第三章矩阵秩与线性方程组

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§3.1 矩阵的秩 §3.2 线性方程组解的判定 §3.3 分块矩阵的初等变换及其应用(*) §3.4 应用举例
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第一节
矩阵的秩
定义1：在m×n阶矩阵A中，任取k行与l列(k≤m，l ≤n)，位
于这些行列交叉点处的k×l个元素按照原来相对顺序所构成
的矩阵称为矩阵A的k×l 子矩阵，当k和l相等时,此子矩阵为
问题2：如何求解？（无穷解，唯一解以及无解）
设有线性方程组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
它的系数矩阵记作A=(aij)m×n，增广矩阵记作Ā＝（A:b),设R(A)=r,由前面的 知识可知， r≤R(Ā)≤r+1,且Ā总可经过初等行变换化为最简梯矩阵
x n d n
x1 d1 b1r1xr1 b1nxn
x2 d2b2r1xr1 b2nxn
xr dr br x r1 r1 brnxn
这说明，任意给定xr+1,…,xn,就唯一地确定一组x1,x2,…,xr的值，也就 是给出了方程组的一组解。这样的一组表达式，通常称为方程组的
2021/2一/22般解或通解，而xr+1,…,xn称为自由变量。
1
0
A
初等行变换
0 0
0
0 0 b1r1 1 b2r1
0 1 brr1 0 0 0
0 0 0
b1n b2n
brn 0
0
d1
d2
dr
d
r
1
0
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0 0 0 0 0 0
于是线性方程组可以化为： 由上述方程组可知：
x1 b1r 1xr 1 b1n xn d1
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1 112 例 3 .设 A 3a 12 ， 已 知 R (A ) 2 ， 求 a 、 b 的 值 .
53b6
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矩阵秩的性质:
(1)0R(Am×n)min{m,n}; (2)R(A)=R(AT);
(3)设k是不为零的数,则R(kA)=R(A);
证明:设R(B)=r,由第一章定理可知,存在m阶可逆矩阵P和s阶可 逆矩阵Q,使得 B PE0r 00Q 记AP=(P1,P2),其中P1为m×r矩阵,它是矩阵(AP)的前r列,P2为 m×(n-r)矩阵,它是矩阵(AP)的后(n-r)列,则
AB APE 0r 0 0Q(P1,P2)E 0r 0 0Q(P1,0)Q 因R 而 (A)BR(P (1,0)Q)R(P (1,0))R(P1)
ic i 1 ,c n ,in (1 , 2, n, 1 , 2, , n) (A ,B )
即矩阵(A+B,B)与矩阵(A,B)等价.由定理得R(A+B,B)=R(A,B),因此
R(A+B) R(A+B,B)=R(A,B) R(A)+R(B);
(7)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则R(AB)min{R(A),R(B)}; 证明:因为 (A,0)E0n E Bs(A,AB )且 , E0n E Bs是可逆 ,所 矩以 阵
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其中M1就是矩阵A的一个r+1阶子式，故M1=0，M2是矩
阵A的一个含第j行元的r+1阶子式经与若干行对换后得到
的行列式，故M2=0，所以Dr+1=0.
无论是以上何种情形，矩阵B的r+1阶子式都等于0，所以
2021/2有/22R(B)≤r=R(A)
7
以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有 R(B)≤R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那 么同样有R(B)≥R(A).所以有
而A 7t 210 t 3
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因R( A) R(B) 2 4，所以行最简矩阵对应的方
第三章矩阵秩与线性方程组
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第三章 矩阵的秩与线性方程组
矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧。
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求解方程组的一般步骤：
☞在解线性方程组时，对于齐次线性方程
组，只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵， 便能写出该方程组的通解；对于非齐次线性 方程组，只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵， 便能根据定理3判断该方程组是否有解；在 有解的前提下，再把增广矩阵进一步化为行 最简矩阵，便能求出它的解。
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以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有 R(B)≤R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那 么同样有R(B)≥R(A).所以有
R(A)＝R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次行的初等变换矩阵的秩也不变。
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2 1 83 7 例 1.设A＝23 23057805，求矩阵A的秩，并求A的
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即得同解方程组
x1 x2
2 x3 2 x3
5 3 4 3
x4 x4
0 0
令 x 3 c 1, x 4 c 2 ， 则 有 ：
x
x2 x3
1
2 c1 2c c1
1
5 3
c2
4c
3
2
x 4 c 2
5
x1 x2 x3 x4
c1
由定义可得： （1）若矩阵A有一个r阶子式不等于零，则R(A)r （2）若矩阵A的所有r+1阶子式全为零，则R(A)r (3)对任意m×n矩阵A,必有R(A)=R(AT) （4）矩阵A的秩既不会超过它的行数，又不会超过它的
列数，即R(Am×n)minm,n} (5)若矩阵B是矩阵A的子矩阵,则R(B)R(A) （6）对n阶方阵A=(aij),若aij0，则R(A)=n，称A为 2021/2/22 满秩矩阵(可逆矩阵)，若aij=0,则R(A)<n,称A为降 5
2 1 7
则由矩阵
B (a1,a2,a5)
2 3
3 2
5 0
知
,
R
(
B
)
3，
1 0 0
故 B 中 必 有 三 阶 非 零 子 式 。B 中 的 三 阶 子 式 只 有 4 个
217 显 然 3 2 0 1 4 0 ， 所 以 该 子 式 便 是 A 的 最 高
100
2021/2/22 阶 的 一 个 非 零 子 式 。
k阶方阵，其行列式称为矩阵A的一个k阶子式。
1 2 3 4 A5 6 7 8
中取1，2，3行和1，2，9 4列1交叉2处的3元 构成的三阶子式为：
12 4
56 8
9 1 3
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m×n阶矩阵A中的k阶子式共有 Cmk Cnk 个。 定义2: 如果在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所 有r＋1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时 规定，零矩阵的秩等于0。
R(A,B)R(A,B)T R(B ATT)R(P01 P02U U12)
R(U U12)rsR(A)R(B)
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(6)R(A+B)R(A)+R(B);
证明:将矩阵A,B按列分块为A=(1, 2,… n),B=(1, 2,… n),
从而
(A B ,B ) (1 1 ,2 2, ,n n,1 ,2, ,n)
(4)若矩阵P,Q可逆,则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);
(5) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);
(6)R(A+B)R(A)+R(B);
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(7)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则
R(AB)min{R(A),R(B)};
(8)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则
1 0 32 0
一个最高阶的非零子式。
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由 于 R ( A ) 3， 可 知 A的 最 高 阶 的 非 零 子 式 为 3
阶，而 A 的三阶子式共有
C
3 4
C
3＝
5
4
1
0
＝
4
0
个
,
要
从 40 个 子 式 中 找 出 一 个 非 零 子 式 是 比 较 麻 烦 的 ，
但 考 察 A 的 行 梯 矩 阵 ， 记 ： A (a1,a2,a3,a4,a5)
R(AB)R(A)+R(B)-n;
(9)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,且AB=0,则
R(A)+R(B)n;
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(5) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);
证明:因为A或B的最高阶非零子式总是矩阵(A,B)的非零子 式,所以
max{R(A),R(B)}R(A,B) 设R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩阵 P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分别是矩阵AT与BT的 行最简形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行数为r, R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行数为s,于是
证明：设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式 Dr 0.而所有的 r+1阶子式Dr+1 = 0,若A经过一次行的初等变换变为B
1、则B的子式与A的相应子式或相等或只差一个符号，故
有R(A)=R(B);
2、矩阵B的子式或者是A的相应子式的k倍，或是相等，
固有R(A)=R(B);
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2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
(
c
，
1
c 2为
任
意
常
数
)
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1 2 3 例3.设方阵A4 t 1，B为三阶非零矩阵，且
2 3 1 AB O，求t 解：由ABO 且BO 知齐次线性方程组Ax 0 有非零解，故方程组的的系数行列式| A|0 ，
R(A)＝R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次行的初等变换矩阵的秩也不变。 推论:设A是任一m×n矩阵,P,Q分别是m阶,n阶可逆(满 秩)矩阵,则必有 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)
☞上面的定理给出了求矩阵的秩的一种常用办法。
即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯 矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。
有非零解的充要条件是它的系数矩阵A的秩R(A)<n.
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推论：n个方程的n元奇次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a21x1 a22x2 a2nxn 0 an1x1 an2x2 annxn 0 有非零解的充要条件是它的系数行列式A=0
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x2
b2r
1 x
r
1
b2n xn
d2
x
r
brr 1 xr 1
brn xn
dr
0 d r1
1、当dr+10即R(A) R(Ā)时,原方程组无解；
2、当dr+1＝0即R(A) ＝R(Ā)时, 原方程组有解。
（1）若r=n，则方程组的解为
x1 d1
x
2
d
2
（2）若r<n，则方程组变为：
由性质1,4,5有
R (A )R (A)P R [P (1,P 2) ]R (P 1)R (P 2)R (P 1)(nr)
即 R (P 1)R (A )rn
故 R (A)B R (A )R (B )n
2021该/2/不22 等式称为西尔维斯特不等式
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第二节 线性方程组解的判定
问题1:线性方程组有解的充要条件
R(AB )R(A,AB )R(A,0)R(A)
由性质(2)及上式又可得,
R (A) B R (A)T B R (B TA T)R (B T)R (B )
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故 R (A) B mR i(n A )R { ,(B )}
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(8)设A,B分别是m×n矩阵与n×s矩阵,则R(AB)R(A)+R(B)-n;
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定理3：n元线性方程组有解的情况如下：
（1）有解的充分必要条件是R(A)=R(Ā).
(2)有唯一解的充要条件是R(A)=R(Ā)=n.
(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(Ā)<n
定理4：n元奇次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a2 1x1 a22x2 a2nxn 0 am1x1 am2x2 amnxn 0
秩矩阵(不可逆矩阵)。
由行列式性质可知，在 A中当所有r＋1阶子式全等于
零时，所有高于r＋1阶的子式也全等于零，因此 A的秩
R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数(根据按行、按
列展开即可证明）
行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
当 A ri ~rjB或 A ri~ kB 时