第一章 线性规划及单纯形法5-线性规划应用举例
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第1讲线性规划及单纯形法
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
第一章线性规划问题及单纯形解法演示文稿
线性规划问题的可行解集S是凸集 设X属于S,若x=0,则一定为极点；若x 0，则为极点的充要条件是：x的正分量所 对应的系数列向量线性无关。
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
38
第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
10
第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
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第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
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maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
线性规划及单纯形法 PPT
★ 证明：MaxZ CTX
AX b
ghgklkldsjklajskdlnakscasdjknscknmaks s.t.X0
不妨设X（1） X（2）是LP问题的解 则有AX（1） b，X 0，Z* CTX（1）
AX（2） b，X 0，Z* CTX（2）
作X X（1）（1 ）X（2）， [0，1]
线性规划模型的一般形式与标准形式(P7稍后讲) 15
三、两变量线性规划问题的图解法
1、 线性不等式的几何意义— 半平面
2、 图解法步骤 1) 作出LP问题的可行域 2) 作出目标函数的等值线
x1 22x2 2x1 3x2
3) 移动等值线到可行域边界得到最优点
16
例1 (书P4):
基本概念: 可行解、可行域、最优解？
明确问题
建立模型 No
设计算法 整理数据
简化？
Yes
求解模型
No
评价结果
满意？
9
四、运筹学内容介绍
• 线性规划及单纯形法 • 对偶理论及灵敏度分析 • 运输问题 • 整数规划 • 动态规划
• 图与网络分析
10
第一章 线性规划及单纯形法
在生产管理中如何有效地利用现有人力、物力完 成更多的任务,或在预定的任务目标下,如何耗用最 少的人力、物力去实现目标。
例1 生产计划问题 (P4)
I II 资源限量
目标函数
设备
12
原材料A 4 0
原材料B 0 4
单位利润 2 3
8台时 16公斤 12公斤
设I、II两种产品的产量分别为x1, x2 。 建立该问题的数学模型为:
OBJ : max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
第一章 线性规划及单纯形法
37
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
第一章 线性规划及单纯形法5-线性规划应用举例运筹学
该厂盈利总额为５种产品销售价减去成本和库存费用。 约束条件： 各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
问：第 i 种产品在第 j 月的销售盈利 是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
i =1 j =1
5
6
问：第 i 种产品在第 j 月的库 存量是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。 目标函数： 5 6 max z =
第七节 应用例子
一、 混合配料问题 例 某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。
已知各种糖果中 A、B、C 的含量，原料成本，各种原料的每 月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产 这三种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。
原 料 A B 甲 乙 60% 30% 丙 原料成本(元/kg) 月限制量(kg) 2.00 2000 1.50 2500
目标函数：
max z = (1.25-0.25)(x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 )
+ (2.0-0.35)(x21 + x22) + (2.8-0.5)x3 – 0.05(5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 ) – 0.03(7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 ) – 0.06(6x11 +6 x14 + 8x21 + 8x22 ) – 0.11(4x12 +4 x15 + 11x3 ) – 0.05(7x13 + 7x16)
1_LP及单纯形法
max(min) Z CX
n Pj x j (, )b s.t j 1 X 0
线性规划问题可记为矩阵形式：
max(min) Z CX
AX (, )b s.t X 0
线性规划解的定义： (1)满足线性规划问题所有约束条件的解是该问题的 可行解。 (2)线性规划问题全部可行解的集合构成线性规划问 题的可行域（或称可行解集）,记做R 。 (3)使目标函数达到极值的可行解称为线性规划问题 的最优解。记作X*。则对任何目标函数求最大值 的线性规划，存在 : CX≤ CX*
例题1. 1 如何排产，获利最大？
产品P 解：将一个实 原料A 1 际问题模型化 原料B 5 原料C 0 需要四步： Step1 产品单价 x 2万元
1
确定决策变量：制造P产品x1件， Q产品x2件。 Step2 确定目标函数： MaxZ=2 x1+ 5x2 Step3 确定约束方程： x1+ 2x2≤8 5x1+ 2x2≤20 4x2≤12 Step4 确定变量取值限制 x1，x2≥0
可能在建模过程中，约束条 件自相矛盾的错误。
O
x1
图解法的观察
最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的
极点表示。
可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域
内的每一个点代表一 个可行解。
如果目标函数等值线可以无限制地在可行域内向改
善的方向移动，线性规划问题无界;
线性规划问题也可能存在无穷多个最优解。 如果可行域为空集，线性规划 问题无可行解；
第二节
线性规划的标准形式和解的性质
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
一、Linear Programming标准形式
第一章线性规划与单纯形法ppt课件
x2
解，也不存在最优解。
x11.5x2 8
目 标 函 数 m ax z 2 x1 3x2
4x1=16
x1 2 x2 8
约
束
条
件
:
4 x1
16 4x2 12
3
4x2=12
x1 , x2 0
原可行 域
0
无可行解
增加一个新的约束条件
x1+2x2=8
8
x1
x11.5x28
23
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q3
x1 , x2 0
3
Q2
可行域
4x2=12
0
x1+2x2=8
x1
4
8
无穷多最优解（多重最优解）
20
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
x2
可行 域
max z 2 x1 3x2
8—
x1 + x2 5
7—
x2 = -2x1 6 —
5— 4— 3—
x1、 x2 0
6x1 +2x2 24
6x1+ 2x2=24 x1+ x2=5
5
x2
15
最优解
2—
(3.5,1.5)
1—
x1 + x2 5
0
|| | | || | | | 12 3 4 5 6 7 8 9
x1
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
第一章 线性规划
对于标准形式的线性规划问题若约束方程系数矩阵中不存在现成的初始可行基则不能简单的用上述单纯形法而通常采用所谓的人工变量法
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
第一章线性规划及单纯形法
xj
x
j，显然 x
j
0
2019/10/9
13
§1一般线性规划问题的数学模型
[例3] 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z x1 2x2 3x3
s.t.
2x1 x2 x3 9 3x1 x2 2x3 4 3x1 2x2 3x3 6
模型求解，找出可行并且最大可能利润（largest possible profit）的
产品组合。
•
采用线性规划后，潘得罗索工业公司的成绩是显著的。改进的产
品组合使公司的总利润增加了20%，线性规划的其他贡献包括更好的
原材料利用，更好的资本投资，和更好的人员利用。
2019/10/9
2
§1 一般线性规划问题的数学模型
j 1
bi , i
1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程
(3)右端常数项bi都大于或等于零
(4) 决策变量xj为非负。
2019/10/9
11
§1一般线性规划问题的数学模型
如何化标准形式？
目标函数的转换
2019/10/9
xj 0
(j 1 2n) 8
§1一般线性规划问题的数学模型
向量形式：
max (min) z CX
s.t.
n j 1
pjxj
(, ) b
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
线性规划及单纯形法PPT课件
图
1.建立平面直角坐标系，标出坐标原点,
解
坐标轴的指向和单位长度。
法
2.对约束条件加以图解，找出可行域。 3.画出目标函数等值线。
4.结合目标函数的要求求出最优解。
图
max z 2 x1 x 2
5 x 2 15
s
.t
.
6 x
x
1
1
x
2
2
x2
5
24
x1 , x 2 0
(1.1a) (1.1b)
xj(j1,2, ,n) 称为决策变量
非负约束
cj(j1,2, ,n) 称为价值系数或目标函数系数
bi(i1,2, ,m) 称为资源常数或约束右端常数
aij0 (i=1 ,..,m ;j=1 ,..,n ) 称为技术系数或约束系数
概 念 和 模 型
紧缩形式：
n
max（或min）Z c j x j j 1 n
若线性规划问题的可行域存在， 则可行域是一个凸集。
若线性规划问题的最优解存在， 则最优解或者最优解之一（如果 有无穷多的话）一定是可行域的 凸集的某个顶点。
解题思路是，先找出凸集的任一 顶点，计算在顶点处的目标函数 值。
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3单 纯 形 法 原 理
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点 几个基本定理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
s.t.
n j 1
a ij x j
bi
(i 1,.., m )
第1章 线性规划-应用举例
25
解 ： 用 i1,2,3分 别 代 表 原 料 A,B,C ， 用 j1,2,3分 别 代 表 甲 、 乙 、 丙 三 种 糖 果 ， xij为 用 第 i种 原 料 生 产 第 j种 糖 果 所 耗 用 的 kg数 量 。
表1
表2
22
x11
x 21
x 31
x 41
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x32
x13
x22
x14
x 23
∑≥15
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x1 1x12 x13 x14 15 x 1 3x 1 4x 2 2x 2 3x 3 1x 3 220
x 1 2x 1 3x 1 4x 2 1x 2 2x 2 310
x14 x23 x32 x41 12
s
t.
x1 x2
15 10
x3
25
x4 4
x
5
30
x i 0 , i 1, , 7
8
金融计划
连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于 次年末回收本利115 % ； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利 125 % ，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利 140 % ，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年年末归 还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目 每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最 大？
x1A x1D 1 0 0 0 0 0
1
.
0
6
x
解 ： 用 i1,2,3分 别 代 表 原 料 A,B,C ， 用 j1,2,3分 别 代 表 甲 、 乙 、 丙 三 种 糖 果 ， xij为 用 第 i种 原 料 生 产 第 j种 糖 果 所 耗 用 的 kg数 量 。
表1
表2
22
x11
x 21
x 31
x 41
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x32
x13
x22
x14
x 23
∑≥15
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x1 1x12 x13 x14 15 x 1 3x 1 4x 2 2x 2 3x 3 1x 3 220
x 1 2x 1 3x 1 4x 2 1x 2 2x 2 310
x14 x23 x32 x41 12
s
t.
x1 x2
15 10
x3
25
x4 4
x
5
30
x i 0 , i 1, , 7
8
金融计划
连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于 次年末回收本利115 % ； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利 125 % ，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利 140 % ，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年年末归 还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目 每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最 大？
x1A x1D 1 0 0 0 0 0
1
.
0
6
x
线性规划及其单纯形法文稿演示
x13+x14+x22+x23+x31+x32 ≥20 三月份仓库需求面积约束
x14+x23+x32+x41 ≥12
四月份仓库需求面积约束
xij ≥0 (i＝1，2，…，4；j＝1，2，…，4） 非负约束
例3、连续投资10万元
A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末回 收本利1.15 B：第3年初投资，到第5年末回收1.25，最大投 资4万元 C：第2年初投资，到第5年末回收1.40，最大投 资3万元
表1-2 例2的基本数据（page 9-10）
月份
1
2
3
4
所需仓库面积（100m2） 15 10 20 12
合同租借期限
1个月2个月3个月4个月
合同期内的租费（元/100m2）2800 4500 6000 7300
假设用xij表示捷运公司第i（i＝1，2，…，4） 个月月初签订租借期为j（j＝1，2，…，4）个月
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§1-1 线性规划问题及其数学模型
表 1-1
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
设备 A（h）
0
5
15
设备 B（h）
6
2
24
调试工序（h）
1
1
5
利润（元）
2
1
用数学语言来描述这个问
题。假设美佳公司每天制 目标函数 max Z＝2பைடு நூலகம்1＋x2
造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品的
数量分别是x1和x2件。
约束条件
5x2≤15 6x1＋2x2≤24 x1＋x2≤5
D：每年初投资，每年末回收1.11。
求：5年末总资本最大
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k =1
j
xij 0
四、 动态投资问题
例 宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年初 分别提供以下数额贷款：2003年——100万，2004年——150万， 2005年——120万，2006年——110万。以上贷款资金均需于 2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足 每年贷款额的情况下，可将多余资金用于下列投资项目： （1）于2003年初购买A 种债券，期限3年，到期后本息合 计为投资额的140%，但限购60万元； （2）于2003年初购买 B 种债券，期限2年，到期后本息合 计为投资额的125%，但限购90万元； （3）于2004年初购买C 种债券，期限2年，到期后本息合 计为投资额的130%，但限购50万元； （4）于每年初将任意数额的资金存放银行，年息4%，于 年底取出。 问该公司应如何运作，使2002年底需筹集到的资金额为最少。
约束条件：
aij xij tj ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
i =1 5 i =1 j
5
aij x/ij t/j ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
k =1
( xik + x/ik ) Dij ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
线性规划应用问题举例
一、 混合配料问题
例 某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。
已知各种糖果中 A、B、C 的含量，原料成本，各种原料的每 月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产 这三种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。
原 A B 料 甲 乙 60% 30% 丙 原料成本(元/kg) 月限制量(kg) 2.00 2000 1.50 2500
B 工序可分别在设备 B1 、B2 或 B3 上完成。已知产品甲可 在 A、B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工； 产品丙只能在 A２与 B２ 设备上加工。加工单位产品所需工 序时间及其他各项数据见下表，试安排最优生产计划，使 该厂获利最大。建立数学模型。
C
20% 50% 60%
0.40 2.85 0.30 2.25
1.00
1200
加工费(元/kg) 0.50 售 价(元/kg) 3.40
解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2， 3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j 种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙 = x13 + x23 + x33
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。 目标函数： 5 6 max z =
i =1 j =1 5 6 i =1
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
j
– pi ( xik + x/ik – Dik )
j =1 k =1
设
备
A1 A2
产 甲 5 7
品 乙 10 9 丙 12 11
设备有效台时
6000 10000
设备加工费 (元／ｈ) 0.05 0.03
B1
B2 B3
6
4 7
8
4000
7000 4000
0.06
0.11 0.05
原料费(元/件) 0.25 售 价(元/件) 1.25
0.35 2.00
0.50 2.80
三种原材料成本
约束条件 x11 + x12 + x13 2000 x21 + x22 + x23 2500 x13 + x23 + x33 1200
x11 0.6 ( x11 + x21 + x31 ) x31 0.2 ( x11 + x21 + x31 )
原料月供应量限制
x12 x32 x33 xij
0.3 ( x12 + x22 + x32 ) 0.5 ( x12 + x22 + x32 ) 0.6 ( x13 + x23 + x33 ) 0 ( i, j = 1, 2, 3 )
含量成分的限制
二、 生产计划问题
例 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经过 A、B 两道工序加工。设 A 工序可分别在设备 A1 或 A2 上完成，
解 设 x 为2002年底该公司需要筹集到的资金额；
y1、y2、y3 为分别于2003、2004、2005年初存放到银行 的资金数 ； WA、WB、WC 为分别购买 A、B、C 債卷的数额。 则可列数学模型： 目标函数： min z = x 约束条件： x – y1 – WA – WB = 100
该厂获利为三种糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。 目标函数是什么？
解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2， 3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j 种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙 = x13 + x23 + x33
目标函数：
max z = (1.25-0.25)(x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 )
+ (2.0-0.35)(x21 + x22) + (2.8-0.5)x3 – 0.05(5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 ) – 0.03(7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 ) – 0.06(6x11 +6 x14 + 8x21 + 8x22 ) – 0.11(4x12 +4 x15 + 11x3 ) – 0.05(7x13 + 7x16)
目标函数： 工厂盈利为产品销售价减去相应的原材料费和设备加工费。 约束条件： 产品加工量受设备有效台时的限制。
解 设产品甲、乙、丙的产量分别为 x1，x2，x3件。
产品甲有六种加工方案，分别为，(A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3)，各方案加工产品甲数量用 x11，x12， x13， x14，x15，x16 表示； 产品乙有两种加工方案，分别为，(A1, B1) 和 (A2, B1) ， 各方案加工产品乙数量用 x21，x22 表示； 产品丙只有一种加工方案 (A2, B2) ，加工数量用 x3 表示。 x1 = x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 x2 = x21 + x22
max z = (3.40-0.50)( x11 + x21 + x31 ) + (2.85-0.40)( x12 + x22 + x32 ) + (2.25-0.30)( x13 + x23 + x33 ) - 2.0( x11 + x12 + x13 ) - 1.5( x21 + x22 + x23 ) - 2.0( x31 + x32 + x33 ) 三种糖果的售价减去 加工费
该厂盈利总额为５种产品销售价减去成本和库存费用。 约束条件： 各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
问：第 i 种产品在第 j 月的销售盈利 是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
i =1 j =1
5
6
问：第 i 种产品在第 j 月的库 存量是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
三、 生产存贮问题 例 某厂签订了５种产品( i =1, 2, 3, 4, 5 ) 上半年的交货合 同。已知各产品在第 j 月的合同交货量 Dij ，该月售价 sij 、成 本价 cij 及生产一件时所需的工时 aij 。该厂第 j 月的正常生产 工时为 tj ，但必要时可加班生产，第 j 月所允许的最多加班工 时不超过 t /j ，并且加班时间内生产的产品每件成本增加额外 费用 c /ij 元。若生产出来的产品当月不交货，每件库存一个月 交存贮费 pi 元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使 上半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。 目标函数：
1.04 y1 – y2 – WC = 150 1.04 y2 + 1.25WB – y3 = 120 1.04 y3 + 1.40WA + 1.30WC = 110 x 0，y1、 y2、 y3 0，WA、WB 、WC 0 WA 60，WB 90， WC 50 求解得：x = 420.4，y1=170， y2=7.2， y3 = 0，WA= 60， WB = 90，WC = 20。
约束条件： 5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 6000 7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 10000
j
xij 0
四、 动态投资问题
例 宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年初 分别提供以下数额贷款：2003年——100万，2004年——150万， 2005年——120万，2006年——110万。以上贷款资金均需于 2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足 每年贷款额的情况下，可将多余资金用于下列投资项目： （1）于2003年初购买A 种债券，期限3年，到期后本息合 计为投资额的140%，但限购60万元； （2）于2003年初购买 B 种债券，期限2年，到期后本息合 计为投资额的125%，但限购90万元； （3）于2004年初购买C 种债券，期限2年，到期后本息合 计为投资额的130%，但限购50万元； （4）于每年初将任意数额的资金存放银行，年息4%，于 年底取出。 问该公司应如何运作，使2002年底需筹集到的资金额为最少。
约束条件：
aij xij tj ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
i =1 5 i =1 j
5
aij x/ij t/j ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
k =1
( xik + x/ik ) Dij ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
线性规划应用问题举例
一、 混合配料问题
例 某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。
已知各种糖果中 A、B、C 的含量，原料成本，各种原料的每 月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产 这三种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。
原 A B 料 甲 乙 60% 30% 丙 原料成本(元/kg) 月限制量(kg) 2.00 2000 1.50 2500
B 工序可分别在设备 B1 、B2 或 B3 上完成。已知产品甲可 在 A、B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工； 产品丙只能在 A２与 B２ 设备上加工。加工单位产品所需工 序时间及其他各项数据见下表，试安排最优生产计划，使 该厂获利最大。建立数学模型。
C
20% 50% 60%
0.40 2.85 0.30 2.25
1.00
1200
加工费(元/kg) 0.50 售 价(元/kg) 3.40
解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2， 3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j 种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙 = x13 + x23 + x33
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。 目标函数： 5 6 max z =
i =1 j =1 5 6 i =1
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
j
– pi ( xik + x/ik – Dik )
j =1 k =1
设
备
A1 A2
产 甲 5 7
品 乙 10 9 丙 12 11
设备有效台时
6000 10000
设备加工费 (元／ｈ) 0.05 0.03
B1
B2 B3
6
4 7
8
4000
7000 4000
0.06
0.11 0.05
原料费(元/件) 0.25 售 价(元/件) 1.25
0.35 2.00
0.50 2.80
三种原材料成本
约束条件 x11 + x12 + x13 2000 x21 + x22 + x23 2500 x13 + x23 + x33 1200
x11 0.6 ( x11 + x21 + x31 ) x31 0.2 ( x11 + x21 + x31 )
原料月供应量限制
x12 x32 x33 xij
0.3 ( x12 + x22 + x32 ) 0.5 ( x12 + x22 + x32 ) 0.6 ( x13 + x23 + x33 ) 0 ( i, j = 1, 2, 3 )
含量成分的限制
二、 生产计划问题
例 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经过 A、B 两道工序加工。设 A 工序可分别在设备 A1 或 A2 上完成，
解 设 x 为2002年底该公司需要筹集到的资金额；
y1、y2、y3 为分别于2003、2004、2005年初存放到银行 的资金数 ； WA、WB、WC 为分别购买 A、B、C 債卷的数额。 则可列数学模型： 目标函数： min z = x 约束条件： x – y1 – WA – WB = 100
该厂获利为三种糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。 目标函数是什么？
解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2， 3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j 种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙 = x13 + x23 + x33
目标函数：
max z = (1.25-0.25)(x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 )
+ (2.0-0.35)(x21 + x22) + (2.8-0.5)x3 – 0.05(5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 ) – 0.03(7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 ) – 0.06(6x11 +6 x14 + 8x21 + 8x22 ) – 0.11(4x12 +4 x15 + 11x3 ) – 0.05(7x13 + 7x16)
目标函数： 工厂盈利为产品销售价减去相应的原材料费和设备加工费。 约束条件： 产品加工量受设备有效台时的限制。
解 设产品甲、乙、丙的产量分别为 x1，x2，x3件。
产品甲有六种加工方案，分别为，(A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3)，各方案加工产品甲数量用 x11，x12， x13， x14，x15，x16 表示； 产品乙有两种加工方案，分别为，(A1, B1) 和 (A2, B1) ， 各方案加工产品乙数量用 x21，x22 表示； 产品丙只有一种加工方案 (A2, B2) ，加工数量用 x3 表示。 x1 = x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 x2 = x21 + x22
max z = (3.40-0.50)( x11 + x21 + x31 ) + (2.85-0.40)( x12 + x22 + x32 ) + (2.25-0.30)( x13 + x23 + x33 ) - 2.0( x11 + x12 + x13 ) - 1.5( x21 + x22 + x23 ) - 2.0( x31 + x32 + x33 ) 三种糖果的售价减去 加工费
该厂盈利总额为５种产品销售价减去成本和库存费用。 约束条件： 各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
问：第 i 种产品在第 j 月的销售盈利 是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x /ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
i =1 j =1
5
6
问：第 i 种产品在第 j 月的库 存量是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
三、 生产存贮问题 例 某厂签订了５种产品( i =1, 2, 3, 4, 5 ) 上半年的交货合 同。已知各产品在第 j 月的合同交货量 Dij ，该月售价 sij 、成 本价 cij 及生产一件时所需的工时 aij 。该厂第 j 月的正常生产 工时为 tj ，但必要时可加班生产，第 j 月所允许的最多加班工 时不超过 t /j ，并且加班时间内生产的产品每件成本增加额外 费用 c /ij 元。若生产出来的产品当月不交货，每件库存一个月 交存贮费 pi 元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使 上半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。 目标函数：
1.04 y1 – y2 – WC = 150 1.04 y2 + 1.25WB – y3 = 120 1.04 y3 + 1.40WA + 1.30WC = 110 x 0，y1、 y2、 y3 0，WA、WB 、WC 0 WA 60，WB 90， WC 50 求解得：x = 420.4，y1=170， y2=7.2， y3 = 0，WA= 60， WB = 90，WC = 20。
约束条件： 5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 6000 7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 10000