理论力学第三章新(1)
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2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
F1' F1 F2' F2
M1 Mo (F1) M2 Mo (F2 )
Fn' Fn Mn Mo (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
求： A ,C支座处约束力. 解： 取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图.
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0
解得
FBy 77.5kN
Fiy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0
解得
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
MD 0
求:
DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l, 450,
P, 各构件自重不计.
A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
5
FA
2 2l P l 0 2
பைடு நூலகம்
解得
FA
52 8
P
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
FEx
Fy 0
M A 0
M M
A B
0 0
各力不得与投影轴垂直 A, B 两点连线不得与各力平行
例3-3 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
理论力学第三章刚体力学 ppt课件
正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B
L
a
L
a AL L )(a L
a L
a
B L
L
)
a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB
A
B ev ev
理论力学第三章刚体力学
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
理论力学第三章
M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
理论力学 中南大学土木工程学院 24
理论力学
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25
理论力学
中南大学土木工程学院
26
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
8
[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
M M cos( M，k ) z M
27
理论力学
中南大学土木工程学院
[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
西南交大理论力学第三章 (1)
合力作用线位置：
l
q(x)xdx
h
0 l
0 q(x)dx
☆ 两个特例
(a) 均布荷载 P
q
h
x
l
l
P 0 q(x)dx ql
l
h
q( x) x dx
0 l
q( x)dx
l 2
0
(b) 三角形分布荷载 P q0
h
x
l
q(x) q0 x l
P
l
q(x)dx
0
l q0 0l
xdx 12q0l
D
X 0, P FA cos 0
FAy
FAx
解得 FA
5P 2
Y 0, FB FA sin 0
A
FA
y
B
FB
解得
FB
1 2
P
x
例 题 3 已知：F，
求：物块M的压力。
解：（1）取销钉B为研究对象
X 0, F (FBA FBC ) sin 0
Y 0, FBC cos FBA cos 0
Fy 0 G3 G1 G2 FA FB 0
解方程得
FB 870 kN FA 210 kN
例 题 15 构架如图，已知：
a=4m，r=1m，P=12kN
求：A、B处的反力。
a
解：取图示部分为研究对象
MB F 0 P 3 FA .4 0
A
E
D
B
C
r
a
a
FA 9kN
X 0 FA FBx 0
解得
FBC
FBA
F 2 sin
FBA
B FBC
B F
FBC
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
理论力学第三章
FR Fi Fi
主矢 FR Fi
主矩 M O M O ( Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
如何求出主矢、主矩?
FRx ' Fix ' Fix Fx
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心距离d
MO d FR
主矩 M O FR d
主矢 FR FR F
合力矩定理
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
（4） FR
0 MO 0
平衡 与简化中心的位置无关
平面任意力系简化结果的讨论 1、FR
平面任意力系向作用面内一点简化的结果，从主矢主矩等不 等于零考虑，可能有四种情况， 即 :（1） ; (2) ；(3) ;
(4)
；下面作进一步的分析讨论。
（1） FR
0 MO 0
合力偶
若为O1点，如何?
与简化中心的位置无关
（2）
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
（3）
解：取起重机，画受力图.
F 满载时， A 0,
为不安全临界状况
M
解得
B
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全临界状况
M
A
0
4P3max-2P1=0
解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
论力学第三章课件
FAx
MA
FAy
解：取ABD为对象，受力图如图示。 其中Fq=1/2×q×3l=30kN
∑X=0： FAx+Fq–Fsin600=0
∑Y=0: FAy–P–Fcos600=0
MA–M–Fql+Fcos600l+Fsin6003l=0
解得：FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=–1188kN.m (与图示转向相反）
静力学/第三章：平面任意力系
■ 平衡方程的其它形式
1 二矩式： X = 0
B
A
x
C
A
A、B 连线不垂直 于x 轴
A、B、C 三点不 在同一条直线上
附加条件：
附加条件：
B
2 三矩式：
静力学/第三章：平面任意力系
■二矩式的证明：
必要性
即
力系平衡
二矩式成立
由力系平衡→
F1
F2
F3
Fn
二、 平面任意力系向一点简化，主矢和主矩
1、 简化 思路：用力的平移定理将各力移至同一点,然后再合成。
将每个力向简化中心O平移
任选一个 简化中心O
其中：
O
因此：
平面任意力系
平面汇交力系
+ 平面力偶系
O
F1’
M1
F2’
M2
F3’
M3
Fn’
Mn
静力学/第三章：平面任意力系
向O点简化
F1
静力学/第三章：平面任意力系
几点讨论： 根据题意选择研究对象 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位
理论力学第三章冯维明主编
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3.2 点的速度合成定理 由合成定理有
例 题
式中三个矢量具有六个要素,已知四个,可作速度平行四边 形,如图所示,则求得
vA va ve cot v cot 30 3v
v θ v θ
v
其方向铅直向上。
v
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
v
由正弦定理
ve vr sin sin 60
v
与 v r 间的夹角为 va
v
Theoretical Mechanics
2
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第三章 点的合成运动
§3.3 牵连运动为平动时 点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动 空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运 动状态是不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运 动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时， 与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 。
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度 3.2.2 速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
理论力学习题答案第三章
第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。
3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。
当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。
事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。
答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。
3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。
分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。
理论力学第三章
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
理论力学第三章
1静力学第三章 平面任意力系第三章 平面任意力系若所有力的作用线都在同一平面 内，且它们既不相交于一点，又不平 行，此力系称为平面任意力系，简称 平面力系。
本章将研究该力系的简化 与平衡问题，这是静力学的重点之 一。
本章还介绍平面简单桁架的内力 计算。
2静力学第三章 平面任意力系§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。
力系简化的理论基础是力线平移定理。
1．力线平移定理 作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。
3静力学第三章 平面任意力系请看动画4静力学第三章 平面任意力系5静力学第三章 平面任意力系2．平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢与主矩 设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。
应 用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…， Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。
再 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即′ FR = Fi′ = Fii =1 i =1nn(c)6静力学第三章 平面任意力系平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即MO = Mi = MO (Fi )i =1 i =1nnFRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的 主矢。
MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。
主 矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指 明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简 化。
可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的 力和一个相对于简化中心的主矩。
该主矩等于原力 系对简化中心的矩。
它们的解析表达式为7静力学第三章 平面任意力系′ ′ ′ FR = FRx + FRy = Fx i + Fy j大小方向余弦′ FR = ( Fx ) + ( Fy )22F cos( F ′ , i ) =Rx′ FR,nF cos( F ′ , j ) =Ry′ FR主矩M O = M O (Fi ) = ( xi Fyi − yi Fxi )i =1 i =1n8静力学第三章 平面任意力系3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端） 支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
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O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
r1 r2 r2 r1 n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
x cos sin sin y sin cos sin z cos
': 0 n : cos : sin sin
0 sin sin cos
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；
0 cos
3.4
1、力的可传性
刚体的运动方程与平衡方程
一、刚体受力力系的简化
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。 注意： (1)作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移， 但是力的作用线的位置不能任意平移。 (2)力的可传性只在研究刚体运动时有效，在 讨论物体的形变时，力的可传性失效。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
P
F1
r1
r2 r
F2
就等于一个力相对另一个力的作用点的力矩。 力偶矩的大小：M=F d 力偶矩的方向：垂直于力偶面
按右手螺旋规则
1’ 力偶矩与计算力矩的参考点无关。 2’ 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小。只要力偶矩保持不变，力偶对 刚体作用的效果就仍然保持不变。 3’ 力偶可以在同一平面内随便搬移，只要力偶矩保持不变，搬移前后的力偶 是等效的。 4’ 力偶除了可以在同一平面内随便搬动，它也可以从一个平面搬到另一 个与之平行的平面上 5’ 作用在刚体上的力是滑移矢量；作用在刚体上的力偶是自由矢量。
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r
r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
第三章
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明了P点经两个分转动而产生的合位移 n2 所给定的。
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
2、力系的划分
平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 一般力系
(1) 平面汇交力系的合力 平行四边形法则
；
(2) 平行力系的合力 大小等于各个平行力的代数和R Fi
i
；
合力的作用线，可用力矩关系确定，合力对某轴线的力矩等于各分力 的力矩之和。
F1
F2
(3) 力偶 ； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。 a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
dr dn v r r dt dt
v r
3.3
欧拉角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间的取向（2个独立变 量）和刚体绕这轴线所转过的角度（1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。
o 是固定在空间不动的，
o xyz 是固连在刚体上的，
ON：节线，它是 平面和 xy 平面之间的交线。 确定转动轴的取向：
：进动角，
：章动角，
确定刚体绕这轴线所转过的角度
：自转角。
欧勒动力学方程
n x i y j z k '
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r
P
'
M
r r
r
pm r sin r sin n
r n r
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体围绕通过这点的某一瞬时轴线转动，
确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量