3,分部积分法

arctanx x(1 x)
dx
3,
dx x2 9
dx
2, ex ex 4,1dx2x
分部积分法
两个函数 u 和 v 的乘积的微分运算公式是
d (uv) udv vdu
对该公式的两边积分并利用积分性质得
uv udv vdu
移项得 udv uv vdu
这就是分部积分公式，利用上式求不定积 分的方法称为分部积分法．它的特点是把
求积分 udv 转化成求积分 vdu，因而如果
vdu 比 udv 容易计算，就可以使用此方法
计算不定积分．
一 被积函数是多项式与的乘积
例1 求 xexdx 例 2 求 x2exdx
一般地若被积函数是多项式与 e x 的乘
积时，则可设多项式为 u ，剩下的部分与dx的
乘积设为 dv ． 由此可见，使用分部积分法的关键在
dx 的乘积设为 dv .
三 被积函数为多项式与对数函数的 乘积
例 5 求 x ln xdx 例 6 求 ln(x 1)dx
一般地若被积函数为多项式与对数函 数的乘积，则可设对数函数为u ，剩下的部 分与 dx 的乘积设为 dv .
四 被积函数为多项式与反三角函数的乘积
例 7 求 x arctanxdx 例 8 arctanxdx
一般地若被积函数为多项式与反三角 函数的乘积，则可设反三角函数为 u ，
剩下的部分与 dx 的乘积设为 dv
五、其它类型
例 9 求e xdx
例 10,求 ex sin xdx
例 11 求 In xnexdx的递推公式
cos x 例 12 已知
是 f (x) 的原函
数，求 xf (x)dx .
于选择u 和 v ．一般情况下，选择 u 和 v 的原则 是： （1） v 容易求出； （2）新积分 vdu比原积分 udv 容易计算.
二 被积函数是多项式与三角函数的 乘积
例 3 求 x cosxdx
例 4 求 x2 sin xdx
一般地若被积函数为多项式与 sin x, cosx 的 乘积，则可设多项式为 u ，剩下的部分与
作业 P213,1,2,3,4,5,6,8,9,19
练习题
（1） xexdx （3） (ln x)2 dx
(5） x2 ln(1 x)dx (7） ex cosxdx （9） sin xdx
（2） arcsinxdx （4） x2 arctanxdx （6） sin xln xdx （8） eax sin bxdx （10） e 2x dx
提高班复习题
1,设 xf
(x)dx
arcsinx C ，求
1 f (x)
dx ．
2,
已知
f
( x)
e3x
sin 3x
，且
f
(0)
2 3
，求
f
(x)
源自文库
.
3,
已知
f
(x)
ax sin
x ，求
f
(
x x
)dx
.
4,
已知
f
(x)dx
1 1 x2
C
，求
f (sin x) cosxdx .
复习题
1,