第四章 目标规划1-2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 目标规划
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 应用举例
目标规划（Goal Programming，简记为GP）在 目标规划 线性规划 的基础上，为适应经济管理中多目标 决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支， 是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具.
目标规划的有关概念和模型最早在1961年由 美 国 学 者 查 恩 斯 （ A.Charnes） 和 库 伯 （W.W.Coopor）在他们合著的《管理模型和性 规划的工业应用》一书中提出，以后这种模型 又先后经尤吉·艾吉里（ Yuji.Ijiri）等人 的不断完善改进，1976年伊格尼齐奥 （J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》 一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方 法目前研究较多的有线性目标规划、非线性目 标规划、线性整数目标规划和0～1目标规划等.
§4.1 目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
第一，线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某 一项目标（如产量、利润或成本等）的最优值.而实 际问题中往往要考虑多个目标的决策问题.如核电站 的设计问题，传统的单目标规划只允许设定一个目标， 那么单一目标选择什么？是使整个电站建设费用为最 低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大，还是对 周围环境的影响最小.显然，上述目标都很重要，且 又可能互相矛盾，若系统设计只选取一个目标，如建 设费用最低，这可能很容易达到，但这种选择的结果 将牺牲其它方面条件，如降低运行的安全可靠性或环 境条件的严重破坏.这是一个多目标决策问题，普通 的线性规划是无能为力的；
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d + ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d − .
d ,d ≥ 0
+ −
d ⋅d = 0
+
−
2、目标约束和绝对约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束.如线性规划问题的所有约束条件，不能 满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它 们是硬约束.如原材料短缺; 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发 生正或负偏差； 如何写目标约束：对每个原始目标表达式（或 是等式、不等式，其右端为理想值）的左端都 加上负偏差变量、减去正偏差变量后，变换为 等式，即目标约束.
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最 大的生产计划，具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
，建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x源自文库 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
例4.4 用图解法解
x2 L3 B
C F 解：CDEF内均为最优 解，无穷多最优解 D 0 E L4
L2
A x1 L1
例4.5 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每 装配一台，电视机需占用装配线1小时，装配线每 周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销 量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是 30台，每台可获利40元，该厂确定的目标为： P1：充分利用装配线每周计划开动40小时； P2：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过 10小时； P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要. 试建立 该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩 色电视机的产量.
第二，线性规划最优解存在的前提条件是可行域为 非空集，否则，线性规划无解.然而实际问题中，有 时可能出现资源条件满足不了管理目标的要求的情 况，此时，仅做无解的结论是没有意义的； 第三，线性规划问题中的约束条件是不分主次、同 等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而在实际 问题中，多个目标和多个约束条件并不一定是同等 重要的，而是有轻重缓急和主次之分的； 第四，线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最 优，但很多实际只需（或只能）找出满意解就可以. 如对核电站设计问题中的若干目标.
解：设 分别表示黑白和彩色电视机的产量，问题 的目标规划模型为
① ② ③ ④
其中在P3级目标中，因彩色电视机的利润是黑白电视 机利润的2倍，故取权系数为2.解题过程见图4-2. 满足P1,P2目标的解空间R2为四边形ABCD区域，考虑 P3的目标要求时，因 的权系数大于 的权系数， 故先取 =0，这时解空间为ABEF区域，在此区域 中，只有E点使 取值 最小，故取E点为满意解， 其坐标为（24,26），即该厂每周应装配彩色电视机 24台，黑白电视机26台.
三、目标规划的数学模型
例4.2 在例4.1中若工厂提出的管理目标按优先级排列 如下：
P 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； 1
P 级目标：最好能节约4小时设备工时； 2
P 级目标：希望计划利润不小于48元； 3
由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束.试 建立目标规划模型.
解：引入偏差变量 三个目标约束：
di− , di+ (i = 1,2,3)
按优先级确定目标函数， 级目标要求 标要求 ； 级目标要求 . 该问题的目标规划模型为：
；
级目
① ② ③ ④
（4.1）
该问题也可以这样处理，把绝对约束①化为目标约束
而把 级目标要求设为 得：
，其余依次后退优先级，
例4.3 某计算机制造厂生产A、B、C三种型号的计算 机，它们在同一条生产线上装配，三种产品的工时消耗 分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运 转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台 1000元、1440元、2520元，该厂的经营目标为
m z = f (d + + d − ) in
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差 变量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d + ) in
（3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差变 量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d − ) in
5、目标规划问题的解------------满意解 目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足 P 1 级目标的解，然后在保证 P 级目标不被破坏的前提下再 1 求满足 P 级目标的解. 以此类推. 2 因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解， 称之为满意解. 因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或 部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现.满意解这一概念的提出是对最优化 概念的一个突破.显然它更切合实际，更便于运用.
L2
x2 C D H G
L3
L4 E F
0 故取E点为满意解，其坐标为（24,26）， Z*=4，
A
B
x1
L1
P ：充分利用现有工时，必要时可以加班； 1 P ：A、B、C的最低产量分别为5、5、8台，并依单位 2 工时的利润比例确定权系数； P ：生产线的加班时间每月不超过20小时； 3 P ：A、B、C三种产品的月销售指标分别定为10、12、 4 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数. 试建立目标规划模型.
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件， 2 = 2 件，
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元.
解：设A、B、C三种产品的产量分别为 ， 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210，故单位工时的利润比例为20:18:21， 于是得目标规划模型为：
综上分析，可得目标规划的一般模型 （4.2 ） s.t. （4.3） （4.4） （4.5） （4.6） 其中，式（4.2）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个 优先等级，即 ， 是权系数， 是正负偏差变量；式 （4.3)是目标约束， 是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、 负偏差变量 ，但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ；式（4.4） 是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、财力等资源的约束；式（4.5）、 （4.6）是目标规划的非负约束.
§2 目标规划的图解法
用图解法解目标规划时，先在由决策变量 构成的平面 直角坐标系 的第一象限内作各约束条件.绝对约束条件 的作图与线性规划相同，作目标约束时，先令 =0，作 相应的直线，然后在这直线旁标上 , 增大的方向，在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束.一般地，若优先因子 对应的解空间为 ，则 优先因子 对应的解空间只能在 中考虑，即 若 而 ，则 中的解为目标规划的满意解，它只 能保证满足 级目标，而不保证满足其后的各级目标.
x1 − 2x2 ≥ 0 ⇒ x1 − 2x2 + d − d = 0
− + 4x1 + 4x2 ≤ 36 ⇒ 4x1 + 4x2 + d2 − d2 = 36
− 1
+ 1
6x1 + 8x2 ≥ 48 ⇒ 6x1 + 8x2 + d − d = 48
3、优先因子（优先等级）与权系数 一个多目标决策问题中，常有多个目标，这些目标 是有主次或轻重缓急的不同，根据重要程度赋予优 先因子 P, P ,⋯, P , P >> P , k =1,2,⋯, K
1 2 k k k +1
− 3
+ 3
P >> P +1, k = 1,2,⋯, K 表示 P 比 P +1 有更大的优先权， k k k k
对相同优先因子的两个目标，赋予它们不同的权系数 wj 优先因子和权系数一般根据题目要求而定。
4、目标规划的目标函数 目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的 优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求 是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小， 目标函数一定是极小化的，三种基本表达式. （1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都是 不希望的，因此有：
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 应用举例
目标规划（Goal Programming，简记为GP）在 目标规划 线性规划 的基础上，为适应经济管理中多目标 决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支， 是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具.
目标规划的有关概念和模型最早在1961年由 美 国 学 者 查 恩 斯 （ A.Charnes） 和 库 伯 （W.W.Coopor）在他们合著的《管理模型和性 规划的工业应用》一书中提出，以后这种模型 又先后经尤吉·艾吉里（ Yuji.Ijiri）等人 的不断完善改进，1976年伊格尼齐奥 （J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》 一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方 法目前研究较多的有线性目标规划、非线性目 标规划、线性整数目标规划和0～1目标规划等.
§4.1 目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
第一，线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某 一项目标（如产量、利润或成本等）的最优值.而实 际问题中往往要考虑多个目标的决策问题.如核电站 的设计问题，传统的单目标规划只允许设定一个目标， 那么单一目标选择什么？是使整个电站建设费用为最 低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大，还是对 周围环境的影响最小.显然，上述目标都很重要，且 又可能互相矛盾，若系统设计只选取一个目标，如建 设费用最低，这可能很容易达到，但这种选择的结果 将牺牲其它方面条件，如降低运行的安全可靠性或环 境条件的严重破坏.这是一个多目标决策问题，普通 的线性规划是无能为力的；
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d + ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d − .
d ,d ≥ 0
+ −
d ⋅d = 0
+
−
2、目标约束和绝对约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束.如线性规划问题的所有约束条件，不能 满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它 们是硬约束.如原材料短缺; 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发 生正或负偏差； 如何写目标约束：对每个原始目标表达式（或 是等式、不等式，其右端为理想值）的左端都 加上负偏差变量、减去正偏差变量后，变换为 等式，即目标约束.
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最 大的生产计划，具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
，建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x源自文库 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
例4.4 用图解法解
x2 L3 B
C F 解：CDEF内均为最优 解，无穷多最优解 D 0 E L4
L2
A x1 L1
例4.5 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每 装配一台，电视机需占用装配线1小时，装配线每 周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销 量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是 30台，每台可获利40元，该厂确定的目标为： P1：充分利用装配线每周计划开动40小时； P2：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过 10小时； P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要. 试建立 该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩 色电视机的产量.
第二，线性规划最优解存在的前提条件是可行域为 非空集，否则，线性规划无解.然而实际问题中，有 时可能出现资源条件满足不了管理目标的要求的情 况，此时，仅做无解的结论是没有意义的； 第三，线性规划问题中的约束条件是不分主次、同 等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而在实际 问题中，多个目标和多个约束条件并不一定是同等 重要的，而是有轻重缓急和主次之分的； 第四，线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最 优，但很多实际只需（或只能）找出满意解就可以. 如对核电站设计问题中的若干目标.
解：设 分别表示黑白和彩色电视机的产量，问题 的目标规划模型为
① ② ③ ④
其中在P3级目标中，因彩色电视机的利润是黑白电视 机利润的2倍，故取权系数为2.解题过程见图4-2. 满足P1,P2目标的解空间R2为四边形ABCD区域，考虑 P3的目标要求时，因 的权系数大于 的权系数， 故先取 =0，这时解空间为ABEF区域，在此区域 中，只有E点使 取值 最小，故取E点为满意解， 其坐标为（24,26），即该厂每周应装配彩色电视机 24台，黑白电视机26台.
三、目标规划的数学模型
例4.2 在例4.1中若工厂提出的管理目标按优先级排列 如下：
P 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； 1
P 级目标：最好能节约4小时设备工时； 2
P 级目标：希望计划利润不小于48元； 3
由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束.试 建立目标规划模型.
解：引入偏差变量 三个目标约束：
di− , di+ (i = 1,2,3)
按优先级确定目标函数， 级目标要求 标要求 ； 级目标要求 . 该问题的目标规划模型为：
；
级目
① ② ③ ④
（4.1）
该问题也可以这样处理，把绝对约束①化为目标约束
而把 级目标要求设为 得：
，其余依次后退优先级，
例4.3 某计算机制造厂生产A、B、C三种型号的计算 机，它们在同一条生产线上装配，三种产品的工时消耗 分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运 转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台 1000元、1440元、2520元，该厂的经营目标为
m z = f (d + + d − ) in
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差 变量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d + ) in
（3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差变 量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d − ) in
5、目标规划问题的解------------满意解 目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足 P 1 级目标的解，然后在保证 P 级目标不被破坏的前提下再 1 求满足 P 级目标的解. 以此类推. 2 因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解， 称之为满意解. 因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或 部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现.满意解这一概念的提出是对最优化 概念的一个突破.显然它更切合实际，更便于运用.
L2
x2 C D H G
L3
L4 E F
0 故取E点为满意解，其坐标为（24,26）， Z*=4，
A
B
x1
L1
P ：充分利用现有工时，必要时可以加班； 1 P ：A、B、C的最低产量分别为5、5、8台，并依单位 2 工时的利润比例确定权系数； P ：生产线的加班时间每月不超过20小时； 3 P ：A、B、C三种产品的月销售指标分别定为10、12、 4 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数. 试建立目标规划模型.
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件， 2 = 2 件，
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元.
解：设A、B、C三种产品的产量分别为 ， 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210，故单位工时的利润比例为20:18:21， 于是得目标规划模型为：
综上分析，可得目标规划的一般模型 （4.2 ） s.t. （4.3） （4.4） （4.5） （4.6） 其中，式（4.2）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个 优先等级，即 ， 是权系数， 是正负偏差变量；式 （4.3)是目标约束， 是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、 负偏差变量 ，但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ；式（4.4） 是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、财力等资源的约束；式（4.5）、 （4.6）是目标规划的非负约束.
§2 目标规划的图解法
用图解法解目标规划时，先在由决策变量 构成的平面 直角坐标系 的第一象限内作各约束条件.绝对约束条件 的作图与线性规划相同，作目标约束时，先令 =0，作 相应的直线，然后在这直线旁标上 , 增大的方向，在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束.一般地，若优先因子 对应的解空间为 ，则 优先因子 对应的解空间只能在 中考虑，即 若 而 ，则 中的解为目标规划的满意解，它只 能保证满足 级目标，而不保证满足其后的各级目标.
x1 − 2x2 ≥ 0 ⇒ x1 − 2x2 + d − d = 0
− + 4x1 + 4x2 ≤ 36 ⇒ 4x1 + 4x2 + d2 − d2 = 36
− 1
+ 1
6x1 + 8x2 ≥ 48 ⇒ 6x1 + 8x2 + d − d = 48
3、优先因子（优先等级）与权系数 一个多目标决策问题中，常有多个目标，这些目标 是有主次或轻重缓急的不同，根据重要程度赋予优 先因子 P, P ,⋯, P , P >> P , k =1,2,⋯, K
1 2 k k k +1
− 3
+ 3
P >> P +1, k = 1,2,⋯, K 表示 P 比 P +1 有更大的优先权， k k k k
对相同优先因子的两个目标，赋予它们不同的权系数 wj 优先因子和权系数一般根据题目要求而定。
4、目标规划的目标函数 目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的 优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求 是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小， 目标函数一定是极小化的，三种基本表达式. （1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都是 不希望的，因此有：