第七章 傅里叶变换.
傅里叶变换及其性质 PPT
也称为时间倒置定理。
5. 对称性
我们知道
S a ( t) 1
－1
1
－2
0
2
t
(a )
g 2( ) 1
－ o
( b ) 图2.5-4 取样函数Sa(t) 及其频谱
6. 时域卷积
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系 统的单位冲激响应h(t), 则有
的关系也可以用一个图绘出。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 2.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件
第 29 页
2Eej24E2Eej2 j 2F 2 F
F 12 2 E ej24 E 2 E e j2
122Eej22ej2
2 E 2 ej4 e j4 2 2 E 2 2jsi4 n 2
2
8E2
s
in 4
2
4
精品4课件2
ESa2
2 4
29
X
例3-7-8
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
精品课件
9
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
2．例
ut 1 1sgntF 1
22
j
精品课件
5
三．奇偶虚实性
若 f( t) F () ， f( t)则 F ( )
证明：
由定义
F f(t)f(t)e jtd tF ()
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e j td t f ( u ) e j u d u F ( )
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移 t0左 右
t0 t0
时移加尺度变换
若 f(t)F() 则fatb1Fejab
a a
仿at
1 a
t的证
精品课件
明
过
程
11
六．频移特性
1．性质
若f(t) F()
则ff((tt))e e j j 0t0t F F 00 0为常数号 ，注
2．证明
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
傅氏变换
1 2
( )e
j t
d
1 2
e
j t
j
d
1
2
1 2
( )e
j t
d
1 2
sin t
d
1
sin t
0
d
28
因为
sin
0
d
2
,则
, 2 sin t 0 d 0, , 2
研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.
研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉
冲函数.
15
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为 t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路 上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电 量函数, 则 0, t 0;
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 d q (t ) q(t t ) q (t )
f (t )
1 2
－
1 2
e jw t d 1 c o s d
1
1 2
s in w w
1
jw t d e 1
1
s in w w
jw t e d
26
0, 例3 证明单位阶跃函数u (t ) 1 的傅氏变换为 1 j ( ).
t 0; t 0
傅里叶变换概念
傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。
傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。
任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。
傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。
傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。
根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。
傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。
例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。
在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。
通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。
在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。
此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。
傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。
为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
傅里叶变换及反变换课件
• 傅里叶变换概述 • 傅里叶正变换 • 傅里叶反变换 • 傅里叶变换的应用 • 傅里叶变换的实践操作
目录
01
傅里叶变换概述
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域的信号转换为其频域表示。在数 学上，它被定义为函数f(t)与其复指数函数e^(iωt)之间的积分变换。
定义函数
定义需要变换的函数 ，例如正弦函数、余 弦函数等。
进行傅里叶变换
使用fft库中的fft函 数进行傅里叶变换。
绘图
使用matplotlib库将 变换后的结果绘制成 图形。
感谢观看
THANKS
通过傅里叶正变换，可以将一个复杂的信号分解成多个简 单的正弦波分量，每个分量都有自己的频率、幅度和相位 。这种分解方式有助于更好地理解信号的组成和特性，在 信号处理、通信、图像处理等领域有广泛应用。
03
傅里叶反变换
傅里叶反变换的定义
傅里叶反变换是数学和工程领域中常用的工具，用于将频域函数转换回时域函数。 它与傅里叶变换是逆操作，通过傅里叶反变换可以将频域信息还原为时域信息。
积分运算的取值范围是整个实数 轴，代表着所有可能的频率成分
。
傅里叶反变换的物理意义
傅里叶反变换的物理意义在于将频域 信息还原为时域信息，从而可以分析 信号的时域特性。
例如，在音频处理中，傅里叶反变换 可以将音频信号从频域转换回时域， 以便更好地感知声音的细节和变化。
通过傅里叶反变换，可以了解信号在 不同时间点的强度和相位变化，这对 于信号处理和通信系统等领域非常重 要。
数值计算和绘图。
定义函数
定义需要变换的函数，例如正 弦函数、余弦函数等。
进行傅里叶变换
傅里叶变换详解
若函数
以 为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角 (7.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端 (7.1.3)
式（7.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简
称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
7.3.3 傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
2.第二种定义式
3.第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
这些数值时，相应有不同的频率
和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数
的振幅频谱（简称频谱）.
若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点
用图形表示出来，这样的图
形就是频谱图. 由于
,所以频谱 的图形是
不连续的，称之为离散频谱．
利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为
（7.1.4）
其中
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（ Dirichlet）定理 7.1.1 若函数
满足条件：
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，
复变函数第七章_傅里叶变换(3)
§7-3 单位脉冲函数及其傅立叶变换一．δ—型序列和δ—函数例1． 在电流为零的电路中，从时刻0t 到ε+0t 通入一个单位电量的矩形脉冲。
设电流强度为()0t t -εδ，则有：()⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-εεεδε00000,01t t t t t t t t t当时间间隔+→0ε时，函数()0t t -εδ的极限状态就可以看成在瞬时0t 通入单位电量所产生的电流。
在电路分析中，称这个极限电流为作用在时刻0t 的单位脉冲电流，称这个极限状态下的函数()()000lim t t t t -=-+→δδεε为单位脉冲函数，即δ—函数，也称为狄拉克（Dirac ）函数。
00=t 时，δ—函数()t δ更为常见。
说明：δ—函数是一个广义函数，它不能用普通意义的函数定义法（即值的对应关系）来定义，我们可以认为，δ—函数()t δ是某个普通函数序列()t εδ的极限（称为δ—型序列）。
二．δ—函数的积分我们可以认为δ—函数具有如下两个特征：1． 0=t 时，δ—函数()∞→t δ，0≠t 时，δ—函数()0=t δ 2． ()t δ在区间()+∞∞-,上的积分表示为：()()1lim 0==⎰⎰+∞∞-→+∞∞-+dt t dt t εεδδ 由此推出δ—函数的一个重要结果，称为δ—函数的筛选性质：()()()()()00f dt t f dt t t f ==⎰⎰+∞∞-+∞∞-δδ (7-3-1)()()()()()000t f dt t t f dt t t t f ==-⎰⎰+∞∞-+∞∞-δδ (7-3-1)’三．δ—函数的傅氏变换()=ωF F ()[]t δ ()10====-+∞∞--⎰t tj t j e dt e t ωωδ同理我们还可以得：F()[]0t t -δ ()000t j t t tj t j e e dt e t t ωωωδ-=-+∞∞--==-=⎰即()00t j et t ωδ-↔-需要指出，δ—函数的傅氏变换是一种广义的傅氏变换。
傅里叶变换
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分非必要条件F(jw)是频谱密度函数或频谱函数傅立叶级数明确地表示了谐波频率与其幅值与相位的关系，根据频率就可以确定各次谐波的幅值。
那对非周期信号做傅立叶变换得到的是连续频谱密度函数，某一频率点的信号幅度是无穷小，没有意义，那这个频谱密度函数有什么用呢？前四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，计算机无法处理。
针对长度有限的信号，解决方法有两种：（1）.长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。
（2）.也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于有限离散信号的变换只有方法（2）才可以。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
得出每个主值序列在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
DTFT：时域上是离散的，频域上是连续的DFT：时域上是离散的，频域上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
t e intdt n
0,1,2,L
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n
又 (n )
1
2
f
(
)e jn
d
e jnt
f
(t
)
lim
n 0
n
T
(n
)n
(n ) d n
( )d
最后可得：
f (t) 1
2
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
第七章傅里叶变化及其性质
0.2
-4
0
-0.5
0
0.5 -50 0 50
t
w
7.2 傅里叶变换的性质 7.1.2 尺度变换的性质
例7-5：设矩形信号f(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2),用MATLAB 命令绘出该信号及其频谱。 当信号f(t)的时域波形扩展为原来的2倍，或压缩为原 来的1/2时，则分别得到f（t/2)和f(2t),用MATLAB命 令绘出f(t/2)和f(2t)的频谱图，并加以比较。
由上述结果指导，F(s)有三个单实 极点，即p1=-3，p2=-1,p3=0, 其对应部分分式展开式为
C1=-1/6，C2=-1/2，C3=2/3.因此 F(S)可展开为
-1/6 -1/2 2/3 p=
-3 -1 0
F(s) 2 / 3 1/ 2 1/ 6 s s 1 s 3
所以，F (s)的反变换为
7.1 傅里叶变换的实现 7.1.1 MATLAB符号运算求解法
Fourier变换的语句格式分为三种： (1) F=fourier(f);它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于w的函数 (2) F=fourier(f,v)；它返回函数F式关于符号对象v的函数，而不是默认的w。 (3) F=fourier(f,u,v)；是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数。
Fourier反变换的语句格式分为三种： (1) f=ifourier(F);它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于w的函数 (2) f=ifourier(F,v)；它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。 (3) f=ifourier(F,u,v)；是对关于v的函数F进行变换，返回函数f是关于u的函数。
解：对上式两边取傅里叶变换，得
第七章 傅里叶变换
直流分量实际上是所有像素之和
例7.3.2
a=[100 200;100 200]; >> a=repmat(a,4,4) af=fft2(a) af = Columns 1 through 7 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Column 8 0
jω x
dω
通常把以上公式称为傅里叶变换对。 通常把以上公式称为傅里叶变换对。 函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)， 其傅立叶变换F(u)是惟一的； 反之，对于任一函数F(u)， 其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。
离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具， 连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这 在理论分析中无疑具有很大价值。 在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换 使得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅 使得数学方法与计算机技术建立了联系， 里叶变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽 阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值， 阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值，而且在某 种意义上说它也有了更重要的实用价值。 种意义上说它也有了更重要的实用价值。
yυ N
}e
− j 2π
xu M
= fT列 fT行 f x, y ))) （ （（
f ( x, y ) =
M −1 N −1 1 MN =0 =0
∑∑ F (µ ,υ ) ⋅ e µ υ
−1 列 −1 行
j 2π ( xµ + yυ ) M N
=
1 MN
fT −1行 fT −1列 f x, y ))) （ （（
傅立叶变换的作用
• （1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 • （2）可以将卷积运算化为乘积运算。 • （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和 重构的重要手段。 • （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个 不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无 法解决的问题在频域却是显而易见的。
傅里叶变换详细解释
傅里叶变换详细解释
傅里叶变换是数学中的一种重要分析工具，用于将一个函数表示为一系列复指数的加权和。
它得名于法国数学家约瑟夫·傅
里叶。
简单来说，傅里叶变换可以将一个函数或信号从时域（即时间域）转换到频域（即频率域），从而揭示出了信号中不同频率分量的强弱情况。
傅里叶变换的数学表示如下：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−jωt) dt
其中，F(ω)表示频率为ω的复指数分量的权重，f(t)表示输入
函数或信号，e^(−jωt)表示复指数函数。
傅里叶变换将输入函
数或信号f(t)与复指数函数相乘，并对结果进行积分，得到频
率域的表示。
傅里叶变换可以将任意复数函数f(t)分解为多个复指数函数的
加权和，每个复指数函数的频率和权重由变换结果F(ω)确定。
所以，傅里叶变换可以将时域的函数转换为频域的复数表示。
傅里叶变换的应用非常广泛，尤其在信号处理、图像处理和通信领域中发挥着重要作用。
它可以帮助我们理解和分析信号的频域特性，如频率分量的强度、相位关系和频谱形状。
此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波、频率分析、谱估计、图像压缩等方面。
总之，傅里叶变换通过将函数或信号从时域转换到频域，使我
们能够更好地理解和处理信号的频率特性，并在许多应用中发挥着重要的作用。
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
傅里叶变换超详细总结
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权”——傅里叶的第一个主要论点——“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点——频域分析：傅里叶变换，自变量为 j Ω复频域分析：拉氏变换，自变量为 S = σ +j ΩZ域分析：Z 变换，自变量为z傅立叶级数是一种三角级数，它的一般形式是)sin cos (10t n b t n a A n n n ωω++∑∞=将周期性的(非正弦的)波,用一系列的正弦波的迭加来表示,然后对每一项正弦波进行分析,因此提出了把周期函数 f(x) 展开成三角级数01()sin()n n n f t A A n t ωϕ∞==++∑01(cos sin )n n n A a n t b n t ωω∞==++∑为了讨论如何把周期函数展开成三角级数，首先考虑三角函数系的正交性。
{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,t t t t n t n t ωωωωωω⋯⋯正交性:不同的基本单位向量的点积(内积)等于零,而相同的基本单位向量不等于零傅里叶变换•周期信号的傅里叶级数分析(FS)•非周期信号的傅里叶变换(FT)•周期序列的傅里叶级数（DFS）•非周期的离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）•离散傅里叶变换（DFT）1 周期信号的傅里叶级数分析(FS)三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数都属是三角函数集。
优点：(1)三角函数是基本函数；(2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之目的联系；(3)单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理；(4)三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。
由于三角函数的上述优点，周期信号通常被表示(分解)为无穷多个正弦信号之和。
利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数，所以周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数的之和，其优点是与三角函数级数相同。
傅里叶变换详解(课堂PPT)
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7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
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的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
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（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
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式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
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l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
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(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
《傅里叶变换详解》课件
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
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傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
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傅里叶变换的性质
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傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
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第七章 傅里叶变换1．求下列函数的傅氏变换：(1)1,10,()1,01,0,;t f t t --<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其它 (2) ,0,()0,0;t e t f t t ⎧≤=⎨>⎩解: (1)[()]()j t F f t f t e dt ω+∞--∞=⎰1101101122sin cos |2(1cos ).j tj t j t j t edt e dte dt e dtji tdt t jωωωωωωωωω-----=-+=-+=-==--⎰⎰⎰⎰⎰(2) ()()j t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰0(1)(1)011|.11t j t j t j t e e dt e dte j j ωωωωω---∞-∞--∞====--⎰⎰ 6．求下列函数的傅氏变换(1) 1,0,sgn 1,0;t t t -<⎧=⎨>⎩ (2) ()sin(5).3f t t π=+解: (1)已知 1[()](),[1]2(),F u t F j πδωπδωω=+=由sgn 2()1t u t =-有 12[sgn ]2(())2().F t j j πδωπδωωω=+-= (2) 由于1()sin(5)sin 5cos5,322f t t t t π=+=+故[()][(5)(5)](5)(5)].2j F f t πδωδωδωδω=+--++- 7．已知00()[()()]F ωπδωωδωω=++-为函数()f t 的傅氏变换，求().f t解: 1()[()]f t F F ω-=00000001(()())211()()2211||22cos .j t j tj t j t j t e d e d e d e e t ωωωωωωωωωπδωωδωωωπδωωωδωωωω+∞-∞+∞+∞-∞-∞=-==++-=++-=+=⎰⎰⎰ 8．求函数1()[()()()()]222a af t t a t a t t δδδδ=++-+++-的傅氏积分变换.解: ()[()]F F f t ω=221[()()()()]222[||||]/2cos cos .2j t j t j t j t j t t a t a a a t t a at a t a t t e dt e e e e aa ωωωωωδδδδωω+∞--∞----=-==-==++-+++-=+++=+⎰9．设120,0,0,0,()()1,0,,0,tt t f t f t t e t -<<⎧⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩ 求12()*().f t f t 解: 1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞=-⎰g当0t ≤时，12()*()0;f t f t =当0t >时，()120()*()tt f t f t e d ττ--=⎰0|1.t t t e e e τ--==- 故121,()*()0,0.t e t f t f t t -⎧->=⎨≤⎩ 10．求下列函数的傅氏变换.(1) 0()sin ();f t t u t ω=⋅ (2) 0()()j t f t e tu t ω= 解: 已知1[()](),F u t j πδωω=+又0001()sin ()(()()).2j tj t f t t u t e u t e u t jωωω-=⋅=- 由位移性质有 [()]F u t 0000111(()())2()()j j j πδωωπδωωωωωω=-+-+--- 000220[()()].2jωπδωωδωωωω=--+--(2)由微分性质有2111[()]()(),F tu t j j j πδωπδωωω'⎛⎫'=+=- ⎪-⎝⎭ 又位移性质有0201[()]().()F tu t j πδωωωω'=---第九章 拉普拉斯变换1．求下列函数的拉氏变换(1)3,02,()124,0,4;t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪>⎩，(2)2()5();t f t e t δ=+ 解: (1) 0()[()]()st F s f t f t e dt ϕ+∞-==⎰24023stst e dt e dt --=-⎰⎰24022431||1(34).st st t s e e s se e s----=-+=-+(3)20[()][5()]t st f t e t e dt ϕδ∞-=+⎰(2)005()15|(Re 2)215.2s t st st t e dt t e dte s s s δ∞∞---==+=+>-=+-⎰⎰ 2．求下列函数的拉氏变换(1)232;t t ++ (2)1;t te -- (3)5sin 23cos2t t -;(1)解: 由1!()m m m t s ϕ+=及1[1]s ϕ=有232232[32].t t s s s ϕ++=++ (2)解: 已知21[],t s ϕ=由位移性质有21[],(1)t te s ϕ-=+ 211[1].(1)t te s s ϕ--=-+ (3)解: 22221[sin ],[cos ],t t s s ωϕωϕωωω==++ 2222[5sin 23cos 2]5344103.4st t s s s s ϕ-=-++-=+3．利用拉氏变换性质，计算[()].f t ϕ (1) 3()sin 2;t f t te t -= 解: (1) 322222[sin 2]|.(3)(3)4t te t s s ωωϕω-===++++ 3222222[sin 2][](3)42[2(3)][(3)4]4(3).[(3)4]t d te t ds s s s s s ϕ-=-++-+=+++=++ 4．利用拉氏变换性质，计算1[()]F s ϕ-. (1)11();11F s s s =-+- (2)222();(1)s F s s =- 解: (1) 1111[()][]11F s s s ϕϕ--=-+- 2.t t e e sht -=-=-(2)由像函数的积分性质22221()(1)1sss F s ds ds s s ∞∞==--⎰⎰111()2111()(),2t t s s f t e e t ϕϕ-=--+-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦故()().2t t tf t e e tsht -=--=5．利用像函数的积分性质，计算[()]f t ϕ(1) 30sin 2.t te tdt t-⎰ 解: 322[sin 2],(3)4t e t s ϕ-=++ 3302sin 21sin 2[][]12(3)413(arctan ).22t t ts e t e t dt t s tds s s s s ϕϕπ--∞==+++=-⎰⎰ 6．求下列积分的值 (1)20;t te e dt t--+∞-⎰(2)20.t te dt +∞-⎰解: (1) 令2(),t t f t e e --=-则200()t te e dt F s ds t--+∞∞-=⎰⎰0(ln(1)ln(2))|1ln |ln 2.2s s s s +∞+∞=+-++⎛⎫== ⎪+⎝⎭(2)2222011[]||.4t s s te dt t s ϕ+∞-=====⎰ 7．求下列像函数()F s 的拉氏逆变换.(1)221;s a + (2);()()s s a s b -- (3)221;s e s -+解: (1)12211[]sin .at s a aϕ-=+ 解: (2)1(),()()s a bs a s b a b s a s b=------11[]().()()at bt s e a e b s a s b a bϕ-=----解: (3)22111222211s se e s s s s ϕϕϕ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)(2)2(1),2,,0 2.t t u t t t t t =+--->⎧=⎨≤<⎩ 8．求下列函数区间[0,]+∞上的卷积. (1)1();u t *解: (1) 01()().ttu t u t d d t τττ*=-==⎰⎰9．利用卷积定理证明下面不等式.(1)1222sin (0).()2st at a s a a ϕ-⎡⎤=≠⎢⎥+⎣⎦ 解: 22222221(),()s s F s s a s a s a==⋅+++由 11222211cos ,sin ,s at at s a s a aϕϕ--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦有10020021()[()]cos sin 1sin cos ()1[sin sin(2)]2sin 1sin (2)(2)24sin 1[cos (2)]|24sin 2tt t t f t F s at at aa a t d a at a at d at at a t da t a a t at a t a a t at aϕττττττττ-==*=⋅-=+-=+--=+--=⎰⎰⎰10．解下列微分方程.(1)2,(0)(0)0;t y y y e y y ''''-+=== (2)33cos ,(0)0,(0)1;y y y t y y ''''++=== (3)32(1),(0)0,(0)1;y y y u t y y ''''++=-==解: (1)令()[()]Y s y t ϕ=,在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得21()2()(),1s Y s sY s Y s s -+=-31(),(1)Y s s =- 故121311()[()]Re ,1()|.(1)2!2!st st ts e y t Y s s e t e s ϕ--⎡⎤''====⎢⎥-⎣⎦ 解: (2)在两边取拉氏变换,并利用初始条件得223()(0)(0)3()3(0)(),1ss Y s sy y sY s y Y s s '--+-+=+即 22231(31)()1,(),11s s s Y s Y s s s ++=+=++ 故1()[()]sin .y t Y s t ϕ-==解: (3)如上述方法2()(0)(0)3()3(0)2()[(1)],s Y s sy y sY s y Y s u t ϕ'--+-+=-(1)(2)()[(1)]11,1(),(1)(2)(1)(2)sse s s Y s u t s e Y s s s s s s ϕ--++=-+=+=+++++ 11222(1)(1)2[()](1)(2)(1)(1)11(1),22st t t tt t t t e Y s e e s s s u t g t e e u t e e e e ϕϕ-------------⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦=--+-⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦其中11(),(1)(2)g t s s s ϕ-⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦0212()|||(1)(2)(1)(2)11.22st st sts s s t t e e e g t s s s s s s e e ==-=---=++++++=+-。