《二元一次方程组与一次函数》教学设计

《二元一次方程组与一次函数》教学设计

一．教学目标

(一)教学知识点

1.二元一次方程和一次函数的关系.

2.二元一次方程组的图象解法.

(二)能力训练要求

1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.

2.通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法.同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.

(三)情感与价值观要求

通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.

二．教学重点

1.二元一次方程和一次函数的关系.

2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.

三．教学难点

方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.

四．教学方法

学生操作——自主探索的方法

学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力.

五．教具准备

投影片两张：

第一张：问题串(记作§7.4 A)；

第二张：补充练习(记作§7.4 B).

六．教学过程

Ⅰ.回忆旧知识，引入新课

［师］举例说明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的个数如

何？为什么？

［生］例如x +y =8含有两个未知数x ,y 且未知数的项的次数是一次，所以x +y =8是二元一次方程.

⎩⎨⎧==26y x 是适合方程x +y =8的一组未知数的值，所以⎩

⎨⎧==26

y x 是二元一次方程x +y =8的一个解. 我们不难发现适合x +y =8的一组未知数的值不只⎩⎨⎧==26y x 再例如⎩⎨⎧==71y x ;⎩⎨⎧==62y x ;⎩

⎨⎧==53

y x ……都适合

方程x +y =8，所以说它们都是x +y =8的解.x +y =8有无数多个解，只要给出一个x 的值，代入x +y =8

中，就可得到一个y 的值.这样一组一组的未知数的值都是x +y =8的解.

［师］如果将方程x +y =8利用等式的性质变形，就可得到y =8－x ，同学们能联想到什么？ ［生］y =8－x 是一个一次函数，x 、y 在一次函数中不是未知数，而是两个变量，x 是自变量，y 是因变量.

［师］这位同学回答得很好，他能够把所学的知识联系起来，这正是我们学习数学最可贵的地方之一.我们说到函数，不得不想到函数的图象，因为函数的图象可直观地反映出y 随x 变化的情况.那么函数的图象如何画出来的呢？

［生］我们知道在函数中，给出自变量x 的值，就对应着一个y 的值.我们把x 的值作为点的横坐标，对应的y 的值作为这个点的纵坐标.在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.

［师］下面就请同学们画出一次函数y =8－x 的图象.

我们观察y =8－x 的图象可知：

(1)满足关系式y =8－x 的x 、y 所对应的点(x ,y )都在一次函数y =8－x 的图象上. (2)一次函数y =8－x 的图象上的点(x ,y )都满足关系式y =8－x .

(3)满足关系式y =8－x 的x 、y 的值恰好就是二元一次方程x +y =8的解 因此我们猜想二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢 这节课我们主要就来研究二元一次方程与一次函数的关系. Ⅱ.讲授讲课 (1)方程x +y =5的解有多少个？写出其中几个？

(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y =5－x 的图象上吗？ (3)在一次函数y =5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程x +y =5吗？

(4)以方程x +y =5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y =5－x 的图象相同吗？

［师］对于以上几个问题分组讨论，并归纳出二元一次方程和一次函数的关系.

［生］(1)方程x +y =5的解有无数个.例如⎩

⎨

⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==61

;5,0;23;3,2;4,1y x y x y x y x y x …… (2)我们不妨先画出y =5－x 的图象.

在上面直角坐标系中描出以x +y =5的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数y =5－x 的图象上.

(3)在函数y =5－x 的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x +y =5.

(4)由(2)、(3)可知以x +y =5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y =5－x 的图象是相同的. 综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系： (1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.

(2)反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

［做一做］在同一坐标系内分别画出一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象，这两个图象有交点吗？

交点的坐标与方程组⎩

⎨⎧=-=+125y x y x 的解有何关系？

［师］

同学们以同桌为单位，一个同学在同一坐标系中画出一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象，并观

察得出两个函数图象交点的坐标.另一位同学解方程组⎩

⎨⎧=-=+125

y x y x ，并比较你们的结果.

［生］一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象如图所示：

所以一次函数y =5－x 与y =2x －1的图象的交点是P (2，3).

［生］根据二元一次方程和一次函数图象的关系可知：P (2,3)在一次函数y =5－x 的图象上，所以

⎩⎨⎧==32

y x 是二元一次方程x +y =5的一个解；同时P (2,3)也是一次函数y =2x －1的图象上的点，所以⎩⎨⎧==32y x 也是二元一次方程2x －y =1的一个解.根据二元一次方程组的解的定义可知⎩⎨⎧==32

y x 是⎩

⎨

⎧=-=+125

y x y x 的解 ［生］老师，用消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x 得到的解也是⎩

⎨⎧==32

y x .

［师］因此，我们又有了解二元一次方程组的新的方法——图象法.下面我们来看一个例题.

［例1］用作图象的方法解方程得⎩

⎨⎧=--=-.22,

22y x y x

分析：在同一坐标中作出相应的两个一次函数的图象.观察图象的交点便可得出方程的解.

解：由x －2y =－2可得y =2

1x +1,