集合的基本概念元素集合之间的关系

第一章 集合
第一节 集合的概念
一、要点透析
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念
（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素
（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）
2、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈
（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉
3、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）
4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……
（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写
5、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,
N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}
*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数
（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数
（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0
（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z
例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：
(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2
（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}
（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素
例3、设a,b 是非零实数，那么b b
a a
+可能取的值组成集合的元素是：
练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）
（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法
格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合
例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->
所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形
例4、 已知集合{}
R a x ax x A ∈=+-=,023|2；
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法
如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+
（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数
思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？
（三）有限集与无限集
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2
{|10}x R x ∈+=
二、题型解析
（一）集合的基本概念
1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）
A ．中国古代四大发明
B ．地球上的小河流
C ．方程210x -=的实数解
D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨
+=⎩
的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}
3 给出下列关系：①12
R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）
A ．{}M π=，{3.14159}N =
B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =
C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =
D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是
6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：
17 A ； 5- A ； 17 B
7 已知x R ∈，则集合2
{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为
（二）集合的表示方法
1 用列举法表示下列集合
①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩
⎭
④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合
①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----
③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±
±±±⎨⎬⎩⎭
（三）集合的分类
1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；
当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集
2 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2≤x x
D ．},01|{2R x x x x ∈=+-
三、课下训练
1、有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（ ）
A ．只有（1）和（4）
B ．只有（2）和（3）
C ．只有（2）
D ．以上四种说法都不对
2、试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；
（2）函数232y x =
-的自变量的值组成的集合
3、已知集合4{|
}3
A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合
4、给出下列集合： ①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭
且 ③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭
或 ； ④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠ 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有
5、已知集合2{|
12
x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。