几何体中距离的最值

高考加油站2 有关空间几何体中距离的最值问题

高考加油站是由好学教育老师对“2016届高三数学最新模拟试题”经过好学教育老师精心整理、分类、解析形成一套精品，希望对大家有所帮助.每周将更新一篇，讲解在每周周日上午八点到十点

【2016年阜阳二中第一学期期末考试12】如图，在棱长为2的正四面体A BCD

-中，平面α与棱,,,

AB AD CD BC分别交于点,E F,,G H,则四边形EFGH周长的最小值为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】B

【解析】如图，把正四面体展开，图（2）把面ABC沿着AB翻折到与面ABD共面；图（3）把面ADC 沿着AD翻折到与面ABD共面；图（4）把面BCD沿着BC翻折到与面ABD共面；

EF+FG+GH+HE≥GE+G'E≥GG'=4等价形构造等价线长即可

G的等价点G的等价点

H C

G

E

F G'

G'

F

E

G

D

F E

H

H

G

(5)(4)

(3)(2)

(1)

H

E

B

D

F

D F

E

B

A

所以四边形EFGH 周长等于4EF FG GH HE GE G E GG ''+++≥+≥=(四点共线)

【方法点睛】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而转化为平面图形内两点连线的最短距离长度问题，要注意的是，如果不是指定两点间的某种特殊路径，其表面上两点的距离应是按各种可能方式展开平面图形后各自所得距离中的最小值，旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决.

【变式1】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为3，侧棱长为1，则动点从A 沿表

面移到点1D 时的最短的路程是 ．

【变式2】一只蚂蚁从棱长为1cm 的正方体的表面上某一点P 出发，走遍正方体的每个面的中

心的最短距离()d f P =，那么d 的最大值是__________．

【变式3】如图，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP+PE 的最小值为（ ）

.3A .7B .13C + .5D

【参考答案】

【变式1】【答案】19

【解析】

试题分析：如下图所示，作出正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的展开图，

如果动点从A 经侧面通过11,BB CC 移到点1D 时，则路程为

()

2

233127+=；如果动点从A

经经11A B 沿上底面移到点1D 时，根据题目条件，11111334BD BB B D =+=+⋅=，则路程为

2

2

4319+=；而1927<，所以最短的路程是19.

考点：1、棱锥的展开图；2、最值问题．

【变式2】

【答案】252

+ 【解析】

试题分析：欲求d 的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A 点，再将正方体展开，找到6个面的中心点，经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长．

欲求d 的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A 点，正方体展开图形为：

则蚂蚁爬行最短程的最大值222

5112152

S =++=+ 考点：平面展开-最短路径问题

【方法点睛】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化,这

些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向．