰ)求A 的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A .2012年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.曲线221x x y x +=−渐近线的条数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =−−−，其中n 为正整数，则(0)f '=( )（A ）1(1)(1)!n n −−− （B ）(1)(1)!n n −− （C ）1(1)!n n −− （D ）(1)!n n −3.设0n a >(1)n =，2，，12n n S a a a =+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件（B ）充分非必要条件. （C ）必要非充分条件（D ）即非充分又非必要条件.4.设2sin (1,2,3)k xk I e xdx k π==⎰，则有( )（A ）123I I I <<（B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<5.设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>.（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <>6.设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dxy dxdy −=⎰⎰( ) （A ）π（B ）2（C ）2− （D ）π−7.设1234123400110,1,1,1c c c c αααα−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量线性相关的为( )（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα.8.设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP −⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ −=( )（A ）100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数，则22x d ydx==.10.22222111lim ()12n n n nn n→∞+++=+++ .11.设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y∂∂+=∂∂ .12.微分方程2(3)0ydx x y dy +−=满足条件1|1x y ==的解为y = .13.曲线2(0)y x x x =+<上的曲率为2的点的坐标是 .14.设A 为3阶矩阵，||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则||BA *=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数11()sin x f x x x+=−，记0lim ()x a f x →=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若当0x →时，()f x a −与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.16.（本题满分10分）求函数222(,)x y f x y xe+−=的极值．17.（本题满分12分）过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 18.（本题满分10分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.19.（本题满分10分）若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+−=及()()2xf x f x e ''+=，（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =−⎰的拐点．20.（本题满分10分）证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+−<<−．21.（本题满分10分）（Ⅰ）证明方程11n n x x x −+++=（n 为大于1的整数）在区间1(,1)2内有且仅有一个实根；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限．22.（本题满分11分）设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）计算||A ；（Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.23.（本题满分11分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求正交变换x Qy =将二次型f 化成标准形.2013年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.设cos 1sin ()x x x α−=,其中()2x πα<,则当0x →时,()x α是 ( )（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小. （C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等阶的无穷小.2.设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +−=确定,则2lim 1n n f n →∞⎡⎤⎛⎫−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）（A ）2（B ）1（C ）1− （D ）2−.3.设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩,0()()x F x f t dt =⎰,则( )（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点.（B ）x π=是函数()F x 的可去间断点. （C ）()F x 在x π=处连续但不可导. （D ）()F x 在x π=处可导.4.设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪=⎨⎪≥⎪⎩,若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛,则( )（A ）2α<−（B ）（C ）（D ）2α>20α−<<02α<<。

2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析

x
kx
x1x
lim
x
1
x
x
1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及详解

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及详解试题部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．（2）位于曲线xxey -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．详解部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，有)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记1n u n =11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,42- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=-，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即104x y +-=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤+ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-= 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=---有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f hλλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

2001-数二真题、标准答案及解析

(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4. 【】
【答】应选(B).
【详解] 由题设,知
( ) (1− cos x) ln 1+ x2
lim
x→0
x sin xn
= lim x→0
1 x2 ⋅ x2 2
x ⋅ xn
=
1 lim
2 x→0
1 xn−3
=
1 lim x3−n 2 x→0
= 0.
n应满足 n ≤ 2;
求 f (x).
【详解】等式两边对 x 求导得
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ f ' ( x) = 2xex + x2ex
而
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = x,
故
xf ' ( x) = 2xex + x2ex .
当 x ≠ 0 时，有
f ' ( x) = 2ex + xex
积分得
f ( x) = ( x +1) ex + C
抛物线上介于点
A(1,1) 与
M
之间的弧长，计算 3ρ
d2ρ ds2
−
⎛ ⎜⎝
dρ ds
⎞2 ⎟⎠
的值.（在直角坐标系下曲
y ''
率公式为 K =
）
3
( ) 1+ y'2 2
【详解】 y' = 1 , y'' = − 1 ,
2x
4 x3
抛物线在点 M ( x, y)( x ≥ 1) 处三维曲率半径
3
【】
于是
f ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = 1,
{ } 从而 f f ⎡⎣( x)⎤⎦ = 1.

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1、21lim________2x x x →=+-．【分析】考查未定式极限。

可以分子有理化，也可用罗比达法则。

【详解】法一：2112x x x x →→=+-6x →==法二：116x x →→==-。

2、设函数()y f x =由方程曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为________．【分析】考查导数几何意义的使用及隐函数求导数。

【详解】方程两端微分得：2(2)sin()()0x y e dx dy xy ydx xdy ++++=。

将(0,1)P 代入上式得：(2)0P e dx dy +=，所以2P dydx=-，即法线斜率为12k =从而法线方程：112y x -=。

3、32222(sin )cos _______x x xdx ππ-+=⎰．【分析】考查对称区间上定积分的计算。

对对称区间上的定积分一般都可利用积分性质化简计算。

【详解】3222232222222(sin )cos sin cos cos x x xdx x xdx x xdx ππππππ---+=+⎰⎰⎰22222202sin cos 2sin (1sin )x xdx x x dx ππ==-⎰⎰1132()πππ⋅=⋅-⋅=4、过点1(,0)2且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为________．【分析】考查一阶微分方程求特解。

【详解】方程11arcsin 2=-+'xy x y 是一阶线性微分方程，用通解公式可得其通解为1()arcsin y e e dx C x-=+⎰1()arcsin x C x=+又因为1()0y =，所以1C =-，从而曲线方程为1arcsin y x x =-。

厦门大学研究生入学统一考试数学(二)试题#

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( )(A) 2+∞⎰ (B) 2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰ (D) 2x x dx e +∞⎰(2) 函数()20sin lim(1)xt t t f x x →=+在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续(B) 有可去间断点(C)有跳跃间断点(D) 有无穷间断点(3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:() (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ->(D)02αβ<-≤(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v fu ==∂∂与11u v f v ==∂∂依次是( ) (A)1,02(B) 10,2(C)1,02-(6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰ (B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(7)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为：( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω(B),a d ∉Ω∈Ω(C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为：( )(A)2221232y y y -+(B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d y dx ==(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________(11)设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =__________(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =________。

厦大考研真题数学答案解析

厦大考研真题数学答案解析厦门大学考研数学真题是考生备战考研的重要资料之一，对于考生来说，解析真题答案是备考的一项必要工作。

下面将对厦大考研数学真题答案进行详细解析，帮助考生更好地理解题目和解题思路。

第一道题目是数列求和问题。

题目给出了一个等差数列的前n项和公式，要求根据已知信息计算数列的前n项和。

在解题过程中，首先需要理解等差数列的定义和性质，然后利用已知公式进行计算即可。

通过计算，可以得出数列的前n项和的表达式。

这道题目考察了考生对数列求和的掌握程度，同时也考察了考生的逻辑思维能力。

第二道题目是函数求极值问题。

题目给出了一个函数的表达式，要求求出函数的极值点及其对应的极值。

在解题过程中，需要对函数的导数进行求解，并找出其导函数的零点，即为函数的极值点。

通过计算和分析，可以得出函数的极值点及其对应的极值。

这道题目考察了考生对函数求导的掌握程度，同时也考察了考生的分析和计算能力。

第三道题目是概率统计问题。

题目给出了一个样本的数据及其对应的概率分布情况，要求计算样本的均值和方差。

在解题过程中，需要根据已知数据和概率分布情况，利用概率统计的知识进行计算。

通过计算和分析，可以得出样本的均值和方差。

这道题目考察了考生对概率统计的掌握程度，同时也考察了考生的数据分析和计算能力。

第四道题目是微积分问题。

题目给出了一个函数的表达式及其对应的区间，要求计算函数在给定区间上的积分值。

在解题过程中，需要首先对函数进行简化和转化，然后利用定积分的性质进行计算。

通过计算和分析，可以得出函数在给定区间上的积分值。

这道题目考察了考生对微积分的掌握程度，同时也考察了考生的计算和分析能力。

最后一道题目是线性代数问题。

题目给出了一个线性方程组及其对应的矩阵表达式，要求求解线性方程组的解。

在解题过程中，需要对矩阵进行运算和变换，然后利用高斯消元法进行求解。

通过计算和分析，可以得出线性方程组的解。

这道题目考察了考生对线性代数的掌握程度，同时也考察了考生的运算和变换能力。

2023考研数学二真题及解析答案

2023考研数学二真题及解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（）. （A ）e y x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex x x →∞=− 故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ）方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（）（A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小（D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +<利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ）【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（）（A ）()f x 连续，(0)f ′不存在（B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续（C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续【答案】（C ）【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−，利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在，选（C ）【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++− =+− ()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k−（D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试卷版一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．（1）函数()()()112x x f x x --=的第一类间断点的个数（）.（A）3（B）2（C）1（D）0（2）函数()y f x =由参数方程231et x ty ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x f f x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）.（A ）2e（B ）4e 3（C ）2e 3（D ）e 3（3）设函数sin 30()sin xf x t dt =⎰，0()()xg x f t dt =⎰，则（）.（A）()f x 为奇函数，()g x 为奇函数（B）()f x 为奇函数，()g x 为偶函数（C）()f x 为偶函数，()g x 为偶函数（D）()f x 为偶函数，()g x 为奇函数（4）已知数列{}(0)n n a a ≠，若{}n a 发散，则（A）1{}n na a +发散（B）1{}n na a -发散（C）1{e }e n naa +发散（D）1{e }e n naa -发散（5）设已知函数221()sin ,0(,)0,0.x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则函数(,)f x y 在(0,0)处（A ）(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.（B ）(,)f x y x∂∂连续，(,)f x y 不可微.（C ）(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 可微.（D ）(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.（6）设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰（）.（A ）1arcsin 126d (,)d yy f x y x π⎰⎰（B ）121arcsin 2d (,)d yy f x y x π⎰⎰（C ）1arcsin 206d (,)d yy f x y xπ⎰⎰（D ）122arcsin d (,)d yy f x y xπ⎰⎰（7）设非负函数()f x 在[)0+∞，连续，给出以下三个命题：1.若20()f x dx +∞⎰收敛，则0()f x dx +∞⎰收敛2.若存在1p >，使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()f x dx +∞⎰收敛3.若()f x dx +∞⎰收敛，则存在1p >，使得lim ()p x x f x →+∞存在其中真命题的个数为（）.（A）0（B）1（C）2（D）3（8）设A 为三阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P =，若2200020T a c c b c c +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP =，则A =（）.（A ）000000c a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（B ）000000b c a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（C ）000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（D ）000000c b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（9）A 为4阶矩阵,若*A(A A )=0-,且*A A≠，则r(A)可能为（A ）0或1（B ）1或3（C ）2或3（D ）1或2（10）设、A B 为2阶矩阵，且AB =BA ，则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的（）.（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．（11）曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为（12）设()324f ,2961224x y x x y x y =--++的极值点是（13）已知微分方程21'()y x y =+，满足(1)0y =的解为（14）函数2()(e 1)x f x x =+，求(5)()f x =（15）某物体以速度t k t t v πsin )(+=作直线运动，若它从0=t 到3=t 的时间段内平均速度为25，则=k （16）设1111a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，211b a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3111aα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，若1α，2α，3α线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本题满分10分）已知函设平面有界区域D 位于第一象限,由曲线1,33xy xy ==与直线1,33y x y x ==围成的平面区域，计算(1)d d Dx y x y +-⎰⎰（18）（本题满分12分）已知()y x 满足2'''90x y xy y +-=，满足(1)2,'(1)6y y ==.（1）利用变换e t x =将上述方程化为常系数线性方程，并求()y x ；（2）计算21(y x x ⎰.（19）（本题满分12分）设0t >,平面有界区域D由曲线,,2x y x t x t -===及x 轴围成,D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为()V t ,求()V t 的最大值.（20）（本题满分12分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(2,3)g x y f x y x y =+-满足2222261g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂.（1）求2f u v∂∂∂；（2）若2(,0)1e ,(0,)150u f u u f v v u -∂==-∂，求(,)f u v 的表达式.（21）（本题满分12分）设函数()f x 具有2阶导数,且(0)(1),() 1.f f f x ''''= 证明:（1）当(0,1)x ∈时,(1)()(0)(1)(1)2x x f x f x f x ----;（2）1(0)(1)1()d .212f f f x x +-⎰（22）（本题满分12分）已知1100,11,01012a A B Ax b ⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭的解均为0TB x =的解，但0Ax =与0T B x =不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换,x Qy =使123(,,)Tf x x x x BAx =为标准形.。

2001年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2001年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(此题共5小题，每题3分．总分值l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值l5分．每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(此题总分值6分)
四、(此题总分值7分)
五、(此题总分值7分)
六、(此题总分值7分)
七、(此题总分值7分)
八、(此题总分值9分)
九、(此题总分值7分)
十、(此题总分值8分)
十一、(此题总分值6分)
其中E是3阶单位阵，求X．十二、(此题总分值6分)
础解系
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
应选〔C〕。

4．
5．
三、四、五、六、
七、八、
九、十、
十一、
十二、。

2022年厦门大学研究生入学考试历年真题及答案

厦门大学硕士入学考试历年真题及答案点击蓝色字体查看原文温馨提醒：内容较多，(Ctrl+H)搜索所需内容厦门大学701语言文学基础全套资料本专业课考试科目旳全套资料重要包括：1．历年考研真题及详解（即考研拥有旳本专业课考试科目旳所有考研真题，部分也许由于官方未公布而无法获得，不过我们在不停更新，如有会第一时间补发给学员）；2．本科生、硕士课堂笔记；3．本科生、硕士课堂作业；4．教师讲课讲义及课件；5．期中期末考试试题；6．指定教材（参照教材）配套资料（课后习题答案、模拟试题等）。

厦门大学802文学理论与文学评论写作全套资料本专业课考试科目旳全套资料重要包括：1．历年考研真题及详解（即考研拥有旳本专业课考试科目旳所有考研真题，部分也许由于官方未公布而无法获得，不过我们在不停更新，如有会第一时间补发给学员）；2．本科生、硕士课堂笔记；3．本科生、硕士课堂作业；4．教师讲课讲义及课件；5．期中期末考试试题；6．指定教材（参照教材）配套资料（课后习题答案、模拟试题等）。

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2023年全国硕士研究生考试数学二真题及解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1ln()1y x e x =+-的斜渐近线为（）.A ．y x e =+B ．1y x e =+C ．y x =D ．1y x e=-【答案】B解析：1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢--⎣⎦所以斜渐近线方程为1y x e=+．2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩【答案】D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→+20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件。

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20１５年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题
一、选择题:１－8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)下列反常积分收敛的是( )
(A ）
2
+∞
⎰
(B)
2
ln x dx x +∞
⎰
（Ｃ)
2
1
ln dx x x +∞
⎰
(D)
2
x x dx e +∞
⎰
(2) 函数()2
sin lim(1)x t
t t f x x →=+在(,)-∞+∞内( ） (A) 连续
(B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
(3) 设函数()1cos ,00,0
x x x f x x α
β⎧>⎪=⎨⎪
≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:（) (A)0αβ-> (Ｂ）01αβ<-≤ (C)2αβ->(Ｄ)02αβ<-≤
(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线
()
=y f x 的拐点的个数为
（ )
(A) 0 (Ｂ) 1 (C ） 2 (D ）３
(5）设函数(),f u v 满足2
2
,y f x y x y x ⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭，则
11
u v f
u ==∂∂与11
u v f
v
==∂∂依次是( )
(Ａ） 1,02 (B) 10,2
(C)1,02
-
（6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域，
函数(),f x y 在D 上连续,则
(),D
f x y dxdy =⎰⎰ （）
（Ａ)
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（B)
()sin 23
14
2sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπ
θ
θθθ⎰
⎰
(C ）()13
sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr
π
θπ
θ
θθθ⎰
⎰
（Ｄ)
(
)34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ⎰
(7)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
b ．若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无
穷多解的充分必要条件为：（）
(A) ,a d ∉Ω∉Ω(Ｂ),a d ∉Ω∈Ω (Ｃ),a d ∈Ω∉Ω(Ｄ） ,a d ∈Ω∈Ω
(8）设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为222
123
2y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形
为:( )
（A)2221232y y y -+（B) 222
1232y y y +- (C)222123
2y y y --（Ｄ) 2221232y y y ++
二、填空题：９
1４小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9） 3
arctan 3x t y t t
=⎧⎨=+⎩则21
2
t d y
dx ==
(１0)函数2
()2x
f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n
f =＿＿＿______
(1１)设()f x 连续,()()2
x x x f t dt ϕ=⎰
，若()()11,15ϕϕ'==,则()1f =
______＿___
(12)设函数()y y x =是微分方程''
'
20y y y +-=的解，且在0x =处()
y x 取得极值3,则
()y x =________。

(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y z
e xyz +++=确定，则()0,0dz =________。

(14)若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵,则行列式B =．_＿＿_____.
三、解答题：１5~２3小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(1５)（本题满分10分)
设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3
()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,
求,,a b k 的值.
(16） (本题满分10分)
设A ＞0，D 是由曲线段sin (0)2
y A x x π
=≤≤
及直线0y =,2
x π
=
所围成的平面区域,1V ，2V 分
别表示Ｄ绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积,若12V V =，求A 的值。

(17)（本题满分1１分)
已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+,'(,0)(1)x
x f x x e =+，2
(0,)2f y y y =+，求
(,)f x y 的极值。

（１8)(本题满分10分) 计算二重积分()D
x x y dxdy +⎰⎰
，其中{}222
(,)2,D x y x y y x =+≤≥
(１9)(本题满分 1１分）
已知函数()11X
f x =+⎰
⎰，求()f x 零点的个数？
(20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却,30min 后该物体降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间?
(22)（本题满分11分)
设矩阵
10
11
01
a
A a
a
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
⎝⎭
且3
A O
=．
(1)求a的值；
(2)若矩阵X满足22
X XA AX AXA E
--+=，E为3阶单位阵,求X.
(２３）（本题满分1１分)
设矩阵
023
133
12
A
a
-
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪
-
⎝⎭
相似于矩阵
120
00
031
B b
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
.
（１)求,a b的值;
（2）求可逆矩阵P,使1
P AP
-为对角阵.。