第七章 傅里叶变换.
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第七章 傅里叶变换
1．求下列函数的傅氏变换：
(1)1,10,
()1,
01,0,;
t f t t --<<⎧⎪
=<<⎨⎪⎩
其它 (2) ,
0,()0,0;
t e t f t t ⎧≤=⎨
>⎩
解: (1)[()]()j t F f t f t e dt ω+∞--∞
=⎰
1
101
10
1
1
22sin cos |
2(1cos ).j t
j t j t j t e
dt e dt
e dt e dt
j
i tdt t j
ωωωωωωω
ωω
-----=-+=-+=-=
=-
-⎰⎰⎰⎰⎰
(2) ()()j t F f t e dt ωω+∞--∞
=⎰
0(1)(1)0
11|.11t j t j t j t e e dt e dt
e j j ωωωωω
---∞
-∞
--∞====--⎰⎰ 6．求下列函数的傅氏变换
(1) 1,0,sgn 1,0;t t t -<⎧=⎨>⎩ (2) ()sin(5).3f t t π
=+
解: (1)已知 1
[()](),[1]2(),F u t F j πδωπδωω
=
+=由sgn 2()1t u t =-有 12[sgn ]2(
())2().F t j j πδωπδωωω
=+-= (2) 由于
1()sin(5)sin 5cos5,322f t t t t π=+=+
故
[()][(5)(5)](5)(5)].2j F f t πδωδωδωδω=
+--++- 7．已知00()[()()]F ωπδωωδωω=++-为函数()f t 的傅氏变换，求().f t
解: 1()[()]f t F F ω-=
00
000001(()())211()()2211
||22cos .
j t j t
j t j t j t e d e d e d e e t ωωωωωωωωωπδωωδωωωπδωωωδωωω
ω+∞-∞+∞+∞-∞-∞
=-==++-=++-=+=⎰⎰⎰ 8．求函数
1()[()()()()]222a a
f t t a t a t t δδδδ=++-+++-的傅氏积分变换.
解: ()[()]F F f t ω=
2
2
1[()()()()]222
[||||]/2cos cos .
2
j t j t j t j t j t t a t a a a t t a a
t a t a t t e dt e e e e a
a ωωωωωδδδδωω+∞--∞----=-==-
==++-+++-=+++=+⎰
9．设
120,0,
0,0,
()()1,0,,0,
t
t t f t f t t e t -<<⎧⎧==⎨
⎨≥≥⎩⎩ 求12()*().f t f t 解: 1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞
=-⎰
g
当0t ≤时，12()*()0;f t f t =
当0t >时，()120()*()t
t f t f t e d ττ
--=⎰
0|1.t t t e e e τ--==- 故
121,
()*()0,
0.
t e t f t f t t -⎧->=⎨
≤⎩ 10．求下列函数的傅氏变换.
(1) 0()sin ();f t t u t ω=⋅ (2) 0()()j t f t e tu t ω= 解: 已知1
[()](),F u t j πδωω
=+
又0001()sin ()(()()).2j t
j t f t t u t e u t e u t j
ωωω-=⋅=- 由位移性质有 [()]F u t 0000111(()())2()()
j j j πδωωπδωωωωωω=
-+-+--- 0
0022
0[()()].2j
ωπ
δωωδωωωω=
--+-
-
(2)由微分性质有
2
111
[()]()(),F tu t j j j πδωπδωωω'⎛⎫'=+=- ⎪
-⎝⎭ 又位移性质有
02
01
[()]().()F tu t j πδωωωω'=--
-
第九章 拉普拉斯变换
1．求下列函数的拉氏变换
(1)3,02,()124,0,4;t f t t t ≤<⎧⎪
=-≤<⎨⎪>⎩
，
(2)2()5();t f t e t δ=+ 解: (1) 0()[()]()st F s f t f t e dt ϕ+∞
-==⎰
2
40
2
3st
st e dt e dt --=-⎰⎰
2402
2431||1
(34).st st t s e e s s
e e s
----=-+=-+
(3)20
[()][5()]t st f t e t e dt ϕδ∞
-=+⎰
(2)0
05()1
5|(Re 2)2
15.
2
s t st st t e dt t e dt
e s s s δ∞∞
---==+=
+>-=+-⎰⎰ 2．求下列函数的拉氏变换
(1)232;t t ++ (2)1;t te -- (3)5sin 23cos2t t -;