集合典型例题

1. 集合的含义及其表示

(一)集合元素的互异性

1•已知x R，则集合{3,X,X22x}中元素X所应满足的条件为

变式：已知集合A {a 2,(a 1)2,a2 3a 3}，若1 A，则实数a的值为_________________

2. M a，b,c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是

①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形

(二)集合的表示方法

1. 用列举法表示下列集合

(“ A {x|x旦凹,a,b为非零实数}

a b

变式：已知a,b,c为非零实数，则2 A A 旦0的值组成的集合为

|a| |b| |c| |abc| —

(2) _________________________ A {(x,y)|y ——乙x N*} A {(1,3),(2,6),(4, 6),(5, 3),(6, 2),(9, 1)}

3 x

12

变式1： A x x N,—— N

6 x

变式2： A x, yxy6,xN,yN

(3)集合A {x|x乙2 x 2}, B {y| y x2,x A},用列举法表示集合B

(4)已知集合M=a Z|旦 N*}，则集合M中的元素为

5 a

变式：已知集合M=-^ Z |a N*}，贝卩集合M中的元素为

5 a

2. 用描述法表示下列集合

(1)直角坐标系中坐标轴上的点__________________________________

变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 ________________ (x,y)y x,x R

(2)能被 3 整除的整数 ________________________ x 3n,n Z .

3. 已知集合 A 0, , B xx A , C xx A

(1) 用列举法写出集合B,C ;( 2)研究集合代B,C之间的包含或属于关系

4. 命题（1）0 X20 ；（2）0 0,0 ；（3）0 ；⑷0 N表述正确的是.

5. 使用和和数集符号来替代下列自然语言：

（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”

（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”

（5）“ x不是实数”

6. 用列举法表示下列集合：

（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE的对角线

（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数

7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E，A E,B E

（1）平面上以A为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为 ________ P EPA 5

（2）说明下列集合的几何意义：P EPA 5 ；P E PA PB

8. 当a,b满足什么条件时，集合xax b 0是有限集？无限集？空集？

9. 元素0、空集、0、三者的区别？

10. 请用描述法写出一些集合A，使它满足：

（i ）集合A为单元素集，即A中只含有一个元素；

（ii）集合A只含有两个元素；

（iii ）集合A为空集

11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？

解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让

我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ,孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D，要确定D的元素, 就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案

只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。

(三)空集的性质

1•若？^{x|x2W J, a € R}，则实数a的取值范围是__________

2. 已知a是实数，若集合{ x|ax= 1}是任何集合的子集，则a的值是____________ .0

3. 下列三个集合中表示空集的是

2 2 2

(1) {0} ；(2){( x,y)| y=-x,x € R y € F} ; (3){ x€ N|2 x +3x-2=0}.

变式1：若集合A {y |y x}, B {x| y 41—},则A B = ____________________

变式2：若集合 A 1,0,1 , B y|y cos( x), x A，则AI B ___________________ 1, 1

(四)集合相等

1. 已知集合A=a,b,1 , B=a2,a b,0，若A=B 则a2004 b2003 _______________

a

2. 已知集合A 1,1 x,1 2x，集合B 1,y,y2，且A B，求实数x和y的值.

3. 已知 A { 2,2010, x2 1}, B {0, 2010, x2 3x},且A B，贝卩X 的值为______________

4. 已知A= {x，xy，lg(xy)}，B = {0，|x|，y}，且A= B，试求x，y 的值.

5. 已知集合P 1,1 d,1 2d ,Q 1,q,q2,且P Q，贝S d __,q __

6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问

题：

(1)用列举法分别写出下列集合：A a Z 2 a 4 ; B b Z 2 b 4

(2)请你判断两集合A和集合B是否相等？

2. 集合方程问题

1. 若集合 A x | ax2bx 1 0,x R

(1)若A 1,1，求a,b的值；(2)若A 1，求a,b的值

2. 若集合{x|ax2 x 1 0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为.