13 卡诺循环 卡诺定理
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第8章 热力学基础
卡诺热机(正循环)效率:
T2 1 T1
p
A
T1 T2
T1
结论: 1) 卡诺循环的效率仅由两热 源的温度决定; 2) 两热源的温差越大, 卡诺循 环的效率越高. 2. 卡诺致冷机(卡诺逆循环) 卡诺致冷机致冷系数:
W D
B
T2
C
V
o
高温热源T1
Q1
卡诺致冷机
对外作功
0
pV2 V1
内能增量
m CV T2 T1 M m CV T2 T1 M
0
m CV T2 T1 M
m CV T2 T1 M
V C T
m C p T2 T1 M
pV C
V m RT ln 2 M V1
0
m C n T2 T1 M
又∵ BC, DA绝热
TAVA 1 TDVD 1
D
C
V
TBVB 1 TCVC 1
TA TC ∴ TD TB TA TC TC TC TB 1 1 TB TA TB
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解: AB吸热, CD放热 m Q1 C p ,m (TB TA ) M m Q2 C p ,m (TC TD ) M
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第8章 热力学基础
例: 有 8×10-3kg 氧气, 体积为
1) 绝热膨胀 由绝热方程
1
0.41×10-3m3, 温度为 27℃. 若氧 气绝热膨胀, 膨胀到体积为 4.1×10-3m3, 求气体作功; 若气 体等温膨胀, 也膨胀到体积为 4.1×10-3m3, 求气体作功? 解: 已知 m=8×10-3kg
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第8章 热力学基础
8.6.3 卡诺定理 1. 在相同的高温热源和低温热 源之间工作的一切可逆(热)机, 不论用什么工作物质, 效率都 相等, 都等于卡诺热机效率.
提高热机效率的途径: 尽量增大两热源的温差; 尽量减少不可逆因素.
可逆机
T2 1 T1
2. 在相同的高温热源和低温热 源之间工作的一切不可逆(热) 机的效率不可能高于可逆(热) 机的效率.
a O V0
解: cd为等体吸热
m Q1 CV ,m (Td Tc ) M
Te Tb V0 Td Tc V
1
1
eb为等体放热 m Q2 CV ,m (Te Tb ) M
1 1 V V0 1 1 r 1
V 气缸的压缩比 r V0
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第8章 热力学基础
逆循环: 在 p-V 图上循 环曲线按逆时针进行, 对应制冷机原理. 8.5.2 热机和热机效率 正循环过程
p
高温热源
Q1
Q净 Q1 Q2 W净
W
Q2 1 Q1 Q1 W净
热机
Q2
W 0
c
低温热源
A
W
d
B
V VB
o
VA
蒸汽机工作示意图
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第8章 热力学基础
8.5.3 制冷机和制冷系数 逆循环过程
W
Q
放
Q
吸
p
A
c
W
d
制冷过程: 外界作功W 系统吸热Q2 系统放热Q1
B
VB
Q1 Q2
Q2 Q2 W Q1 Q2
oV
A
V
W
制冷机工作示意图
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第8章 热力学基础
例: 3.210-2kg 氧气作ABCD循 环过程. AB和C D都为等 温过程, 设 T1=300K, T2=200K, V2 =2V1. 求循环效率.
p A
AaB为膨胀过程: Wa＞0 BbA为压缩过程: Wb＜0
蒸汽机 电冰箱
一个循环过程中, 系统的净 作功(净功):
a b
热 正 循→ 机 原 环 理 B V
O
W净 Wa Wb Wa Wb =循环曲线包围的面积 净功: W Q1 Q2 Q 总吸热 Q1 Q吸 总放热 Q2 Q放 净吸热 Q
Vdp pdV 0
dp pA dV VA
理想气体绝热线比等温线 “更陡”.
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第8章 热力学基础
讨论: 非静态绝热过程
结论: 绝热自由膨胀既不是准 静态绝热过程也不是准静态等 温过程, 但是同样满足热力学 第一定律.
绝热自由膨胀
Q 0 W 0 E 0
T 0 V p
V m RT ln 2 M V1
pV C
m CV T1 T1 M
p1V1 p2V2 n 1
pV C
n
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第8章 热力学基础
§8.5 循环过程和卡诺循环
目的: 制造能连续进行热功转换 的机器: 热机, 制冷机. 8.5.1 循环过程 系统经历一系列的变化又回 到初始状态的过程, 简称循环. 1. 循环特征: 经历一个循环后, E 0 系统内能不变. 2. 循环过程的 p-V 图:
绝热 vs 等温: (1) 从 V1 经等温膨胀到 V2
pV RT
消去 T : 消去 V :
p
pV C2
V
p
T C
p 1T C3
(2) 从 V1 经绝热膨胀到 V2
V
p
T
最终体积都变成 V2 时, T2 >T'2
p2 p2
O
V1
V2
V
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第8章 热力学基础
§8.4 理想气体的绝热过程 8.4.1 热力学第一定律在绝热 过程中的应用 绝热过程: 气体在状态变化过程中系 统和外界没有热量交换.
8.4.2 绝热过程方程 (绝热方程)
绝热方程的推导:
dW dE
pdV CV ,m dT
dQ 0
绝热过程的热力学第一定律:
p
A T1=300K B D T2=200K C
DA 等体过程:
QDA EDA
BC 等体过程:
QBC EBC
m 5 R(T1 T2 ) M 2
CD 等温过程:
QCD WCD
m 5 R(T2 T1 ) M 2
O
V1
V2
V
解: 先分析各过程的吸热, 放热 AB, DA吸热; BC, CD放热 AB 等温过程: m V2 QAB WAB RT1 ln M V1
不可逆机
T2 1 T1
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作业
第8章 热力学基础
习题集：510、14、20、25、29、 30、32、35、45
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O
V1
V4 V2
V3 V
卡诺热机(正循环)效率:
T2 1 T1
BC 和 DA 过程: 绝热 Q 0 AB 和 CD 过程: 等温吸热和放热 m VB Q1 RT1 ln M VA VC m Q2 RT2 ln M VD W Q 1 2 Q1 Q1
结论:
1) 卡诺循环的效率仅由两热 源的温度决定; 2) 两热源温差越大, 卡诺循环 的效率越高.
第8章 热力学基础
绝热膨胀
绝热压缩
p
p1
1( p1,V1, T1 )
p
p2
2( p2 ,V2 ,T2 )
p2
W
( p2 ,V2 ,T2 ) 2
( p1,V1, T1 )
p1
W
1
o V1
V2 V
o V2
V1 V
E1
W
E2 T
E2
E1
T
PБайду номын сангаас2/46
W
第8章 热力学基础
8.4.3 绝热线和等温线的比较
pV RT
CV ,m dT dV V R T
0 dW dE
Q 0 E CV , m (T2 T1 )
dV 1 dT V 1 T
W E CV ,m (T2 T1 )
TV 1 C
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第8章 热力学基础
TV 1 C
Q2
W
T低 Q1 Q2 Q1 T高 T低
低温热源T2
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第8章 热力学基础
例: 一定量理想气体经历了某 一循环过程, 其中AB和CD是等 压过程, BC和DA是绝热过程. 已知B点和C点的状态温度分别 为TB和TC , 求此循环的效率.
p p1 p2 O
A B
Q2 TC TD 则 1 1 TB TA Q1 ∵ AB, CD 等压, 故 VD VC V A VB TD TC TA TB
比较斜率:
绝热方程:
pV γ C1
p p1
绝热
V γ dp γ pV γ 1dV 0
A(pA,VA,TA)
等温
Vdp pdV 0
dp pA γ dV VA
V1 V 设等温线和绝热线在 A 点相交 注: 绝热线上各点温度不同; 与 等温线相比, 各点斜率不同.
等温方程: pV C2
m V RT2 ln 1 M V2 m V W净 Q1 Q2 R(T1 T2 ) ln 2 M V1 V (T1 T2 )ln 2 W净 V1 Q1 T ln V2 5 (T T ) 1 1 2 V1 2 (300 200)ln2 0.15 300ln2 2.5(300 200)
2) 等温膨胀 m V2 WT RT1ln 1435 J M V1
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第8章 热力学基础
热力学基本计算公式
表 9.3 一些准静态过程的重要计算公式
过程 等体 等压 等温 绝热 多方
特征
dV=0 dp=0 dT=0 dQ=0
过程方程
p C T
吸收热量
m CV T2 T1 M
15%
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第8章 热力学基础
8.5.4 卡诺循环 目的: 从理论上探索提高热机 效率的方法. 法国青年科 学家卡诺 (1796-1832)
1. 理想气体的卡诺(正)循环 由两个准静态等温过程和 两个准静态绝热过程组成
高温热源T1
Q1
卡诺热机
Q2
W
1824年提出一种理想的热机 模型, 工作物质只与两个恒定 热源(一个高温, 一个低温)交换 热量. 循环由两个绝热过程和 两个等温过程构成, 该循环称 为卡诺循环.
O
低温热源T2
p A Q1 T1
B
D Q2
T2 V1 V4 V2
C
V3 V
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第8章 热力学基础
p A
Q1
T1
B
T2 ln V3 V4 1 T1 ln V2 V1
D Q2
T1V2 1 T2V3 1
T2
C
1 1 2 4
V2 V3 1 1 V1 V4 TV T V
M=32×10-3kg/mol V1=0.41×10-3m3 T1=273+27=300（k） V2=4.1×10-3m3 i=5
T1V1
T2V2
1
V1 T2 T1 V 2
1
1 300 10 119K
1.4 1
K
m WQ CV ,m (T1 T2 ) 941 J M
第8章 热力学基础
例: 计算奥托循环效率. cd, eb为等容过程; bc, de为绝 热过程.
p
Te Tb Q2 1 1 Q1 Td Tc
根据绝热过程方程得:
d
c
TeV 1 TdV0 1
e b V V
TbV 1 TcV0 1
(Te Tb )V 1 (Td Tc )V0 1
第8章 热力学基础
卡诺热机(正循环)效率:
T2 1 T1
p
A
T1 T2
T1
结论: 1) 卡诺循环的效率仅由两热 源的温度决定; 2) 两热源的温差越大, 卡诺循 环的效率越高. 2. 卡诺致冷机(卡诺逆循环) 卡诺致冷机致冷系数:
W D
B
T2
C
V
o
高温热源T1
Q1
卡诺致冷机
对外作功
0
pV2 V1
内能增量
m CV T2 T1 M m CV T2 T1 M
0
m CV T2 T1 M
m CV T2 T1 M
V C T
m C p T2 T1 M
pV C
V m RT ln 2 M V1
0
m C n T2 T1 M
又∵ BC, DA绝热
TAVA 1 TDVD 1
D
C
V
TBVB 1 TCVC 1
TA TC ∴ TD TB TA TC TC TC TB 1 1 TB TA TB
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解: AB吸热, CD放热 m Q1 C p ,m (TB TA ) M m Q2 C p ,m (TC TD ) M
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第8章 热力学基础
例: 有 8×10-3kg 氧气, 体积为
1) 绝热膨胀 由绝热方程
1
0.41×10-3m3, 温度为 27℃. 若氧 气绝热膨胀, 膨胀到体积为 4.1×10-3m3, 求气体作功; 若气 体等温膨胀, 也膨胀到体积为 4.1×10-3m3, 求气体作功? 解: 已知 m=8×10-3kg
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第8章 热力学基础
8.6.3 卡诺定理 1. 在相同的高温热源和低温热 源之间工作的一切可逆(热)机, 不论用什么工作物质, 效率都 相等, 都等于卡诺热机效率.
提高热机效率的途径: 尽量增大两热源的温差; 尽量减少不可逆因素.
可逆机
T2 1 T1
2. 在相同的高温热源和低温热 源之间工作的一切不可逆(热) 机的效率不可能高于可逆(热) 机的效率.
a O V0
解: cd为等体吸热
m Q1 CV ,m (Td Tc ) M
Te Tb V0 Td Tc V
1
1
eb为等体放热 m Q2 CV ,m (Te Tb ) M
1 1 V V0 1 1 r 1
V 气缸的压缩比 r V0
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第8章 热力学基础
逆循环: 在 p-V 图上循 环曲线按逆时针进行, 对应制冷机原理. 8.5.2 热机和热机效率 正循环过程
p
高温热源
Q1
Q净 Q1 Q2 W净
W
Q2 1 Q1 Q1 W净
热机
Q2
W 0
c
低温热源
A
W
d
B
V VB
o
VA
蒸汽机工作示意图
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第8章 热力学基础
8.5.3 制冷机和制冷系数 逆循环过程
W
Q
放
Q
吸
p
A
c
W
d
制冷过程: 外界作功W 系统吸热Q2 系统放热Q1
B
VB
Q1 Q2
Q2 Q2 W Q1 Q2
oV
A
V
W
制冷机工作示意图
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第8章 热力学基础
例: 3.210-2kg 氧气作ABCD循 环过程. AB和C D都为等 温过程, 设 T1=300K, T2=200K, V2 =2V1. 求循环效率.
p A
AaB为膨胀过程: Wa＞0 BbA为压缩过程: Wb＜0
蒸汽机 电冰箱
一个循环过程中, 系统的净 作功(净功):
a b
热 正 循→ 机 原 环 理 B V
O
W净 Wa Wb Wa Wb =循环曲线包围的面积 净功: W Q1 Q2 Q 总吸热 Q1 Q吸 总放热 Q2 Q放 净吸热 Q
Vdp pdV 0
dp pA dV VA
理想气体绝热线比等温线 “更陡”.
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第8章 热力学基础
讨论: 非静态绝热过程
结论: 绝热自由膨胀既不是准 静态绝热过程也不是准静态等 温过程, 但是同样满足热力学 第一定律.
绝热自由膨胀
Q 0 W 0 E 0
T 0 V p
V m RT ln 2 M V1
pV C
m CV T1 T1 M
p1V1 p2V2 n 1
pV C
n
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第8章 热力学基础
§8.5 循环过程和卡诺循环
目的: 制造能连续进行热功转换 的机器: 热机, 制冷机. 8.5.1 循环过程 系统经历一系列的变化又回 到初始状态的过程, 简称循环. 1. 循环特征: 经历一个循环后, E 0 系统内能不变. 2. 循环过程的 p-V 图:
绝热 vs 等温: (1) 从 V1 经等温膨胀到 V2
pV RT
消去 T : 消去 V :
p
pV C2
V
p
T C
p 1T C3
(2) 从 V1 经绝热膨胀到 V2
V
p
T
最终体积都变成 V2 时, T2 >T'2
p2 p2
O
V1
V2
V
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第8章 热力学基础
§8.4 理想气体的绝热过程 8.4.1 热力学第一定律在绝热 过程中的应用 绝热过程: 气体在状态变化过程中系 统和外界没有热量交换.
8.4.2 绝热过程方程 (绝热方程)
绝热方程的推导:
dW dE
pdV CV ,m dT
dQ 0
绝热过程的热力学第一定律:
p
A T1=300K B D T2=200K C
DA 等体过程:
QDA EDA
BC 等体过程:
QBC EBC
m 5 R(T1 T2 ) M 2
CD 等温过程:
QCD WCD
m 5 R(T2 T1 ) M 2
O
V1
V2
V
解: 先分析各过程的吸热, 放热 AB, DA吸热; BC, CD放热 AB 等温过程: m V2 QAB WAB RT1 ln M V1
不可逆机
T2 1 T1
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作业
第8章 热力学基础
习题集：510、14、20、25、29、 30、32、35、45
P.17/46
O
V1
V4 V2
V3 V
卡诺热机(正循环)效率:
T2 1 T1
BC 和 DA 过程: 绝热 Q 0 AB 和 CD 过程: 等温吸热和放热 m VB Q1 RT1 ln M VA VC m Q2 RT2 ln M VD W Q 1 2 Q1 Q1
结论:
1) 卡诺循环的效率仅由两热 源的温度决定; 2) 两热源温差越大, 卡诺循环 的效率越高.
第8章 热力学基础
绝热膨胀
绝热压缩
p
p1
1( p1,V1, T1 )
p
p2
2( p2 ,V2 ,T2 )
p2
W
( p2 ,V2 ,T2 ) 2
( p1,V1, T1 )
p1
W
1
o V1
V2 V
o V2
V1 V
E1
W
E2 T
E2
E1
T
PБайду номын сангаас2/46
W
第8章 热力学基础
8.4.3 绝热线和等温线的比较
pV RT
CV ,m dT dV V R T
0 dW dE
Q 0 E CV , m (T2 T1 )
dV 1 dT V 1 T
W E CV ,m (T2 T1 )
TV 1 C
P.0/46
第8章 热力学基础
TV 1 C
Q2
W
T低 Q1 Q2 Q1 T高 T低
低温热源T2
P.13/46
第8章 热力学基础
例: 一定量理想气体经历了某 一循环过程, 其中AB和CD是等 压过程, BC和DA是绝热过程. 已知B点和C点的状态温度分别 为TB和TC , 求此循环的效率.
p p1 p2 O
A B
Q2 TC TD 则 1 1 TB TA Q1 ∵ AB, CD 等压, 故 VD VC V A VB TD TC TA TB
比较斜率:
绝热方程:
pV γ C1
p p1
绝热
V γ dp γ pV γ 1dV 0
A(pA,VA,TA)
等温
Vdp pdV 0
dp pA γ dV VA
V1 V 设等温线和绝热线在 A 点相交 注: 绝热线上各点温度不同; 与 等温线相比, 各点斜率不同.
等温方程: pV C2
m V RT2 ln 1 M V2 m V W净 Q1 Q2 R(T1 T2 ) ln 2 M V1 V (T1 T2 )ln 2 W净 V1 Q1 T ln V2 5 (T T ) 1 1 2 V1 2 (300 200)ln2 0.15 300ln2 2.5(300 200)
2) 等温膨胀 m V2 WT RT1ln 1435 J M V1
P.5/46
第8章 热力学基础
热力学基本计算公式
表 9.3 一些准静态过程的重要计算公式
过程 等体 等压 等温 绝热 多方
特征
dV=0 dp=0 dT=0 dQ=0
过程方程
p C T
吸收热量
m CV T2 T1 M
15%
P.10/46
第8章 热力学基础
8.5.4 卡诺循环 目的: 从理论上探索提高热机 效率的方法. 法国青年科 学家卡诺 (1796-1832)
1. 理想气体的卡诺(正)循环 由两个准静态等温过程和 两个准静态绝热过程组成
高温热源T1
Q1
卡诺热机
Q2
W
1824年提出一种理想的热机 模型, 工作物质只与两个恒定 热源(一个高温, 一个低温)交换 热量. 循环由两个绝热过程和 两个等温过程构成, 该循环称 为卡诺循环.
O
低温热源T2
p A Q1 T1
B
D Q2
T2 V1 V4 V2
C
V3 V
P.11/46
第8章 热力学基础
p A
Q1
T1
B
T2 ln V3 V4 1 T1 ln V2 V1
D Q2
T1V2 1 T2V3 1
T2
C
1 1 2 4
V2 V3 1 1 V1 V4 TV T V
M=32×10-3kg/mol V1=0.41×10-3m3 T1=273+27=300（k） V2=4.1×10-3m3 i=5
T1V1
T2V2
1
V1 T2 T1 V 2
1
1 300 10 119K
1.4 1
K
m WQ CV ,m (T1 T2 ) 941 J M
第8章 热力学基础
例: 计算奥托循环效率. cd, eb为等容过程; bc, de为绝 热过程.
p
Te Tb Q2 1 1 Q1 Td Tc
根据绝热过程方程得:
d
c
TeV 1 TdV0 1
e b V V
TbV 1 TcV0 1
(Te Tb )V 1 (Td Tc )V0 1