集合的基本概念元素集合之间的关系

第一章 集合

第一节 集合的概念

一、要点透析

（一）集合的有关概念：

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念

（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素

（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）

2、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈

（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉

3、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）

4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写

5、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,

N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}

*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，

（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数

（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数

（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z

例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：

(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}

（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素

例3、设a,b 是非零实数，那么b b

a a

+可能取的值组成集合的元素是：

练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）

（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法

格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合

例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->

所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形

例4、 已知集合{}

R a x ax x A ∈=+-=,023|2；

（1）若A 是空集，求a 的取值范围；

（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；

（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

4、何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法

如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法

如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数

思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？

（三）有限集与无限集

有限集：含有有限个元素的集合

无限集：含有无限个元素的集合

空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2

{|10}x R x ∈+=

二、题型解析

（一）集合的基本概念

1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）

A ．中国古代四大发明

B ．地球上的小河流

C ．方程210x -=的实数解

D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨

+=⎩

的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}

3 给出下列关系：①12

R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）

A ．{}M π=，{3.14159}N =

B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =

C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =

D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是

6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：

17 A ； 5- A ； 17 B

7 已知x R ∈，则集合2

{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为

（二）集合的表示方法

1 用列举法表示下列集合

①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩

⎭

④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合

①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----

③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±

±±±⎨⎬⎩⎭

（三）集合的分类

1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；

当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集

2 下列四个集合中，是空集的是（ ）

A ．}33|{=+x x

B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=

C ．}0|{2≤x x

D ．},01|{2R x x x x ∈=+-