精解三角函数的周期性

精解三角函数的周期性

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.

幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期，

一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d

无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数y=sin x的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线

段MP.

正弦函数的周期性

动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置

和变化方向重现一次.

同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正

弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期

设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .

按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .

令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x

因为sin x最小正周期是2π，所以有

例如sin2x的最小正周期为

sin的最小正周期为

3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性

对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.

它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.

如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.

于是，余弦函数的最小正周期与sin x的

最小正周期相同，都是2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx

后者周期变为

而在以下的各种变换中，如

（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；

（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；

（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；

后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是

.

而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.

1、复合函数f（sin x）的周期性

【例题】研究以下函数的周期性：

（1）2 sin x；（2）

（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为

2π的周期函数.

【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正

周期为2π的周期函数.

【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a

x，sin x，，

sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.

2、y= sin3x的周期性

对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？

我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.

3、y= sin2x的周期性

对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？

可以通过作图判定，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.

4、sin2n x和sin2n-1x的周期性

y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.

因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.

sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.

因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，

sin m x的最小正周期是2π.

5、幂复合函数举例

【例1】求y =|sin x|的最小正周期.

【解答】最小正周期为π.

【例2】求的最小正周期.

【解答】最小正周期为2π.

【例3】求的最小正周期.

【解答】最小正周期为π.

【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.

当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.

三、周期函数的和函数

两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是

2π. 那么它们的和函数，

即si nx + cos x的最小正周期如何？

和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.

对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将

会如何？

1、函数sin x + sin2 x的周期性

sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？

列表如下.

表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.

2、函数sin x + sin2x的周期性

依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.

从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，

sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后

者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动

函数”，但振幅已经不是常数了.

3、函数sin x+sin x的周期性

sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.

们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？

不妨按周期定义进行检验. 设

则x0+3π=

因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.

通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.