7年级春季班第12讲-全等三角形的综合(教案教学设计导学案)

本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．

全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．

【例1】已知：AE＝ED，BD＝AB，试说明：CA＝CD．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，试说明：AE＝DE．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】已知：AB∥CD，OE＝OF，试说明：AB＝CD．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB=CD，AB∥CD．试说明：BD平分EF．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例5】如图，已知AD=AE，AB=AC．试说明：BF=FC．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

试说明：BD＝CG．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例7】如图1，△ABD和△AEC中，AB=AD=BD，AE=EC=AC，连接BE、CD．（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是___________；

（2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变；

（3）观察图3和图4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是______，在图4中证明你的猜想；

（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系是_________；它们分别在哪两个全等三角形________________；请在图6中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形?

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例8】已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△

BPD与△CQP全等?

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、倍长中线法；

2、添加平行线构造全等三角形；

3、截长补短构造全等的三角形；

4、图形的运动构造全等三角形．

【例9】已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE＝EF，试说明：BF＝AC．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例11】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF．试说明：AE=EF．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】已知：如图所示，△ABC中，D为BC上一点，AB=AC，ED=DF，试说明：BE=CF．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】△ABC中，AB=AC，E为AC延长线交于一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．试说明：GD=GE．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是射线BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，试说明PE、PF与CD的关系．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】已知，如图在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，BC>AB，∠A+∠C=180°．试说明：AD=CD．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF．试说明：∠ADB=∠CDF．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例17】如图，BC∥AD，EA、EB分别平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，试说明：AB＝AD+BC. 【难度】★★

【答案】

【解析】

【例18】如图，在中，,,平分．

试说明:.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例19】如图，已知中，是的角平分线，．

试说明：.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例20】在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC．

试说明：∠B+∠D=180°．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE，试说明：CD=2CE．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，试说明：AB+BE=AC．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】如图：在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC，延长AB到E，使BD=BE，延长ED 到F，交AC于F，说明AF=DF=CF的理由．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】已知AD为△ABC的角平分线，AB＞AC，试说明：AB－AC＞BD－DC．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例25】已知，如图1正方形ABCD中，E是BC中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于F．

（1）试说明：AE=EF．

（2）如图2，如当E是BC上任意一点，而其它条件不变时，AE=EF是否仍然成立，试加以分析说明．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例26】如图，点D、E三等分△ABC的BC边．试说明：AB+AC＞AD+AE．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例27】已知：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，试说明：AB+AC＞AD+AE．【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例28】如图，在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线的一点，且∠D=60°，E是AD上一点，DE=DB．试说明：AE=BE+BC．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】如图△ABC和△DBC中，∠ABP=∠DBP，∠ACP=∠DCP，P是BC上任意一点，试说明：P A=PD.

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】已知，△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】从正方形ABCD的顶点A作∠EAF=45°，交DC于F,BC于E，试说明：DF+BE=EF．【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题5】如图，△ABC中，AB

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题6】△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线，P是AD上任意一点，试说明：AB-AC>PB-PC．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，试说明：∠BAD=∠CAD．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】已知：如图，ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．试说明：BE+DF=AE．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，∠BDC= 120°，BD=CD，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB，AC上，求△AMN的周长．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题10】如图，已知梯形ABCD中，AB=CD=10厘米，BC=8厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D 点运动．

（1）若点P与Q都以2厘米/秒的速度运动，经过1.5秒后，△BPE与△CQP是否全等?请说明理由；

（2）若点P的速度为3厘米/秒，当点Q的运动速度为多少时，能够使△PBE与△CQP 全等?

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】 已知：如图，OD ⊥AD ，OH ⊥AE ，DE 交GH 于O ．若∠1=∠2，试说明：OG =OE ．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．试说明：AD <12

(AB +AC )． 【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】 已知：AB //ED ，∠EAB =∠BDE ，AF =CD ，EF =BC ，试说明：∠F =∠C ．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业4】 △ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，试说明：∠C =2∠B ．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．试说明：AB=CD．【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上．DE=CD，EF=AC．试说明：EF∥AB．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE垂直于BD，试说明BD=2CE．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】已知：点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，且AN、BM 相交于O．

（1）试说明：AN=BM；

（2）求∠AOB的度数；

（3）若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，试说明：PQ∥AB．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，试说明：AD平分∠CD．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业10】如图点M是△ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），其中AB=AD=BD，作∠DMN=60°，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN 有怎样的数量关系?

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业11】已知，如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD 的中点．

（1）试说明：①BE=CD；②AN=AM；

（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．

【难度】★★★

【答案】

【解析】