人口增长模型
人口增长模型有哪些【中国人口模型】
表二
而平均相对误差=0.009587
（2）求出原始数据平均值，残差平均值：
其中，
运用Excel求得：，
（3）求出原始数据方差与残差方差的均方差比值C和小误差概率p：
其中，
，
计算可得：，，,p=0.96
通常、、C值越小，p值越大，则模型的精度越好。若
0.95,则模型精度为一级.观察数据可知该模型为一级模型。有很高的信任度。Ⅱ模型二的结果的分析：
.分别令,
, .那么有
. (式七)
(式八)
(式九)
式十)
(式十一)
(
在社会稳定的前提下,生育率和死亡率都比较稳定,从而可以视A(t),B(t)为常矩阵A,B,则上式可化为
.
为了便于处理数据，我们采常矩阵的改进莱斯利模型，但由于矩阵A，B的维数过大，所以将具体的
--以及
--置于附录，相应的A（t）和B(t)也同样在附录。
人口指数：（1）人口总数
（2）平均年龄
（3）平均寿命
（4）老龄化指数
Байду номын сангаас依据这个模型不仅可以求出人口总数，还可以求出平均年龄、平均寿命及老龄化指数等众多量。子模型一：生育模型
若k(r,t)p(r,t)个妇女中t年代平均每年生育孩子数为整个育龄期间的妇女单位时间(t年代)生育孩子数为
毕设之人口增长模型讲解(可编辑修改word版)
毕业设计——第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍人口增长模型及其应用孙建锋第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic 模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.L eslie 人口增长模型5.灰色 GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。
以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。
人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。
发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。
众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。
中国在世纪之交的2000 年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。
为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。
人口增长模型例题
人口增长模型例题1.某地区初始人口为1000人，年增长率为2%，求10年后的人口数量。
2.一个城市的人口初始为5000，按照每年1.5%的速度增长，5年后人口是多少？3.若某村庄人口起始为800，人口增长率为3%，8年后人口达到多少？4.有一个小镇，最初人口是2000，年增长率为2.5%，计算12年后的人口。
5.某国人口初始为10000，年增长比例为1.8%，求15年后人口数量。
6.一片区域初始人口600，每年人口增长4%，3年后人口为多少？7.一个岛屿的初始人口为1200，人口以每年2.2%的速度增长，10年后人口是多少？8.某社区人口开始为900，年增长率为3.5%，7年后人口达到多少？9.若某部落人口起始为550，人口增长率为2.8%，9年后人口为多少？10.有一个聚居地，最初人口是1500，年增长率为2.3%，计算11年后的人口。
11.某地区人口初始为3000，年增长比例为1.9%，求20年后人口数量。
12.一个小县城初始人口800，每年人口增长3.2%，4年后人口为多少？13.一个地区的初始人口为1800，人口以每年2.6%的速度增长，13年后人口是多少？14.某城镇人口开始为1100，年增长率为3.8%，6年后人口达到多少？15.若某村落人口起始为700，人口增长率为2.1%，14年后人口为多少？16.有一个村落最初人口是1300，年增长率为2.7%，计算16年后的人口。
17.某省人口初始为50000，年增长比例为1.2%，求25年后人口数量。
18.一个区域初始人口1000，每年人口增长3.6%，5年后人口为多少？19.一个国家的初始人口为2500，人口以每年2.4%的速度增长，18年后人口是多少？20.某城市区人口开始为1600，年增长率为3.3%，9年后人口达到多少？21.若某县人口起始为1400，人口增长率为2.9%，17年后人口为多少？22.有一个城市最初人口是3500，年增长率为1.7%，计算22年后的人口。
中国人口增长预测模型
中国人口增长预测模型摘要本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
模型一：建立时间序列分析法中的ARMA 模型, 对中国人口总数进行预测。
根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，估计出ARMA 的参数p和q，并对估计的参数进行检验和调节，最终确定参数，建立出ARMA(p ,q)模型。
用此模型预测出2020 年和2030 年的人口分别为138135.3 万人和143352.6 万人。
模型二：建立阻滞增长模型，把出生率和死亡率考虑进去，对人口进行预测，并用Matlab软件编程进行求解。
通过此模型预测出2020年和2030年的人口分别为142108.3万人和146768.4万人，并且人口在2036年左右达到峰值。
模型三：建立人口发展方程，模型一需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳；模型二和模型三综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操作较为复杂。
关键字时间序列模型Eviews 人口发展模型微分方程1.问题重述近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据资料，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；并指出模型中的优点与不足之处。
2.问题的分析一个国家人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。
要预测人口发展的总趋势，首先要预测的是人口总数。
在当代中国社会，环境稳定，如果没有大规模传染病和战争等的影响，每年的死亡率应该相对稳定，出生率也一直在国家政策的控制中，所以人口总数的预测可以看成一个平稳序列的预测，这样我们考虑用时间序列来进行预测。
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
xc e hx
C
其中 C 为任意常数，可由初始条件确定。
捕食----被捕食模型有着广泛的应用。当一个包含两个群体的系统中，只要
两个群体相互依存、相互制约，均可用捕食----被捕食模型来描述。例如，鲨鱼
与食用鱼、寄生虫与其宿主、害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等都可用该模
型来描述。下图表明了狐狸----野兔（数量）随着时间 t 所发生的周而复始的变
化，正是这种变化维持着该系统的生态平衡。
在狐狸----野兔生态系统中，生态系统的平衡点就是使 dx 0, dy 0 的点。 dt dt
即
a byx 0 c hxy 0
(3-2)
只求非零解，可知平衡点为： x c , y a 。也就是说，当野兔数量保持在 c ，
设人类生存空间及可利用资源（食物、水、空气）等环境因素所能容纳的最 大人口容量为 K（称为饱和系数）.人口数量 N（t）的增长速率不仅与现有人口 数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分（相对最大容量 K 而言）所占比例 K N 成比例，比例系数为固有增长率 r.于是，修改后的模型为
K
dN
hb
h
狐狸数量保持在 a 时，就能维持狐狸----野兔生态系统的平衡。 b
图 3-2
例 狐狸----野兔模型为
dx dt
0.03x
0.001xy
dy dt
0.9 y 0.002xy
(3-3)
试问：狐狸、野兔的数目各为多少时，该系统才达到平衡？
解：由 dx 0 ，得 y狐狸 0.03 3（0 只）；
模型 3 捕食——被捕食模型 所用知识：微分方程组 内容介绍：
人口指数增长模型和Logistic模型
表1 美国人口统计数据指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[ ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a =r= x0=所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = ， 输入：t=2010;x0 = ;x(t)=x0*exp*t)得到x(t)= 。
即在此模型下到2010年人口大约为 610⨯。
模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x rx dt dxm 建立函数文件function f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件中调用函数文件 % 定义向量（数组） x=1790:10:1990; y=[ 76 ... 92 204 ];plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;a0=[,1]; % 初值% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m 文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020; yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果： a= y1 =其中a(1)、a(2)分别表示()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的m x 和r ，y1则是对美国美国2010年的人口的估计。
(完整版)毕设之人口增长模型讲解
毕业设计——人口增长模型及其应用孙建锋第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.Leslie人口增长模型5.灰色GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。
以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。
人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。
发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。
众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。
中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。
为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。
人口增长模型
一、 人口增长模型： 1. 问题下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1.假设：人口增长率r 是常数.2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ∆时间段人口的增量为：)()()(t rX tt X t t X =∆-∆+于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==X X rX dt dx3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X )(0t t r e- （2）表明：t ∞−→−时，t X )0.(>∞−→−r . 4.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 19971998]';X=[ones(17,1),x]Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图运行结果：b =1.0e+006 *-2.84470.0015bint =1.0e+006 *-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats =1.0e+005 *0.0000 0.0455 0 1.9800图1各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。
人口指数增长模型
《数学模型》实验报告实验名称：如何预报人口的增长成绩：____________实验日期：2009年4月22日实验报告日期：2009年4月26日人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到”地球在变小"，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义•本节介绍几个经典的人口模型•3.3.1模型I:人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus,1766--1834）1）模型假设时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r.以P（t）表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P（t）足够大，可以视做连续函数处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解据模型假设，在t到时间内人口数的增长量为5两端除以，得到5即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比令，就可以写出下面的微分方程：5如果设时刻的人口数为，则满足初值问题：（1）下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得5两端积分，并结合初值条件得显然，当时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）.如下图3-2所示.3）模型检验19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战.注意到，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬,不合常理，应该予以修正•图3-24）模型讨论为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄，性别，大小等）对人口增长的影响.假定是连续可微的•这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的,可认为是近似成立的•人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生.不难看出，这些假设是苛刻的，不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口.3.3.2模型II:阻滞增长模型（Logistic）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在一一或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远.在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源，环境条件等因素）.随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降.许多国家的实际情况都是如此.定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的.1）模型假设地球上的资源有限，不妨设为1;而一个人的正常生存需要占用资源（这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为）;在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源成正比；比例系数表示人口的固有增长率；设人口数P（t）足够大，可以视做连续变量处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解由模型假设，可将人口数的净增长率视为人口数P（t）的函数，由于资源对人口增长的限制，应是P（t）的减函数，特别是当P（t）达到极限承载人口数时，应有净增长率，当人口数P（t）超过时，应当发生负增长.基于如上想法，可令用代替指数增长模型中的导出如下微分方程模型：⑵这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic 模型）.其图形如图3-3所示.图3-33）模型检验从图3-3可以看出，人口总数具有如下规律:当人口数的初始值时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当，它们皆趋于极限值.4）模型讨论阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测,而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线. 但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程一一这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种.还有比指数增长模型，阻滞增长模型更好的人口预测方法吗[FS:PAGE]事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑•、实验目的预报人口的增长变化规律，作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。
人口增长的Logistic模型分析及其应用
人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。
关键词：人口Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。
这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。
记t时刻的人口总数为x(t)。
初始时刻t=0时的人口为x0。
人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。
那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。
于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。
在r>0时，人口将按指数规律增长。
但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。
然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。
历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。
原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。
基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。
这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。
最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。
由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。
xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。
因此就有，这个模型就是Logistic 模型。
为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。
中国人口增长预测模型
三、问题的假设
① 不考虑机械增长率（如国际人口的迁入迁 出）对我国总人口的影响；
② 年龄在90及以上的，即90一行的数据 一律按
年龄为90来处理； ③ 调查数据是在全国随机调查所得的数据； ④ 在模型Ⅱ中不考虑出生率、死亡率随时间的变
bj (r,t) dij (r,t)
p(r,t)
第t年第j地区r岁人口中的妇女的生育率； 第t年第j地区r岁人口中的第i种性别的死亡率； 第t年r岁人口占第t年总人口的比例，即人口随年龄的分布密度函数；
h(r,t) 第t年r岁死亡人口占第t年r岁总人口的比例，即死亡率随年龄的分布密
度函数；
02?r622模型的建立621中已拟合出死亡率随年龄的分布密度函数hr生育率随年龄的分布密度函数fr及2001年人口随年龄的分布密度函数pr1根据假设frhr不随时间t变化prt是一个与时间有关的函数第t年r岁的人口为第t1年r1岁的人口转变而来而且可以认为p0t为t1年新出生的人口数即490r?????151rftrptp90岁以上含90的人口p90t为t1年89岁转变而来以及90岁以上未死亡的人数之和即89118990htptp????89118990htptp????故prt是一个分段函数90901?1?1?1?9090hhttpp?????????????????????????h?????????p9090119089118989111110r14915rhtptprrhtrrftrptrpr那么第t年的的人口增长量为总出生人口总死亡人口故建立模型如下
郑州大学 李兰 徐云辉 宋晓磊
中国人口增长模型预测
一、摘要 二、问题的重述 三、问题的假设 四、符号约定 五、问题的分析 六、模型的建立 七、模型的优化方向 八、模型的评价与推广 九、参考文献 十、附录
《人口增长模型》课件
周期性
人口增长呈现一定的周期 性，受经济、社会和政策 等因素影响。
人口增长的影响因素
自然增长率
出生率和死亡率的变化对 人口增长有直接影响。
迁入率和迁出率
迁入和迁出人口的数量对 地区人口增长有重要影响 。
政策因素
政府政策对生育、移民和 人口控制等方面具有重要 影响。
人口增长模型的分类
指数增长模型
01
通过模型模拟不同的人口政策效果， 为政府制定计划生育、移民政策等提 供科学依据。
分析人口变化原因
模型可以帮助我们了解影响人口增长 的各种因素，如生育率、死亡率、移 民等。
02
人口增长模型的基本概念
人口增长的特性
01
02
03
连续性
人口增长是连续的过程， 随着时间的推移不断变化 。
不确定性
人口增长受到多种因素的 影响，具有不确定性。
假设人口数量与时间 呈线性关系，即人口 数量随时间增长而呈 等比增加。
假设人口增长率是常 数，即不受时间、环 境等因素的影响。
模型建立
指数增长模型的一般形式为 (N(t) = N_0 e^{rt})，其中 (N(t)) 表示在时 间 (t) 的人口数量，(N_0) 表示初始人口数量，(r) 表示人口增长率。
05
阻滞增长模型（Logistic模型 ）
模型假设
假设种群增长存在环境最大容 量，即当种群数量达到环境最 大容量时，种群增长速度将减 缓。
假设种群增长受环境阻力影响 ，种群增长率随种群数量增加 而降低。
假设种群增长是连续的过程， 不受时间步长限制。
模型建立
01
(N)((t))：种群数量
02
(K)：环境最大容量
人口统计学中的人口增长与衰退模型
人口统计学中的人口增长与衰退模型人口统计学是研究人口变化规律、数量结构和特征的学科。
人口增长与衰退是其中的一个重要方面。
人口增长模型和衰退模型针对的是不同的人口现象，在研究时需要有相应的数据支撑，下面将介绍其基本定义以及一些常见的模型。
一、人口增长模型人口增长是指人口数量随时间的增加，包括自然增长和外部因素的影响。
自然增长是指出生率与死亡率的差异，外部因素则包括移民、战争和疾病等。
人口增长模型主要用来描述人口数量的变化规律，下文将介绍两种常见的模型。
1.1 指数增长模型指数增长模型认为，人口数量增长的速度与当前人口数量成正比，若人口数量为N，增长速度为r，则有：dN/dt = rN其中，dN/dt是人口数量随时间的变化率。
该模型的特点是，随着人口数量的增加，增长速度越来越快，最终可能会造成人口过剩和资源匮乏的问题。
1.2 Logistic增长模型Logistic增长模型是为了避免人口增长过快而提出的模型。
它假设人口数量增长的速度不仅与当前人口数量有关，还与最大承载能力K有关，若人口数量为N，增长速度为r，则有：dN/dt = rN(1-N/K)其中，1-N/K表示剩余生育空间的比例。
随着人口数量的增加，增长速度逐渐减缓，最终趋向于一个稳定的数量。
二、人口衰退模型人口衰退是指人口数量相对稳定或减少的过程，它涉及到出生率、死亡率、迁移率等因素。
人口衰退模型主要用来描述人口数量在长期内的变化趋势，下文将介绍两种常见的模型。
2.1 指数衰退模型指数衰退模型认为，人口数量随时间的减少速度与当前人口数量成正比，若人口数量为N，衰退速度为r，则有：dN/dt = -rN其中，符号“-”表示人口数量减少。
该模型的特点是，随着时间的推移，人口数量减少的速度越来越快，最终可能导致人口不足的问题。
2.2 Logistic衰退模型Logistic衰退模型则是为了避免人口数量减少过快而提出的模型。
它和Logistic增长模型类似，假设人口数量减少的速度不仅与当前人口数量有关，还与最低承载能力K有关，若人口数量为N，衰退速度为r，则有：dN/dt = -rN(N/K-1)其中，N/K-1表示剩余存活空间的比例。
人口增长及人口红利数学建模
人口增长及人口红利数学建模人口增长和人口红利是一个国家或地区经济发展中非常重要的因素。
人口增长是指人口数量的增加，而人口红利则是指由于人口结构的改变而带来的经济效益。
人口增长和人口红利的数学建模可以帮助我们更好地理解和预测人口发展对经济的影响。
我们可以通过人口增长率来描述人口增长的情况。
人口增长率是指单位时间内人口数量的增加比例。
在数学上，人口增长率可以用以下公式表示：人口增长率 = (人口数量的变化量 / 初始人口数量) × 100%其中，人口数量的变化量可以是人口数量的净增加或净减少。
人口红利可以通过年龄结构和劳动力参与率来进行建模。
年龄结构是指人口在不同年龄段的分布情况，而劳动力参与率是指劳动年龄人口中参与劳动力的比例。
我们可以使用以下公式来计算人口红利：人口红利 = 劳动力参与率× (1 - 老年人口比例) × (1 + 教育水平指数)其中，老年人口比例是指60岁及以上人口占总人口的比例，教育水平指数可以通过受教育人口比例来衡量。
人口红利的计算可以帮助我们评估一个国家或地区的经济潜力。
当劳动力参与率高、老年人口比例低且教育水平高时，人口红利会更加显著，经济发展的潜力也会更大。
在实际应用中，人口增长和人口红利的数学建模可以用来预测未来的人口发展趋势和经济变化。
通过分析历史数据和当前的人口结构，可以建立数学模型来预测未来的人口数量、人口增长率以及人口红利的变化。
人口增长和人口红利的数学建模还可以用来研究不同政策对人口发展的影响。
通过模拟不同政策措施对人口数量、年龄结构和劳动力参与率的影响，可以评估这些政策对经济发展的贡献。
人口增长和人口红利是一个国家或地区经济发展中不可忽视的因素。
通过数学建模，我们可以更好地理解和预测人口发展对经济的影响。
这些数学模型可以帮助政策制定者制定更有效的人口政策，促进经济的可持续发展。
人口模型数学建模
人口模型数学建模随着人口快速增长和城市化进程的加速，人口问题越来越受到大众的关注，国家也在不断地为解决人口问题做出努力。
而在这个过程中，数学建模作为一种有效的工具正逐渐地被应用于人口模拟的研究中，而人口模型也成为了当前人口研究中最常见的方法之一。
本文将从什么是人口模型以及它的意义入手，再从人口增长模型、人口结构模型和人口流动模型三个方面介绍人口模型数学建模的相关内容，并探讨该领域的未来发展方向。
一、什么是人口模型以及它的意义人口模型是一种模拟人口数量和结构变化的方法，通过对人口数量、人口结构、人口增长和流动等关键因素进行分析和预测，来探究人口变化对社会、经济和环境等方面的影响。
而人口模型对解决实际问题具有十分重要的意义。
首先，它可以为政府制定人口政策、规划新城市、解决社会问题提供科学依据。
以我国为例，随着我国人口老龄化和人口流动的不断加剧，建立人口模型对于科学合理地规划人口方向和政策具有十分重要的意义。
其次，人口模型也可以为社会科学领域的研究提供参考，如人口迁移模型可以应用于研究人口迁移与城市结构的关系，对我国城市规划和发展的促进有重要意义。
二、人口增长模型人口增长模型是指通过对人口出生率、死亡率和人口迁移情况等因素进行计算，预测未来人口数量的变化和趋势。
在国家战略制定和人口规划中，人口增长模型是一个很重要的组成部分。
目前，应用最为广泛的人口增长模型包括基本增长模型、Malthus人口增长模型、Logistic人口增长模型和竞争性Lotka-Volterra模型等。
其中，基本增长模型是简单的指数函数，反映了人口随时间的指数增长趋势。
而Logistic人口增长模型则认为人口增长具有一定的饱和性，人均出生率一定的情况下，人口数量将趋于稳定。
三、人口结构模型人口结构模型是指通过对人口各年龄段、性别、职业、教育程度和收入等方面的分布进行计算，来了解人口的组成和各组成部分的数量变化趋势。
其中，最为经典的人口结构模型就是李约瑟模型。
微分方程讲座-人口增长模型
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为 了研究种群数量的增长情况而建立的，但它 们也可用来研究其他实际问题，只要这些实 际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模 型,再通过对现实世界分析,改进模型引进 了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方 程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制
人口增长模型
x (0) x (0) (1), x (0) (2), x (0) (3), , x (0) (n)
x
1
x (1), x (2), x (3), , x (n)
(1) (1) (1) (1)
x 1 的紧邻均值生成序列 (2) 确定
Z 1 z (1) (1), z (1) (2), z (1) (3), , z (1) ( n)
指标 维度
a
5维（2006-2010） 0.005776%
c
0.0045
P
1
6维（2005-2010）
0.011580%
0.0103
1
7维（2004-2010）
0.012183%
0.0086
1
8维（2003-2010）
0.025345%
0.0145
1
9维（2002-2010）
0.036936%
0.0170
x(t t ) x(t ) rx(t )t
dx rx dt x(0) x0
令t 0得
求解得 x x0e
rt
阻滞增长模型(Logistic模型)(姜启源)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
则第k+1年按年龄人数分布向量递推公式为：
N (k 1) LN (k )
1 短期预测模型 模型一：灰色GM(1.1)模型，选择最 佳维度来建立模型进行预测 模型二：采用新陈代谢灰色GM(1.1) 建模，并与模型一作对比，最后选择最 佳的5维新陈代谢灰色GM(1.1)来预测人 口数，并对结果进行了验证和分析。
数学建模logistic人口增长模型
Logistic人口发展模型一、题目描述建立Logistic人口阻滞增长模型,利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型,进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与国家人口发展战略研究报告中提供的预测值进行分析比较.二、建立模型阻滞增长模型Logistic 模型阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降.若将r 表示为x 的函数)(x r .则它应是减函数.于是有：)0(,)(x x x x r dtdx==1对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即)0,0()(>>-=s r sxr x r2设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,当m x x =时人口不再增长,即增长率0)(=m x r ,代入2式得m x rs =,于是2式为 )1()(mx x r x r -= 3将3代入方程1得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm 4解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(05三、模型求解用Matlab求解,程序如下：t=1954:1:2005;x=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74. 5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97. 5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111. 026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122. 389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129 .988,130.756;x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74 .5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97 .5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111 .026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122 .389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,12 9.988;x2=61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76 .3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98 .705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026, 112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389, 123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988 ,130.756;dx=x2-x1./x2;a=polyfitx2,dx,1;r=a2,xm=-r/a1%求出xm和rx0=61.5;f=inline'xm./1+xm/x0-1exp-rt-1954','t','xm','r','x0';%定义函数plott,ft,xm,r,x0,'-r',t,x,'+b';title'1954-2005年实际人口与理论值的比较'x2010=f2010,xm,r,x0x2020=f2020,xm,r,x0x2033=f2033,xm,r,x0解得：xm= 180.9516千万,r= 0.0327/年,x0=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据国家人口发展战略研究报告我国人口在未来30年还将净增2亿人左右.过去曾有专家预测按照总和生育率2.0,我国的人口峰值在2045年将达到16亿人.根据本课题专家研究,随着我国经济社会发展和计划生育工作加强,20世纪90年代中后期,总和生育率已降到1.8左右,并稳定至今.实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标,要求把总和生育率继续稳定在1.8左右.按此预测,总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人,2033年前后达到峰值15亿人左右见图1.劳动年龄人口规模庞大.我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人,2016年将达到高峰10.1亿人,比发达国家劳动年龄人口的总和还要多.在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力,但考虑到素质、技能等因素,劳动力结构性短缺还将长期存在.同时,人口与资源、环境的矛盾越来越突出.而据模型求解：2010年人口：x2010= 137.0200千万专家预测13.6亿误差为0.7% 2020年人口：x2020= 146.9839千万专家预测14.5亿误差为1.3% 2033年人口：x2033= 157.2143千万专家预测 15亿误差为4.8% 2045年人口：x2045= 164.6959千万专家预测 16亿误差为4.1%五、预测1. 1954-2005总人口数据建立模型：r=0.0327 xm=180.95162010年人口：x2010= 137.0200千万专家预测13.6亿误差为0.7% 2020年人口：x2020= 146.9839千万专家预测14.5亿误差为1.3% 2033年人口：x2033= 157.2143千万专家预测 15亿误差为4.8% 2045年人口：x2045= 164.6959千万专家预测 16亿误差为4.1% 2. 1963-2005总人口数据建立模型：r=0.0493 xm=150.52612010年人口：x2010= 134.1612千万专家预测13.6亿误差为1.4% 2020年人口：x2020= 140.0873千万专家预测14.5亿误差为3.4% 2033年人口：x2033= 144.8390千万专家预测 15亿误差为3.4% 2045年人口：x2045= 147.3240千万专家预测 16亿误差为7.6% 3.1980-2005总人口数据建立模型：r=0.0441 xm=156.32972010年人口：x2010= 135.2885千万专家预测13.6亿误差为0.5% 2020年人口：x2020= 142.1083千万专家预测14.5亿误差为2.0%2033年人口：x2033= 147.9815千万专家预测 15亿误差为1.3% 2045年人口：x2045= 151.3011千万专家预测 16亿误差为5.4%总体来看,1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好,即与已有数据吻合,又与专家预测误差较小.从历史原因来分析：1954年之后的1959-1961年间,有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇.1960年之后为过渡时期.1983年之后开始实施“计划生育政策”,一直至今,所以1980-2005年间的数据与预测分析最好.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim
t
P0
e
r
(
t
t0
)
，我们的地球是有限的，故
指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非
常荒谬，不合常理，应该予以修正。
2021/4/14
5
模型II：阻滞增长模型（Logistic）
模型假设
1. 地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存
需要占用资源1/ P*(t) ；
2. 在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简
2021/4/14
10
P* P(t)
1 ( P * 1) e r*(tt0 ) P0
1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
20
40
60
80 100 120 140
称为阻滞增长模型（或Logistic模型）
2021/4/14
8
模型检验
当人口数的初始值P0>P*时，人口曲线（虚线）单调 递减; 当人口数的初始值P0<P*时，人口曲线（实线）单调 递增；无论人口初值如何，当t，它们皆趋于极 限值。
2021/4/14
1
模型I：
人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766--1834）
模型假设
1）时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比， 增长率为常数r。 2）以P(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数， 设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理， 且P(t)关于t连续可微
2021/4/14
还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？ 事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素 除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生 育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满 足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历 史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的 人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。
2
模型建立及求解
据模型假设，在t到 t + t 时间内人口数的增长量为
P(t t) P(t) r P(t) t
P(t t) P(t) r P(t) t
dP r P dt
2021/4/14
3
如果设 t = t0时刻的人口数为，则P(t)满足初值问题：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
dt
rP
P(t0 ) P0
P(t) P0 er(t t0 )
30 25 20 15 10
5
5
10
15
20
25
30
35
称为指数增长模型（或Malthus模型）。
2021/4/14
4
模型检验
• 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻 合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。
•
注意到lim P(t) t
2021/4/14
9
模型讨论
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被 用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预 测时因为其形式的相对简单性也常被采用。 不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同 的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资 料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一 直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿， 之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，即说明其 预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。
单起见也假设与当时剩余资s 源1 P / P
成正比；比例
系数表示人口的固有增长率；
3. 设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关
于t连续可微。
2021/4/14
7
模型建立及求解
r(P) r * s r * (1 P / P )
dP
r
P
(1
P
/
P
)
dt
P(t0 ) P0