环球城市数学竞赛

环球城市数学竞赛 Revised by Jack on December 14,2020
2002秋季赛国中组初级卷20 Oct. 2002
※每题必须详细写下证明及理由，只写答案不一定有分数。

1.在2002个边的凸多边形内画上一些对角线，这些对角线在多边形内部两两互不相
交，且将这个多边形分割为2000个三角形。

请问在这2000个三角形中，是否可能恰有1000个三角形，其三个边都是取自于所画的对角线（注：连接多边形内任意二点之线段，若仍全部落在多边形之内部，则称此多边形为凸多边形。

）（四分）
2.三个聪明的国中生聚在一起玩一个推理的游戏。

小强与小花各选了一个自然数并
分别将它告诉小安。

小安告诉小强和小花，他将分别把这二个数的和与乘积写在不同的纸上。

小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2002）。

小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。

请问小花所选的数为何（五分）
3.(a) 在一次考试中，已知至少有三分之二的题目属于难题。

在这些难题中，每一道
题至少有三分之二的学生不会作。

请问下列情况是否可能发生：至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二。

（一分）
(b) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“四分之三”呢（二分）
(c) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“十分之七”呢（二分）
4.将2002张卡片分别标记1, 2, 3, … , 2002的数，数字面朝上放在桌上。

二位玩家
轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止。

先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方。

请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）如果有，这个必胜策略是什么（五分）
5.任意给一个角及其内部一点A。

请问能否画出三条经过A点的直线，使得其中一
条线与这个角的两边相交的二点，分别是另外二条直线与这个角的同一边上交点的中点（五分）
《成绩是取最高得分三题的总和，考试时间四小时。

》
2002秋季赛 高中组 初级卷 20 Oct. 2002
※ 每题必须详细写下证明及理由，只写答案不一定有分数。

1. 三个聪明的国中生聚在一起玩一个推理的游戏。

小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安。

小安告诉小强和小花，他将分别把这二个数的和与乘积写在不同的纸上。

小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2002）。

小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。

请问小花所选的数为何（四分）
2. (a) 在一次考试中，已知至少有三分之二的题目属于难题。

在这些难题中，每一道题至少有三分之二的学生不会作。

请问下列情况是否可能发生：至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二。

（一分）
(b) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“四分之三”呢（二分） (c) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“十分之七”呢（二分）
3. 平面有两两不平行的直线若干条，它们将平面分割成许多区域。

从这些区域的内部任选一点A 。

请证明：如果存在一个点B ，对于任意一条直线而言，点B 都与点A 不在这条直线的同一侧，则点A 所在的区域是一个无界的区域（即这个区域至少有一个方向没有边界）；反之亦成立。

（五分）
4. 设x , y , z 为实数，且0 < x , y , z < 2/π，请证明：
.3
cos cos cos cos cos cos z y x z y x z z y y x x ++≤++++ （五分）
5. 在黑板上任意写出一个n 位数，再依下列方法操作：将黑板上的数加上这个n 位数中的任意一个非零的数字，得到一个新的数写在黑板上，再擦去黑板上旧有的数。

请证明：照这样的方法继续操作下去，经过有限次后，黑板上一定会出现一个偶数。

（五分）
《成绩是取最高得分三题的总和，考试时间四小时。

》。