格点多边形的面积计算

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几何图形六年级

几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。

2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。

注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。

要区分面积是几个单位。

2．在数格点时要细心。

3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。

正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。

[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。

三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。

分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是：正方形格点阵中多边形面积公式：为图形内格点数，L为图形周界上格点数．，则用粗线围成图形的面积为：②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】设整个七巧板组成的正方形的边长为块板面积和为整幅图面积：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三，所以每块为1120，那么原来的正三角形由中的三角形分成A、B、两种正三角形的面积依次为“19”、“181种正三角形的个数依次为1，3．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6分成大小、形状相同的三角形，包含有9个小正三角形．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若【分析与解】在图个小正三角形，而阴影部分含有个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为所以原正三角形的面积为5×25=612.5(平方分米而在图6-8中，原正三角形被分成块，所以阴影部分的面7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形个角可以得到一个六边形，切去3×0.5=23.5(，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．其中阴影部分占SABC=9×9÷2=40，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米方法二：DG=DF-FG=9-3=6(SHIG =14×有BF=AD=DG=6(方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图中某些交点标上字母．易知三角形BIE、CGF、AIH先求出等腰直角三角形AHI再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．SABC =DEFS=12×EFCGFS=12×CF×FG=因为CF=FG=3，所以ACD S DGH S =14A I H S =DGH S =9，S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(即阴影部分的面积为ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AOD 、ODF 的面积和． AOD S =14S 矩形ODF S =12×DF×(AEO S =12×AE×(EFD S =12×ED×DF=有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(10．如图6-12，大正方形的边长为10将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影如下图，我们将大正方形中的所有图形分成个，其中阴影部分含有厘米的正方形，梯形16平方厘米，则梯形个三角形的面积分别记为①、②、③、④．同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．B O DS-AOES=16，有(①+②)-(③+④)ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)所以有S 梯形中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、2．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=S 阴影=S 平行四边形-CDHS =36-10.5=25.5(13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?延长交于E ，有∠EDC=45°，∠°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有ABE S =12×AB×EA EDC S =12×EC×DC=ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，将前者与后者做差所得到的值即为所AFH S=12×AH 0.5+1)-（12×1）=0.375AFH S-AHED S 梯形平方米．AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+115．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为×4+12×12=52936=236×236，所以AK长为。

格点面积公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1。

设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

相关信息：
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。

2、格点关于格点的对称点为格点。

3、格点多边形面积公式：设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。

4、格点正多边形只能是正方形。

5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。

格点面积公式毕克定理

格点面积公式毕克定理嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个挺有趣的数学知识——格点面积公式毕克定理。

先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。

有一次我去公园散步，看到地上铺着那种一格一格的地砖，就像咱们数学里的格点图。

我突然就想到了毕克定理，感觉数学知识真是无处不在。

那什么是毕克定理呢？简单来说，就是计算格点多边形面积的一个好办法。

假设一个格点多边形内部有 N 个格点，边上有 L 个格点，那这个多边形的面积就等于 N + L/2 - 1 。

咱们来通过几个例子感受感受。

比如说一个简单的正方形格点图，边长是 3 个格子。

内部没有格点，边上有 4 个格点。

按照毕克定理，面积就是 0 + 4/2 - 1 = 1 ，正好就是这个正方形的面积。

再比如一个稍微复杂点的三角形格点图，内部有 3 个格点，边上有6 个格点。

那它的面积就是 3 + 6/2 - 1 = 5 。

有些同学可能会问了，这毕克定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数学竞赛中，如果遇到求格点图形面积的题目，用毕克定理就能快速又准确地得出答案。

而且呀，毕克定理还能帮助我们更好地理解图形和数量之间的关系。

通过计算格点图形的面积，我们能更深入地感受数学的奇妙和规律。

在实际生活中，也能看到毕克定理的影子呢。

比如设计师在设计一些图案的时候，可能就会用到格点和毕克定理来计算面积和比例，确保设计的美观和合理。

同学们，数学的世界就像一个大宝藏，毕克定理只是其中的一颗小宝石。

只要咱们用心去探索，就能发现更多有趣又实用的知识。

就像我在公园里看到的那些地砖格点，它让我在平常的生活中也能想到数学。

咱们学习数学，不只是为了考试，更是为了能在生活中发现它的美，用它来解决问题，让生活变得更有趣、更有条理。

希望大家以后看到格点图形的时候，都能想起毕克定理，用它来算出面积，感受数学的魅力！。

多边形面积奥数

第十讲格点与切割备考导航格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。

通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1典型例题【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。

【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。

请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?小试身手（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。

三个多边形的面积分别为多少平方厘米?（2）图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?星级挑战（一）夯实基础★★★1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

(导学案)课题学习格点多边形的面积计算

第4章平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。

情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。

【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。

【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是1cm*1cm，缝隙长度可以忽略不计。

图1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。

前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。

第四个图形割法补法均适用。

以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。

）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。

提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。

数学实验记格点多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积记为S。

探究S与a、b之间的关系。

再次分析马赛克问题时，我们不易发现他们之间的关系。

通过观察表格中的结论，引导学生发现，当a相等时，b不相等，那么所得多边形的面积也不一样；当b相等，而a不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当a、b均相等时，才能保证，多边形面积S相等。

格点多边形面积计算

边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形.
A E B C D
问题1
A E B C D
你会求图中格点多边形的面积吗？请试一试！
E
E
B
B
C D
C
D
补
割
问题2
E B C D
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，那么S与N、L三者之间有怎样的数量关系呢？
② ③ … … … … S N L
1 L－1仍相等吗？ 2
当N=1时，S与
活动三
如图①②③都是满足条件 N=2 的格点多边形，请填写表格：
图形序号
① S
6
N
2
L
10
② ③ …
4
3
2
2
6
4
…
…
…
当 N=2 时， S 与 L 之间又有什么关系呢？
4、公式应用 ①求下图的面积：
解：图形内部格点数 N=21 图形边界上的格点数 X=9 图形的面积 Y=1/2 *9+21-1=24.5 ②下图中每个小正方形的边长为1，求点C到AB直线的距离。
活动一
如图①②③都是满足条件 N=0 的格点多边形，请填写表格：
A B ① D C
图形序号 ①
② ③ …
S
1 2 3
N
0 0 0
L
4 6 8
A
…
…
…
B
②
C
A B ③
D C ④
当 N=0 时， S 与 L 有什么关系？
活动二
如图①②③都是满足条件 N=1 的格点多边形，请填写表格：
图形序号 ①

巧用皮克定理求格点上的多边形面积

巧用皮克定理求格点上的多边形面积1. 什么是皮克定理皮克定理（Pick’s Theorem）是一个用于计算相邻格点上的多边形面积的几何学定理。

它描述了在一个坐标系中，由相邻格点和连接它们的线段所构成的多边形的面积。

定理的表述如下：定理1（皮克定理）：设多边形P的顶点都是整点，P内部没有其他的整点，则P 的面积S可以通过以下公式计算：S = B + I/2 - 1其中，B表示P边界上的整点数量，I表示P内部的整点数量。

2. 皮克定理的应用场景皮克定理可以在很多场景下得到应用。

以下是一些常见的应用场景：2.1 计算整点多边形的面积通过皮克定理，我们可以直接计算由整点顶点和整点边界组成的多边形的面积。

这在一些几何学问题中非常有用，尤其是当我们只知道顶点坐标而无法通过其他几何学方法求解面积时。

2.2 判断整点多边形利用皮克定理，我们可以判断一个多边形是否由整点构成。

如果一个多边形的面积和边界上的整点数量都是整数，那么该多边形就是由整点构成的。

2.3 寻找满足条件的整点在某些数学问题中，我们需要寻找满足一定条件的整点。

皮克定理可以帮助我们找到满足条件的整点的范围，从而简化问题的求解过程。

3. 皮克定理的证明以下，我们将给出皮克定理的一个简单证明。

3.1 证明思路我们可以通过将多边形划分为一系列的小三角形来进行证明。

然后，我们可以对每个小三角形进行分析，得到一个公共的结论，从而推导出皮克定理的结果。

3.2 证明过程假设多边形P的边界上有n个顶点。

我们可以将多边形P划分为n个三角形，每个三角形有一个顶点位于多边形P的一个顶点上，另外两个顶点位于相邻顶点上。

这样，我们就得到了n个与多边形边界平行的三角形。

设这n个三角形的面积之和为A1。

显然，A1是所有三角形面积之和的一半。

我们观察每个三角形，其中一个顶点是整点，另两个顶点也是整点。

因此，每个三角形的面积也是一个整数。

根据三角形的面积公式，我们可以得到每个三角形的面积与它底边的长度之间存在一个整数倍的关系。

格点求面积知识点

格点求面积知识点一、格点的概念。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。

例如，在坐标平面中，点(1,2)、( - 3,5)等都是格点，而像(1.5,3)就不是格点。

二、格点图形。

1. 定义。

- 顶点都是格点的多边形称为格点多边形。

比如一个三角形，它的三个顶点的坐标都是整数，这个三角形就是格点三角形；同样，四边形的四个顶点坐标都是整数时，它就是格点四边形。

三、格点求面积的方法。

1. 皮克定理（Pick's theorem）- 对于一个格点多边形，设其内部格点数为I，边界格点数为B，其面积S 满足公式S = I+(B)/(2)- 1。

- 例如，有一个格点三角形，经观察其内部格点数I = 3，边界格点数 B = 6，根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1=3 + 3-1=5。

2. 分割法。

- 将格点多边形分割成若干个我们熟悉的图形，如三角形、矩形等。

- 比如一个格点五边形，可以通过连接格点将其分割成三个三角形。

分别求出这三个三角形的面积，然后将它们相加就得到了五边形的面积。

假设这三个三角形的面积分别为S_1 = 2，S_2=3，S_3 = 1，那么五边形的面积S = S_1+S_2+S_3=2 +3+1=6。

3. 补形法。

- 把格点多边形补成一个大的规则图形（如矩形），然后用大图形的面积减去补上去的小图形的面积。

- 例如，有一个格点凹四边形，我们可以把它补成一个矩形。

设矩形的面积为S_矩形=10，补上去的三个三角形的面积分别为S_1=1，S_2=2，S_3=1，那么凹四边形的面积S = S_矩形-S_1-S_2-S_3=10 - 1-2 - 1=6。

毕克定理

巧用毕克定理妙解格点面积
上星期在上数学奥数的时候，发现其中的小狗图学生理解比较难，解题比较复杂。

所以我特意加了一节课，让学生对格点面积有个更清楚的认识，学会这类图形面积的计算。

在正方形的方格纸中．每个小方格的顶点叫做格点，这样就建立了一个方格网，方格网中任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位．如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点。

那么这个多边形叫做格点多边形。

这种格点多边形的面积计算我们使用毕克定理来计算很方便．
格点面积=内部格点数+周界格点数除以2再减1
注意点:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.。

格点多边形的面积计算-课堂导学案

《格点多边形的面积计算》课堂导学案
一、若任意两条平行线间距离为1，求这个格点多边形的面积.
二、探究格点多边形的面积
请分别计算下图格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为_______________.
当N=0时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=0时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究2
当N=1时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=1时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
当N=2时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=2时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究4
当N=3时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=3时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
归纳总结：
观察分析上述4种情形下面积s与各边上格点的个数和L之间的函数关系；当格点多边形内部有N个格点时，s与L，N之间满足等量关系为：
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三、格点多边形面积公式的应用
1、求下图的面积：
2、下图中每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上，求点C到线段AB的距离.
拓展延伸：
如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?。

三角形格点多边形面积公式

三角形格点多边形面积公式好嘞，今天我们来聊聊三角形格点多边形的面积公式，这可是一门有趣的数学“魔法”。

听起来可能有点儿复杂，但别担心，咱们用轻松的方式来搞定它。

想象一下，咱们在一个大草地上画三角形，那个场景还挺美的，阳光明媚，微风徐徐。

咱们的目标就是找出这个三角形的面积。

好，咱们得弄清楚格点是什么。

格点，就是在坐标平面上那些像小星星一样的点，简单得很。

每个点都有自己的“身份证”，就是坐标，比如（x，y）。

在咱们的三角形里，得有三个这样的格点，才能把这个三角形画出来。

记住了哦，三角形就得有三条边，没得商量！说到面积，大家都知道，面积就是咱们要计算这个三角形所占的“地盘”有多大。

哎呀，这里有个小秘密，咱们可以用一个神奇的公式来算。

这个公式就是：面积等于一半乘以底乘以高。

可是，底和高得从格点里找出来，这个时候，数学就变得有点儿像侦探游戏了。

你得观察、分析，然后找出合适的底和高。

比如，假设你的三角形的三个格点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

这时，你得先把这些点的坐标拿出来，咱们需要用到它们的“身份证”。

然后，就可以用“行列式”来求面积，这听起来高大上，但其实挺简单。

用这个公式：面积 = 0.5× | x1(y2y3) + x2(y3y1) + x3(y1y2) |。

哈哈，看到这里，可能有人会瞪大眼睛，心想“这是什么鬼”，但没关系，慢慢来，咱们一个一个来拆解。

在这个公式里，x和y的组合就像是一种“调味品”，调出面积的美味。

这个绝对是数学中的“绝配”！我们只要把格点的坐标带进去，算一算，结果就会跳出来，告诉你这个三角形到底有多大。

说不定你会惊叹，“哇，我的三角形居然占了这么多地方！”这是数学给你的小惊喜。

面积的计算不仅仅是为了在考试中得分，生活中也有很多实际应用。

想想看，装修房子的时候，估计你得知道每个房间的面积吧？再比如，农民伯伯们种地也得知道地块的面积，才能种下合适的作物。

皮克定理物理证明

皮克定理物理证明一、皮克定理内容皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式为S = a+(b)/(2)- 1，其中S表示多边形的面积，a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数。

二、物理证明思路（一）构建物理模型1. 设想一个均匀的二维平面点阵- 把每个格点看作是一个质量为m = 1（单位质量）的质点，这些质点之间存在着某种等效的相互作用（这里主要是从构建模型的角度出发，不具体定义相互作用的形式）。

2. 考虑多边形区域- 对于给定的顶点在格点上的多边形，我们将其内部的格点和边界上的格点区分开来。

（二）利用质心的概念1. 计算多边形的质心- 首先计算整个点阵（包含多边形内部和边界的格点）的总质量M。

设多边形内部格点数为a，边界格点数为b，则M=a + b。

- 根据质心的计算公式→r_{cm}=frac{∑_{i = 1}^Mm_{i}→r_{i}}{M}（→r_{i}是第i个质点的位置矢量）。

- 对于我们构建的点阵模型，由于格点是规则排列的，我们可以通过一些几何方法来计算质心位置与多边形的关系。

2. 与多边形面积的联系- 从物理角度看，多边形所占据的区域可以看作是一个特殊的质量分布区域。

我们可以通过一些物理原理（如与二维平面的某种等效“场”的相互作用能量等概念，但这里只是类比的思路）将质心的计算与多边形的面积联系起来。

- 假设存在一种与格点平面相关的物理量F（例如可以想象是一种均匀的平面场力），作用在每个格点上的力为F。

那么整个多边形区域（包含内部和边界格点）所受的总力→F_{total}=(a + b)→F。

- 如果我们假设这个力系关于多边形质心平衡（类比于刚体的平衡），那么可以建立起力、质心位置和多边形面积之间的关系。

- 通过一系列的几何和物理关系的推导（这里涉及到比较复杂的二维平面几何与物理概念的结合，例如将力的平衡关系转化为与多边形边长、格点位置等相关的等式），最终可以得到皮克定理S = a+(b)/(2)-1。

四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版

格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

一个多边形的顶点如果全在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形。

格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。

2、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“N”表示格点多边形内部的格点数，用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中，哪些图形是格点多边形？是的，请在括号里打“√”。

【答案】见解析。

【解析】判断下列几个图形中，哪些图形是格点多边形，请在序号上打“√”。

【答案】见解析。

【解析】判断下列几个图形，哪些图形是正方形格点多边形？哪些图形是三角形格点多边形？(请在横线上填序号)正方形格点多边形：；三角形格点多边形：。

【答案】见解析。

【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。

【答案】答案不唯一。

【解析】例3下面4幅图中，相邻四点围成的正方形的面积为1。

观察，然后填空。

（用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“L”表示格点多边形边上的格点数，用“N”表示格点多边形内部的格点数。

）【答案】见解析。

【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，“乡村小屋”的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米。

【解析】方法一：方法二：下面4幅图中，相邻三点围成的等边三角形的面积为1。

观察然后填空。

【答案】见解析。

【解析】例4试一试4在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】见解析。

17-格点与割补

知识点回顾一，格点图形的计算：•1，分割法与添补法计算格点图形的面积•2，在最小的正方形面积为1的图形中正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1 •3，在最小正三角形面积为1的图形中三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2知识点回顾二，割补法巧算面积：•1、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

•2、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

【1】（高思学校竞赛数学导引P103）下图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l 平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【2】（高思学校竞赛数学导引P103）(1)下图中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)下图中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?【3】（高思学校竞赛数学导引P104）图中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【4】（高思学校竞赛数学导引P104）如下左图和右图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知左图中阴影部分的面积是294平方分米．请问：右图中的阴影部分的面积是多少平方分米?【5】（高思学校竞赛数学导引P104）如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?【6】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【7】（高思学校竞赛数学导引P104）在下图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．【8】（高思学校竞赛数学导引P104）下图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【9】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?【10】（高思学校竞赛数学导引P105）下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．【11】（高思学校竞赛数学导引P105）下图是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?【12】（高思学校竞赛数学导引P105）在下图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?【13】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．【14】（高思学校竞赛数学导引P99）如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?下节课见！。

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。

第二讲格点与割补(最新整理)

格点与面积
知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形. 规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2
1
例 1：计算下列各图的面积。
1 2 3 4 5 6
总结：面积=
内部点（N）
边上点（L）
面积（S)
(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）
例 2：判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴
⑴
⑴
⑴
2
例 3：如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
例 4：求下列各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
例 5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
6
例 12：图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形 CEPQ 的面积。例 13：图中每个小正方形的面积都是 4 平方厘米，求图中阴影部分的面积。
5
家庭作业
1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是 1 厘米）
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？ 3．求下图中梯形的面积。 4、计算下面三角形格点多边形的面积
三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去 2．

格点多边形的面积计算

几何图形六年级

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

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巧用皮克定理求格点上的多边形面积

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