旋转模型专题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】旋转模型专题一、等线段共点二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题 例题精讲 一、手拉手模型等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形M DNEC B FAA BCD1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM∆、CBN∆是等边三角形．常见结论：（1）AN BM=（2）CD CE=（3）CF平分AFB∠（4）CDE△是等边三角形．（5）∠AFM=60°且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD中，30BCD∠=︒,60DAB AD AB∠=︒=，．求证：222AC CD BC=+3、已知ABC∆，以AC为边在ABC∆外作等腰ACD∆，其中AC AD=。

⑴如图①，若2DAC ABC∠=∠，AC BC=，四边形ABCD是平行四边形，则_____ABC∠=⑵如图②，若30ABC∠=︒，ACD∆是等边三角形，3AB=，4BC=，求BD 的长；⑶如图③，若ACD∠为锐角，作AH BC⊥于H，当2224BD AH BC=+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

③②①AH CBDDCBADCBA二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．5、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°，（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1， 求证：△AEG ≌△AEF ；（2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2， 求证：222NF ME EF +=图1ABCDE图2AB CDE（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系。

ABCD EF6、在等边AB C ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为AB C ∆外一点，且︒=∠60MDN ，︒=∠120BDC ，CD BD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边AB C ∆的周长L 的关系． ⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ =__________⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q =_________(用x ，L 表示)图（1） 图（2） 图（3）N M DCBANM DCBANMD CBA三、对角互补类7、已知：MAN ∠，AC 平分MAN ∠．⑴在图1中，若90MAN DCB ∠=∠=︒，证明：AB AD +．⑵在图2中，若120MAN ∠=︒，60DCB ∠=︒，探究AB 、AD 、AC 三者之间的数量关系，并给出证明；⑶在图3中：若MAN α∠=（0180α︒<<︒），180DCB α∠=︒-，则______AB AD AC +=（用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）8、如图1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． ⑴猜想：ME 与MF 的数量关系⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M B ∠=∠，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明． ⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:1:2AB BC =，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由． ⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M B ∠=∠，:AB BC m =，其它条件不变，求出:ME MF 的值（直接写出答案）图3图2图1ABM CDNAB MCDNNMDCB A图4图1图2图3AB CDQ PNME F AB CDFEMQPNF E F E AB C DQPN M QPNMDCB A四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．10、等腰直角三角形ABC ，902ABC AB O ∠=︒=，，为AC 中点，45EOF ∠=︒，求△BEF 的周长．11、已知Rt△ABC 中，AC=BC ，∠C =90°，D 为AB 边的中点，∠EDF =90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或延长线）于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证ABC CEF DEF S S S ∆∆∆21=+． 当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， , , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AP MC QBOFE CBAABCS △CEF S △DEFS △F BCEDA图1BAECFD图2图3EBADFC五、等线段共点12、如图所示，P 是等边ABC ∆内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC ∆的边长.BPC S ∆= ,ABP S ∆= , APC S ∆=,ABC S ∆= ,13、P 为等边ABC ∆内一点，113APB ∠=，123APC ∠=，求证：以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝1，PD ＝2，PC ＝3，将PAD ∆绕着D 点按逆时针旋转︒90到DCM ∆的位置 （1）求APD ∠的度数。

(2)求正方形的边长PCBAPCBA PCBAMPDCBA六、费马点问题 15、阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：⑴如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ∆的费马点。

(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ++=⑵如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++PEDCBA⑶若30ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值QA BCDEP16、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．17、阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30º，BC =6，AC =5，在△ABC内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值．ENMDCBADEACBP图2DACB图3ACBP图1小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．七、最值问题 18、已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.⑴如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小.19、如图①，已知ABC ∆是等腰直角三角形，BAC ∠=90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG ．⑴试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论． ⑵将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于︒0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．⑶若2BC DE ==，在②的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．P DCBAABCD EFG②①G FEDCBA八、综合应用20、已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．21、已知：如图，OAB ∆与OCD ∆为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒． ⑴如图①，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，联结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，联结OM ，请你猜想OM 与AD 的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；⑵如图②，在图1的基础上，将OCD ∆绕点O 逆时针旋转一个角度α(︒<<︒900α)．①OM 与AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；图1ABCDEM图2MEDCBA②求证：OM AD ．②①MACOD BMOD CBA。