第三章矩阵秩与线性方程组

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线代第三章矩阵的秩

线代第三章矩阵的秩
设一般线性方程组为
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1

a12 x2 a22 x2 am 2 x2

a1n xn a2 n xn amn xn

b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3:解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解: ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组(1)的导出组, 或称为(1)对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤:
2 x1 例2:解线性方程组 4 x 1 2 x 1

x2 x2

3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解: A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1

矩阵的秩

矩阵的秩

k 2 个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式,称为矩阵A 的一个k阶子式。
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是:矩阵A中有一个 r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式全为零。
注意:要说明矩阵A的秩为r,必须找到一个r阶子式不为 零;而所有的r+1阶子式全为零。
第三章 线性方程组
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是:矩阵A中有一个 r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式全为零。 证明:充分性。设在矩阵A中有一个r阶子式不为零,而所 有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角,即 a11 a12 a1r a21 a22 a2 r ≠ 0 。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线
a11 a21 A= a n1 0 a12 a22 − a21 a11 a an 2 − 12 an1 a11 0 a1n a2 n − a21 a11 a ann − 1n an1 a11
=
a11 a21 a n1
0 ′ a22 ′ an 2
0 ′ a2 n ′ ann
其中
′ (0, a2 i ,
rank ( A), r ( A), R( A) 注1、 若 A = 0, 则 R( A) = 0 。 , 则 R( A) ≤ min( m , n) 。 2、 设 A = ( aij ) m× n
3、若 R( A) = m , 则称A为行満秩的矩阵; 4、若
R( A) = n , 则称A为列満秩的矩阵。
第三章 线性方程组
必要性。设矩阵A的秩为r,即矩阵A中行向量组的秩为r。 而任意r+1个行向量必线性相关,线性相关向量组的“缩短”向 下证A中 量组也线性相关,故矩阵A的任意r+1阶子式全为零。 至少有一个r阶子式不为零。 设这r个线性无关的向量正是A的前 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 r个行向量,把这r个向量取出得矩阵:A1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ arn ⎠ ⎝ ar 1 ar 2 矩阵 A1 的行秩为r,其列秩也为r, 不妨设前r列线性无关,于

基础公共课复习资料-线性代数知识点汇总

基础公共课复习资料-线性代数知识点汇总

第一章 矩阵矩阵的概念:n m A *(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算:加法(同型矩阵)---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==(一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0) 转置:A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂:2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵:设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律:1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB ,但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B A 。

A 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆,则11--=A A逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵:加法,数乘,乘法都类似普通矩阵转置:每块转置并且每个子块也要转置注:把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换:1、交换两行(列)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另一行(列) 初等变换不改变矩阵的可逆性,初等矩阵都可逆 初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。

线性方程组的解法与矩阵的秩

线性方程组的解法与矩阵的秩

线性方程组的解法与矩阵的秩线性方程组是数学中常见的问题,研究线性方程组的解法有助于我们理解和解决复杂的线性关系。

而矩阵的秩是评估矩阵性质与解决方程组的重要指标之一。

本文将介绍线性方程组的几种解法,并深入探讨矩阵的秩对于解方程组的作用。

一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的传统方法之一。

通过初等行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式,再倒推得到未知数的特定解。

根据高斯消元法的步骤,我们可以将线性方程组的解逐步求得。

二、矩阵的秩在讨论矩阵的秩之前,先介绍一下矩阵的概念。

矩阵是由数按照一定规则排列组成的矩形阵列。

在矩阵中,行和列是基本的组成单位。

而矩阵的秩是指线性无关的行(列)的最大数目。

矩阵的秩与线性方程组之间有重要的联系。

当我们将线性方程组写成矩阵形式Ax=b时,如果矩阵A的秩与方程组的未知数个数相等,那么该方程组有唯一解。

当矩阵A的秩小于未知数个数,方程组无解;当矩阵A的秩等于未知数个数,方程组有无穷多个解。

三、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指通过三种基本操作改变矩阵的行,从而得到一个新的矩阵的过程。

这三种基本操作分别是:交换两行,其中一行乘以一个非零数后加到另一行,以及一行乘以一个非零数。

通过这些基本操作,我们可以将矩阵转化为行阶梯形式,便于求解线性方程组。

四、矩阵的秩与线性无关矩阵的秩与线性无关性质有密切关系。

对于一个矩阵,其行(列)向量组中的各向量之间的线性关系与矩阵的秩有直接联系。

当矩阵的秩等于向量个数时,它们是线性无关的;当矩阵的秩小于向量个数时,它们是线性相关的。

通过判断矩阵的秩,我们可以得知向量组的线性关系。

五、矩阵的秩与解方程组矩阵的秩在解决线性方程组时发挥重要作用。

当矩阵A的秩等于未知数个数时,方程组有唯一解。

我们可以利用高斯消元法或矩阵的求逆等方法求解。

当矩阵A的秩小于未知数个数时,方程组无解。

这时我们可以通过矩阵的列空间和行空间来分析方程组的性质。

当矩阵A的秩小于列数,并且行空间中包含自由变量时,方程组有无穷多个解。

线性代数第三章

线性代数第三章

Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )

k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )

R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么?还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上

线性方程组与矩阵的秩

线性方程组与矩阵的秩

线性方程组与矩阵的秩线性方程组是数学领域中的一个重要概念,与之密切相关的是矩阵的秩。

本文将介绍线性方程组和矩阵的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。

一、线性方程组的定义及性质线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组,一般表示为:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中,aᵢₙ为系数,xₙ为未知数,bᵢ为常数,m为方程组的数量,n为未知数的数量。

线性方程组的性质包括可解性和解的唯一性。

对于一个线性方程组,当其中的方程数量与未知数数量相等,并且方程组的系数矩阵满秩时,方程组可解且解唯一;当方程数量大于未知数数量时,方程组可能无解;当方程数量小于未知数数量时,方程组可能有无穷多解。

二、矩阵的定义及性质矩阵是一个按照行和列排列的数表,用来表示线性方程组的系数。

一个m×n的矩阵A可表示为:A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙa₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ]矩阵的基本性质包括矩阵的加法、数乘和乘法运算。

两个矩阵的加法定义为矩阵对应元素相加,数乘定义为矩阵的每个元素乘以一个常数。

矩阵的乘法定义为矩阵的行与列的线性组合。

矩阵的秩是矩阵的一个重要概念,表示矩阵中非零行的最大线性无关组的元素个数。

通常用r(A)表示矩阵A的秩。

矩阵的秩具有以下性质:1. r(A) ≤ min(m, n),即矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数的最小值。

2. 当r(A) = m时,矩阵的列向量线性无关,矩阵的列满秩;当r(A) = n时,矩阵的行向量线性无关,矩阵的行满秩。

3. 矩阵的秩与其行列式的性质相关,当矩阵满秩时,其行列式不为0,反之亦然。

三、线性方程组与矩阵的关系及应用线性方程组可用矩阵的形式表示,设A为系数矩阵,x为未知数向量,b为常数向量,则线性方程组可以表示为Ax = b。

线性方程组与矩阵秩的若干问题

线性方程组与矩阵秩的若干问题

引理4 对任意 ( AB)、( BC ),有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中,对任意 ( AB) 、
( BC ),有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式:
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式:
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题:
在这两个不等式中等号成立的条件是什么?
即以下等式成立的条件分别是什么?
这样, L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0

线性代数课件第三章矩阵的秩

线性代数课件第三章矩阵的秩

线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人:PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义:矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法:通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵,然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义:所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质:矩阵的秩与行数和列数有关,且不超过行数和列数中的最小值
应用:矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用

第三章 矩阵的相抵变换和秩 线性方程组

第三章 矩阵的相抵变换和秩 线性方程组
1

第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法
1 1 1+ 0 3 0 0 (3+ ) (1)(3+ )
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解; (2) 当 = 0时, 方程组无解; (3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
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第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法 一. 基本概念 含有n个未知量, m个方程的线性方程组的 一般形式如下 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 (3.1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm (非)齐次线性方程组, 解, 相容
1 1 1+ 1 1 2 3 1 0 3 0 3 3 6 ( ) = 3 0 0 0 0 0 0 (3+ ) (1)(3+ )
1 1 0 1 0 0
2 3 1 2 (1) 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 2 0 0
定理3.9

第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法
三. 矩阵的初等变换
2 3 4 4 1 2 1 3 2 2 6 2 1/2
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 1 2 1 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 2 3 4 4 x1 + x23x3 = 1 1 1 3 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 增 轻 初广 0 1 2 2 等矩 装 变阵 上 1 2 1 3 换的 阵 0 1 2 2 0 0 0 0 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 1 x22x3 = 2 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0

3.3矩阵的秩与方程组的解

3.3矩阵的秩与方程组的解

1 1 2 8 02 1 1
有唯一解 0 0 1 5 R(A|b) =R(A)=n
12112
有无数解 0 0 1 4 3
00000
R(A|b) =R(A)<n
(一)线性方程组 Amn X b 解的情况,可以归纳为
(1)R (A )R (A|b) ,方程组无解 (2)R (A )R (A |b ) r n ,方程组有唯一解 (3)R (A )R (A |b ) r n ,方程组有无穷多解
x3 x4 4x4
3
x5 1 x5 a
x2 x3 3 x4 2 x5 1
(1) 无解(2)有解,并求出解

1 1 1 2
1 0
1 4
1 3
1 a
r1 r2
1 0
1
1
1
1
11
32
1 a 1
0 1 1 3 2 1
0 1 1 3 2 1
3.3(2) 矩阵秩与线性方程组的解
行阶梯形线性方程组的有三中基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
free variables
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
行阶梯阵的形状与线性方程组的解.
(A)r=n时,方程组AX=b有唯一解
(B)m=n时,方程组AX=b有唯一解
(C)r<n时,方程组AX=b有无穷多解
(D)r=m时,方程组AX=b有解
(二)当 b=0 得齐次线性方程组 Amn X 0 ,解的情况 可以归纳为

秩与线性方程组的解

秩与线性方程组的解

12:46
proof
2
例子 3.1
解: 线性方程组(3.2)的增广矩阵为范德蒙德矩阵,
所以线性方程组(3.2)无解.
12:46
3
例子 3.2
解法一: 方程的数目与未知量的数目相同. 先算出系数矩阵的行列式:
无穷多解
12:46
4
例子3.2(续)
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵
12:46
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵.
12:46
8
例题 3.3 (续2)
12:46
9
例题 3.3 (续3)
解得
12:46
10
两直线的位置关系
设两条直线都用一般方程表示, 即
它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况
12:46
11
两直线的位置关系(续)
12:46
12
直线与平面的位置关系
§3 线性方程组的解与秩
通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断 线性方程组的解的情况 几个结论
线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组有唯一解的充分必要条件 线性方程组有无穷多解的充分必要条件
应用
两直线的位置关系 直线与平面的位置关系
12:46
1
线性方程组有解判别定理
proof
定理 3.2 设线性方程组(3.1)有解.
5
例子3.2(续2)
方程组有唯一解.
方程组无解 (此时阶梯形方程组的第3个方程为``0 = 3''). 3) 当 a = 1时,
方程组有无穷多解 (此时阶梯形方程组的第2,3个方程均为``0 = 0'').
12:46

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞

A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
,故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
,则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ,所以方程组有无穷多解,令 x4 = c1, x5 = c2 ,得

矩阵的秩线性方程组可解的判别法

矩阵的秩线性方程组可解的判别法

矩阵秩的应用
线性方程组可解判别法
01
通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等,可

以判断线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解。
特征值与特征向量的计算
02 对于给定的方阵,可以通过计算其行列式因子和
Cramer法则来求得其特征值和特征向量。
行列式计算
03
利用矩阵的秩和行列式的关系,可以计算行列式的值
03
在求解过程中,需要注意初等 变换不改变矩阵的秩,因此可 以利用这一性质来验证求解过 程是否正确。
CHAPTER 05
特殊线性方程组可解的判别法
唯一解的判别法
系数矩阵的秩等于增广矩 阵的秩
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时,线性 方程组有唯一解。这是因为系数矩阵和增广 矩阵具有相同的行数,当它们具有相同的秩 时,方程组中的方程个数与未知数的个数相 等,从而可以唯一确定一组解。
如果增广矩阵的最后一列中的常数项与系数矩阵的秩相等 ,则线性方程组有唯一解;如果增广矩阵的最后一列中的 常数项与系数矩阵的秩不相等,则线性方程组无解或有无 穷多解。这是因为增广矩阵包含了线性方程组的所有未知 数和常数项,因此可以通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩 来判断线性方程组的可解性。
CHAPTER 04
系数矩阵的行列式为零
当系数矩阵的行列式为零时,线性方程组可能有无穷 多解。这是因为行列式为零意味着系数矩阵是奇异的 ,无法通过逆矩阵得到唯一解,但可能存在无穷多解 。
无解的判别法
系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩
当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时,线性方程组无解 。这是因为增广矩阵中的列无法由系数矩阵中的列线性 组合得到,从而无法满足方程组中的所有方程,因此无 解。
系数矩阵的行列式为无穷大

矩阵的秩与方程组解的判定

矩阵的秩与方程组解的判定

1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r4 3r2 0 0 0 0 1
证 先证明:若A经一次初等行变换变为B, 则R( A) R(B).
设 R( A) r,且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
当A ri rj B或 A rik B时, 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr ,
因此 Dr 0,从而 R(B) r. 当A ri krj B时,分三种情况讨论:
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系,以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。

一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作:互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。

2.初等变换的性质:初等变换保持矩阵的秩不变;有逆变换;多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。

二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B,其中A为系数矩阵,X为未知向量,B为常数列。

2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,B)的秩,即r(A)=r(A,B)。

3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组:-齐次线性方程组为AX=0,其中0为零向量。

它总有零解,即使有非零解也有无穷多个。

-非齐次线性方程组为AX=B,其中B不为零向量。

它只有唯一解或无解两种可能。

4.矩阵的秩和线性方程组解的关系:r(A)=n,即系数矩阵A的秩等于未知数的个数,则线性方程组只有唯一解;r(A)<n,则线性方程组有无穷多解或无解。

三、求解线性方程组的方法1.初等变换法:-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A,B)的增广矩阵。

-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。

-根据化简后的增广矩阵,确定线性方程组的解。

2.矩阵的逆法:-若系数矩阵A可逆,则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1,得到X=A-1B。

-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。

3.克拉默法则:-若系数矩阵A可逆,则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=,Ai,/,A,其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵,A,是系数矩阵A的行列式。

-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。

综上所述,矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。

利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程,而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。

在求解线性方程组时,可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。

第三章 矩阵的秩

第三章 矩阵的秩

Ax = b
b=0,齐次线性方程组 齐次线性方程组 b≠0,非齐次线性方程组 非齐次线性方程组
定理 1 线性方程组 = b有解⇔ r( A) = r( A| b). Ax 证明: 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 r(A)=r 初等行变换 矩阵化为行阶梯形 矩阵化为行阶梯形
推论2 推论2

m<n
时,齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am2 x2 +⋯+ amn xn = 0
必有非零解。 必有非零解。
1 A 矩阵, r A中必成立() 例 已知 为m× n矩阵,且 ( A) = r,则 中必成立()
丞相买鸡与不定方程 《张丘建算经》是我国南北朝时期写成的一本数 张丘建算经》 学书,距现在有1500多年了,里面共有 个问题, 多年了, 个问题, 学书,距现在有 多年了 里面共有92个问题 其中有一道著名的“百鸡问题” 其中有一道著名的“百鸡问题”: 今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三; 今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三; 鸡雏三,直钱一。凡百钱买鸡百只。 鸡雏三,直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡 母雏各几何? 翁、母雏各几何?
(4)a = b = 0, r( A) = 0.
(1)a ≠ b且a + (n −1)b ≠ 0, r( A) = n.
对于m个方程 个未知数的线性方程组 对于 个方程n个未知数的线性方程组 个方程 a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = b2 ........................................... a x + a x +⋯+ a x = b m n n m m1 1 m2 2

矩阵的秩

矩阵的秩

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
R( A) 3,
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例5 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵 A 及矩阵 B=(A b) 的秩 .
解 对A作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
线性方程组的通解
当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为
x1 b11xr 1 b1,n r xn d1 x2 b21xr 1 b2,n r xn d2 xr br1xr 1 br,n r xn dr 其中xr1 xn是自由未知数 令xr1c1 xncnr 可得
2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
r3 5 r4 r3
R( A) 2,
R( B ) 3.
练习:矩阵
2 1 0 1 3 1 0 2 的秩为2,求t= 1 t 1 2 2
(k m,k n),位于这些行列交叉处的 k 2 个 元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.
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21
求解方程组的一般步骤:
☞在解线性方程组时,对于齐次线性方程
组,只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵, 便能写出该方程组的通解;对于非齐次线性 方程组,只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵, 便能根据定理3判断该方程组是否有解;在 有解的前提下,再把增广矩阵进一步化为行 最简矩阵,便能求出它的解。
2021/2/22
R(A)=R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变,即可知经有限 次行的初等变换矩阵的秩也不变。 推论:设A是任一m×n矩阵,P,Q分别是m阶,n阶可逆(满 秩)矩阵,则必有 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)
☞上面的定理给出了求矩阵的秩的一种常用办法。
即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯 矩阵,那么非零行的行数就是矩阵的秩。
R(AB )R(A,AB )R(A,0)R(A)
由性质(2)及上式又可得,
R (A) B R (A)T B R (B TA T)R (B T)R (B )
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故 R (A) B mR i(n A )R { ,(B )}
16
(8)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则R(AB)R(A)+R(B)-n;
6
其中M1就是矩阵A的一个r+1阶子式,故M1=0,M2是矩
阵A的一个含第j行元的r+1阶子式经与若干行对换后得到
的行列式,故M2=0,所以Dr+1=0.
无论是以上何种情形,矩阵B的r+1阶子式都等于0,所以
2021/2有/22R(B)≤r=R(A)
7
以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时,有 R(B)≤R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A,那 么同样有R(B)≥R(A).所以有
19
定理3:n元线性方程组有解的情况如下:
(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(Ā).
(2)有唯一解的充要条件是R(A)=R(Ā)=n.
(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(Ā)<n
定理4:n元奇次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a2 1x1 a22x2 a2nxn 0 am1x1 am2x2 amnxn 0
有非零解的充要条件是它的系数矩阵A的秩R(A)<n.
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推论:n个方程的n元奇次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a21x1 a22x2 a2nxn 0 an1x1 an2x2 annxn 0 有非零解的充要条件是它的系数行列式A=0
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2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
(
c

1
c 2为




)
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25
1 2 3 例3.设方阵A4 t 1,B为三阶非零矩阵,且
2 3 1 AB O,求t 解:由ABO 且BO 知齐次线性方程组Ax 0 有非零解,故方程组的的系数行列式| A|0 ,
1
0

A
初等行变换
0 0
0
0 0 b1r1 1 b2r1
0 1 brr1 0 0 0
0 0 0
b1n b2n
brn 0
0
d1
d2
dr
d
r
1
0
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0 0 0 0 0 0
于是线性方程组可以化为: 由上述方程组可知:
x1 b1r 1xr 1 b1n xn d1
11
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12
1 112 例 3 .设 A 3a 12 , 已 知 R (A ) 2 , 求 a 、 b 的 值 .
53b6
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矩阵秩的性质:
(1)0R(Am×n)min{m,n}; (2)R(A)=R(AT);
(3)设k是不为零的数,则R(kA)=R(A);
由定义可得: (1)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A)r (2)若矩阵A的所有r+1阶子式全为零,则R(A)r (3)对任意m×n矩阵A,必有R(A)=R(AT) (4)矩阵A的秩既不会超过它的行数,又不会超过它的
列数,即R(Am×n)minm,n} (5)若矩阵B是矩阵A的子矩阵,则R(B)R(A) (6)对n阶方阵A=(aij),若aij0,则R(A)=n,称A为 2021/2/22 满秩矩阵(可逆矩阵),若aij=0,则R(A)<n,称A为降 5
R(A,B)R(A,B)T R(B ATT)R(P01 P02U U12)
R(U U12)rsR(A)R(B)
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(6)R(A+B)R(A)+R(B);
证明:将矩阵A,B按列分块为A=(1, 2,… n),B=(1, 2,… n),
从而
(A B ,B ) (1 1 ,2 2, ,n n,1 ,2, ,n)
而A 7t 210 t 3
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因R( A) R(B) 2 4,所以行最简矩阵对应的方
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§3.1 矩阵的秩 §3.2 线性方程组解的判定 §3.3 分块矩阵的初等变换及其应用(*) §3.4 应用举例
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3
第一节
矩阵的秩
定义1:在m×n阶矩阵A中,任取k行与l列(k≤m,l ≤n),位
于这些行列交叉点处的k×l个元素按照原来相对顺序所构成
的矩阵称为矩阵A的k×l 子矩阵,当k和l相等时,此子矩阵为
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以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时,有 R(B)≤R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A,那 么同样有R(B)≥R(A).所以有
R(A)=R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变,即可知经有限 次行的初等变换矩阵的秩也不变。
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9
2 1 83 7 例 1.设A=23 23057805,求矩阵A的秩,并求A的
R(AB)R(A)+R(B)-n;
(9)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,且AB=0,则
R(A)+R(B)n;
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(5) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);
证明:因为A或B的最高阶非零子式总是矩阵(A,B)的非零子 式,所以
max{R(A),R(B)}R(A,B) 设R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩阵 P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分别是矩阵AT与BT的 行最简形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行数为r, R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行数为s,于是
第三章矩阵秩与线性方程组
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1
第三章 矩阵的秩与线性方程组
矩阵是线性代数的一个主要研究对象, 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中,矩阵的运算 起着重要的作用,本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧。
1 0 32 0
一个最高阶的非零子式。
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由 于 R ( A ) 3, 可 知 A的 最 高 阶 的 非 零 子 式 为 3
阶,而 A 的三阶子式共有
C
3 4
C
3=
5
4
1
0

4
0

,

从 40 个 子 式 中 找 出 一 个 非 零 子 式 是 比 较 麻 烦 的 ,
但 考 察 A 的 行 梯 矩 阵 , 记 : A (a1,a2,a3,a4,a5)
(4)若矩阵P,Q可逆,则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);
(5) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);
(6)R(A+B)R(A)+R(B);
(7)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则
R(AB)min{R(A),R(B)};
(8)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则
k阶方阵,其行列式称为矩阵A的一个k阶子式。
1 2 3 4 A5 6 7 8
中取1,2,3行和1,2,9 4列1交叉2处的3元 构成的三阶子式为:
12 4
56 8
9 1 3
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4
m×n阶矩阵A中的k阶子式共有 Cmk Cnk 个。 定义2: 如果在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所 有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A 的最高阶非零子式,数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时 规定,零矩阵的秩等于0。
x2
b2r
1 x
r
1
b2n xn
d2
x
r
brr 1 xr 1
brn xn
dr
0 d r1
1、当dr+10即R(A) R(Ā)时,原方程组无解;
2、当dr+1=0即R(A) =R(Ā)时, 原方程组有解。
(1)若r=n,则方程组的解为
x1 d1
x
2
d
2
(2)若r<n,则方程组变为:
证明:设 R(A) = r,且 A的某个r 阶子式 Dr 0.而所有的 r+1阶子式Dr+1 = 0,若A经过一次行的初等变换变为B
1、则B的子式与A的相应子式或相等或只差一个符号,故
有R(A)=R(B);
2、矩阵B的子式或者是A的相应子式的k倍,或是相等,
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