格点多边形的面积计算
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八年级数学课题学习
格点多边形的面积 计算
数格点 算面积
概念
如果一个多边形的
A
顶点都在格点上，那么
E
这种多边形叫做格点多 B
边形.
C
D
问题1
A
E
你会求图中格点多边
B
形的面积吗？请试一试！
C
D
B C
E D
补
B C
E D
割
问题2
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多 边形内部的格点数为N，它的边上 的格点数为L，那么S与N、L三者 之间有怎样的数量关系呢？
活动一
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=0的格点多边形，请 ① 1 0 4
填写表格：
②
2
0
6
A
D
B
C
①
A
D
A
B
C
②
③来自百度文库
3
0
8
… ………
当 N=0 时 ， S 与L有什么关系？
B
C
③
④
活动二
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=1的格点多边形，请 ① 2 1 4
填写表格：
② 2.5 1
5
问题情境
L=15；L=17，红色多边形的S较大？ N=17；N=16，黄色多边形的S较大？
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定 理”之一。
D
A
C
B
AD C
B
③
4.5 1
9
… ………
①
②
C
当N=1时，S与
1 L－1仍相等吗？
2
A
③
B
④
活动三
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=2的格点多边形，请 ① 6 2 10
填写表格：
A
D
A
②4
2
6
B
F
③3
2
4
B
C
C
E
… ………
①
②D
A
当 N=2 时 ， S
与L之间又有什
B
D
么关系呢？
C③
④
活动四
活动任务
设格点多边形的面积为S，它的边上的格 点数为L，内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
探究模拟
探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
0
3
0.5
0
4
1
1
0 0
5 6
1.5 2
S= 2 L－1
探究开始啦！
猜想归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝１ Ｎ＝２ Ｎ＝３
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝ 1 L＋０
2
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝12 L 2
S=
1 L N 1 2
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
的正确性？
问题情境
L=15；LN==1177，，红S色=7多.5+边17形-1的=2S3.较5 大？ LN==1177；；NN==1166，，S黄=色8.5多+边16形-1=的23S.5较大？
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=3的格点多边形，请 ① 5 3 6
填写表格：
A
AD
②
4
3
4
B
C
③
4.5 3
5
D
D
… ………
C ①
A
D
B
②B
当N=3时，S与L 之间的关系又发生 了怎样的变化呢？
C③
④
预备知识
格点多边形的面积记为 S 格点多边形的边上的格点 的数量记为L 格点多边形的内部的格点 的数量记为N
活动小结
拓展研究
如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还 能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
拓展研究
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1， 那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
格点多边形的面积 计算
数格点 算面积
概念
如果一个多边形的
A
顶点都在格点上，那么
E
这种多边形叫做格点多 B
边形.
C
D
问题1
A
E
你会求图中格点多边
B
形的面积吗？请试一试！
C
D
B C
E D
补
B C
E D
割
问题2
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多 边形内部的格点数为N，它的边上 的格点数为L，那么S与N、L三者 之间有怎样的数量关系呢？
活动一
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=0的格点多边形，请 ① 1 0 4
填写表格：
②
2
0
6
A
D
B
C
①
A
D
A
B
C
②
③来自百度文库
3
0
8
… ………
当 N=0 时 ， S 与L有什么关系？
B
C
③
④
活动二
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=1的格点多边形，请 ① 2 1 4
填写表格：
② 2.5 1
5
问题情境
L=15；L=17，红色多边形的S较大？ N=17；N=16，黄色多边形的S较大？
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定 理”之一。
D
A
C
B
AD C
B
③
4.5 1
9
… ………
①
②
C
当N=1时，S与
1 L－1仍相等吗？
2
A
③
B
④
活动三
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=2的格点多边形，请 ① 6 2 10
填写表格：
A
D
A
②4
2
6
B
F
③3
2
4
B
C
C
E
… ………
①
②D
A
当 N=2 时 ， S
与L之间又有什
B
D
么关系呢？
C③
④
活动四
活动任务
设格点多边形的面积为S，它的边上的格 点数为L，内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
探究模拟
探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
0
3
0.5
0
4
1
1
0 0
5 6
1.5 2
S= 2 L－1
探究开始啦！
猜想归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝１ Ｎ＝２ Ｎ＝３
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝ 1 L＋０
2
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝12 L 2
S=
1 L N 1 2
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
的正确性？
问题情境
L=15；LN==1177，，红S色=7多.5+边17形-1的=2S3.较5 大？ LN==1177；；NN==1166，，S黄=色8.5多+边16形-1=的23S.5较大？
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=3的格点多边形，请 ① 5 3 6
填写表格：
A
AD
②
4
3
4
B
C
③
4.5 3
5
D
D
… ………
C ①
A
D
B
②B
当N=3时，S与L 之间的关系又发生 了怎样的变化呢？
C③
④
预备知识
格点多边形的面积记为 S 格点多边形的边上的格点 的数量记为L 格点多边形的内部的格点 的数量记为N
活动小结
拓展研究
如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还 能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
拓展研究
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1， 那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？