各种概率分布及应用场合(建模对象)

1、高斯分布

高斯分布是最常见的分布，我现在觉得高斯分布中最难的就是，如何说服别人，你假设某个分布是高斯，是有依据的，而不是一个所谓的“经验假设”。

高斯分布的概率密度函数为：

各种各样的心理学测试分数、各种各样的无力现象、测量误差等都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，但是理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。

由正态分布还可以到处一些常见的分布：

2、伯努利分布（又称：两点分布，0-1分布）

均值为p，方差为p(1-p).

这是为纪念瑞士科学家伯努利而命名的，猜测应该与伯努利本人没有太大关系吧，哈哈。

3、二项分布

进行独立的n次伯努利实验得到。均值为np，方差为np(1-p)。

与高斯分布的关系：当n足够大时，且p不接近于0或1，则二项分布近似为高斯分布，且n越大越近似。

4、多项分布

与二项分布对应，每次独立事件会出现3个及3个以上可能值。

二项分布和多项分布的概率值都可以经过计算多项式（x1+x2）^n 和多项式

(x1+x2+...+xm)^n的通项得到，对于二项分布，此时的x1=p，x2=1-p。

5、泊松分布

参考资料：

/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。

概率质量函数为：（区分概率质量函数和概率密度函数，概率质量函数-离散，是概率值；概率密度-连续，不是概率值）

泊松分布的期望和方差均为lemta。

与二项分布的关系：当二项分布的p趋近于0，np固定，或np至少趋近固定时，事件在某个事件间隔内发生的次数，就可以用泊松分布近似。这个关系可以用严格的数学语言证明。

泊松分布的最大似然估计：给定n个样本值k i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ

的估计。最大化似然概率得到的参数为：。可以看出来，这个结果也与Lemta的定义吻合。

6、指数分布

参考：/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83

指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数分布的概率密度函数为，，期望为1/Lemta,方差为1/Lemta^2。

指数分布中最关键的一点，如何理解率参数。给定独立同分布样本x = (x1, ..., x n)，最大化似然概率得到参数的似然值为：。

指数分布的重要特性是无记忆性。它表示随机变量的概率只与时间间隔有关，而与时间起点无关。数学语言表达为：

7、其他

伽马分布，β分布，狄利克莱分布等。以上所有分布，都属于指数分布族。