沪科版初三数学知识点总结
沪科版九年级数学知识点
沪科版九年级数学知识点学习学问要擅长思索，思索，再思索。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲练的。
下面是我给大家整理的一些九年级数学的学问点，盼望对大家有所协助。
九年级下册数学学问点归纳学问点1.概念把形态一样的图形叫做相像图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相像，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特别的相像，即不仅形态一样，大小也一样.(3)判定两个图形是否相像，就是看这两个图形是不是形态一样，与其他因素无关.学问点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.学问点3.相像多边形的性质相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相像多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相像多边形的“对应”来自于书写，且要明确相像比具有依次性.学问点4.相像三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相像三角形.解读：(1)相像三角形是相像多边形中的一种;(2)应结合相像多边形的性质来理解相像三角形;(3)相像三角形应满意形态一样，但大小可以不同;(4)相像用“∽”表示，读作“相像于”;(5)相像三角形的对应边之比叫做相像比.学问点5.相像三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相像;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相像.(3)假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像.(4)假如一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像.(5)假如一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相像.学问点6.相像三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相像比;(3)相像三角形周长之比等于相像比;面积之比等于相像比的平方.(4)射影定理初三下册数学学问点总结20xx一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒绽开式(幂级数绽开法)f(x)=f(a)+f(a)/1!.(x-a)+f(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
沪科版初三数学知识点总结
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和向，a 的正负决定开口向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次程：1. 二次函数与一元二次程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上，无论x 为任实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下，无论x 为任实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次程之间的在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
沪科版初三数学知识点总结
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c （a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随a 0 向上0 ，0 y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随a 0 向下0 ，0 y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．2. y ax 2 c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随a 0 向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 c ．x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随a 0 向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值 c ．3. y a x h 2 的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质2a 0向上a 0向下h ，0h ，0X=hX=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值0 ． xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随a 0向上h ，kX=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0向下h ，kX=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2y a x hk ，确定其顶点坐标h ，k ；⑵ 保持抛物线 y ax 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：y=ax 2向上(k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax 2+ k向右(h>0)【或左 ( h<0)】平移|k| 个单位y=a(x-h)2向右(h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k| 个单位向上(k>0) 【或下 (k<0) 】平移|k|个单位向上(k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向右(h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴ yax 2bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax2bx c 变成2y axbx cm （或 yax 2bx c m ）2⑵ yax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y a( x m)2b( x m) c （或 ya(x m) 2b( x m) c ）四、二次函数2y a x hk 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看，2y a x hk 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2y a xb2a4ac b 24a，其中 hb ，k2a4ac b ．4a五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数y axbx c 化为顶点式 y a( x h)k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x 1 ，0 ， x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 y axbx c 的性质2b b4ac b 1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为2a， ．2a 4a当 x b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x2ab 时， y 有2 a最小值4ac b ．4a2b b 4ac b b 2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a， ．当 x 时，2a 4a2ay 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当 x2ab时， y 有最大值 2a24ac b ．4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y axbx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y a( x h)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y a( x x 1)( x x 2 ) （ a 0 ，x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点， 即 b24 ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解2222析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在a 0 的前提下，当b 0 时，当b 0 时，当b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．2a⑵在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0 时，当b 0 时，当b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x 是“左同右异”总结：b在y 轴左边则ab2a0 ，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就3. 常数项 c⑴ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．22二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 ．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y axbx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbx c ；2y a x hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；2. 关于 y 轴对称y ax 2 bx c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c ；2y a x hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；3. 关于原点对称y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；2y a x hk 关于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是2by axbx c；2y a x hk 关于顶点对称后，得到的解析式是2a2ya x h k ．5. 关于点 m ，n 对称2y a x hk 关于点 m ，n对称后，得到的解析式是2y a x h 2m2n k根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 a 永远不变． 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．222次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x 2 x 1b 24ac a.3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与 x 轴有 二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0 抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 .交点12 1 2 12 2十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y ax bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x ，0 ，B x ，0 (x x ) ，其中的 x ，x 是一元二② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ； 2' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ．22. 抛物线 y axbx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；2二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2y=3(x+4) 2y=3x 2y=3(x-2) 2 y=2x 2x 2y=2y=2(x-4) 2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4x2y= -2y= -x 2 y=-2x 2y=-2(x+3) 2y=-2x 2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y(m 2) x2m 2 m 2 的图像经过原点，则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
沪科版初三数学知识点总结
伊顿教育初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
沪科版初三数学知识点总结
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
沪科版初三数学知识点总结
初三数学学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y axa 的肯定值越大，抛物线的开口越小。
Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若及x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及x 轴交点状况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔 . ② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知及x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：y=-2x2y=3(x+4)22y=3x2十一、函数的应用 二次函数应用二次函数考察重点及常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
九年级沪科版数学知识点归纳
九年级沪科版数学知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离九年级沪科版数学知识点归纳，|a|≥0。
零的绝对值时它本身九年级沪科版数学知识点归纳，也可看成它的相反数九年级沪科版数学知识点归纳，若|a|=a九年级沪科版数学知识点归纳，则a≥0九年级沪科版数学知识点归纳；若|a|=-a，则a≤0。
2.(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。
该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。
3.数学的基本概念、定义和公式，数学知识点之间的内在联系，解决数学问题的基本思想和方法是复习的重中之重。
初三数学上册知识点总结归纳绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
等腰三角形的定义:两条边相等的三角形是等腰三角形。
(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。
该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。
九年级沪科版数学复习清单?越详细越好。
九年级上海理科版数学知识点初步认识:数轴的定义、性质、绝对值及应用。
图形的概念:平行四边形、正方形、圆形、三角形、矩形、梯形、圆柱、圆锥、球面的定义和性质。
并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行九年级沪科版数学知识点归纳，通过运用九年级沪科版数学知识点归纳，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。
初中数学的两个分支枣-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。
沪教版九年级上册数学知识点【四篇】等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)等腰三角形的两底角的平分线相等。
数学沪科版九年级全册知识点
数学沪科版九年级全册知识点数学是一门极具挑战性的学科，无论在学生还是老师的眼中都有着重要的地位。
在九年级这个阶段，数学课程将会涉及许多不同的知识点，而沪科版是中国数学教育的一项重要标志。
下面将会介绍数学沪科版九年级全册的一些重要知识点。
第一章：代数式与函数代数式是数学中最基础的概念之一。
它由数字、字母和运算符号等组成，可以进行加减乘除等各种运算。
在九年级的代数式学习中，要掌握代数式的化简、合并同类项和因式分解等基本技巧。
另外，函数是代数学中一个重要的概念，指的是一个输入值与输出值之间的对应关系。
九年级学生需要通过图像、表格和公式来描述和解决各种函数问题。
第二章：平面直角坐标系与图形的性质平面直角坐标系是研究平面图形性质的重要工具。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，用来表示平面上每个点的位置。
在九年级的学习中，学生要掌握平面直角坐标系的基本概念、坐标的表示方法以及通过坐标计算各种图形的性质。
此外，还需要了解直线的斜率和截距等概念，以及如何通过直线方程表示和分析直线的性质。
第三章：多边形与三角形多边形是由若干条线段首尾相连而成的图形，在九年级的学习中，学生需要熟悉各种多边形的特征和性质。
例如，正多边形的内角和公式、等边三角形的性质等。
此外，三角形是几何学中最基本的图形之一，九年级学生需要掌握三角形的边长关系、内角和外角的性质，以及根据给定条件判断三角形的形状等。
第四章：相似与全等三角形相似与全等三角形是九年级数学中的重要概念。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形，全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形。
学生需要通过研究三角形的边长、角度和比例关系等来判断三角形之间是否相似或全等，并且能够运用相似与全等三角形的性质解决各种相关问题。
第五章：平行线与比例平行线和比例也是九年级数学中的重要内容。
平行线指的是在同一个平面内永远不会相交的线，学生需要通过学习平行线的特征和性质，例如平行线之间的夹角关系和平行线截断的比例关系等。
沪科九年级数学知识点
沪科九年级数学知识点在沪科九年级的数学学科中，孩子们将继续探索各种数学概念和技能，为即将到来的高中数学做好准备。
在这一年级中，涉及的数学领域更加广泛，包括代数、几何、函数等。
本文将讨论沪科九年级数学的一些重要知识点。
一、代数学1.1 一次函数在代数学中，一次函数是一个重要的概念。
一次函数表示为 y = mx + b 的形式，其中 m 是斜率，b 是截距。
这个方程表示了一条直线关系，可以帮助我们理解线性关系和求解问题。
1.2 二次函数二次函数是一个非常常见的代数函数。
它的一般表达式是 y = ax^2 + bx + c。
二次函数以抛物线的形式呈现，可以通过顶点和根的性质来分析和解决问题。
1.3 不等式不等式是另一个重要的代数概念。
不等式用于描述数值之间的关系，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
解不等式可以帮助我们确定一组数的取值范围。
二、几何学2.1 三角形在几何学中，三角形是一个基本的图形。
沪科九年级中，我们将学习更多关于三角形的性质和定理，例如勾股定理、正弦定理和余弦定理。
这些定理可以帮助我们计算和解决与三角形相关的问题。
2.2 平行线与平行四边形平行线和平行四边形也是几何学中的重要概念。
学生将学习如何判断两条线是否平行，以及如何应用平行四边形的性质解决问题。
2.3 圆与圆周角圆是几何学中的一个非常重要的图形，圆周角是指圆内两条弧所对应的角。
学生将学习如何计算圆周角以及如何应用圆的性质解决问题。
三、函数3.1 函数的概念在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数表示了两个变量之间的关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
学生将学习如何表示和理解函数以及如何解决与函数相关的问题。
3.2 二次函数和指数函数沪科九年级的学生将继续学习二次函数和指数函数。
他们将学习如何通过图像和方程来表示和分析这些函数，以及如何应用它们解决实际问题。
3.3 复合函数和反函数复合函数和反函数是函数中的两个重要概念。
九年级-数学-知识点总结(沪科版)
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
数学九年级知识点总结沪科版
数学九年级知识点总结沪科版数学九年级知识点总结（沪科版）数学作为一门理科学科，对于学生的学习能力和思维能力有着重要的促进作用。
九年级是中学阶段的关键年级，掌握好九年级数学知识点对于学生的学业发展至关重要。
本文将对数学九年级的知识点进行总结，帮助学生们更好地备考和应用数学。
一、代数与函数在九年级数学学科的代数与函数部分中，学生将深入学习方程与不等式、一次函数与方程、二次函数与方程、数列与等差数列等知识点。
1. 方程与不等式方程与不等式是九年级代数与函数的基础。
学生需要学会解一元一次方程和一元一次不等式，并能够应用到实际问题中。
另外，还需要掌握解含有绝对值的方程以及二次不等式的方法。
2. 一次函数与方程一次函数是数学中重要的概念之一。
学生需要学习一次函数的表示、性质和应用。
同时，还需要学会解一元一次线性方程以及应用到实际问题中。
3. 二次函数与方程二次函数是九年级数学中的重点内容。
学生需要学习二次函数的图像、性质以及二次函数的应用。
此外，还需要学会解一元二次方程，并能够应用到实际问题中。
4. 数列与等差数列数列是九年级数学中的一个重要概念，学生需要学习数列的概念、性质以及数列的应用。
其中，等差数列是数列中的一种特殊形式，需要学会求等差数列的通项公式、前n项和以及利用等差数列解决实际问题。
二、图形与空间在图形与空间部分，九年级数学学科主要涉及图形的性质、相似与全等、空间与立体图形等内容。
1. 图形的性质学生需要学习几何图形的名称、性质、判定方法等，包括平行四边形、正方形、直角三角形、等腰三角形等图形。
2. 相似与全等学生需要学习相似与全等的概念，以及判定相似与全等的条件和方法。
同时，还需要学会利用相似与全等解决实际问题。
3. 空间与立体图形学生需要学习空间图形的名称、性质以及判定方法，包括长方体、正方体、棱柱、棱锥等。
另外，还需要学会计算空间图形的表面积和体积，并能够应用到实际问题中。
三、数据分析和统计数据分析和统计是九年级数学中的重要内容，它涉及到数据的整理、统计和分析方法等。
数学九年级知识点沪科版
数学九年级知识点沪科版数学是一门精密而又重要的学科，对于学习者来说，掌握数学的知识点是非常重要的。
本文将介绍数学九年级的知识点，以沪科版教材为基准。
以下是九年级数学的重点内容。
1. 实数与整式1.1 实数的概念：自然数、整数、有理数、无理数的定义及性质。
1.2 整式的概念及运算：整式的定义、加减乘除运算法则。
1.3 因式与整式：最大公因式、最小公倍数的计算与应用。
1.4 整式的乘法公式：平方差公式、完全平方公式等。
2. 一次函数与一次不等式2.1 一次函数及其表示：函数的概念、函数的图象及性质、函数关系式的建立等。
2.2 一次函数的应用：函数的解析式在实际问题中的应用。
2.3 一次不等式及其解集：一次不等式的表示、不等式的解集的含义和表示法。
3. 平面图形的认识3.1 平面图形的分类：三角形、四边形、多边形的定义及性质。
3.2 三角形的分类及性质：等腰三角形、等边三角形、直角三角形的特点等。
3.3 四边形的分类及性质：矩形、正方形、菱形的定义及性质。
3.4 多边形的特征：凸多边形与凹多边形的特性。
4. 不等式与线性规划4.1 不等式与不等关系：不等式的定义、不等式的性质及表示法。
4.2 不等式的求解：一元一次不等式、含绝对值的一元一次不等式的求解等。
4.3 线性规划：线性规划的基本概念、解的存在性及最优解的判定。
5. 相似与全等5.1 图形的相似：相似三角形的判定及相似比例的计算。
5.2 图形的全等：全等三角形的判定及全等证明。
5.3 相似性质的应用：相似性质在求解实际问题中的应用。
6. 二次函数与二次方程6.1 二次函数：二次函数的定义、图象及性质。
6.2 二次方程：二次方程的定义、根的概念及求解方法。
6.3 二次函数与二次方程的关系：通过二次函数求解二次方程的应用。
7. 统计与概率7.1 参数统计与统计推断：统计的基本概念、参数的估计与推断。
7.2 概率：概率的定义、概率的计算、事件的独立性及复合事件的计算。
九年级数学复习知识点总结沪科版
九年级数学复习知识点总结沪科版
一元二次方程
- 一元二次方程的定义
- 一元二次方程的解法
- 一元二次方程的应用（例如抛物线的性质）
几何变换
- 平移、旋转和翻转的概念及性质
- 平移、旋转和翻转的图像变化规律
- 平移、旋转和翻转的实际应用
平面图形的性质与计算
- 三角形的性质与计算
- 四边形的性质与计算
- 圆的性质与计算
数据的分布与研究
- 统计图表的制作与分析
- 平均数、中位数和众数的计算与应用
- 数据搜集与调查的方法与步骤
概率与统计
- 概率的基本概念与计算
- 事件的相互关系与概率计算
- 统计分析与推论
几何证明
- 几何证明的基本方法与步骤
- 直角三角形、等腰三角形、相似三角形的证明- 平行线与角的证明
导数与函数
- 导数的概念与计算
- 函数的定义与性质
- 函数导数的计算与应用
三角函数
- 三角函数的基本概念与计算
- 三角函数的图像与性质
- 三角函数的应用（例如解三角形、计算高度等）
立体几何
- 三棱柱、四棱锥、棱台的性质与计算
- 球的性质与计算
- 空间几何图形的投影与截面
以上是九年级数学复习知识点的总结，包括了一元二次方程、几何变换、平面图形的性质与计算、数据的分布与研究、概率与统计、几何证明、导数与函数、三角函数、立体几何等内容。
希望对你的复习有所帮助！。
(完整word)沪科版初三数学知识点总结,推荐文档
初三数学知识点总结一、二次函数概念：21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a ,b ,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y ax的性质:22. y ax c的性质:23. y a x h的性质:左加右减。
24. y a x h k 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0向下 h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：2 2⑴y ax bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y ax bx c 变成2 2yax bx c m (或 y ax bx cm ) ⑵yax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )四、二次函数y a x h? k 与y ax 2 bx c 的比较ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前y=ax 2y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位*y=a (x h)2+k从解析式上看, 向上(k>0) 【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下4ac b 2 4a，其中hb 4ac b 2 £五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x i, 0，X2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质七、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：y ax2bx c （a , b , c 为常数，a 0）；2 .顶点式：y a（x h）2 k （a , h , k 为常数，a 0 ）；3 .两根式：y a（x xj(x X2) ( a 0 , X i, X2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 •⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下，当b 0时，—02a，即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b 0时，—0 ,2a即抛物线的对称轴就是y轴；1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为xw，顶点坐标为b4ac b2 2a，4a当x —时，y随x的增大而减小；当x 2a2值4ac b.4a—时，y随x的增大而增大；当x —时，y有最小2a 2a2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x—,顶点坐标为2a b 4ac b22a 4a 当x —时，y随2ax的增大而增大；当x —时，y随x的增大而减小；当x2a 2a时, y有最大值24ac b4a2总之，只要a, b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式2h k 关于原点对称后，得到的解析式是 第4页共3. 关于原点对称 y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是 ax 2 bx 当b0时， b20 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当b0时，b 20,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.ab 的符号的判定：对称轴b 决定了抛物线对称轴的位置.K——在y 轴左边则ab 0,2a在y 轴的右侧则ab 0,概括的说就是“左同右异” 总结： 3.常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c 总结起来，抛物线与 抛物线与 抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 0时，0时，0时，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.1. 2. 3. 4.九、二次函数图象的对称 1. 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x 轴对称2y ax bx 2axbx 2. y a x h 关于y 轴对称y ax 2 bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是ax 2bx c ；y25页总结起来，在a 确定的前提下,2y ax 2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c —;2a2 2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k .5. 关于点m, n 对称2y a x h k 关于点 m, n 对称后，得到的解析式是 y根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点, 0 , B x ?, 0 （论x ?），其中的人,x 是一元二次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根•这两点间的距离 AB 他 为b 4ac② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0 ； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 .22. 抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 （0 , c ）；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ax 2 bx c 中a , b , c 的符号，或由二次函数中 a , b , c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一a x h 2m 2n k个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：20抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与X轴无交占八、、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根•二次函数图像参考:十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少y=2x2二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x 为自变量的二次函数 y (m 2)x 2 m 2m 2的图像经过原点，则m 的值是反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 试题类型为选择题，如：3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
九年级数学沪科版复习知识点
九年级数学沪科版复习知识点九年级数学是学生们学习数学的最后一年，也是对之前所学知识的一次综合梳理和巩固。
本文将回顾九年级数学沪科版的重要知识点，帮助学生们更好地复习。
一、代数与函数1.代数式与方程式代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，表达数学关系。
方程式则是含有未知数的等式，表示等式两边的值相等。
学生们需要熟练掌握代数式化简和方程的解法。
2.一次函数与二次函数一次函数的标准式为y = kx + b，k为斜率，b为截距。
二次函数的标准式为y = ax²+ bx + c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
学生们需要了解函数图像的特点并能进行图形分析。
3.幂指对数与指数函数幂指函数是y = a^x，a为大于0且不等于1的实数。
指数函数是y = a^x，a为正数且不等于1。
学生们需要学会求幂指函数的值以及指数函数的性质。
4.根式与分式根式是方程x² = a的解，可以是正数、负数或零。
分式则是含有分数形式的代数式，包括有理数与无理数的运算。
学生们需要学会化简分式和求根式的值。
二、几何与空间1.三角形与四边形学生们需要了解平面上的各种三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形等）和四边形（矩形、正方形、菱形等）的性质和计算方法。
2.相似与全等相似和全等是几何中常见的两个概念。
相似是指两个图形的形状和比例相同，但大小不同；全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
学生们需要学会判断和证明相似和全等关系。
3.立体几何与三视图立体几何包括棱柱、棱锥、球等等。
学生们需要了解立体几何的表面积和体积计算方法，并能绘制物体的三视图。
三、数据与概率1.数据的收集与整理学生们需要了解如何进行数据的收集、整理和呈现，包括样本调查、频数表、条形图、折线图等。
2.统计指标与概率计算统计指标包括平均数、中位数、众数等，学生们需要学会计算和分析统计数据。
概率计算则涉及到事件发生的可能性，学生们需要掌握概率的基本概念和计算方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2. 的性质：上加下减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质：左加右减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）y y yy1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B CD3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．例 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)答案：C例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6、“已知函数的图象经过点A（c，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。