精解三角函数的周期性
三角函数的周期性
小结： 小结：
作业： 作业：
１．教材Ｐ５８３． 教材Ｐ ２．利用定义证明 y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 ∈ 及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R ∈ (其中 其中A,ω,Ψ为常数 且 为常数,且 其中 为常数 A≠0,ω>0)的周期 的周期T=2π/ω. 的周期
练习： 练习：
１．求下列函数的周期： 求下列函数的周期：
x (1) y = sin3x, x ∈ R;(2) y = cos ; 3 x π (3) y = 3sin , x ∈ R;(4) y = sin(x + ); 4 10 (5) y = cos(2x + ), x ∈ R; 3 1 π (6) y = 3sin( x − ), x ∈ R. 2 4
三角函数的周期性
高一年级数学组 谢小青
诱导公式sin(x+2π =sinx,的几何意义 的几何意义． 诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义． sin(x+2
y o X X X+2π π X+2π π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 不断重复地
π
是否成立？ ２．等式sin(300+1200)=sin300是否成立？ 等式 如果成立，能否说明 如果成立，能否说明1200是正弦函数 y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ ∈R的一个周期？为什么？ ∈R的一个周期
x sin x 是不是周期函数？为什么？ ３． y = 是不是周期函数？为什么？ x
(1)对x,x+4π作用的法则是 2sin ( 对 π 2 (2)对x,x+11π/3作用的法则分别是 对 π/3作用的法则分别是
三角函数的周期
三角函数的周期三角函数是数学中常见的一类函数，其中最为常见的三个三角函数分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数具有周期性的特点，即函数的值在一定的横坐标范围内重复出现。
一、正弦函数的周期正弦函数是最基本的三角函数之一，可表示为y = sin(x)。
正弦函数的周期是2π，这意味着在每个2π的区间内，函数的值会重复出现。
换句话说，sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n是任意整数。
二、余弦函数的周期余弦函数是另一个常见的三角函数，它可以用公式y = cos(x)来表示。
余弦函数的周期同样是2π，也就是说在每个2π的区间内，函数的值会周期性地重复。
可以表示为cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n是任意整数。
三、正切函数的周期正切函数是三角函数中的另一个重要函数，可以用y = tan(x)来表示。
正切函数的周期为π，也就是说在每个π的区间内，函数的值会重复。
这意味着tan(x) = tan(x + πn)，其中n是任意整数。
在实际应用中，三角函数的周期性非常重要。
它们在物理学、工程学等领域广泛应用。
例如，在交流电中，正弦函数的周期性被用来描述电流和电压的变化。
在音乐中，三角函数的周期性用来表示音调的高低和音色的变化。
需要注意的是，周期性不仅仅局限于上述的三角函数。
其他类型的函数也可能具有周期性，但本文主要关注三角函数的周期性。
总结：1. 正弦函数的周期为2π，可以表示为sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n 是任意整数。
2. 余弦函数的周期为2π，可以表示为cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n 是任意整数。
3. 正切函数的周期为π，可以表示为tan(x) = tan(x + πn)，其中n是任意整数。
三角函数的周期性是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
理解和掌握三角函数的周期性，有助于我们更好地应用这些函数解决实际问题。
三角函数的周期性和对称性
三角函数的周期性和对称性三角函数是数学中的重要概念，涉及到周期性和对称性等性质。
本文将介绍三角函数的周期性和对称性，并探讨它们在数学和物理中的应用。
一、周期性周期性是指函数在一定间隔内以相同的形态重复出现的性质。
对于三角函数而言，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是周期函数，其周期为2π。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的图像呈现周期性的波动，可以用来描述周期性的现象。
例如，我们可以用正弦函数来描述地球上的日照时间变化，昼夜交替的现象。
2. 余弦函数的周期性余弦函数也是周期函数，其图像与正弦函数呈现相似的周期性波动。
余弦函数常用来描述振动、波动等周期性现象，比如振动的电路和机械系统。
二、对称性对称性是指函数图像在某一特定条件下表现出镜像对称、中心对称等性质。
1. 奇函数的对称性奇函数具有关于原点的对称性，即满足f(-x)=-f(x)。
例如，正弦函数和正切函数都是奇函数，它们在原点处对称。
2. 偶函数的对称性偶函数具有关于y轴的对称性，即满足f(-x)=f(x)。
例如，余弦函数是偶函数，它在y轴上对称。
三、应用场景1. 数学应用三角函数的周期性和对称性在数学分析、几何图形等领域有广泛应用。
例如，对于周期性函数的积分计算、傅里叶级数展开等问题，周期性和对称性的性质能够简化计算，提高效率。
2. 物理应用三角函数的周期性和对称性在物理学中具有重要作用。
例如，在振动和波动的研究中，正弦函数和余弦函数可以描述物体的周期性运动和波动现象。
此外，在电路分析、信号处理等领域，三角函数的周期性和对称性也有广泛的应用。
结语三角函数的周期性和对称性是数学中的重要概念，在数学和物理学中有广泛应用。
正弦函数和余弦函数作为最基本的三角函数，具有明显的周期性和对称性，能够描述周期性现象和对称性图形。
在解决一系列数学和物理问题时，充分利用三角函数的周期性和对称性的性质，能够简化计算过程，提高问题求解的效率和准确性。
精解三角函数的周期性
精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x无周期，一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数y=sin x的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.2、y=sin（ωx）的最小正周期设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x因为sin x最小正周期是2π，所以有例如sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）. 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sin x的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是.而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数f（sin x）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sin x；（2）（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x，sin x，，sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.2、y= sin3x的周期性对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y= sin2x的周期性对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.4、sin2n x和sin2n-1x的周期性y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，sin m x的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】求y =|sin x|的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2π.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是2π. 那么它们的和函数，即si nx + cos x的最小正周期如何和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何1、函数sin x + sin2 x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者列表如下.表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.2、函数sin x + sin2x的周期性依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x+sin x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗即“和函数”的周期为3π吗不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3π=因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.。
三角函数的周期性及其应用
三角函数的周期性及其应用三角函数是数学中重要的概念之一，它具有周期性质，即在一定范围内，函数值会重复出现。
本文将探讨三角函数的周期性及其在实际问题中的应用。
一、正弦函数的周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)。
它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
我们可以观察到，正弦函数在[0,2π]区间内呈现周期性，即在这个范围内，函数值会重复出现。
具体来说，在[0,2π]区间内，sin(x)的图像从0递增至最大值1，然后再递减至最小值-1，最后再回到0。
类似地，在[2π,4π]、[4π,6π]等区间内，sin(x)的图像也会重复出现相同的变化规律。
二、余弦函数的周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，记作cos(x)。
与正弦函数类似，余弦函数也在一定范围内呈现周期性。
在[0,2π]区间内，cos(x)的图像从最大值1递减至最小值-1，然后再递增至最大值1，最后再回到1。
在其他区间内，余弦函数的图像也会以相同的方式重复出现。
三、三角函数的应用三角函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 物理学：三角函数的周期性在描述波动现象中起到重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的频率和振幅，余弦函数可以用来描述光的波动。
2. 电工电子学：交流电流和交流电压的变化也可以利用三角函数来描述。
正弦函数可以描述电流和电压的周期性变化，而余弦函数则可以描述相位差。
3. 统计学：三角函数可以应用于周期性数据的分析和预测。
例如，通过对历史天气数据的正弦曲线拟合，可以预测未来几天的气温变化趋势。
4. 工程学：三角函数在工程计算、机械振动等方面也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过正弦函数可以描述建筑物受地震等力的变形情况。
总结：三角函数具有周期性质，如正弦函数和余弦函数，在一定范围内函数值会重复出现。
这种周期性在物理学、电工电子学、统计学和工程学等领域中都有广泛的应用。
了解三角函数的周期性及其应用，有助于帮助我们理解和解决实际问题。
三角函数的周期性怎么求 公式是什么
三角函数的周期性怎么求公式是什么
2021-09-14 10:43:48
三角函数的周期性是数学中常考到的一个知识点，下面是周期性的计算方法及公式，供大家查阅参考，希望可以帮助到大家的复习。
三角函数的周期性怎么求公式是什么
1三角函数的周期性
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。
如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。
2三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
三角函数周期性
三角函数周期性三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
1三角函数的周期通式的表达式正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T: wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
2三角函数推导方法定名法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。
还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~ 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
三角函数周期性与变化规律
三角函数周期性与变化规律三角函数是数学中重要的概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的周期性和变化规律。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，用符号sin表示。
它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的图像呈现周期性变化，周期为2π。
当自变量增加或减小2π的倍数时，正弦函数的值将重复。
这种周期性变化使得正弦函数在各种领域中都有广泛的应用，例如在振动学、波动理论等方面。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种常见函数，用符号cos表示。
它也具有周期性变化，周期同样为2π。
正弦函数和余弦函数之间有一个90°的位相差，即当自变量为0时，正弦函数的值为0，而余弦函数的值为1。
余弦函数的形状和正弦函数类似，但是相位差使得它在实际应用中有其独特的作用。
三、正切函数正切函数是三角函数中的第三种常见函数，用符号tan表示。
它的定义域是实数集中所有使得余弦函数的值不为0的数，即除去整数倍的π。
正切函数的图像也具有周期性变化，其周期为π。
正切函数在数学和物理等领域中有着重要的应用，例如在电路分析中常用于计算电流和电压的关系。
综上所述，三角函数具有周期性变化的特点。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
它们在数学和其他学科中的应用非常广泛，能够描述各种周期性现象和变化规律。
除了周期性变化，三角函数还具有其他的特性。
例如，正弦函数和余弦函数是奇函数，而正切函数是偶函数。
奇函数的特点是满足f(-x)= -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
这种对称性使得三角函数在证明和计算中具有一定的便利性。
总结起来，三角函数的周期性和变化规律是其重要的特点。
正弦函数、余弦函数和正切函数在数学、物理和工程等领域中具有广泛的应用。
通过研究三角函数的性质和规律，我们能够更好地理解和应用它们，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
本文对三角函数的周期性和变化规律进行了简要介绍，希望能够让读者对这一概念有所了解，并加深对其应用的认识。
三角函数中的周期性与奇偶性
三角函数中的周期性与奇偶性三角函数是数学中的重要概念，在各个领域中都得到广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要特性，对于分析和理解三角函数的性质具有重要意义。
一、周期性周期性是指函数在一定范围内以固定的间隔上下循环出现相同的值。
在三角函数中，正弦函数(sin)和余弦函数(cos)的周期均为2π。
这意味着，当自变量每增加2π时，函数的值会回到原来的位置。
以正弦函数为例，sin(x)的周期为2π，可以表示为：sin(x + 2π) = sin(x)这意味着，无论x的取值是多少，只要将其增加2π，函数的值就会回到原来的位置。
同样地，余弦函数的周期也为2π。
对于正弦函数和余弦函数的图像来说，周期性表现为波形的重复出现。
在一段周期中，波形会上升到最大值，然后下降到最小值，再经过0点回到原来的位置。
二、奇偶性奇偶性是指函数在定义域内满足一定的对称性。
在三角函数中，正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
奇函数的特点是对称于坐标原点，即满足以下性质：sin(-x) = -sin(x)这意味着，对于正弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值也取相反数。
例如，sin(-π/6)等于-sin(π/6)。
与之相反，偶函数的特点是对称于y轴，即满足以下性质：cos(-x) = cos(x)这意味着，对于余弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值保持不变。
例如，cos(-π/3)等于cos(π/3)。
奇偶性在三角函数的图像中体现为关于y轴或坐标原点的对称性。
例如，正弦函数的图像在坐标原点上下对称，而余弦函数的图像在y 轴上下对称。
三、综合应用三角函数的周期性和奇偶性不仅仅是数学的概念，它们在实际问题中的应用也非常广泛。
周期性可以用于分析周期性现象的规律。
例如，天体运动、电流变化等都具有周期性，可以通过三角函数中的周期性概念来描述和分析这些现象。
奇偶性则可以用于简化计算或证明问题。
例如，利用正弦函数的奇性可以将某些积分计算简化，而余弦函数的偶性可以用于证明恒等式等。
高中数学中的三角函数的周期性与像
高中数学中的三角函数的周期性与像三角函数是高中数学中的重要概念之一，它们具有周期性和像的特点。
本文将重点讨论三角函数的周期性与像，并探讨其与实际问题的应用。
一、三角函数的周期性三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性。
周期是指在一定范围内函数值的重复性。
三角函数的周期可以通过其中一个周期来推导出整个周期。
以正弦函数为例，其一般形式为y = A*sin(B(x-C))+D，其中A、B、C和D是常数。
正弦函数的周期为2π/B。
当B为正数时，函数在区间(0,2π/B)内呈现一个完整的周期。
当B为负数时，函数在区间(-2π/B,0)内呈现一个完整的周期。
余弦函数的周期与正弦函数类似，也为2π/B。
而正切函数的周期为π/B。
二、三角函数的像三角函数的像指的是其在坐标平面上呈现的图像。
通过观察函数的周期、振幅、相位等特征，我们可以绘制出三角函数的像。
1. 正弦函数的像正弦函数的像在坐标平面上表现为一条连续的波浪线。
其振幅为A，表示波浪的高度；周期为2π/B，表示波浪的长度；相位C表示波浪的水平位移；常数D则表示整个波浪线在y轴的位置。
2. 余弦函数的像余弦函数的像与正弦函数类似，也是一条连续的波浪线。
其振幅、周期、相位和常数的含义也与正弦函数相似，不同之处在于相位C的取值不同。
3. 正切函数的像正切函数的像呈现一条连续的曲线，在图像中呈现出沿着水平轴和垂直轴分别无限延伸的特点。
正切函数的振幅没有限制，周期为π/B，相位C和常数D则会对曲线的位置产生影响。
三、三角函数的实际应用三角函数的周期性和像在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 振动问题许多物理问题中涉及到物体的振动，而三角函数的周期性与像恰好能够描述振动的过程。
例如，摆钟的摆动、弹簧的拉伸和收缩以及声音的波动等都可以通过三角函数来描述。
2. 电信号三角函数的周期性与像在电信号处理中也起着重要的作用。
例如，交流电的电压和电流就可以使用正弦函数来描述，而调制信号中的振幅调制、频率调制和相位调制等也利用了三角函数的特性。
三角函数的周期性与图像规律研究
三角函数的周期性与图像规律研究三角函数是数学中重要的概念之一，它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
三角函数的周期性与图像规律是我们研究三角函数的重要方面，它们能够帮助我们深入理解三角函数的性质和特点。
本文将从周期性和图像规律两个方面来探讨三角函数的研究。
一、三角函数的周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现出周期性的规律。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当自变量x增加2π时，正弦函数的值会重复。
这个周期性的规律可以用公式sin(x+2π)=sin(x)来表示。
例如，当x取0时，sin(0)=0，而当x取2π时，sin(2π)=0，两者的值相等。
因此，正弦函数的图像在一个周期内是重复的。
2. 余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像同样具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，可以用公式cos(x+2π)=cos(x)来表示。
与正弦函数类似，余弦函数的图像在一个周期内也是重复的。
例如，当x取0时，cos(0)=1，而当x取2π时，cos(2π)=1，两者的值相等。
3. 正切函数的周期性正切函数是另一种重要的三角函数，它的周期是π，可以用公式tan(x+π)=tan(x)来表示。
正切函数的图像在一个周期内同样是重复的。
例如，当x取0时，tan(0)=0，而当x取π时，tan(π)=0，两者的值相等。
二、三角函数的图像规律1. 正弦函数的图像规律正弦函数的图像呈现出波浪形状，它的最高点为1，最低点为-1。
正弦函数的图像关于y轴对称，也就是说，当x取正值时，正弦函数的值与x取相同的负值时的值相等。
此外，正弦函数的图像是关于原点对称的，也就是说，当x取正值时，正弦函数的值与x取相同的负值时的值相等。
2. 余弦函数的图像规律余弦函数的图像同样呈现出波浪形状，它的最高点为1，最低点为-1。
余弦函数的图像关于y轴对称，也就是说，当x取正值时，余弦函数的值与x取相同的负值时的值相等。
三角函数的周期性及其像特征
三角函数的周期性及其像特征一、三角函数的周期性简介三角函数是高中数学中的一个重要分支，它是描述角度与长度之间关系的数学工具。
而三角函数的周期性是指它们在一定范围内，以一定的规律重复出现。
本文将探讨三角函数的周期性及其像特征，并分析其在实际问题中的应用。
二、正弦函数的周期性及像特征正弦函数是最基本的三角函数之一，它的符号记作sin(x)。
正弦函数的周期性可通过其图像来观察和理解。
在单位圆上，当一个角度x 逐渐增大时，正弦函数的值也会随之变化。
每隔一定的角度，正弦函数的值会重复出现，并呈现出周期性变化的特点。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
这意味着，当角度增加2π时，正弦函数的值会重新回到初始值。
同时，正弦函数的图像在周期内的变化呈现出对称性，即sin(-x) = -sin(x)。
这种周期性和对称性是正弦函数的重要特征。
三、余弦函数的周期性及像特征余弦函数是另一个基本的三角函数，它的符号记作cos(x)。
与正弦函数类似，余弦函数也具有明显的周期性。
余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
当角度增加2π时，余弦函数的值同样会重新回到初始值。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在周期内的变化呈现出以x轴为中心的对称性，即cos(-x) = cos(x)。
这种周期性和对称性是余弦函数的特点。
同时，正弦函数与余弦函数之间存在着一个重要的关系：cos(x) = sin(x + π/2)，即余弦函数与正弦函数的图像在横轴上的平移。
四、其他三角函数的周期性及像特征除了正弦函数和余弦函数，还有许多其他的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
这些函数同样具有周期性和像特征。
正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
正切函数的图像在每个周期内会重复变化，呈现出周期性的特点。
正切函数还具有奇偶性特征，即tan(-x) = -tan(x)。
三角函数的周期性
三角函数的周期性三角函数是数学中的重要概念之一，它们具有周期性的特点。
本文将介绍三角函数的周期性，并以函数图像和数学表达式来说明其周期性的特点。
一、正弦函数的周期性正弦函数是三角函数中最为常见的一种函数。
它的数学表达式为：y = sin(x)，其中 x 表示自变量，y 表示函数的值。
该函数的图像是一条在坐标系中波动的曲线，具有周期性的特点。
正弦函数的周期是2π。
也就是说，当自变量 x 增加2π时，函数的值将再次回到原来的值。
这一特点可以用公式来表示：sin(x) = sin(x +2π)。
因此，在一张完整的正弦函数图像中，可以看到多个周期。
例如，在区间[0, 2π]上，正弦函数的图像会上下波动一次；在区间[2π, 4π]上，又会上下波动一次，依此类推。
二、余弦函数的周期性余弦函数是另一种常见的三角函数。
它的数学表达式为：y = cos(x)。
余弦函数的图像也是一条波动的曲线，与正弦函数相似，同样具有周期性的特点。
余弦函数的周期也是2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。
这一特性使得余弦函数的图像在坐标系中也会重复出现多次。
与正弦函数相比，余弦函数在 x 轴上的值更加靠近1，而在 x 轴的波谷附近接近-1。
三、其他三角函数的周期性除了正弦函数和余弦函数外，还有许多其他的三角函数，如正切函数、余切函数、割函数和弧正弦函数等。
这些函数也都具有周期性的特点，但它们的周期不同于正弦函数和余弦函数。
例如，正切函数的周期是π，即tan(x) = tan(x + π)；余切函数的周期也是π，即cot(x) = cot(x + π)；割函数和弧正弦函数的周期分别是2π和π。
这些函数的周期性使得它们在数学及其应用中具有重要的价值。
在实际应用中，三角函数的周期性可以帮助解决各种问题，如波动问题、周期性运动问题等。
通过研究三角函数的周期性，可以更好地理解它们的性质和特点，进而应用到实际问题的求解中。
总结起来，三角函数具有周期性的特点，其中正弦函数和余弦函数的周期都是2π，其他三角函数的周期各不相同。
三角函数的周期性(精)
y A tan( x ) (A 0, 0) 的周期是
1.3.1 三角函数的周期性 课堂练习：课本P25/练习1，2， 补充 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周 期函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，求f(7.5).
作业：P25练习/3,4；P44习题/1.
f ( x 6 ) 即每一个常数 2k (k Z , k 0) f ( x ), 都是正弦函数的周期. f ( x 2 ) 其中， 2 是正弦函数所有周期中最小 f ( x 4 ) 的正数， 我们称 2 是正弦函数的最小正周期.
y 1 P
M A
.
的终边
在本书中，今后如无特殊说明， 函数的周期一般指最小正周期.
O
x
的终边
1.3.1 三角函数的周期性 例1 P25 例1.（见课本）
延伸： （1）若函数 f ( x ) 是周期为4的奇函数，且 f (1) 3, 则 f (2007) ____ -3 . (2)如图是周期为2的函数 f ( x ) 在区间[0，2]上的图象， y ①求 f (10.4)和f (10.7)的值；
故应规定 T 0! (2)等式 f ( x T ) f ( x)对于定义域内的所有 x 都要成立 才行！
1.3.1 三角函数的周期性 易知：对于 f ( x) sin x, 有 故 4 ,6 , ,以及 2 , 4 , f ( x 4 ) 也都是正弦函数的周期，
1
o
1
2
x
②写出该函数在R上的单调区间.
1.3.1 三角函数的周期性
例2
求下列函数的周期：
1 π （2）g(x)＝2cos( x + ). 2 4
三角函数的周期性质
三角函数的周期性质三角函数是初中数学和高中数学中经常遇到的一种函数，其中最为重要且最为基础的就是正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数的过程中，最基础的性质之一就是它们的周期性，下面将重点探讨三角函数的周期性质。
一、周期的概念周期是指函数在自变量每变化一定的量时，函数值发生可重复的变化，即函数呈现出相同的形态的距离称为函数的一个周期。
对于周期函数而言，如果我们将一个周期内的函数图像平移一个周期，那么这个图像是不会发生改变的。
二、正弦函数的周期性质正弦函数是最为基础的三角函数之一，它的图像一般呈现出一条波浪线。
正弦函数的周期是2π，这意味着当自变量增加2π时，函数值会回到原来的位置，这种现象会不断重复。
例如，当自变量为0时，函数值为0；而当自变量为2π时，函数值再次为0。
同样地，当自变量为π/2时，函数值为1；而当自变量为3π/2时，函数值再次为1。
这说明正弦函数的周期性非常明显，因为每个周期的长度都为2π。
三、余弦函数的周期性质余弦函数也是三角函数中最为基础的一种，它的图像呈现出一条先上升后下降的曲线。
余弦函数的周期同样是2π，这意味着当自变量增加2π时，函数值会回到原来的位置，这种现象会不断重复。
例如，当自变量为0时，函数值为1；当自变量为π时，函数值再次为1。
同样地，当自变量为π/2时，函数值为0；而当自变量为3π/2时，函数值也为0。
这说明余弦函数的周期性质与正弦函数是完全一致的。
四、正切函数的周期性质正切函数的图像是呈现出一个周期性的图像，但是它的周期和正弦和余弦函数是不同的。
正切函数的最基本图像是呈现出一条斜线，这条斜线有一个水平渐近线和一个垂直渐近线。
正切函数的一个周期是π，这意味着当自变量增加π时，函数值会回到原来的位置，这种现象会不断重复。
例如，当自变量为0时，函数值为0；而当自变量为π时，函数值也为0。
同样地，当自变量为π/4时，函数值为1；当自变量为5π/4时，函数值也为1。
三角函数的周期性与振幅
三角函数的周期性与振幅是三角函数特性中的重要组成部分，对于理解三角函数在各种数学和物理问题中的应用至关重要。
以下是对这两个特性的详细探讨。
一、三角函数的周期性周期性是指函数在某一特定的区间内重复出现的现象。
对于三角函数来说，周期性表现为函数图像在水平方向上呈现规律性的重复。
其中，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最基本的三角函数，它们的周期性特性表现在以下方面。
1. 正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期性是2π，意味着函数的值在每隔2π的间隔内重复出现。
这一特性使得正弦函数和余弦函数在描述周期性现象，如波动、振动等方面具有广泛的应用。
2. 其他三角函数的周期性：除了正弦函数和余弦函数外，其他三角函数如正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）也具有周期性。
但是，它们的周期与正弦函数和余弦函数不同，例如正切函数和余切函数的周期为π。
二、三角函数的振幅振幅是指函数值在垂直方向上的变化范围。
对于三角函数来说，振幅决定了函数图像在垂直方向上的大小。
在基本的三角函数形式中，振幅通常是1，但在实际应用中，我们经常会遇到振幅不为1的三角函数。
1. 振幅对函数图像的影响：振幅的大小决定了函数图像在垂直方向上的振幅。
当振幅大于1时，函数图像在垂直方向上的变化范围增大；当振幅小于1时，函数图像在垂直方向上的变化范围减小。
这种变化可以用来描述不同的物理现象，如振动的强度、波动的幅度等。
2. 振幅与周期的关系：在三角函数中，振幅与周期是两个独立的参数。
振幅的改变不会影响函数的周期性，同样，周期的改变也不会影响函数的振幅。
这使得我们可以在保持周期不变的情况下，通过改变振幅来调整函数的形态；反之亦然。
三、应用举例1. 振动分析：在物理学中，三角函数的周期性和振幅被广泛应用于振动分析。
通过测量物体振动的周期和振幅，可以了解物体的振动特性和能量分布。
例如，在机械工程中，通过对机器振动数据的分析，可以诊断机器的运行状态，预测维护周期等。
三角函数如何求解三角函数的周期性
三角函数如何求解三角函数的周期性三角函数是数学中常见的一种函数形式，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在三角函数中，周期性是一个重要的特征。
本文将介绍三角函数的周期性及如何求解三角函数的周期。
一、正弦函数的周期性正弦函数的一般形式为：y = A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数，且B≠0。
正弦函数的周期由参数B决定，具体求解步骤如下：1. 将参数B带入周期公式T = 2π/|B|中，其中|B|表示B的绝对值，可得周期T。
例如，对于正弦函数y = sin(2x)，参数B = 2，带入周期公式可得T = 2π/2 = π。
2. 根据周期T，求出一个完整周期内的特征点。
在一个完整周期内，正弦函数的值将重复出现。
根据周期T，我们可以选择一些特征点进行求解，通常选择从0开始，以周期T分割等间距的点。
例如，对于正弦函数y = sin(2x)，周期T = π，则我们可以选择的特征点为0、π/2、π、3π/2等。
3. 利用特征点，将函数图像进行绘制。
通过将特征点代入函数表达式中，求得对应的函数值，然后将这些点连成曲线，就得到了正弦函数的图像。
二、余弦函数的周期性余弦函数的一般形式为：y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D 为常数，且B≠0。
余弦函数的周期也由参数B决定，具体求解步骤如下：1. 将参数B带入周期公式T = 2π/|B|中，其中|B|表示B的绝对值，可得周期T。
例如，对于余弦函数y = cos(3x)，参数B = 3，带入周期公式可得T = 2π/3。
2. 根据周期T，求出一个完整周期内的特征点。
与正弦函数类似，根据周期T，可以选择一些特征点进行求解，通常选择从0开始，以周期T分割等间距的点。
3. 利用特征点，将函数图像进行绘制。
将特征点代入函数表达式中，求得对应的函数值，然后将这些点连成曲线，即得到余弦函数的图像。
三、正切函数的周期性正切函数的一般形式为：y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D 为常数，且B≠0。
三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习
π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π
令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π
即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π
高考数学复习点拨：理解三角函数的周期性
理解三角函数的周期性山东 樊德国问题的提出:等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．函数周期性定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭,5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭,但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， π2∴不是sin y x =的周期．周期并不惟一，若T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；若T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，则kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期． 2．最小正周期的概念 如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π,那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π．例1 求下列函数的最小正周期T ．(1）()3sin f x x =；（2）()sin 2f x x =；（3）1π()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：（1）()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =．(2）()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；（3）1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)24x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+,cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．例2 求证:1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12=， 根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π． 注:遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。
高考数学复习点拨：理解三角函数的周期性
理解三角函数的周期性问题的提出：等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．函数周期性定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， π2∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，若T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=； 若T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，则kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．2． 最小正周期的概念如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π．例1 求下列函数的最小正周期T ．（1）()3sin f x x =；（2）()sin 2f x x =；（3）1π()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：（1）()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =．（2）()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；（3）1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)24x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．例2 求证：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π．证明：1π2sin23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为2π4π12=，根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π．注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。
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精解三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.
幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期，
一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d
无周期性.
周期性是三角函数独有的特性.
1、正弦函数y=sin x的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线
段MP.
正弦函数的周期性
动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置
和变化方向重现一次.
同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正
弦线的即时位置包括变化方向不会重现.
因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.
2、y=sin（ωx）的最小正周期
设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .
按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .
令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x
因为sin x最小正周期是2π，所以有
例如sin2x的最小正周期为
sin的最小正周期为
3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性
对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.
它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.
如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.
于是，余弦函数的最小正周期与sin x的
最小正周期相同，都是2π.
二、复合函数的周期性
将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx
后者周期变为
而在以下的各种变换中，如
（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；
（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；
（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；
后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是
.
而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.
1、复合函数f（sin x）的周期性
【例题】研究以下函数的周期性：
（1）2 sin x；（2）
（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为
2π的周期函数.
【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正
周期为2π的周期函数.
【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a
x，sin x，，
sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.
2、y= sin3x的周期性
对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？
我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.
3、y= sin2x的周期性
对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？
可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.
4、sin2n x和sin2n-1x的周期性
y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.
sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.
因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，
sin m x的最小正周期是2π.
5、幂复合函数举例
【例1】求y =|sin x|的最小正周期.
【解答】最小正周期为π.
【例2】求的最小正周期.
【解答】最小正周期为2π.
【例3】求的最小正周期.
【解答】最小正周期为π.
【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.
当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是
2π. 那么它们的和函数，
即si nx + cos x的最小正周期如何？
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.
对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将
会如何？
1、函数sin x + sin2 x的周期性
sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？
列表如下.
表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.
2、函数sin x + sin2x的周期性
依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.
从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，
sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后
者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动
函数”，但振幅已经不是常数了.
3、函数sin x+sin x的周期性
sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.
们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？
不妨按周期定义进行检验. 设
则x0+3π=
因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.
通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.。