三角函数的最值问题(章节练习)

三角函数的最值问题

三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！ 一 化为单名函数的形式 例1 函数f(x)=x x x x 44

sin cos sin 2cos

--

①求f(x)得最小正周期;

② ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。

解: (1) x

x x x x f cos sin 2sin cos

)(22

--= x x 2sin 2cos -=

)2

2

2sin 222(cos 2⋅-=x x

)4

2cos(2π

+=

x ∴ f(x)最小正周期是π=T

（2）2

0π≤≤x ∴ ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈+45,42

2πππx

∴ 4

4

2π

π

=

+x 即0=x 时最大值是1

ππ=+4

2x 即8

3π=x 时最小值是－

2

注意

① 辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 的应用

② 注意三角函数区间最值的正确取舍

二 单名函数的复合型

例2 3

1sin sin =+y x ，求x y 2

cos sin -的最值

解：∵ x y sin 3

1sin -= ∴ 1sin 3

11≤-≤-x

∴ 3

4sin 3

2≤≤-x

∴ 12

11

)21(sin cos

sin 22

--=-=x x y u

∴ 21sin =x u

的最小值为12

11- ；

3

2sin -=x u 的最大值为94

注意：隐含条件不可忽视！ 三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin 例3 求函数x

x x

x y cos sin 1cos sin ++=

的最值

解：令x x t cos sin += 则 x x t

cos sin 12

+=

∴ )1(2

1121

2-=+-=t t t y

∴ 22≤≤-

t 且 1≠t

∴ )

12(2

1

)12(

2

1-≤≤+-y 且 1-≠y

注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！ 四 限量代换 例4 求函数2

1x x y -+

=的值域

解：函数的定义域[]1,1-∈x 令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4sin(2sin cos π

θθθ+=+=y

∴ 21≤

≤-y

注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性”

五 建立关系等式整体带入或转化 例5 设A y x =+，求y x sin sin 的最值 解：∵ y x y x y x sin sin cos cos )cos(+=- y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+

∴ )cos(cos )cos()cos(sin sin 2y x A y x y x y x +-=+--= ∴ 2

1cos sin sin 2

1cos +≤≤-A y x A

∴ y x sin sin 最大值为2

1cos +A ，

最小值为2

1cos -A

注意：找沟通已知与未知的一个或两个函数！ 练习： 1求)3

cos(sin 3π

+

+=

x x y 的最值

2 Rt ABC ∆中，0

90=∠C ，求B A sin sin +的最大值 3 求x x y cos sin +=的最大值与最小值 4 求x x a x f 2cos sin 42)(--=的最值 5已知A y x =+，求y x cos sin 的最值 6 )2sin(5)(ϕ+=

x x f

对任意都有)3

()3

(x f x f +=-ππ

（1）求ϕ的最小值；

（2）ϕ取最小值时若⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈6,6ππx ，

求f(x) 的最小值。