正切函数的图象与性质

1.4.3正切函数的图象与性质

【自主学习】

【学习目标】

1、理解并掌握利用正切线作正切函数图象的方法

2、掌握正切函数定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性和对称性

3、掌握正切函数性质的简单应用

【教材导析】

一、情景导入

回顾单位圆中的在切线，如下图，角x 分别在第一、二、三、四象限时，其正切值用用有向线段AT （即角x 的正切线）表示：tan x AT =

.

二、教材导读

由于我们前面已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，我们完全可以把它迁移到对正切函数的研究之中.因此，我们对本节课的学习就变得很容易了.

我们将教材顺序调整一下，先认识正切函数的图象，再看图说话认识正切函数的性质. 1.正切函数的图象 （1）x y tan =)2

,2((π

π-

∈x ）的图像 我们可仿照正弦曲线的平移法获得: 利用单位圆中的正切线进行平移：把角度为α的正切线平移至坐标平面内直线α=x 上，保持正切线的起点在x 轴上，则正切线终点的轨迹图像就是x y t an =)2

,2((π

π-∈x 的图像（如右

图）.

（2）正切函数x y tan =2

,(π

π+

≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像：

由诱导公式x x tan )tan(=+π知，只需将x y tan =)2

,2((π

π-

∈x 的图像向左、右扩展（每次向左、右平移π个单位），就得到正切函数x y tan =2

,(π

π+≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像——正切曲线(如

图).

2.正切函数的性质

观察正切函数x y tan =的图象，我们根据数形结合思想“看图说话”，归纳正切函数x y tan =以下性质： （1）定义域：{|,}2

x R x k k Z π

π∈≠

+∈.其中,2

x k k Z π

π=

+∈是正切曲线的渐近线，可

以无限接近但不能到达.

（2）值域:R.x y tan =在定义域上既无最大值也无最小值. （3）奇偶性与对称性：图象关于原点对称，是奇函数.

事实上，根据诱导公式：tan()tan x x -=-正切函数x y tan =奇函数.

从图象可知，正切函数x y tan =的图象无对称轴，但是中心对称图象，对称中心有点(0,0),(

,0),(,0)2

π

π……，等，所以，其对称中心为(

,0)()2

k k Z π

∈ （4）单调性：在每一个区间()(,

)2

2

k k k Z π

π

ππ-

++∈内都是增函数.

（5）周期性：最小正周期T π=.

事实上，由诱导公式tan()tan x x π+=知正切函数x y tan =是以(,0)k k Z k π∈≠为周期的周期函数，最小正周期π.

（6）零点：x y tan =的零点为()x k k Z π=∈.

3.正切函数图象与性质的应用

教材例6中，采用了与正、余弦函数的图象与性质的应用中类似的换元法，这种方法在解决三种类型的函数sin()y A x ωϕ=+、cos()y A x ωϕ=+或tan()y A x ωϕ=+ （其中

,,A ωϕ均为常数）的定义域、值域、单调性等问题时均有非常重要的作用，我们要熟练的

掌握和运用这种方法.

【课堂点金】

【重难点突破】

1.利用正切函数的图象求解零点问题与不等式问题

例1. （教材45P 《习题1.4》第9题（1）改编）设()tan 1f x x =+. （1）求()f x 的零点.

（2）根据正切函数图象，写出满足()0f x ≥的x 的集合.

【解析】（1）()f x 的零点就是方程()tan 10f x x =+=即tan 1x =-的根. 在(,)22ππ

-

使tan 1x =-的4x π

=-，故由t a n y x =的周期性知tan 1x =-的根为

,4

x k k Z

ππ=-

+∈，故()f x 的零点为,4

x k k Z π

π=-+∈.

（2）()0tan 1f x x ≥⇔≥-，观察tan y x =在(,)22ππ

-的图象的特解42

x ππ

-≤<，故满足tan 1x ≥-的{|,}4

2

x x k x k k Z π

π

ππ∈-

+≤<

+∈.

【评析】充分把握正切函数的图象和性质是解决有关正切函数的零点问题、三角不等式问题的关键.

【变式1】（教材45P 《练习》第2题）观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值： （1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x <.

【解析】利用“先特解、后通解”思路，观察正切曲线知：先观察tan y x =在一个周期

(,)22ππ

-

内，使tan 0x >的x 满足02

x π

<<，使tan 0x =的0x =，使tan 0x <的x 满足02

x π

-

<<，由于tan y x =的周期为,k k Z π∈，故：

（1）满足tan 0x >的x 的集合为{|,}2

x k x k k Z π

ππ<<

+∈；

（2）满足tan 0x =的x 的集合为{|,}x x k k Z π=∈； （3）满足tan 0x <的x 的集合为{|,}2

x k x k k Z π

ππ-

+<<∈.

2. 正切函数的定义域、单调性与周期性 例2.（教材P 44例1）求函数tan(

)23y x ππ

=+的定义域、周期和单调区间.

【解析】要使函数有意义，只需1

,2,2323

x k x k k z ππππ+≠+⇒≠+∈，所以函数的定义

域为1

{|2,}3

x x k k z ≠+∈.

由于()tan(

)tan()tan[(2)](2)232323

f x x x x f x π

πππππ

π=+=++=++=+， 因此函数的周期为2.

由,2232k x k k Z π

π

π

π

ππ-

+<

+

<

+∈，解得：51

22,33

k x k k Z -+<<+∈.

因此，函数的单调递增区间是51

(2,2),33

k k k Z -++∈.

【评析】函数tan()(0,0)y A x B A ωωω=++≠≠的周期为

||

π

ω. 例3.（08天津）设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π=，则（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a c b << D ．b a c <<

【解析】因为52sin sin

77

a ππ

==，如右图.在同一坐标系下画