指数函数及其性质
指数函数及其性质(解析版)
微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-， 可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，20221x<<+， 所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数， 所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+， 且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号， 所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤， 所以()22422141x x t t --⋅+-=+-， 令()224125y t t t =+-=+-， 因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（ ）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-， 所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确． 故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，， 故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-， 当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立， 所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二： 若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--； （2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
指数函数及其性质,高中数学
指数函数专题指数函数及其性质知 识 梳 理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨 析 感 悟 对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
指数函数的像与性质
指数函数的像与性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
它具有许多特殊性质，而其中之一就是像的性质。
本文将介绍指数函数的像以及其性质。
一、指数函数的定义与基本性质指数函数的定义如下：$$y=a^x \quad (a>0, a\neq 1)$$其中，$a$为底数，$x$为指数，$a^x$表示底数$a$的$x$次幂。
指数函数的基本性质包括：1. 当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
2. 当$x$趋近正无穷时，$a^x$趋近于正无穷；当$x$趋近负无穷时，$a^x$趋近于0。
3. 指数函数的图像都经过点$(0,1)$，即$a^0=1$。
二、指数函数的像指数函数的像是函数曲线上所有纵坐标的值构成的集合。
具体来说，指数函数的像为$(0,+\infty)$或$[0,+\infty)$，具体取决于是否包含点$(0,1)$。
以$a>1$为例，指数函数$y=a^x$的像为$(0,+\infty)$，其中0不包含在内。
这是因为当$x$为任意实数时，$a^x$的取值都大于0。
同时，由于指数函数经过点$(0,1)$，所以0不属于该函数的像。
当$0<a<1$时，指数函数$y=a^x$的像为$[0,+\infty)$，其中0包含在内。
此时，根据指数函数的性质，$a^x$的取值范围在$(0,1)$之间。
同时，由于指数函数经过点$(0,1)$，所以0也属于该函数的像。
三、指数函数的性质除了像的性质外，指数函数还具有其他一些重要的性质。
1. 零点与特殊点：指数函数$y=a^x$存在零点$x=0$，即$a^0=1$。
同时，指数函数没有其他实数零点。
2. 对称性：指数函数的图像关于直线$x=0$对称。
这是因为对于任意实数$x$，$a^x$与$a^{-x}$互为倒数。
3. 单调性：当$a>1$时，指数函数递增；当$0<a<1$时，指数函数递减。
4.2.1指数函数及其性质(优质课件)
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， 此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的 图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求 下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,
指数函数及其性质-(公开课)
函数的奇偶性
总结词
指数函数并非总是奇函数或偶函数，这取决于底数 $a$ 的值 。
详细描述
如果 $a > 0$ 且 $a neq 1$，那么 $f(x) = a^x$ 是非奇非偶函 数。这是因为对于所有 $x in mathbb{R}$，都有 $f(-x) = a^{-x} = frac{1}{a^x} neq a^x = f(x)$，同时也不满足 $f(-x) = -f(x)$。
风险评估
指数函数可以用于风险评估，例如计算投资组合的贝塔系数，衡量 投资组合相对于市场的波动性。
在科学研究中的应用
放射性衰变
01
放射性衰变是指放射性物质释放出射线并转化为另一种物质的
过程，指数函数可以用来描述放射性衰变的规律。
种群增长模型
02
在生态学中，指数函数可以用来描述种群数量的增长趋势，例
如细菌繁殖等。
谢谢
THANKS
变化。
网络流量预测
网络流量的变化趋势可以使用指数 函数进行建模和预测。
软件性能测试
在软件性能测试中，指数函数可以 用于描述软件响应时间随用户数量 增加的变化规律。
04 指数函数与其他数学知识的联系
CHAPTER
与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，即如 果y=a^x，那么x=log_a y。
03 指数函数的应用
CHAPTER
在金融领域的应用
复利计算
指数函数在金融领域中常 用于计算复利，描述本金 及其产生的利息之和随时 间变化的规律。
股票价格模型
股票价格通常使用指数函 数进行建模，以描述其随 时间增长的趋势。
保险与养老金计算
保险费和养老金的累积也 常使用指数函数进行计算。
指数函数及其性质(课件)
2
x
指数函数定义：
函数 y=ax
（a>0,a≠1）叫做指数函数,
系数为1
y＝ a
x
自变量
常数
探究1：为什么要规定a>0,且a
①若a=0，则当x≤0时， a 无意义
x
x
1呢？
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 a 无意义
如：a 、a 等等
③若a=1，则对于任何x R，
1 2
1 4
a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
x
答案：（8）是指数函数
1：指出下列函数那些是指数函数：
(1) y a ;
x
(2) y x ;
4
(3) y 7 x ;
(4) y (4) ;
x
(5) y ;
x
x
(7) y x ;
x
1 (8) y (2a 1) (a , a 1) 2
1 (6) y
y2
x
引例：2 生物学细胞分裂时,第一次由1 个分裂成2个，第2次由2个分 裂成4个，如此下去，如果第x 次分裂得到y个细胞，那么细胞 个数y与分裂次数x的函数关系 是什么？
分裂
次数
x
第 一 次
第 二 次
第 三 次
第 四 次
第x次
一 个 细 胞
…...
表达式
y=2
细胞 总数
x
y 2
1
2
2
2
3
2 …...
指数函数及其性质
• 传说古代印度有一个国王喜爱象棋,中国智 者云游到此,国王得知智者棋艺高超,于是派 人请来智者与其对弈,并且傲慢地说:“如果 你赢了,我将答应你任何要求.”智者心想:我 应治一治国王的傲慢,当国王输棋后,智者说: 陛下只须派人用麦粒填满象棋上所有空格, 第1格2粒,第2格4粒,第3格8粒, ……，以后 每格是前一格粒数的2倍。国王说,这太简单 了,吩咐手下马上去办,过了好多天，手下惊 慌报告说：不好了。你猜怎样？
指数函数及其性质
y
图
ya (a 1)
x
y
y ax (0 a 1)
象
y 1
(0,1)
o
x
o
(0,1)
当 x < 0 时，y > 1； 当 x > 0 时， 0< y < 1。
x
相 同
(1)定 ： , 义域
(2)值域 :
0,
没有最值 没有奇偶性
性 质
点
(3)过 （ 0， ， x 0时, y 1 点 1） 当
即: a 3 a 3
1 3
f x ( ) f 0 1
0 0 3
1 3 x
x 3
f 1
1
1 3
f 3
3 3
1
截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经 过20年后，我国人口数最多为多少（精确到 16亿 亿）？
∴ 0.8 0.1 <
0.8 0.2
(1) 1.72.5 , 1.73 （2）0.8-0.1， 0.8-0.2 解（1）底数都是1.7 , 故考查指数函数 f x 1.7 x 1.7 2.5 与1.73 可以看作函数f x 1.7 x的两个不同函数值
(1)两个同底的指数幂比较大小，可运用以该底数为底的指 数函数的单调性，转化为比较指数的大小
③ ④
3
0.9
.
0.8
0.9
( )
1 0.5 6
.
( )
1 0.5 2
指数相同， 底数不同时， 利用函数图象求解。
y
y 0.8
指数函数的定义与性质
指数函数的定义与性质指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的定义和性质对于数学的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍指数函数的定义以及其常见的性质。
一、指数函数的定义指数函数是以指数为自变量的函数，通常形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x 为指数。
底数为正数且不等于1时，指数函数存在且连续。
指数函数可以分为两种情况：1. 当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)也相应增大，增长速度逐渐加快。
例如，函数f(x) = 2^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值也逐渐增大。
2. 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现衰减趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)逐渐减小，衰减速度逐渐减慢。
例如，函数f(x) = (1/2)^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值逐渐减小。
二、指数函数的性质指数函数具有以下几个常见的性质：1. 基本性质：指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
当底数a大于1时，函数在整个定义域上是递增的；当底数a介于0和1之间时，函数在整个定义域上是递减的。
2. 对称性：指数函数具有对称性。
当底数a大于1时，函数f(x) = a^x关于y轴对称；当底数a介于0和1之间时，函数f(x) = a^x关于x轴对称。
3. 渐近线：指数函数在x轴的左侧有一条水平渐近线y=0。
当底数a大于1时，函数在x趋近于负无穷时，趋近于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，函数在x趋近于正无穷时，趋近于渐近线y=0。
4. 运算性质：指数函数具有一些重要的运算性质。
当a和b为正数且不等于1时，有以下性质成立：(a^m) * (a^n) = a^(m+n)，即相同底数的指数函数相乘，指数相加；(a^m) / (a^n) = a^(m-n)，即相同底数的指数函数相除，指数相减；(a^m)^n = a^(m*n)，即指数函数的指数幂运算，指数相乘。
以上是指数函数的定义和常见性质的简要介绍。
指数函数及其性质
指数函数及其性质
指数函数是数学中的一种常见函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不为1，x是任意实数。
指数函数的性质如下：
1. 定义域：指数函数的定义域是全部实数集。
2. 值域：当a>1时，指数函数的值域是(0, +∞)，即正数集；当0<a<1时，指数函数的值域是(0, 1)，即(0,1)开区间。
3. 增减性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
4. 对称轴：指数函数没有对称轴。
5. 对称性：指数函数不具有对称性。
6. 极限性质：当x趋于正无穷大时，指数函数的极限是正无穷大；当x趋于负无穷大时，指数函数的极限是0。
7. 交叉性：当a>1时，指数函数与x轴交于点(0,1)；当0<a<1时，指数函数与y轴交于点(0,1)。
8. 垂直渐近线：指数函数没有垂直渐近线。
9. 水平渐近线：指数函数没有水平渐近线。
10. 切线性质：指数函数在任意一点的切线都与该点对应的指数函数图像相切。
总结起来，指数函数具有增减性、无对称性、极限性质和交叉性等基本性质。
指数函数在实际问题中经常用于描述增长或衰减的规律，具有重要的应用价值。
指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式
指数函数的图象与性质•指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（∞，+∞）上是减函数在（∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1 当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1•底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，•指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.根式的性质2．有理指数幂考点1：指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2：指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ，【1，1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．总结思想与方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较。
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
指数函数的图象及性质
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
指数函数及其性质(指数函数的概念与图象)_图文
3 9 27 …
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
函数图象特征
x
… -3
-2
1Leabharlann y=2-x … 8 4 2
y=3-x … 27 9 3 Y
0 1 2 3…
1
1/ 2
1/4
1/8
…
1思考13：/ 若1不/9用描17/点2法…，
这两个函数的图象又该
如何作出呢？
Y=1
X O
观察右边图象，回答下列问题： 问题一：
指数函数及其性质(指数函数的概念与图象)_ 图文.ppt
一、问题引入
问题一、比较下列指数的异同，能不能把它们看成函数值？ ①、
②、
函数值？？什 么函数？
函数图象特征
x … -3 -2 -1 0 y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 y=3x … 1/27 1/9 1/3 1
y
12 24
3… 8…
图象分别在哪几个象限？
y=3X
Y y=2x
答：四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限
问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗O ？
Y=1
X
答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三： 图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿＿＿＿．
2.1.2
• 第二课时
指数函数及其性 质
指数函数的性质
2.函数
是指数函数吗？
指数函数的解析式
中， 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
应用2
指数函数及其性质
研究函数的一般思路： 研究函数的一般方法是：
用性质 解问题 函数的 性质
函数的 定义
特殊的 函数
函数的 图象
探求新知、深化理解
问题：研究一个函数需 要研究它的哪些性质呢 ？
特殊点 定义域 对称性
值域 单调性
奇偶性
在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用 描点法，也可借助科学计算器或计算机）．
10/21/2015
x y a ①当a>1时， 的图象随 y ( 1 ) x
1 y ( )x 3
y=3X
着a由小变大会有什么样的 变化？ x y a ②当0<a<1时， 的图
2
Y
y = 2x
象随着a由小变大会有什 么样的变化？
Y=1
只看第一象限！
O
X
①当a>1时， y a x的图象随着a由小变大会有 越靠近y轴； ②当0<a<1时， y a x的图象随着a由小变大会 有越靠近y轴；
解： (2)因为 0<0.2<1，所以指数函数 f(x)＝0.2x 在 R 上 是减函数．
1－ －2 －2 2 x 因为 25＝ 5 ＝0.2 ，所以 0.2 <0.2 .由此可得 x>－2，
即 x 的取值范围为(－2，＋∞)．
全优52页变式训练
1 2 a 1 1 3 2 a 3.若( ) ( ) , 则实数 a的取值范围是（） 2 2
(1) y 2
x
1 (3) y 2 1 (4) y 3
x
x
(2) y 3
x
作图的方法？
列表、描点、连线作图
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.
(3)列表.
x
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0<y<1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.
可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.
-1.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
y=2x
1
2
4
作图如图2-1-2-1
图2-1-2-1
(4)列表.
x
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
0.00
1.00
1.50
2.00
2.50
y=()x
1
2
4
作图如图2-1-2-2
图2-1-2-2
(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时0<y<1,x>0时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.
提出问题
(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?
(2)你是否能根据上面规定a>0,a≠1?
(4)为什么指数函数的定义域是实数集?
(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.
活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.
（6）一般地,指数函数y=ax在a>1和0<a<1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.
图象特征
函数性质
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0,1）
a0=1
自左向右,图象逐渐上升
例2比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.
(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.
(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.
(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?
(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?
(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?
问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.
问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.
问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.
问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.
问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
2.1.2指数函数及其性质
整体设计
教学分析
有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
①定义域：R
②值域：（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1
④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1
（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.
推进新课
新知探究
提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)
2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)
重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时指数函数及其性质(1)
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.
变式训练
函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些?
答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.
图2-1-2-3
(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称.
(9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.
(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.
提出问题
(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?
(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.
(8)你能证明上述结论吗?
(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象?请说明画法的理由.
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.
应用示例
思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.
活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.
(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.
a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.
a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.
因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.