第四章 目标规划1-2

例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最 大的生产计划，具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
，建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x1 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件， 2 = 2 件，
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元.
解：设A、B、C三种产品的产量分别为 ， 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210，故单位工时的利润比例为20:18:21， 于是得目标规划模型为：
综上分析，可得目标规划的一般模型 （4.2 ） s.t. （4.3） （4.4） （4.5） （4.6） 其中，式（4.2）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个 优先等级，即 ， 是权系数， 是正负偏差变量；式 （4.3)是目标约束， 是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、 负偏差变量 ，但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ；式（4.4） 是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、财力等资源的约束；式（4.5）、 （4.6）是目标规划的非负约束.
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d + ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d − .
d ,d ≥ 0
+ −
d ⋅d = 0
+
−
2、目标约束和绝对约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束.如线性规划问题的所有约束条件，不能 满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它 们是硬约束.如原材料短缺; 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发 生正或负偏差； 如何写目标约束：对每个原始目标表达式（或 是等式、不等式，其右端为理想值）的左端都 加上负偏差变量、减去正偏差变量后，变换为 等式，即目标约束.
第二，线性规划最优解存在的前提条件是可行域为 非空集，否则，线性规划无解.然而实际问题中，有 时可能出现资源条件满足不了管理目标的要求的情 况，此时，仅做无解的结论是没有意义的； 第三，线性规划问题中的约束条件是不分主次、同 等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而在实际 问题中，多个目标和多个约束条件并不一定是同等 重要的，而是有轻重缓急和主次之分的； 第四，线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最 优，但很多实际只需（或只能）找出满意解就可以. 如对核电站设计问题中的若干目标.
第四章 目标规划
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 应用举例
目标规划（Goal Programming，简记为GP）在 目标规划 线性规划 的基础上，为适应经济管理中多目标 决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支， 是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具.
目标规划的有关概念和模型最早在1961年由 美 国 学 者 查 恩 斯 （ A.Charnes） 和 库 伯 （W.W.Coopor）在他们合著的《管理模型和性 规划的工业应用》一书中提出，以后这种模型 又先后经尤吉·艾吉里（ Yuji.Ijiri）等人 的不断完善改进，1976年伊格尼齐奥 （J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》 一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方 法目前研究较多的有线性目标规划、非线性目 标规划、线性整数目标规划和0～1目标规划等.
§4.1 目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
第一，线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某 一项目标（如产量、利润或成本等）的最优值.而实 际问题中往往要考虑多个目标的决策问题.如核电站 的设计问题，传统的单目标规划只允许设定一个目标， 那么单一目标选择什么？是使整个电站建设费用为最 低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大，还是对 周围环境的影响最小.显然，上述目标都很重要，且 又可能互相矛盾，若系统设计只选取一个目标，如建 设费用最低，这可能很容易达到，但这种选择的结果 将牺牲其它方面条件，如降低运行的安全可靠性或环 境条件的严重破坏.这是一个多目标决策问题，普通 的线性规划是无能为力的；
三、目标规划的数学模型
例4.2 在例4.1中若工厂提出的管理目标按优先级排列 如下：
P 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； 1
P 级目标：最好能节约4小时设备工时； 2
P 级目标：希望计划利润不小于48元； 3
由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束.试 建立目标规划模型.
解：引入偏差变量 三个目标约束：
1 2 k k k +1
− 3
+ 3
P >> P +1, k = 1,2,⋯, K 表示 P 比 P +1 有更大的优先权， k k k k
对相同优先因子的两个目标，赋予它们不同的权系数 wj 优先因子和权系数一般根据题目要求而定。
4、目标规划的目标函数 目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的 优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求 是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小， 目标函数一定是极小化的，三种基本表达式. （1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都是 不希望的，因此有：
解：设 分别表示黑白和彩色电视机的产量，问题 的目标规划模型为
① ② ③ ④
其中在P3级目标中，因彩色电视机的利润是黑白电视 机利润的2倍，故取权系数为2.解题过程见图4-2. 满足P1,P2目标的解空间R2为四边形ABCD区域，考虑 P3的目标要求时，因 的权系数大于 的权系数， 故先取 =0，这时解空间为ABEF区域，在此区域 中，只有E点使 取值 最小，故取E点为满意解， 其坐标为（24,26），即该厂每周应装配彩色电视机 24台，黑白电视机26台.
m z = f (d + + d − ) in
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差 变量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d + ) in
（3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差变 量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d − ) in
5、目标规划问题的解------------满意解 目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足 P 1 级目标的解，然后在保证 P 级目标不被破坏的前提下再 1 求满足 P 级目标的解. 以此类推. 2 因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解， 称之为满意解. 因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或 部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现.满意解这一概念的提出是对最优化 概念的一个突破.显然它更切合实际，更便于运用.
例4.4 用图解法解
x2 L3 B
C F 解：CDEF内均为最优 解，无穷多最优解 D 0 E L4
L2
A xБайду номын сангаас L1
例4.5 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每 装配一台，电视机需占用装配线1小时，装配线每 周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销 量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是 30台，每台可获利40元，该厂确定的目标为： P1：充分利用装配线每周计划开动40小时； P2：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过 10小时； P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要. 试建立 该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩 色电视机的产量.
§2 目标规划的图解法
用图解法解目标规划时，先在由决策变量 构成的平面 直角坐标系 的第一象限内作各约束条件.绝对约束条件 的作图与线性规划相同，作目标约束时，先令 =0，作 相应的直线，然后在这直线旁标上 , 增大的方向，在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束.一般地，若优先因子 对应的解空间为 ，则 优先因子 对应的解空间只能在 中考虑，即 若 而 ，则 中的解为目标规划的满意解，它只 能保证满足 级目标，而不保证满足其后的各级目标.
P ：充分利用现有工时，必要时可以加班； 1 P ：A、B、C的最低产量分别为5、5、8台，并依单位 2 工时的利润比例确定权系数； P ：生产线的加班时间每月不超过20小时； 3 P ：A、B、C三种产品的月销售指标分别定为10、12、 4 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数. 试建立目标规划模型.
L2
x2 C D H G
L3
L4 E F
0 故取E点为满意解，其坐标为（24,26）， Z*=4，
A
B
x1
L1
di− , di+ (i = 1,2,3)
按优先级确定目标函数， 级目标要求 标要求 ； 级目标要求 . 该问题的目标规划模型为：
；
级目
① ② ③ ④
（4.1）
该问题也可以这样处理，把绝对约束①化为目标约束
而把 级目标要求设为 得：
，其余依次后退优先级，
例4.3 某计算机制造厂生产A、B、C三种型号的计算 机，它们在同一条生产线上装配，三种产品的工时消耗 分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运 转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台 1000元、1440元、2520元，该厂的经营目标为
x1 − 2x2 ≥ 0 ⇒ x1 − 2x2 + d − d = 0