理论力学第三章新(1)
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第三章
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
P
F1
r1
r2 r
F2
就等于一个力相对另一个力的作用点的力矩。 力偶矩的大小：M=F d 力偶矩的方向：垂直于力偶面
按右手螺旋规则
1’ 力偶矩与计算力矩的参考点无关。 2’ 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小。只要力偶矩保持不变，力偶对 刚体作用的效果就仍然保持不变。 3’ 力偶可以在同一平面内随便搬移，只要力偶矩保持不变，搬移前后的力偶 是等效的。 4’ 力偶除了可以在同一平面内随便搬动，它也可以从一个平面搬到另一 个与之平行的平面上 5’ 作用在刚体上的力是滑移矢量；作用在刚体上的力偶是自由矢量。
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r
r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r
P
'
M
r r
Hale Waihona Puke Baidu
r
pm r sin r sin n
r n r
这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
0 cos
3.4
1、力的可传性
刚体的运动方程与平衡方程
一、刚体受力力系的简化
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。 注意： (1)作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移， 但是力的作用线的位置不能任意平移。 (2)力的可传性只在研究刚体运动时有效，在 讨论物体的形变时，力的可传性失效。
2、力系的划分
平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 一般力系
(1) 平面汇交力系的合力 平行四边形法则
；
(2) 平行力系的合力 大小等于各个平行力的代数和R Fi
i
；
合力的作用线，可用力矩关系确定，合力对某轴线的力矩等于各分力 的力矩之和。
F1
F2
(3) 力偶 ； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。 a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
r1 r2 r2 r1 n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
x cos sin sin y sin cos sin z cos
': 0 n : cos : sin sin
0 sin sin cos
o 是固定在空间不动的，
o xyz 是固连在刚体上的，
ON：节线，它是 平面和 xy 平面之间的交线。 确定转动轴的取向：
：进动角，
：章动角，
确定刚体绕这轴线所转过的角度
：自转角。
欧勒动力学方程
n x i y j z k '
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体围绕通过这点的某一瞬时轴线转动，
确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明了P点经两个分转动而产生的合位移是等价于由一个转动而产生 的位移，而这个位移是由两个转动的角位移之和 n1 n2 所给定的。
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
dr dn v r r dt dt
v r
3.3
欧拉角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间的取向（2个独立变 量）和刚体绕这轴线所转过的角度（1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
P
F1
r1
r2 r
F2
就等于一个力相对另一个力的作用点的力矩。 力偶矩的大小：M=F d 力偶矩的方向：垂直于力偶面
按右手螺旋规则
1’ 力偶矩与计算力矩的参考点无关。 2’ 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小。只要力偶矩保持不变，力偶对 刚体作用的效果就仍然保持不变。 3’ 力偶可以在同一平面内随便搬移，只要力偶矩保持不变，搬移前后的力偶 是等效的。 4’ 力偶除了可以在同一平面内随便搬动，它也可以从一个平面搬到另一 个与之平行的平面上 5’ 作用在刚体上的力是滑移矢量；作用在刚体上的力偶是自由矢量。
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r
r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r
P
'
M
r r
Hale Waihona Puke Baidu
r
pm r sin r sin n
r n r
这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
0 cos
3.4
1、力的可传性
刚体的运动方程与平衡方程
一、刚体受力力系的简化
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。 注意： (1)作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移， 但是力的作用线的位置不能任意平移。 (2)力的可传性只在研究刚体运动时有效，在 讨论物体的形变时，力的可传性失效。
2、力系的划分
平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 一般力系
(1) 平面汇交力系的合力 平行四边形法则
；
(2) 平行力系的合力 大小等于各个平行力的代数和R Fi
i
；
合力的作用线，可用力矩关系确定，合力对某轴线的力矩等于各分力 的力矩之和。
F1
F2
(3) 力偶 ； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。 a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
r1 r2 r2 r1 n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
x cos sin sin y sin cos sin z cos
': 0 n : cos : sin sin
0 sin sin cos
o 是固定在空间不动的，
o xyz 是固连在刚体上的，
ON：节线，它是 平面和 xy 平面之间的交线。 确定转动轴的取向：
：进动角，
：章动角，
确定刚体绕这轴线所转过的角度
：自转角。
欧勒动力学方程
n x i y j z k '
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体围绕通过这点的某一瞬时轴线转动，
确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明了P点经两个分转动而产生的合位移是等价于由一个转动而产生 的位移，而这个位移是由两个转动的角位移之和 n1 n2 所给定的。
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
dr dn v r r dt dt
v r
3.3
欧拉角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间的取向（2个独立变 量）和刚体绕这轴线所转过的角度（1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。