2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法

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无穷级数的定义性质和及敛散性判别

级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a

第10章第二节无穷级数的性质与敛散性【VIP专享】

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性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
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本节小结
C．若级数
(u2n1
u2n
)
发散，则级数
un
发散
n1
n 1
D．若，则级数都发散 lim n
un
0
(u2n1 u2n )
n1
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级数敛散性的判断方法：性质1 如果级数与级数
分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响
级数的敛散性。
性质4 如果级数收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
敛，则原来级数未必收敛。
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例如将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
得到的新级数不收敛。
vn)发散，则级数 un,
vn
都发散
n1
n 1
n 1
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lim
n
un

第1节无穷级数的敛散性

(u
n 1

n
vn ) S W un vn
n 1 n 1

证毕.
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
说明两个收敛级数的和一定收敛
一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散两个发散级数的和可能收敛也可能发散
7/9/2013 1:17 AM
第8章

无穷级数
n 1 n 1
级数收敛。而级数
2
n 1

n 1
1 2 4 2
n 1

公比为 q 2 , q 2 1 , 所以该级数发散。
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
例2 判断级数
1 1 1 1 1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4 n( n 1) n 1
1 n 解因为 lim Sn lim 2n 1 2 n n 1 un 收敛，所以级数其和为 S ，由定理7.3 2 n 1 级数 un 2 收敛。
n 1
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
u
n 1

n 2
u3 u4
级数为 a a a a （2）若 q 1 ，
Sn na , 则 lim Sn ，几何级数发散。 n
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
级数为 a a a a （3）若 q 1 ，
S 当 n 为偶数时， n 0 ; 当 n 为奇数时， n a S
当 n 时， n 没有极限， S 几何级数发散。

数项级数敛散性判别法

数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。

在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。

下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。

1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。

即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。

2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。

5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。

6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。

具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。

微积分教学课件第7章无穷级数第4节广义积分敛散性的判别

若 p 1 ，则x 0 是瑕点，
lim x1 p f ( x) lim(1 x)q1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x0
x0
若 q 1 ，则x 1 是瑕点，
lim x1q f ( x) lim(1 x) p1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
x0
x0
因此，当 p 0 且 q 0 时，该广义积分收敛；
1
lim x 2 f ( x) lim
1
1,
x0
x0 1 x2
所以瑕积分 1
1
dx 收敛.
0 x(1 x 2 )
10
例5 判别瑕积分 1
1
dx 的敛散性.
1 (1 x 2 )(4 x 2 )
解易知 x 1 为瑕点，由于
1
lim (1 x) 2 f ( x) lim
1
1,
x ( 1)
当 p 1且 A 0时， f ( x)dx 发散. a 证略.
4
例1 判别广义积分 x pex dx 的敛散性，其中 1
p, 为常数，且 0 .
解由罗必塔法则，
lim x2
x
x pex
lim
x
x p2 ex
0
故广义积分 x pex dx ( 0) 收敛. 1
5
例2
判别广义积分
1
arctan x 1 x
dx
(
0)
的敛散性.
解
由于
lim
x
x
arctan x 1 x
x
lim x 1
x
arctan x
,
2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.

无穷级数与收敛性分析

无穷级数与收敛性分析无穷级数是数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析以及应用数学中起着重要的作用。

无穷级数是指将一系列的项相加，并且这个序列是无限的。

在本文中，我们将探讨无穷级数的性质以及如何判断一个无穷级数的收敛性。

一、无穷级数的概念无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是序列的项。

如果存在一个数S，使得无穷级数中的部分和可以无限地接近S，那么我们称这个无穷级数是收敛的。

反之，如果部分和不趋近于一个有限的数，那么这个无穷级数是发散的。

二、收敛性判定的方法1. 通项的性质一个无穷级数的收敛性与其中的每一项密切相关。

首先，我们需要注意的是，无穷级数的第n项必须趋于零，即lim (n→∞) aₙ = 0。

这是一个必要条件，没有这个条件，我们无法得出无穷级数的收敛性。

2. 正项级数和负项级数对于正项级数，如果该级数的部分和有上界，则该级数是收敛的。

换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≤ C，那么该级数是收敛的。

类似地，对于负项级数，如果该级数的部分和有下界，则该级数是收敛的。

换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≥ C，那么该级数是收敛的。

3. 比较判别法比较判别法是判定无穷级数收敛性的一种重要方法。

假设我们有两个无穷级数：S = a₁ + a₂ + ... 和 T = b₁ + b₂ + ...。

如果对所有的n，都有 aₙ ≤ bₙ，且级数T是收敛的，则级数S也是收敛的。

反之，如果对所有的n，都有 aₙ ≥ bₙ，且级数T是发散的，则级数S也是发散的。

4. 比值判别法比值判别法是用来判定正项级数收敛性的常用方法。

对于正项级数S = a₁ + a₂ + ...，如果存在一个常数r（0<r<1），使得对足够大的n，有 aₙ₊₁ / aₙ ≤ r，则级数S是收敛的。

级数敛散性的判别方法

级数敛散性的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分等领域有着广泛的应用。

在研究级数时，一个重要的问题就是判别级数的敛散性。

本文将介绍几种常见的判别方法，帮助读者更好地理解级数的敛散性。

首先，我们来看级数的敛散性定义。

对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列${S_n}$收敛于某个值$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_n=S$，那么我们称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的，$S$称为级数的和。

如果${S_n}$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$就是发散的。

接下来，我们将介绍几种判别级数敛散性的方法。

一、比较判别法。

比较判别法是判别级数敛散性常用的方法之一。

设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，如果对于所有的$n$，都有$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。

二、比值判别法。

比值判别法是判别正项级数敛散性的一种方法。

对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算极限$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果这个极限存在且小于1，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；如果这个极限大于1或者不存在，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；如果这个极限等于1，比值判别法不起作用，需要使用其他方法进行判别。

三、积分判别法。

积分判别法适用于正项级数。

对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果函数$f(x)$在$[1, +\infty)$上连续、单调递减且非负，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$的敛散性是等价的，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或者同时发散。

无穷级数的收敛和发散理论

无穷级数的收敛和发散理论一、无穷级数的基本概念1.无穷级数：一个数列 {a_n}，如果从第n=1项起，每一项都可以表示为一个函数f(n)与常数的乘积，即 a_n = f(n) * c（c为常数），则称该数列为无穷级数。

2.收敛性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，并且其和函数S(x)在实数范围内存在，那么称该无穷级数为收敛的。

3.发散性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，但其和函数S(x)在实数范围内不存在或趋于无穷大，那么称该无穷级数为发散的。

二、无穷级数的收敛性判断方法1.比较检验法：通过比较两个无穷级数的项的大小，判断它们的收敛性是否相同。

2.比值检验法：求出无穷级数的极限比值，判断其收敛性。

3.根值检验法：求出无穷级数的极限根值，判断其收敛性。

4.积分检验法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其收敛性。

5.级数收敛性的一般判定定理：包括交错级数的莱布尼茨判别法、正项级数的比值判别法和根值判别法等。

三、无穷级数的发散性判断方法1.比值发散判别法：求出无穷级数的极限比值，判断其发散性。

2.根值发散判别法：求出无穷级数的极限根值，判断其发散性。

3.积分发散判别法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其发散性。

四、特殊无穷级数的收敛性判断1.幂级数：形如a_n = x^n 的无穷级数，其收敛性取决于x的取值范围。

2.泰勒级数：函数f(x)在某一区间内的泰勒展开式，其收敛性取决于该区间内f(x)的导数存在且连续。

3.傅里叶级数：周期函数f(x)的傅里叶展开式，其收敛性取决于周期函数的性质。

五、无穷级数在数学和物理学中的应用1.数学分析：无穷级数是数学分析中的基本工具，用于求解函数的泰勒展开、积分和微分方程等。

2.物理学：无穷级数在物理学中广泛应用于求解波动方程、热传导方程等，以及模拟连续介质的行为。

无穷级数的收敛和发散理论是数学分析中的重要内容，掌握其基本概念、判断方法和应用，对于深入学习数学和物理学具有重要意义。

无穷级数的审敛法与收敛性判别

无穷级数的审敛法与收敛性判别无穷级数是数学中的一个重要概念，利用无穷级数可以逼近函数的值。

但无穷级数是一个无限求和的概念，有可能会出现发散的情况，因此就有了收敛性判别和审敛法这两种方法来判定无穷级数是否收敛。

首先，让我们来看一下什么是无穷级数。

无穷级数是由无限多个数相加或相减所得到的一种数列求和方式，可以表示为以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots$$其中，$a_n$ 表示第 $n$ 个数。

接下来，我们来介绍几种判定无穷级数收敛的方法。

一、正项级数判别法如果一个无穷级数的每一项都是非负数，即 $a_n\geq 0$，那么我们可以使用正项级数判别法来判断无穷级数是否收敛。

正项级数判别法的结果是，如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$。

这个结论非常重要，因为如果 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$，那么级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 一定发散。

这是因为无穷级数的每一项都是非负数，如果$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么随着$n$ 的增大，$a_n$ 的大小也会越来越大，因此级数就会发散。

二、比较判别法比较判别法是一种常用的判定无穷级数收敛性的方法。

比较判别法的基本思想是，将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数的收敛性。

比较判别法分为两种情况：比较判别法一和比较判别法二。

比较判别法一表述如下：对于两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\leq kb_n$，其中 $k$ 是一个正常数，那么有以下结论：- 当级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。

高数无穷级数数项级数敛散性判别法

n1 n 1

un 发散 n1

vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1

{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2

{ sn } 无界
y
例1

审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1

收敛发散
特殊情况
p 1时 p 1时
p 1时对应的是调和级数
正好是 p 级数敛散的分界级数
重要的参考级数
调和级数等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的敛散性
n 1 n 1

un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n

则
un
0
故发散
绝对总结收敛条件收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1

1 1 1 1 解若p 1, p , 而发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n

无穷级数的收敛与发散判别

无穷级数的收敛与发散判别无穷级数是数学中一个重要的概念，它由无限多个数的和构成。

在研究无穷级数时，一个重要的问题就是判断该级数是否收敛或发散。

本文将介绍几种常见的判别方法。

一、数项级数的收敛与发散数项级数是指由单独的项构成的无穷级数，每一项可以用数列$a_n$表示。

数项级数的收敛与发散判别方法如下：1. 等差级数：若数列$a_n$满足$a_n = d \cdot n + c$，其中$d$和$c$为常数，且$d \neq 0$，则该等差级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛当且仅当$-1 < d < 1$。

2. 正项级数：若数列$a_n$的每一项都大于等于零，且满足$\lim_{n \to \infty}a_n = 0$，则该正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。

3. 一般比较判别法：若存在一个收敛的正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，使得对于$n$的所有正整数值，$|a_n| \leqb_n$成立，则由$a_n$构成的级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

4. 比值判别法：若存在常数$0 < q < 1$，使得$n$充分大时，$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q$，则由$a_n$构成的级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。

若存在常数$q > 1$，使得$n$充分大时，$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq q$，则该级数发散。

5. 根值判别法：若存在常数$0 < q < 1$，使得$n$充分大时，$\sqrt[n]{|a_n|} \leq q$，则该级数收敛。

若存在常数$q > 1$，使得$n$充分大时，$\sqrt[n]{|a_n|} \geq q$，则该级数发散。

二、幂级数的收敛域幂级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数，其中$a_n$和$x$都是实数或复数。

无穷级数敛散性判别

无穷级数敛散性判别无穷级数在数学中扮演着重要的角色，我们经常需要判别一个级数是否收敛。

级数的收敛意味着其和存在，而发散则意味着级数的和不存在。

在实际问题中，我们经常需要确定级数的敛散性，因为这关系到级数所代表的数学模型的有效性和可行性。

1. 定义首先，让我们来看一下无穷级数的定义。

一个无穷级数是指形如a1+a2+a3+...的数列之和，其中a n称为级数的第n个项。

当我们讨论级数的敛散性时，我们实际上是在讨论级数的部分和序列是否收敛。

2. 级数收敛的判别条件接下来，我们来介绍一些常见的级数敛散性判别方法。

2.1 收敛级数对于一个正项级数$\\sum a_n$，如果数列$\\{s_n\\}$的部分和序列收敛，即$\\lim_{n\\to\\infty} s_n = s$存在，则该级数收敛，其中s n=a1+a2+...+a n。

2.2 正项级数收敛判别法正项级数$\\sum a_n$的比较判别法和比值判别法是常用的方法之一。

当我们能找到一个收敛级数$\\sum b_n$，使得对于足够大的n，恒有$a_n \\leq b_n$，则级数$\\sum a_n$也收敛。

同样，如果$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = L$存在，且L<1，则级数$\\sum a_n$收敛。

2.3 绝对收敛级数与条件收敛级数当级数的所有项取绝对值后构成的级数收敛时，称原级数为绝对收敛级数。

对于绝对收敛级数，我们通常可以改变项的次序而不改变级数的和。

如果级数收敛但不绝对收敛，则称之为条件收敛级数。

2.4 整数幂级数对于整数幂级数$\\sum a_nx^n$，我们可以利用收敛半径的计算来判别级数的敛散性。

收敛半径R是一个重要的概念，使得级数在|x|<R时一定收敛，在|x|>R 时一定发散。

3. 发散级数当级数的部分和序列$\\{s_n\\}$发散时，级数也称为发散级数。

无穷级数敛散性判断

无穷级数敛散性判断
无穷级数敛散性判断
无穷级数敛散性判断是在数学中常见的一个概念，它用于判定一个给定的无穷
级数是否收敛或散开。

一个级数的收敛性是指级数的值限于确定的一个区间范围内，而散开性则是指级数的值会有可能会不断增长，甚至可能会趋向于正无穷或负无穷。

无穷级数敛散性判断就是依据给定无穷级数的特征以及变量关系来判断它是收敛还是散开。

其判定方法一般有三种，分别是根据有限级数来判断、利用极限定义来判断以
及利用凹凸理论来判断。

根据有限级数来判断指的是，如果分母的次数越高，分子的值就越接近于真数，则说明此无穷级数逐步收敛。

利用极限定义来判断指的是，当分子和分母的值都逐步接近真数时，此无穷级数即收敛。

最后，利用凹凸理论来判断指的是，当极限定义发现分子和分母都趋向于无穷，而分子却在小范围内循环，则这个无穷级数就是已收敛。

无穷级数敛散性判断为我们判定特定微积分问题提供了宝贵帮助，它有助于我
们进行无穷级数的收敛敛判断，以避免出现误判，从而更加准确地计算出结果。

级数敛散性判别方法的归纳(K12教育文档)

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级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要:无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分,它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多,学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词:级数；收敛；判别；发散一。

级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21 ①称为无穷级数（常简称级数），用∑∞=1n n u 表示。

无穷级数①的前n 项之和,记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21 ②称它为无穷级数的第n 个部分和,也简称部分和。

若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s 。

则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

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级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛｝，形如n u ①n u u u +++21称为无穷级数(常简称级数),用表示。

无穷级数①的前n 项之和，记为∑∞=1n n u = ②∑==nn n n u s 1n u u u +++ 21称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。

若无穷级数②的部分和数列｛｝收敛于s.则称无穷级数收敛，若级数的部分和发散则称级数n s ∑∞=1n n u 发散。

∑n v 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1若级数和都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数∑n u ∑n v 亦收敛，且=c +d )(n n dv cu ∑+)(n n du cu ∑+∑n u ∑nv 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N ，使得当εm ＞N 和任意的自然数，都有＜εp p m m m u u u ++++++ 21以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。

由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{}有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有＜M 。

关于级数敛散性的判别[1]重要

专题七关于级数敛散性的判别无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助.在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如p和e,以及对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多．级数是一门非常活跃的学科, 这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向.数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。

这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。