大学物理第一章习题解答

习题解答

（注：无选择题，书本已给出）

习题一

1-6 ｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t

d d r 和t

d d r 有无不同? t

d d v 和

t

d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即

r ∆12r r -=，1

2r r r

-=∆；

（2）t

d d r 是速度的模，即t

d d r

=

=v t

s d d .

t

r d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t

ˆr ˆt

r t

d d d d d d r r

r += 式中t

r d d 就是速度径向上的分量，

∴t

r t

d d d d 与r 不同如题1-1图所示.

题1-6图

(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d

=，t

v d d 是加速度a 在切向上的分量.

∵有ττ

(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以

t

v t v t v d d d d d d ττ

+= 式中

dt dv

就是加速度的切向分量. (t

t r d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-7 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r ＝2

2

y x +，然后根据v =t

r

d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度

的分量，再合成求得结果，即

v =2

2d d d d ⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =2

22222d d d d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r

+=，

j

t

y i t x t r a j

t

y i t x t r v

22

2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为

2

22

2

22

2

22

22

2d d d d d d d d ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

22d d d d t

r a t

r

v ==

其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r

d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t

r

也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

的一部分⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

22d d d d t r t r a θ径。

或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r

及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s

时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1） j t t i t r

)432

1

()53(2

-+++=m

(2)将1=t ,2=t 代入上式即有

j i r

5.081-= m j j r

4112+=m j j r r r

5.4312+=-=∆m

(3)∵ j i r j j r 1617,454

0+=-= ∴ 104s m 534

201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t

r

v

则 j i v 734+= 1

s m -⋅

(5)∵ j i v j i v

73,3340+=+=

204s m 14

44-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2s m 1d d -⋅==j t

v

a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

▲ 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以

0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图▲

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知