二元一次方程组讲义

二元一次方程组
知识点1：解方程
一、考点讲解：
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
4．二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
5．整体思想解方程组．
（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②
，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的 3（x+5）
看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．
（2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．
二、经典考题剖析：
【考题1－1】（2004
、汉中）若x+y+4则 3x+2y ＝_______
【考题1－2】（2004、北碚，5分）
解方程组：x-y=42x+y=5⎧⎨
⎩
三、针对性训练：( 20分钟) (答案：242 )
1、对方程组4x+7y=-19 4x-5y=17 ⎧⎨⎩①
②，用加减法消去x ，得到的方程为（ ）
A 、2y=－2 B.2y=－36
C. 12y=－2
D.12y=－36
2．二元一次方程组x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩
的解是（ ） A ．11x=x=2x=73 C. D.19y=8y=3y=3
x=3 B.y=7⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩⎧⎨⎩ 3．若x=-2y=1⎧⎨⎩ 是方程组ax+by=1bx+ay=7⎧⎨⎩
的解，则（） （a －b ）的值为（ ） A. －
353 B. 353 C. －16 D.16 4．解方程组：⑴2x+5y=53x+2y=5 3x-5y=102x+5y=7⎧⎧⎨
⎨⎩⎩⑵
5．已知方程组ax+5y=15 4x-by=-2 ⎧⎨⎩①
②由于甲看错了方程①中的a 得到的方程组的解为x=-3y=-1⎧⎨⎩乙看错了方程②中的b ，
得到方程组的解为x=5y=4⎧⎨
⎩若按正确的a 、b 为计算，求原方程组的解x 与y 的差．
6．若
a+b 4b 与3a+b 是同类二次根式，求a 、b 的值.
7．已知关于x ，y 的方程组2x-y=32kx+(k+1)y=10⎧⎨⎩
的解互为相反数，则k 的值是多少？
8．甲、乙两人解同一个二元一次方程组，甲正确地得出解x=3，y =－2，乙因把这个方程组中的第二个方程X 的
系数抄错了，得到一个错误的解为x =－2，y=2．他们解先后，原方程组的三个系数又被污染而看不清楚，变成下面的形式：
请你把原方程组的三个被污染的系数填上．
知识点2：方程组的实际应用
一、考点讲解：
方程组解决实际问题：应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性．
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、宁安）某商品按进价的100％加价后出售．经过一段时间，商家为了减少库存，决定5折销售，这时每件商品（ ）
A ．赚50％
B ．赔50％
C ．赔25％
D ．不赔不赚
解：D 点拨：利润=销售价－进价．
【考题2－2】（2004、南山区正题3分）如图1－7－1，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A ．9015
x y x y +=⎧⎨=-⎩ B ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩ C ．90152x y x y +=⎧⎨
=-⎩ D ．290215
x x y =⎧⎨=-⎩
【考题2－3】（2004、宁安）如图，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相等，那么a 、b 、c 、d 依次可为 。

(只需填写一组你认为合适的数字 即可）。

【考题2－4】（2004、海口）今年我省荔枝又喜获丰收. 目前市场价格稳定，荔枝种植户普遍获利. 据估计，今年全省荔枝总产量为50 000吨，销售收入为61 000万元. 已知“妃子笑”品种售价为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨. 如果设“妃子笑”荔枝产量为x 吨，其它品种荔枝产量为y 吨，那么可列出方程组为 .
【考题2－5】（2004、湟中，6分）某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0．8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少？
【考题2－6】（2004、潍坊，7分）甲、乙两件服装的成本共n0元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％利润定价，乙服装接40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
．
三、针对性训练：( 20分钟) (答案：243 )
1．甲对乙说：“当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．问甲、乙现各多少岁？
2．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C 型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进两种不同型号的脑共36台，清你设计出不同的购买方案供该校选择，并说明理由．
3．某工程队计划在695米线路上分别装8．25米和
6．25米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？
4．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2．5小时相遇；
如果乙比甲先走2小时，那么他在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度．
5．某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺 母恰好配套
（一个螺钉配一个螺母）就可以运进库房，若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，
该车间共有工人81名．问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？
【考题】
【回顾1】（2005、自贡，3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在哪家超市购买此种商品更合算（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．同样
D ．与商品价格相关
【回顾2】（2005、温州，5分）杉杉打火机厂生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利率为25％．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15％．则这种打火机每只的成本降低了___________元（精确到0.01元，毛利率=-100%⨯售价成本成本
） 【回顾3】（2005、金华，4分）方程组22x-y=1x -y =3⎧⎨
⎩的解 是（ ）
A ．21x y =⎧⎨=⎩
B 、12x y =-⎧⎨=-⎩
C 、32x y =⎧⎨=⎩
D 、12x y =⎧⎨=⎩
【回顾4】（2005、海淀）解方程组：41216x y x y -=-⎧⎨
+=⎩
【回顾5】（2005、南充）解方程组：271132
x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩
【精练】
一、基础经典题( 58分)
(一)选择题(每题4分，共24分)
【备考1】若3a x b y+7和－7a -1-4y b 2x 是同类项，则 x 、y
的值为（ ）
A ．x ＝3，y ＝－1
B ．x ＝3，y ＝ 3
C ．x =1，y=2
D ．x ＝4，y ＝2
【备考2】当x=1，y =－1时，ax ＋by=3，那么当x =－1，y=l 时，ax+ by + 3的值为（ ）
A ．3
B ．－3
C ．0
D ．1
【备考3】若两数之和为25，两数之差为23，这两个数是（ ）
A ．24，1
B ．－24，1
C ．24，－1
D ．12，13
【备考4】学校买排球、足球共25个，花费732元，足球每个36元，排球每个24元，设买排球x 个，买足球y 个，所列方程为（ ）
25.3624732x y A x y +=⎧⎨
-=⎩ 25.3624732x y B x y +=⎧⎨+=⎩
C . 253624732y y x y =-⎧⎨+=⎩ 25.3624732x y
D y x +=⎧⎨+=⎩ 【备考5】已知二元一次方程2x ＋3y —4=0，其中x
与y 互为相反数，则x 的值为（ ）
A ．44x y =⎧⎨=-⎩
B 、44x y =-⎧⎨=⎩
C 、33x y =⎧⎨=-⎩
D 、33x y =-⎧⎨=⎩
【备考6】一次函数y=kx ＋b(b ≠0）的自变量x 的取值每增加1个单位，函数值y 就相应地减少5个单位，则k 的值为（ ）
A.5 B .－5 C.15 D. －15
(二)填空题（每题4分，共24分）
【备考7】用代人法解二元一次方程组2 2 3 y x x y =⎧⎨+=⎩①②
时，可把①式代人②式，得_________，从而解得
x ＝_______，再把x 的值代入①式，得y=______，所以____________x y =⎧⎨=⎩
【备考8】次函数y=2x —1和y=2x+3的图象是两条 直线，它们______公共点（填“有”或“没有”）；二元一次方程组2-y=12x-y=-3x ⎧⎨⎩
的解的情形是_______. 【备考9】满足等式|a －b|+ab=1的非负整数对(a ，b)的值应为_______
【备考10】如果12x y =⎧⎨=⎩是方程组a +by 7ax-by=5x =⎧⎨⎩
的解， 那么a+b=________
【备考11】当 2x+ 3y=2时，9y 比 4x 大 1，则x=___
【备考12】已知
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
是
22
22
mx-n y=2
2nx-3xy+my=-4
⎧⎪
⎨
⎪⎩
方程组的解，则m+n=_____.
（三）解方程组（每题5分，共10分）
【备考13】解方程组：
2x+y=5 x-y=1⎧
⎨
⎩
【备考14】解方程组：
x y
-=5 23
x y3
+= 484⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
二、学科内综合题（共6分）
【备考15
x-y-2=0，求x、y的值．
图形的初步认识复习
一、课前热身：通过以下几个问题回顾说学的知识。

1、常见几何体分为_______、_______、球体
2、正多面体正_____面体、正方体、正____面体、正____面体，正二十面体。

4、圆锥的表面展开图为_______和圆，圆柱的表面展开图为_______和_____个圆。

5、多边形是由若干个_______组成的_______的封闭图形。

6、线段的比较和角的比较的方法位度量法和_______。

两点之间，_____最短。

过两点有且______直线。

7、角是有公共端点的两条_______组成的图形，从一个角的顶点引出的一条_______,•把这个角分
成两个相等的角,•这条______叫做这个角的_______.
8、如果两个角的和是90°，那么两角____；如果两个角的和是180°，那么两角____。

对顶角______。

9、说出下图的射线的方向：OA : ____偏西____ ；OB：北偏____ ____ 度；OC：____偏____ 20°
二、研讨探究
例1：画图题
1、在直线ｌ上，点Q在直线ｌ外，过点Q的直线m交直线ｌ于点R
2、直线a过点P，且点P在直线b上。

例2：已知线段AB=5cm，在直线AB上画线段BC=3cm，求AC的长。

D
C A B O E
例3、如图,已知OB 平分∠AOC,且∠2:∠3:∠4=2:5:3,求∠1,∠2,∠3,∠4的度数.
4321
D
C
A
B O
三、强化练习 1、直线有 个端点，射线有 个端点，线段有 个端点。

2、过一点有 条直线，过两点有 条直线，过平面内三点中的每两点有 条直线。

3、用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明 。

4、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A ．正方体
B ．三棱柱
C ．长方体
D ．圆锥体
5、一个角的余角比它的补角29
还多1°，求这个角的度数。

6、画图：直线a 、b 、c 都经过点M ，直线ｌ分别交直线a 、b 、c 于点A 、B 、C 。

8、如图,已知∠AOB:∠BOC=3:5,又OD,OE 分别是∠AOB 和
∠BOC 的平分线,•若∠DOE=60°,求∠AOB 和∠BOC 的度。