《高等数学教案一》word版

湖南机电职业技术学院学期授课计划学期授课计划备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。

湖南机电职业技术学院教案(一)备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（二）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（三）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（四）备课组长签名：教师签名：0sin lim1x xx→=证明：,,(0)2O AOB x x π∠=<<设单位圆圆心角， .ACO ∆，得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形 ,BD OAB 的高为∆ ,tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有sin tan ,x x x ∴<<即 sin cos 1,xx x <<.02也成立上式对于<<-x π ,20时当π<<xx x cos 11cos 0-=-< 2sin 22x= 2)2(2x < ,22x =,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x,1cos lim 0=∴→x x ,11lim 0=→x 又 .1sin lim 0=∴→x xx注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。

（2）公式形象的记为：0sinlim1x →=例1． 求0sin 3lim sin 4x x x →解略例2．求0tan 2limx xx →解 ： 000tan 2sin 21sin 21limlim lim 22222x x x x x x x x cos x x cos x →→→===15’15’A CxBDo)+)型幂指函数的极限。

1x +⎪-⎭3lim 1x ⎛+-湖南机电职业技术学院教案（五）备课组长签名：教师签名：教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学：上节回顾：两个重要极限公式．无穷小的比较；作业讲析 Ⅱ、新课教学 一、 函数的增量在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量定义1 如果函数()y f x = 在0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 从0x 变到0x x +∆，函数()y f x =相应地从0()f x 变到0()f x x +∆，因此函数相应的增量为： 00()()y f x x f x ∆=+∆-强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。

例1 设2()31y f x x ==-，求适合下列条件的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆：（1）x 由1变化到0.5（2）x 由1变到1x +∆ （3）x 由0x 变到0x x +∆ 解略。

二、函数连续性的概念2’5’10’由图形分析加强学生对定义1. 一点处连续的定义。

定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域有定义,如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y 也趋向于零，即：那末就称函数在点x 0处连续。

例2 证明函数2()22y f x x x ==-+在点0x x =处连续。

定义 3 设函数在点x 0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x 0处连续，且称x 0为函数的的连续点.由定义，函数在()y f x =点0x 连续需同时满足三个条件： （1） 函数在点0x 的一个邻域内有定义，即0()f x 存在 （2） 0lim ()x x f x →存在，即左右极限相等0lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→= （3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值0lim ()x x f x →=0()f x例3 讨论函数21()1x f x x -=-在1x =处的连续性。

例4 讨论函数1,1()0,11,1x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在1x =处的连续性。

例5 讨论函数1,1()0,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩在1x =处的连续性。

2. 区间连续 设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于， 即：=，那末我们就称函数在点b 左连续.设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于， 即：=，那末我们就称函数在点a 右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a 点右连续，b的理解10’10’15’ 5’设函数当x →x 0时的极限存在且等于a ，即：.而函数在点u=a 连续，那末复合函数当x →x 0时的极限也存在且等于.即：。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：[]00lim ()lim ()x x x x f g x f g x →→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以---------初等函数在其定义区间内连续。

例4 求()xx n +∞→1ln lim ．。

解：由对数函数的连续性有 原式()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+=→→x n xn x x 1011lim ln 1ln lim 1ln ==e ．例5 求()xx n cos 1ln lim 2+∞←．解：由于0=x 属于初等函数()()xx x f cos 1ln 2+=的定义域之内，故由f 的连续性得 ()()00cos 1ln lim2==+∞→f xx n ．五、 闭区间上连续函数的性质定理1.4 （最大值和最小值定理） 如果函数 f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点1x 和2x ，使得[]12()()(),,f x f x f x x a b ≤≤∈亦即[]{}1,()min ()xa bf x f x m ∈== ， []{}2,()max ()x a b f x f x M ∈==若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点推论： 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。

定理1.5（介值定理） 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取10’5’湖南机电职业技术学院教案（六）备课组长签名：教师签名：t →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度000000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 引例2 曲线的切线。

如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim→∆x 0()()f x x f x x+∆-∆二、导数的定义由于速度问题、切线问题以及其他许多问题(如电流强度、角速度、线密度等等)均导致形如 0lim→∆x yx∆∆ 的极限,我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念．定义2.1 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x处取得增量x ∆（点xx ∆+0仍在该邻域内）时，相当函数y 取得增量10’这个极限为函数y0处可导有时也说成解：略分析：例1中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。

例3 求函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的导数。

解：（1）log ()log log (1)a a a xy x x x x∆∆=+∆-=+； （2）11log (1)log (1)x xa a y x x x x x x x∆∆∆∆=+=+∆∆； （3)00011limlim log (1)lim log (1)x x x xa a x x x y x x x x x x x ∆∆∆→∆→∆→∆∆∆=+=+=∆ 0111log lim(1)log ln x x a a x x e x x x x a∆∆→∆+==1(log )ln a x x a '= 特别地：当a e =时，有1(ln )x x'=点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.四 、 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-5’5’湖南机电职业技术学院教案（七）备课组长签名：教师签名：dx湖南机电职业技术学院教案（八）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（九）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（十）备课组长签名：教师签名：。