极限的计算方法
极限的求解方法总结
千里之行，始于足下。
极限的求解方法总结极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点或某一趋势中的趋于无穷的行为。
在求解极限问题时，我们可以使用多种方法来获得精确的结果。
下面将对常见的求解极限问题的方法进行总结。
1. 代入法：代入法是求解极限问题中最简洁和直接的方法。
它适用于大多数简洁的极限问题，只需要将极限中的变量代入函数中，计算得到的函数值就是极限的结果。
但是需要留意的是，代入法只适用于那些在给定点四周有定义的函数。
2. 夹逼准则：夹逼准则常用于求解函数极限时。
该方法的基本思想是通过构造两个函数，一个渐渐趋近于极限，并且一个渐渐远离于极限。
若两个函数的极限都存在且相等，则可以得到原函数的极限。
3. 分式分解与有理化：对于一些简单的极限问题，我们可以通过将分式进行分解，或利用有理化的方法简化问题。
分式分解的方法适用于含有多项式的极限问题，将分式拆解成更简洁的形式，然后进行计算。
有理化的方法则适用于含有根式的极限问题，通过去除分母中的根式，将问题转化为含有多项式的形式。
4. 泰勒级数开放：泰勒级数开放是一种将函数用无穷级数形式进行表示的方法。
通过该方法，我们可以将一个简单的函数开放成一个无穷级数，然后利用级数的性质来求解极限问题。
泰勒级数开放的方法适用于对于某一点四周的函数近似求极限的问题。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5. 极限性质和公式：在求解简单的极限问题时，我们可以利用极限的性质和公式来简化计算。
例如，极限的和差性、积性、倒数性、幂等性等公式都可以用来简化极限问题的计算。
6. L'Hospital法则：L'Hospital法则是一种通过对函数的导数进行操作来求解极限问题的方法。
该方法适用于极限的形式为0/0或无穷/无穷的问题。
依据L'Hospital法则，假如函数f(x)和g(x)在给定点四周连续可导，并且f(x)/g(x)的极限存在，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)的极限。
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。
2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。
3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。
4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。
5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。
6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。
7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。
8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。
这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。
例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。
总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。
在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。
极限计算的13种方法示例
极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。
下面将介绍13种常见的极限计算方法。
一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。
当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。
二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。
三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。
它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。
五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。
它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。
六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。
通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。
八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。
通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。
九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。
为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。
以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。
这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
计算极限的方法总结
计算极限的方法总结极限是数学中重要的概念之一，它用于描述函数或数列在无穷趋近其中一点或其中一数值时的表现。
计算极限的方法有很多种，下面将总结常用的计算极限的方法。
1.代入法：代入法是最基本也是最直接的计算极限的方法。
它适用于能够通过简单代入计算出结果的情况。
通过将极限的变量代入函数中，从而得到极限的值。
2.分式归结法：分式归结法适用于计算含有分式的极限。
通过对分子、分母同时归结或分解，简化极限计算过程。
3.推状极限法：推状极限法也称为夹逼定理，适用于计算含有复杂函数的极限。
通过找到两个函数，一个小于待求函数，一个大于待求函数，并且两个函数的极限相等，从而得到待求函数的极限。
4.极限的四则运算法则：对于已知的极限，可以利用极限的四则运算法则计算复杂函数的极限。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法，其中除法需要注意除数不能为零。
5.极限的换元法：当函数含有复杂的表达式时，可以通过进行合适的换元来简化函数求极限的过程。
常见的换元包括三角函数换元、指数函数换元、对数函数换元等。
6.形式极限法：形式极限法适用于计算复杂函数包含无穷大、无穷小量级的极限。
将函数转化为形式极限后，可以利用已知的极限进行计算。
7.泰勒级数展开法：泰勒级数展开法适用于计算函数在特定点处的极限。
通过对函数进行泰勒级数展开，可以将函数转化为多项式的形式，从而计算出极限。
8.洛必达法则：洛必达法则适用于极限存在不确定形式，即0/0或无穷/无穷的情况。
该法则通过对函数的分子和分母分别求导，然后再计算极限的值。
9.幂次不等式法：幂次不等式法适用于计算幂函数的极限。
通过利用幂函数的大小关系，可以确定幂函数的极限。
10.斜线渐进法：斜线渐进法适用于计算函数在无穷远处的极限。
通过将函数分子和分母同时除以最高阶的幂，可以得到斜率为1的直线函数，从而计算出极限。
总结以上所述，计算极限的方法有代入法、分式归结法、推状极限法、极限的四则运算法则、极限的换元法、形式极限法、泰勒级数展开法、洛必达法则、幂次不等式法和斜线渐进法等等。
计算极限的方法
计算极限的方法
极限计算有很多种方法，比如：
一、解析法：若极限函数只是表达式的简单变形，只需要将表达式化简，再将其中的无穷替换掉即可求得极限。
二、恒等变换法：先将表达式改写，再利用其它变换法求得极限，最
后将极限函数中的无穷替换掉即可求出极限。
三、巧妙变换法：利用一些相对复杂的函数公式变换，进行解析求解，最后将表达式中的无穷替换掉，即可得到极限函数。
四、套用极限定理：根据某些函数极限定理，可以很好地求出一些极限函数。
五、联立方程法：将待求函数与它的导数进行联立，得到一组方程，
解出对应的解集，然后再分解出极限函数。
六、累乘法：将极限函数分解成累乘形式，求解每个累乘因子的极限，最后相乘求得极限函数。
以上就是求极限的几种方法，每种方法都有其使用的范围，有的求解
速度快，有的能解决复杂的极限问题，有的能得到很精确的极限函数，学
习者应该根据实际情况，选择最适合自己的求极限方法。
求极限的方法
求极限的方法：1. 极限运算是线性运算。
2. 求乘式的极限可以在分式的极限有限的情况下求其极限的乘积。
3. 求除式的极限可以在分子的极限有限、分母的极限不为零的情况下求其分子极限与分母极限的商。
4. 求除式的极限时，如果它在所说的条件之外，就求助于罗比塔法则。
5. 连续函数的运算可以和极限运算互换。
比如说根号运算可以和极限运算互换。
6. 另外，对于已确定范围的式子，我们可以用迫敛性。
7. 带有根号的式子可以通分来求解。
8. 和重要极限有明显关系的要求助于重要极限。
9. 也可以利用泰勒公式。
10. 还有计算处理法，比如说先求一下对数。
11. 可以利用罗比塔法则求解。
例1nn n n n n n n n n n n )111(lim .3);12111(lim .2)(lim .12222++++++++-+∞→∞→∞→4．12)1323(lim -∞→-+x x x x 5．xe x x sin 1lim 0-→ 6.xx x sin 0)(tan lim →解：1．∞→n lim (n n +2-n) =∞→n limnnn n ++2 =)111(lim ++∞→n n =2 2．设原式=A ，122+≤≤+n n A nn n 因为 1lim2=+∞→nn n n ,11lim2=+∞→n n n .因此A=13． 原式=11])111[(lim ++∞→++n nn x n =1lim1])111[(lim ++∞→∞→++n nn x n n e =321312lim 1312)13()1311(lim .4e e x x x x x x x x ==-+=----∙-∞→→∞原式5．由罗比塔法则知：原式.1cos 0lim =→=x e x x6．原式=,lim tan ln sin 0xx x e→ 并有x x x tan ln sin lim 0→.0cos sin lim cos sin 1sec tan 1lim 20220==-=→→x xx xxx x x所以原式的极限是1。
求极限的常用方法
求极限的常用方法求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。
下面是一些常用的方法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。
1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。
如果代入的结果是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。
然而，这种方法只适用于简单的函数和特定的极限问题。
2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因素时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。
3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，可以尝试将其有理化。
常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平方和公式等。
4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。
5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见的极限性质和定理来简化问题。
例如，极限的四则运算法则、复合函数的极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。
6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。
这个方法常用于求解无穷大和无穷小的极限。
7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。
该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。
8. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些不定型极限的重要方法之一、该法则利用导数和洛必达法则，将一个不定型极限转换为一个更简单的极限，然后进行求解。
9.递推关系：递推关系是求解一些递推数列的极限的重要方法。
该方法利用数列之间的递推关系，将数列的极限转化为递归方程的极限，并利用递归方程的解求解极限。
如何求极限
三、利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x→Байду номын сангаас0
lim α(x) = 0, lim β(x) = 0
x→x0
∂(x) 而lim =1 称 x →x0时 (x)与 (x) 则 在 ∂ β x→x0 β (x) 是 价 穷 量 记 α～ . 等 无 小 ， 为 β 常 等 无 小 换 用 价 穷 代 ： 在 →0时 列 穷 等 ： x 下 无 小 价
利用两个重要极限计算
1+ x −1 ( 1+ x −1)( 1+ x +1) (4) lim = lim x→0 sin 2x x→0 sin 2x( 1+ x +1) 1+ x −1 x 1 = lim = lim ⋅ x→0 sin 2x( 1+ x +1 ) x→0 sin 2x 1+ x +1 1 2x 1 1 = lim ⋅ = 2 x→0 sin 2x 2 4
2 2 2
1 = lim =− x→ 0 2 2 x ( 1− x2 +1)
(1− x −1)
2
二、利用两个重要极限计算
(1) sin x lim =1 x→ 0 x 1x lim(1+ ) = e ∞ x→ x lim(1+ x) = e
0 x→ 1 x
(2)
利用两个重要极限计算极限
1.
sin ∂(x) 一 地 若lim∂(x) = 0,则 lim 般 ： ， =1 x→x0 x→x0 ∂(x) tgx 另 lim ， ＝ 1 x→ 0 x 特 ： 限 “0 ” 未 式 征 极 为 0 型 定 注 若 限 式 是 0” ， 不 利 ： 极 形 不 “0 型 则 能 用 上 公 计 。 述 式 算
计算极限的方法总结
计算极限的方法总结极限是数学中一个概念，它可以被用来描述函数在某一特定点上的行为。
在这一点上，函数在向一个特定的值收敛，若函数以某种方式在这个点上受到了影响或者停顿，那么极限就可以用来表示这种影响或者停顿的行为。
本文将简要介绍计算极限的不同方法，总结出几种最有效的方法。
首先，应该了解极限的定义。
极限是指一个点，在这个点上，无论怎么做函数的取值向某一个值收敛。
换句话说，极限描述的是函数取值趋向于某一个值的行为。
极限的两个重要性质是取值收敛和向某一个值收敛。
在理解极限的基础上，就要知道如何计算极限了。
计算极限的方法主要有以下几种：1、限值(limit)函数法：此法要求求函数在某一特定的点的x坐标的极限，即求函数f(x)的极限，且x在某一值范围内，可以用limit 函数来实现，如limit(x→a,f(x))，其中a为x的某一特定值，f(x)表示函数f(x)。
2、求导法(derivative)：此法要求求函数在某一特定的点的x 坐标的极限，即求函数f(x)的极限，可以用求导法来实现，如求f(x)在x=a时的极限，可以将f(x)求导，得出f(a)，再求f(a)的极限。
3、图形法：此法要求求函数在某一特定的点的极限，可以用图形的方法来实现，即画出函数f(x)的图形，观察函数的图形，以找出函数在x=a处的极限。
4、函数极限法：此法要求求函数在某一特定点的极限，可以将函数f(x)再次拆分，即将函数f(x)拆分为f1(x)+f2(x)，然后求f1(x)的极限和f2(x)的极限，最终求出函数f(x)的极限。
5、参数极限法：此法要求求函数在某一特定的参数的极限，即求函数f(x,a)的极限，a为参数，可以将f(x,a)拆分为f1(x,a)+f2(x,a)，然后求f1(x,a)的极限和f2(x,a)的极限，最终求出函数f(x,a)的极限。
6、无穷小量法：此法要求求函数在某一特定的点的极限，即x 趋向于a，可以用无穷小量法来实现，即将函数f(x)表示为f(x)=f(a)+ω(x-a),ω为无穷小量，最终求出函数f(x)的极限。
极限的计算方法课件
x 2
](3)
?
e3
x? ? x ? 2
x? ? x
x? ?
x
(3)
lim ( x ? 1 ) ? x x? ? x ? 3
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1? lim ( x? ? 1 ?
1
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3 x
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?
lim [(
x? ?
1?
1 x
)
x
]
(
?
1
)
lim 1 ? ) ] [(
x? x0
x? x0 ? ( x)
另，lim tgx ＝1 x? 0 x
特征：极限为 “ 0 ”型未定式 0
注：若极限形式不是 “ 0 ”型，则不能利用 0
上述公式计算。
8
利用两个重要极限计算
例如：
sin lim
x? 0 1
1 x
?
1,事实上，lim sin x? 0 1
1
x ＝lim xsin x? 0
x
?lim1? x? 0
cosx x2
?lim 1 x? 0 cosx
?
2sin2
lim
x? 0
x2
x 2
?
2sin2
2lim x? 0
( 2x )2
x 2
?1 4
?
1 2
12
利用两个重要极限计算
(4) lim 1? x?1? lim( 1? x?1)( 1? x?1) x? 0 sin2x x? 0 sin2x( 1? x?1) ? lim 1? x?1 ? lim x ? 1 x? 0 sin2x( 1? x?1) x? 0 sin2x 1? x?1 ? 1lim 2x ?1 ? 1 2 x? 0 sin2x 2 4
极限的计算方法
极限的计算方法在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数或数列在无限接近某个值或趋势的过程中的行为。
极限的计算方法是数学中的重要内容之一，下面将介绍几种常用的极限计算方法。
1. 代入法代入法是一种简单直接的计算极限的方法。
当函数在某个点存在极限时，可以尝试将该点代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3在x=2处的极限，可以直接将x=2代入函数中得到f(2)=2*2+3=7，故极限为7。
2. 分子有理化法分子有理化法适用于分子含有根式的极限。
例如，计算函数f(x)=(sqrt(x)-1)/(x-1)在x=1处的极限。
由于计算根式的极限较为困难，我们可以将分子有理化，即将(sqrt(x)-1)乘以(sqrt(x)+1)得到(x-1)/(sqrt(x)+1)。
此时，x=1成为可直接代入的点，极限为(1-1)/(sqrt(1)+1)=0/2=0。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于函数在某个点无法直接计算出极限的情况。
夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个比待求函数小，另一个比待求函数大，且两个函数的极限相等，通过比较可以确定待求函数的极限。
例如，计算函数f(x)=x*sin(π/x)在x=0处的极限。
由于当x趋近于0时，sin(π/x)的值夹在-1与1之间，因此可以构造两个函数g(x)=x和h(x)=-x作为夹逼函数。
由于g(x)<=f(x)<=h(x)，而g(x)和h(x)的极限都为0，所以根据夹逼定理，f(x)在x=0处的极限也为0。
4. 泰勒展开法泰勒展开法适用于计算某些复杂函数的极限。
泰勒展开利用了函数在某个点附近的局部性质，将其展开为无穷级数，常用到泰勒展开的函数包括指数函数、三角函数等。
例如，计算函数f(x)=e^x在x=0处的极限。
根据泰勒展开公式，e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，当x趋近于0时，高阶项的影响逐渐减小，因此可以截取前几项进行计算。
极限的计算方法
2. lim c f ( x) = c lim f ( x)
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)] [lim g ( x)]
f ( x) lim f ( x) 4. lim = (lim g ( x) ≠ 0 g ( x) lim g ( x)
)
利用四则运算法则计算极限
利用等价无穷小代换计算极限
ln( 1 + αx) αx (3) lim = lim =α x →0 x →0 x x
x 1 1 + x sin x 1 1+ x 1 (4) lim = lim = lim 2 = 2 2 x →0 x →0 x →0 x sin x x 2
2 1 2 2
x 1 cos x 1 (5) lim = lim = x x →0 x (1 e ) x →0 x ( x ) 2
1 2 2
利用等价无穷小代换计算极限
1 sin x( cos x 1 ) tgx sin x (6) lim = lim 3 x →0 x →0 sin x x3 x 1 x2 1 sin x(1 cos x) = lim = lim 23 = x →0 x →0 x 3 cos x x 2 tgx sin x xx 但是, lim ≠ lim 3 = 0 3 x →0 x →0 x sin x
利用两个重要极限计算
sin 3 x (5) lim x →π tg 5 x 令 : x = π + t , x → π 时t → 0 sin( 3t + 3π ) sin 3t = lim 原式 = lim t →0 tg (5t + 5π ) t →0 tg 5t = lim
sin 3t 3t t →0 tg 5 t 5t
极限的计算方法
利用两个重要极限计算
例如：
lim (1 ) e， lim (1 x) e
利用两个重要极限计算
1 x 1 ( 1 x 1)( 1 x 1) (4) lim lim x 0 sin 2 x x 0 sin 2 x( 1 x 1) 1 x 1 x 1 lim lim x 0 sin 2 x( 1 x 1) x 0 sin 2 x 1 x 1 1 2x 1 1 lim 2 x0 sin 2 x 2 4
2 2 2
1 lim x 0 2 2 x ( 1 x 2 1)
(1 x 2 1)
利用两个重要极限计算
(1) sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x lim (1 x) e
x 0 1 xຫໍສະໝຸດ ( 2)利用两个重要极限计算极限
1 ln( 1 t ) 1 原式＝lim e lim ln( 1 t ) t t 0 t 0 et e 1 ln e e 1
利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x x0
lim ( x) 0, lim ( x) 0
x x0
( x) 而 lim 1则称在x x 0时 ( x)与 ( x) x x0 ( x ) 是等价无穷小量，记为～ . 常用等价无穷小代换： 在x 0时下列无穷小等价：
极限的计算方法
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第二章 一元函数微分学
三、极限的计算方法（二）
4．利用两个重要极限求极限 e x
x
x x
x x =+
∞
→=→)11(lim 21
sin 0
lim
1：个重要极限的标准形式第：个重要极限的标准形式第
注意：对于两个重要极限，不仅要记住他们的标准形式，更重要的是理解其本质特
征，明确其一般形式。
1
)
()
(sin lim
1sin lim
0)(010)()(1==→→→x x x
x
x x x x x x x ϕϕϕϕϕ 为：
个重要极限的一般形式则第，的某个变化过程中，若的函数，在为，设其自身之比的极限是正弦与
的特征是：无穷小量的是无穷小量，即此极限中，在
限的特征为：是无穷小量，因此该极时中，在x x e x x x 1
)11(lim ∞→=+∞→
为
个重要极限的一般形式，则第的某个变化过程中，若在。
的极限为大量互为倒数其中，无穷小量与无穷无穷小量）无穷大量20)()(1(→+x x e ϕ
e
x x x =+→)
(1
)())
(1(lim ϕϕϕ
)(sin sin lim
60均为常数，求极限例b a bx
ax
x →
两个函数乘积的极限
，于是可把上极限化为解：因
bx x
x ax
bx ax
sin sin sin sin ⋅=
求解。
又当x →0时，ax→0，bx→0，于是有
b
a b a bx
bx b ax ax a bx x
x
ax bx ax x x x x x =
⋅⋅⋅=⋅=⋅=→→→→→1111sin 1lim 1sin lim sin lim
sin lim sin sin lim
00000
t
x
t t sin lim 7∞→求极限例
x
x x t
x
t x
t x
t t t t
x
t x t t =⋅=⋅=∞→∞→→∞→1)sin
(
lim sin lim 0 是无穷小量，于是有
，即时，是变量，当解：在极限过程中，
2
20sin 1
1lim
8x x x -+→求极限例
分析：当x →0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦
函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以
)11(2
++x ，然后看是否可利用第1个重要极限。
21
211111
lim sin lim )11(sin 11lim sin 11lim 202202220220=
⋅=++⋅=++⋅-+=-+→→→→ 解：x x x x x x x x x x x x
)()1(lim 9为常数求极限例k n
k
n n +∞→
个重要极限求解。
，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，
无穷小是无穷小量，符合“，即时， 分析：当”）无穷大
21(0+→∞→n
k n k n k k k n
n n n e n
k
n k =+=+∞→∞→])1[(lim )1(lim 解：
)()1(lim 101
为常数求极限例k kx x
x -→
极限求解。
个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于
是无穷大量，即极限属是无穷小量，时， 分析：当无穷大
2111(1
0kx
kx x x
kx x --+-→
k
k
kx x x
x e kx kx ---
→→=-=-]
)
1[(lim )1(lim 1
1
解：
3
)5(
lim 11+∞
→+x x x
x 求极限例 5355331])5
1[(lim )51(lim )51(lim )5(lim e x
x x x x x
x x x x x x =⋅+=+⋅+=+∞→∞→∞→+∞→解：
n
n n n )1
3(lim 12-+∞→求极限例
4
44141)1
1(lim ])11[(lim )11(lim )13(
lim 141
1414
114
113
1e e t
t t n n t t t t t n n t n t n t
n n n n n n =⋅=+⋅+=+=-+∞→∞→+∞→∞
→∞→∞→+==--+
=-+-=-+ ，于是有：
时，，且当，即 故令因为
：解法
解法2：
4
131
3
3])11[(lim ])31[(lim )11(lim )31(lim )1131(lim )13(lim e e
e n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n ==-+=-+=-+=-+---∞→∞→∞→∞→∞→∞→
5．利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+→x x x x 31)3(1lim 130求极限例 。
()形后再求极限。
式，一般采用先通分变”型未定
属“均趋于无穷大，此极限与时， 分析：当∞-∞+→x x x x 31
310 91
)3(31lim )3(3)3(3lim 31)3(1lim 000-=+-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+→→→x x x x x x x x x x 解：
x
x x
x tan cos 1lim
140-→求极限例 分析：当 x →0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，
但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。
能否利用第1个重要极限呢这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。
x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x cos 1cos sin )cos 1(cos sin sin )
cos 1(tan cos 1)cos 1(tan )cos 1)(cos 1(tan cos 122+⋅
=+⋅=+⋅-=
+⋅+-=- 解：
21
211cos 1cos lim sin lim tan cos 1lim 000=⋅=+⋅=-→→→x x x x x x x x x x 所以，
6．利用无穷小量的性质求极限·极限计算小结
⑴ 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。
1
sin lim
152-∞→x x
x x 求极限例
解：因当x →∞时，sinx 的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到
111
lim
1lim
2
2=-=-∞
→∞→x
x x x
x x
是无穷小量，即
的性质，是有界变量，由无穷小
，即是无穷小量，而时， 即x x x
x x x x
x sin 1
2sin 1sin 12⋅-≤-∞→
1sin lim
2=-∞→x x
x x
极限计算小结：
以上介绍了极限计算中常用的6种基本初等方法，在实际运用中，要首先判定所求
极限属于哪一种类型，视具体情况灵活正确运用。
同时，也要注意各种方法的综合运用。
极限计算是本章的重点内容之一，要求大家加强练习，熟练掌握。