泛函分析中的度量空间

泛函分析主要内容

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

1、度量空间

定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有

（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；

（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；

（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）

则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。

例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y−x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间

2、赋范线性空间

泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔

伯特空间。

例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y−x|| 也是度量空间。

(如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。

3、希尔伯特空间

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

4、巴拿赫空间

巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

巴拿赫空间（Banach space ）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a ﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a ﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。

5、内积空间

（1）内积空间的定义：

设H 是域K 上的线性空间，对任意H y x ∈,，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z y x ∈,,；K ∈α

满足 a)

0),(≥y x ；),(y x ＝0，当且仅当 0=x ； b)

),(y x ＝___________),(x y ； c)

),(),(y x y x αα=； d) ),(z y x +＝),(z x ＋),(z y ；

称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

二、线性算子

线性算子与线性泛函 设x 、Y 是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是x 到Y 的映射。T 的定义域和值域分别记为D (T )、R (T )。如果对任何数α、β和x 1、x 2∈D (T )，满足αx 1+βx 2∈D (T )，并且

，

则称T 是以D （T ）为定义域的x 到Y 的线性算子。特别当D (T )=x ，Y 是实数域或复数域时，称T 是x 上的线性泛函。例1，设x ＝C 1【0,1】（【0,1】上连续可微函数全体）,Y ＝B 【0,1】(【0,1】上有界函数全体)，定义

，

则T 是x 到Y 的线性算子。例2,设x =C 【α,b 】(【α,b 】上的连续函数全体), K (t ,s)是【α,b 】×【α,b 】上的二元连续函数，定义

，则T 是x 到x 的线性算子。例3,设x =C 【α,b 】,则,T 2x =x (t 0)(t 0是【α,b 】中取定的一个点)

都是x 上的线性泛函。

例： 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，

映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α

=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例：[],x C a b ∀∈，定义()()t a Tx t x d ττ=⎰

由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。若令

()()[](),b a f x x d x C a b ττ=∀∈⎰

则f 是[],C a b 上的线性泛函。

三、泛函分析与数学分析的区别

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函

数空间

数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。

数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。